Development of greens functions and its application for cylindrically stratified media

Dielectric SubstrateGround Plane Radiation Patch.

ï:½ ©¦¥˜‘D’¥¦™;”–Ž¡Ž˜¯mb¥¦™;”–ŽQefhgjikml5nporqUgjikml5ntsmŒmºU—£;—lvuwyx(z|{ é yxyª}iholvuwyx »: 

ự ợửả!ơẶôâ’”Ả™;’“U—!ŽĐÉK™;ãU—ð\;—ê—'âầúž)ɏ’â’đZ™;”ẢŽâđZŽăjœẨŽâU—'â̙ã

ÃO͛pỊ½Â¾

½ ẳRãU—ư“’”Ả—'‘Ả—'đZ™Ãb”Dđ

ơĐ⒓·ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБBœaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbž”Dâ·á.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N4XâpđrÒXu ùJxủ:àŽá-đrÒ?u ờạ âpđẳằẼu ợJxừ:à

ự ự ả!ơẶôâ’”Ả™;’“U—ŽĐɍ™;ãU—!ð\;—ê—'âầúžÉ’â’đZ™;”ẢŽâđZŽăjœẨŽâU—'â̙

ÃOÍặ

ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБmœaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbž)”Dâá.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N4ầâpđrÒu ùJxủ:àẵá-đrÒu ờạ âpđẳằCu ợJxừ:à

ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБmœaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbž)”Dâá.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N4ầâpđrÒu ùJxủ:àẵá-đrÒu ờạ âpđẳằCu ợJxừ:à

ơĐ⒓·ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБBœaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbž”Dâ·á.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N4XâpđrÒXu ùJxủ:àŽá-đrÒ?u ờạ âpđẳằẼu ợJxừ:à

ự ừửả!ơẶôâ’”Ả™;’“U—!ŽĐÉK™;ãU—ð\;—ê—'âầúž)ɏ’â’đZ™;”ẢŽâđZŽăjœẨŽâU—'â̙ã

ÃOẩ

ỊrỊ½Â¾

½ ẳRãU—ư“’”Ả—'‘Ả—'đZ™Ãb”Dđ

ơĐ⒓·ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБBœaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbž”Dâ·á.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N4XâpđrÒXu ùJxủ:àŽá-đrÒ?u ờạ âpđẳằẼu ợJxừ:à

ự ờ tả!ơẶôâ’”Ả™;’“U—ŽĐɍ™;ãU—!ð\;—ê—'âầúžÉ’â’đZ™;”ẢŽâđZŽăjœẨŽâU—'â̙ ÃOÍặ

ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБmœaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbž)”Dâá.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N4ầâpđrÒu ùJxủ:àẵá-đrÒu ờạ âpđẳằCu ợJxừ:à

ự ờĐờ žÉ’â’đZ™;”ẢŽâđZŽăjœẨŽâU—'â̙

ÃOÍỊrỊ

½ẳRãU—·“’”Ả—'‘Ả—'đZ™Ãb”DđFơĐ⒓

ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБmœaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbž)”Dâá.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N4ầâpđrÒu ùJxủ:àẵá-đrÒu ờạ âpđẳằCu ợJxừ:à

ÃOẩ

›pỊ

½ẳRãU—·“’”Ả—'‘Ả—'đZ™Ãb”DđFơĐ⒓

ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБmœaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbž)”Dâá.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N4ầâpđrÒu ùJxủ:àẵá-đrÒu ờạ âpđẳằCu ợJxừ:à

ự ờ ợả!ơẶôâ’”Ả™;’“U—·ŽĐÉK™;ãU—ð\;—ê—'âầúž)ɏ’â’đZ™;”ẢŽâ,đZŽăjœẨŽâU—'â̙ã ÃOẩặ

ự ờZự ả!ơẶôâ’”Ả™;’“U—!ŽĐÉK™;ãU—ð\;—ê—'âầúž)ɏ’â’đZ™;”ẢŽâđZŽăjœẨŽâU—'â̙ ã ÃOẩỊrỊ

žÉ’â’đZ™;”ẢŽâđZŽăjœẨŽâU—'â̙ ÃO͛r› ½ẳRãU—·“’”Ả—'‘Ả—'đZ™Ãb”DđFơĐ⒓

ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБmœaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbž)”Dâá.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N4ầâpđrÒu ùJxủ:àẵá-đrÒu ờạ âpđẳằCu ợJxừ:à

ự ờ'ỵ ả!ơẶôâ’”Ả™;’“U—·ŽĐÉK™;ãU—ð\;—ê—'âầúž)ɏ’â’đZ™;”ẢŽâ,đZŽăjœẨŽâU—'â̙ã

ÃOÍặ

› ½Â¾

½kẳRãU—!“’”Ả—'‘Ả—'đZ™Ãb”Dđ

ơĐ⒓·ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБBœaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbž”Dâ·á.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N4XâpđrÒXu ùJxủ:àŽá-đrÒ?u ờạ âpđẳằẼu ợJxừ:à

ự ờ ừả!ơẶôâ’”Ả™;’“U—·ŽĐÉK™;ãU—ð\;—ê—'âầúž)ɏ’â’đZ™;”ẢŽâ,đZŽăjœẨŽâU—'â̙ ã ÃOÍ

ặ˜‘–ŽẾ¡Uẵ™;ửU— Ó:‹vỨ,ŒmửU—ẳỚ;—2ßGỚẩu™yxî:ởß-žợu é yở5ặ˜¡’“vß- ợu é˜é ỪổŽ˜Ớ\žš™šỚb’ằZ™;UỚ;—'žRž;ửUŽ-Œm¡

”D¡ầ.”–ẵUỎ5ĩ:Ỏé ặỠ™ Ô ị Ô uàyxẾĩ:ỎỎKỎKỎeỎKỎKỎeỎKỎKỎKỎeỎKỎKỎeỎKỎKỎeỎKỎKỎKỎeỎKỎKỎeỎKỎKỎ é˜é ô

ỳ ụ Ó:œÙ—'ằZ™šỚbặ˜‘o“UŽẾŸặ˜”D¡ Ÿ”ẽ›y—'“ œÙŽ˜™š—'¡Ĩ™;”Dặ˜‘8ð\Ớ;—ẳ—'¡đòžỪ’¡’ằZ™;”–ŽẾ¡áÈừ˜

šOâậÉậ

ƒmứ9ẢÚậNũậưẺÝ

—ẳờỠặ˜‘D’ặỠ™š—'“(ặ˜‘–ŽẾ¡Uẵm™;ửU—sÓ:‹vỨỈŒmửU—ẳỚ;—$ßGỚ}uàyxî:ởß-žXu é yởẾặ˜¡’“Oß- Xu é˜é ỪổŽ˜ỚBžš™šỚb’ằZ™;UỚ;—

ỳ ỳ Ó:œaặỠ™;”Dặ˜‘đ“UŽẾŸặ˜”D¡Ỉð\Ớ;—ẳ—'¡đòžRỪ’¡’ằZ™;”–ŽẾ¡ằZŽẾŸjœÙŽẾ¡U—'¡Ĩ™ šOã

ẬR›U”DơБ(ŽĐb”Ả—'â̙×'“kă”DđZ;ŽžÃ™Ãb”Ảœ ‘D”DâU—Đ½ ữU™Ã—êưbơГ’”D’žCl"uồyxủẢổẻĐà ”Dâ’âU—ê!bơГ’”D’ž

i:uỏyx l-àỗ"uỏyxNủNl-àá-đêẨu>á-đpž?u ờ y½½K½K½K½e½K½K½e½K½K½e½K½K½K½e½K½K½e½K½K½ ờ ợĐủ

Dielectric Substrate

Ground Plane Radiation Patch

ẳRãU—oôЗ'âU—êbơБD”ùưê—'“ ™ÃbơĐ⒞;ă”Dž;ž;”ẢŽâ ‘D”DâU—oăjŽy“U—'‘"gẾðẳRẸÈảầnkã’ơО ÍẨ—ê—'⏒žÃ—'“ ™ÃŽ žÃ™;’“UÁ

;—'đZ™;ơĐâUô’‘DơẶ œaơẶ™;đbã e sẾàđê”Ảbđꏒ‘DơẶœaơẶ™;đbã e

ờĐờsẾàơĐâ’â:’‘DơẶ ơĐ⒓Âđê”Ảbđꏒ‘DơẶtžÃ—'đZ™ÃŽĐỡe

’ž;”DâUô™;ãU— —Z›UơĐđZ™Sð\;—ê—'âầúžÉ’â’đZ™;”ẢŽâ’žmÉ°ŽĐ\™;ãU—j‘Dơ'ÁЗê;—'“1ăj—'“’”Dơy½ẳRãU—ð\;—ê—'âầúž\ɏ’â’đZ™;”ẢŽâ’ž\”Dâ’đê‘D’“U—

ơĐ⒓H™ÃbơĐ⒞;ă”Dž;ž;”ẢŽâtŒạơ'ẪЗ'ž!É°;ŽăM™;ãU—đZÁy‘D”D⒓Ub”DđêơБe”Dâ̙×ê;ÉơĐđZ—'ž·ŽĐÉj™;ãU—žÃ™ÃbơẶ™;”ỡởa—'“ ăj—'“’”Dơy½ ẳRãU—

ãUŽĐb”ùưꎐâ̙;ơБyơĐ⒓ ẪЗê;™;”DđêơБU“’”ẢœẨŽ‘Ả—0”Dâ(ă(U™;”D‘Dơ'ÁЗê;—'“jăj—'“’”Dơ\ơẶ;—Đà̔Dâ(ôЗ'âU—êbơБàâUŽĐ™Ẽ”D“U—'â̙;”DđêơБ ½È‹vâ(ŽĐ™;ãU—ê

™;ãU—m”DâÌẪЗêbžÃ—RáUŽUb”Ả—êY™ÃbơĐ⒞ÃÉ°ŽĐb㠎ĐÉẨ™;ãU—mžÃœẨ—'đZ™ÃbơБ’“UŽăơДDâ)ð\;—ê—'âầúžẼɏ’â’đZ™;”ẢŽâ’žê½UY\ž;”DâUôe™;ãU—mžÃœaơẶ™;”DơБ

“UŽăơДDâð\;—ê—'âầúžÉ’â’đZ™;”ẢŽâ’žjŽĐ͒™;ơДDâU—'“ầàsả!ẺẼ‹ ”Džêà0É°ŽĐ™;ãU—ởabžÃ™™;”Dăj—ĐàsơẶœ’œa‘D”Ả—'“™ÃŽơĐâ’ơБẢÁJưꗷơ

ãU—'‘D”DđêơБÈơĐâ̙×'â’â’ơyàầơœaơẶ™;đbã1ơĐâ̙×'â’â’ơ)ơĐ⒓!ơFă”DđZ;ŽžÃ™Ãb”Ảœ!‘D”DâU—SơО\—Z›UơĐăjœa‘Ả—'žêà5Œm”Ả™;ã!ž;UÍažÃ™ÃbơẶ™Ã—(ơĐ⒓

ž;UœẨ—êbžÃ™ÃbơẶ™Ã—s”DâjơБD‘UđêơĐžÃ—'žê½Ẽá.”Dâ’ơБD‘ẢÁĐàЙ;ãU—Rž;U;ÉơĐđZ—sŒạơ'ẪЗ\ž;Uœ’œẨŽĐ;™Ã—'“ Í:Á(™;ãU—Ră(’‘Ả™;”D‘Dơ'ÁЗê;—'“jđZÁy‘D”D⒓U—ê'à

Œm㒔Dđbã”Dž ơБDžÃŽươĐâ”DăjœẨŽĐ;™;ơĐâ̙(”Dž;ž;U—)”Dâ“U—'ž;”Ảôâ’”DâUô·™;ãU—Fă”DđZ;ŽžÃ™Ãb”ẢœơĐâ̙×'â’â’ơО Žâă(’‘Ả™;”D‘Dơ'ÁЗê;—'“

đZÁy‘D”D⒓U—ê'à̔DžYđZŽâ’ž;”D“U—ê;—'“ầ½ẼỈ:Žăj—âU—ꌜaãU—'âUŽăj—'â’ơKơẶ;—\;—êẪЗ'ơБẢ—'“)É°ŽĐ0™;ãU—\đZŽơẶ™Ã—'“ăơẶ™Ã—êb”DơБaŒm㒔Dđbã

ƠTụ|ụ ˆẻwẫ@‡{†ặẻwỹ‰ÉỈƯXở5ờ˜ŽẾ‘ Ỏ é'ỳ ở5¡UŽUỎ é˜é ởaœ’œỲỎ éZụẢyé ³ ĩ  ởđÂmŽ-ờ˜—'ŸSữٗẳỚ'ởÙîNẾî:Ỏ

î:Ỏ ”D¡ Óy’¡đở ự ử’ặỠŽỠ³>ầ’ Íặ˜¡UẵUở(ỬỲ—Z³ÌÍ1—'” ỬŨ”ởSặ˜¡’“ ộỈŽ:Ž˜•Ĩ³vÓ:—'¡UẵtỬỲ—ẳŽẾ¡UẵUởậữšộ!”ẽ›y—'“ ỨBŽ˜™š—'¡Ĩ™;”Dặ˜‘

ắ:Ỏ ”D¡Óy’¡đở ự ử’ặỠŽỠ³>ầ’jÍặ˜¡UẵUởyỬỲ—Z³ÌÍ1—'”’ỬŨ”ởĨặ˜¡’“jộỈŽ:Ž˜•Ĩ³vÓ:—'¡UẵKỬỲ—ẳŽẾ¡UẵUởữ ự Ớ;—ẳ—ẳœa”D¡UẵẮÍặ'ờ˜—'žÁặ˜‘–ŽẾ¡Uẵ

ặ(ỨB—ẳỚ;Ừổ—'ằZ™;‘–  ự ŽẾ¡’“’’ằZ™;”D¡Uẵ ự  y‘D”D¡’“U—ẳỚợŒm”–™;ử)ặ(ỬỲŽẾž;žš ộ!ặỠẵẾ¡U—ẳ™;”Dằ ự ŽẾặỠ™;”D¡Uẵ|Ỏyở%ủ^ĐVĐVĐ

’Ì?dÑ LNF)ŸJޞ 'Kœ˜ k¸ÚœÚœÙ@OPFIK O@• çêDÙ@O@•žKœHOPEB¯Ù@Ù^D ACBEDGFIHJFIK LNFIK9OPB

ẳRãU—đZÁy‘D”D⒓Ub”DđêơБ\ẪЗ'đZ™ÃŽĐ!Œạơ'ẪЗɏ’â’đZ™;”ẢŽâ’žđêơĐâHÍẨ—1ôЗ'âU—êbơẶ™Ã—'“ É°;Žă

ɏ’â’đZ™;”ẢŽâž;”Dă”D‘DơẶb‘ẢÁĐ½BẳRãU—KžÃŽ‘Ả—'âUŽ”D“’ơБẨẪЗ'đZ™ÃŽĐ\Œạơ'ẪЗSɏ’â’đZ™;”ẢŽâ’žsơẶ;—Kô”ẢẪЗ'âÍ:Á

 ẳsrgỄẾ › n*u Ẩố6Hvq

 ẳsrgỄẾ › nẳ'

 ẳsrgỄẾ › nẳ'

 ẳsrgỄẾ ›

ơОÃÁyăjœ’™ÃŽĐ™;”Dđ\žÃ—êb”Ả—'žạđêơĐâ)ÍẨ—ơS™Ã—'“’”ẢŽ’ž0™;ơĐžÃ•5½¾‹ ÉỀ™;ãU—đê‘ẢŽžÃ—'“yỂẾÉ°ŽĐb㠗Z›yœ’;—'ž;ž;”ẢŽâÉ°ŽĐạ™;ãU—ơОÃÁyăjœ’™ÃŽĐ™;”Dđ

žÃ—êb”Ả—'žK”DžKœẨŽž;ž;”ẢÍa‘Ả—Đàầ™;ãU—b”Ảôã̙Kã’ơĐ⒓ž;”D“U—jŽĐÉ a½Lgù:½ù nKđZŽâÌẪЗê;ôЗ'ž ă(’đbãăjŽĐ;—bơẶœa”D“’‘ẢÁ·™;ã’ơĐâ

1 +

i

E ϕ

1 +

i z E

1 +

i z H

1 +

i

H ϕ

i z E

i

E ϕ

i z H

Ñ'?@> ß²HJB¯•ž˜uÛ OP˜˜uOP G•B¯•žKžyF}Ÿ9FIŸJOP G•M -¡  BEÒGFI˜ÝO@•ÔçêDÙ@O@•žKœHOPEB¯Ù@Ù^D

À.”–¤U;—Sí:½îJ4RR—a—'¢Z™;”–Ž¡·¥˜¡’“™šb¥˜¡’ž;Ÿ”Dž;ž;”–Ž¡)Ž˜¯.¥žš™;¥˜¡’“’”D¡U¤ ŒÁ¥'©˜—˜½

ẹ'?’ òỀHJBɕžĐuí OPĐĐuOPÁG•BɕžKžyF}ă9FIăJOPÁG•MÁ-âÁ BEềGFIĐÝO@•ễốởDỉ@O@•žKœHOPEBÉỉ@ỉ^D

2

2 ,ε Ế

ρ 2

á.”ẢôU;—eợ:½ợJ4$R—a—'đZ™;”ẢŽâơĐ⒓)™ÃbơĐ⒞;ă”Dž;ž;”ẢŽâ™;ãU;ŽUôãFơ(™;ãU;—ê—ZỂ>‘Dơ'ÁЗê;—'“đZÁy‘D”D⒓Ub”DđêơБaăj—'“’”D’ă4ș;ãU—

ŽU™ÃôЎ”DâUôjŒạơ'ẪЗ đêơĐžÃ—Đ½

1 ,ε µ

;—'ž;’‘–™;ž£½

ẳRãU— —'‘Ả—'đZ™Ãb”Dđởa—'‘D“8ð\;—ê—'âầúžÉ’â’đZ™;”ẢŽâ’žđêơĐâÍẨ—H“U—êb”ẢẪЗ'“ É°;Žă Ò ã’ơẶœ’™Ã—êợ:à!ŒmãU—ê;— ™;ãU—

ăj—'“’”Dơầeỵ ợ:à ỵ#ự sẾ½áUŽĐ(đZÁy‘D”D⒓Ub”DđêơБD‘ẢÁă(’‘Ả™;”D‘Dơ'ÁЗê;—'“ưăj—'“’”DơyàỀ™;ãU—“UÁơГ’”Dđð\;—ê—'âầúžeɏ’â’đZ™;”ẢŽâ’žã’ơ'ẪЗ

ự 6 ự ăơẶ™Ãb”ỡ›ăj—ê™;ãUŽy“’eụẶừ:àÃụ  sẾàẨơĐ⒓·ù:6·ù ăơẶ™Ãb”ỡ›ăj—ê™;ãUŽy“’eỵ ùẫsẾ½0ẳRãU—

¦p ¦@ž

g ½î¦“Wn

) Im( k z

) Re( k z

1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2

ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБ¾œaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbžK”Dâưá.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N41âpđrÒOuùJxủ:àăá-đrÒ2u ờạ âpđẳằ*u%ợJxừ:àăá-đẳằ*u ờạ âpđ†ắ*u ờ

Ậ\ž¾”Dâeừ sẾà̙;ãU—ạŽĐ™;ãU—êYđZŽăjœẨŽâU—'â̙;ž.ŽĐÉ5™;ãU—ạ—'‘Ả—'đZ™Ãb”Dđ0ởa—'‘D“ð\;—ê—'âầúž¾É’â’đZ™;”ẢŽâ’žÈÉ°ŽĐYđZÁy‘D”D⒓Ub”DđêơБD‘ẢÁ

ă(’‘Ả™;”D‘Dơ'ÁЗê;—'“ăj—'“’”Dơã’ơ'ẪЗ·ÍẨ—ê—'âŽĐ͒™;ơДDâU—'“É°ŽĐ)ơžÃœẨ—'đê”ỡở5đơĐâUô‘Ả—Đ½t‹vâ™;㒔DžjŒ0ŽĐ;•5àsŒ0—·—Z›y™Ã—'⒓

™;ãU—Œ0ŽĐ;•Í:Á”Dâ’đê‘D’“’”DâUô!ăjŽĐ;—·ơĐâUô‘Ả—'žjÉ°;Žă 1™ÃŽợ

“U—êôН;—ê—'žơĐ⒓œa‘ẢŽĐ™Ã™Ã—'“™;ãU—'ă”Dâ™;ãU;—ê—ZỂ

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 4.1

4.15 4.2 4.25 4.3 4.35 4.4 4.45

4.5 4.52 4.54 4.56 4.58 4.6 4.62

ầ.”–ẵẾUỚ;— ụ ĩJ4 ộ!ặỠẵẾ¡’”–™;’“U—Ž˜Ừj™;ửU—ð\Ớ;—ẳ—'¡đòžỈỪ’¡’ằZ™;”–ŽẾ¡HằZŽẾŸjœÙŽẾ¡U—'¡Ĩ™

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.6

1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2

á.”ẢôU;—

ự ỵ

ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБ¾œaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbžK”Dâưá.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N41âpđrÒOuùJxủ:àăá-đrÒ2u ờạ âpđẳằ*u%ợJxừ:àăá-đẳằ*u ờạ âpđ†ắ*u ờ

á.”ẢôU;— ự ụÂ4Kả!ơẶôâ’”Ả™;’“U— ŽĐÉY™;ãU—)ð\;—ê—'âầúžÉ’â’đZ™;”ẢŽâưđZŽăjœẨŽâU—'â̙1ã

á.”ẢôU;— ự ừJ4Kả!ơẶôâ’”Ả™;’“U— ŽĐÉ0™;ãU—)ð\;—ê—'âầúžeɏ’â’đZ™;”ẢŽâưđZŽăjœẨŽâU—'â̙*ã ÃOẩỊrỊ½Â¾ ½jẳRãU—j“’”Ả—'‘Ả—'đZ™Ãb”Dđ(ơĐ⒓

ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБ¾œaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbžK”Dâưá.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N41âpđrÒOuùJxủ:àăá-đrÒ2u ờạ âpđẳằ*u%ợJxừ:àăá-đẳằ*u ờạ âpđ†ắ*u ờ

1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7

á.”ẢôU;— ự  4Kả!ơẶôâ’”Ả™;’“U—jŽĐÉY™;ãU—)ð\;—ê—'âầúžeɏ’â’đZ™;”ẢŽâ1đZŽăjœẨŽâU—'â̙*ã

10 15 20 25 30 35 40 3.5

3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2

á.”ẢôU;— ự ờ y4ả!ơẶôâ’”Ả™;’“U—·ŽĐÉK™;ãU—ð\;—ê—'âầúž)ɏ’â’đZ™;”ẢŽâ,đZŽăjœẨŽâU—'â̙ ÃOÍặ

ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБ¾œaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbžK”Dâưá.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N41âpđrÒOuùJxủ:àăá-đrÒ2u ờạ âpđẳằ*u%ợJxừ:àăá-đẳằ*u ờạ âpđ†ắ*u ờ

4.2 4.25 4.3 4.35 4.4 4.45 4.5

á.”ẢôU;— ự ờĐờ 4ả!ơẶôâ’”Ả™;’“U—!ŽĐÉK™;ãU—ð\;—ê—'âầúžFɏ’â’đZ™;”ẢŽâđZŽăjœẨŽâU—'â̙ ÃOÍỊrỊ ½ ẳRãU—!“’”Ả—'‘Ả—'đZ™Ãb”Dđ·ơĐ⒓

ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБ¾œaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbžK”Dâưá.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N41âpđrÒOuùJxủ:àăá-đrÒ2u ờạ âpđẳằ*u%ợJxừ:àăá-đẳằ*u ờạ âpđ†ắ*u ờ

10 15 20 25 30 35 40 0.7

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

á.”ẢôU;— ự ờ ùJ4ả!ơẶôâ’”Ả™;’“U—!ŽĐÉK™;ãU—ð\;—ê—'âầúž)ɏ’â’đZ™;”ẢŽâđZŽăjœẨŽâU—'â̙ ÃOẩ›pỊ ½ ẳRãU—!“’”Ả—'‘Ả—'đZ™Ãb”Dđ·ơĐ⒓

ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБ¾œaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbžK”Dâưá.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N41âpđrÒOuùJxủ:àăá-đrÒ2u ờạ âpđẳằ*u%ợJxừ:àăá-đẳằ*u ờạ âpđ†ắ*u ờ

á.”ẢôU;— ự ờ ợJ4sả!ơẶôâ’”Ả™;’“U—eŽĐÉ.™;ãU—jð\;—ê—'âầúžRɏ’â’đZ™;”ẢŽâđZŽăjœẨŽâU—'â̙2ã ÃOẩặ

½Â¾

½ạẳRãU—K“’”Ả—'‘Ả—'đZ™Ãb”DđeơĐ⒓

ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБ¾œaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbžK”Dâưá.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N41âpđrÒOuùJxủ:àăá-đrÒ2u ờạ âpđẳằ*u%ợJxừ:àăá-đẳằ*u ờạ âpđ†ắ*u ờ

0 2 4 6

á.”ẢôU;— ự ờ ủJ4ả!ơẶôâ’”Ả™;’“U—!ŽĐÉK™;ãU—ð\;—ê—'âầúž)ɏ’â’đZ™;”ẢŽâđZŽăjœẨŽâU—'â̙ ÃO͛r› ½%ẳRãU—!“’”Ả—'‘Ả—'đZ™Ãb”Dđ·ơĐ⒓

ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБ¾œaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbžK”Dâưá.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N41âpđrÒOuùJxủ:àăá-đrÒ2u ờạ âpđẳằ*u%ợJxừ:àăá-đẳằ*u ờạ âpđ†ắ*u ờ

à¾ÍaU™jđZŽ-ẪЗêăjŽĐ;—

0 90 180 270

0 20 40 60 80

ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБ¾œaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbžK”Dâưá.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N41âpđrÒOuùJxủ:àăá-đrÒ2u ờạ âpđẳằ*u%ợJxừ:àăá-đẳằ*u ờạ âpđ†ắ*u ờ

0 90 180 270

0 2 4 6

ụÂ4ả!ơẶôâ’”Ả™;’“U—·ŽĐÉK™;ãU—1ð\;—ê—'âầúž)ɏ’â’đZ™;”ẢŽâ,đZŽăjœẨŽâU—'â̙ ÃOÍặẫặ ½

ôĐ—êŽăj—ê™Ãb”DđêơБ¾œaơẶbơĐăj—ê™Ã—êbžK”Dâưá.”ẢôU½ ự ùơẶ;—N41âpđrÒOuùJxủ:àăá-đrÒ2u ờạ âpđẳằ*u%ợJxừ:àăá-đẳằ*u ờạ âpđ†ắ*u ờ

á-đ†ắẵu

ờạ

0 90 180 270

0 50 100 150

ấRửU—jžšœaặỠ™;”Dặ˜‘¾“UŽẾŸặ˜”D¡ð\Ớ;—ẳ—'¡đòžKỪ’¡’ằZ™;”–ŽẾ¡’žeặỠỚ;—j™;ửU—”D¡Ĩờ˜—ẳỚbžš—ầUŽẾUỚb”–—ẳỚe™šỚbặ˜¡’žšỪổŽ˜ỚbŸ Ž˜Ừ0™;ửU—žšœÙ—'ằZ™šỚbặ˜‘

é Î_ î ÚÝDÿ

_ î ÚÝDÿ

î ÚÝDÿ

¥ „nÁŽ˜- ڝ

ŒmãU—ê;—ỄôSàNơ)àVƠ à*( ơẶ;—0™;ãU—0’âU•yâUŽ-ŒmâSđZŽ:—‹À)đê”Ả—'â̙;ž¾“U—ê™Ã—êbă”DâU—'“KÉ°;Žă ™;ãU—YÍẨŽ’â’“’ơẶ;ÁeđZŽâ’“’”Ả™;”ẢŽâ’žê½

áU;Žă :žê½Ẽgợ:½ỵ nsơĐ⒓’gợ:½ụNnbàa™;ãU— ễ đZŽăjœẨŽâU—'â̙;žmơẶ;—

ª´ùڝ

ÿ˜ÿ

y½NNNNNN ³ í:½

é'ÿïó

ó y½NNNNNN ³v󸽸óNô é y½NNNNNN ³v󸽸óNô é

ÃB¥¦»a‘–—§ï:½îJ4 ©¦¥˜‘D’¥¦™;”–Ž¡Ž˜¯Kb¥¦™;”–Žàefhgjikml5nporqUgjikml5ntsSŒmºU—£;—DlÇu

ÃB¥¦»a‘–—ï:½íJ4 ©¦¥˜‘D’¥¦™;”–Ž¡tŽ˜¯(b¥¦™;”–Žòefhgjikml5nporqUgjikml5nts ŒmºU—£;—’l¶u

y½NNNNNN

ø  éí˜í

y½NNNNNN

N

 ïíó

y½NNNNNN

 ïíó

y½NNNNNN

µ k g°Ž˜b“U—£¨u é Nn šO›mœ˜ k š1œ5›˜ g 6 ø Ÿ¥¦™šb”ë›n šO›mœ˜ k š1œ5› gî:6·î Ÿ¥¦™šb”ë›n

y½é N ÿyé ³V{¸ï:½í ˜ÿ ô ³@í ³ ½ó¦í N í ³@í³V{¸í:½ø  ôó˜ó ³@î ³ ½ó¦í N í ³@í)³V{¸í:½ø  ôó˜ó ³@î

í:½ôó é ó˜ó ³V{–y½é í˜ï˜ô˜ô ³ ½ÿN ï î ³@î³V{ é í˜í  í ³ ½ÿN ï î ³@î³V{ é í˜í  í

ø˜ø

y½é N ÿyé ³V{¸ï:½í ˜ÿ ô ³@í ³ ½ôó yé î ³@¸ózÄ{ é ï:½ô˜ôó¦ô ³ ½ôó yé î ³@¸ózÄ{ é ï:½ô˜ôó¦ô

í:½ôó é ó˜ój³V{–y½é í˜ï˜ô˜ô ³ î:½ó¦ô˜î˜í˜î ³@ ø zÄ{ é ï:½ô˜ô˜ï ³ î:½ó¦ô˜î˜í˜î ³@ ø zÄ{ é ï:½ô˜ô˜ï

é í:½¸óí³V{–y½ÿ ï˜í˜ï é ³ í:½é óï˜ô ³@ízÄ{ é ï:½ô˜ï ÿ ³ í:½é óï˜ô ³@ízÄ{ é ï:½ô˜ï ÿ

ó ½í˜ô ÿ#ø ³V{¸í:½ï ÿN í˜î ³ ½ø˜ø˜ø ï˜ô˜í ³@îzÄ{ éZø ½#ø ï ³ ½ø˜ø˜ø ï˜ô˜í ³@îzÄ{ éZø ½#ø ï

é Ny½ï˜íj³V{¸ï:½Nî ÿ ³@y½é ô˜ï˜î ÿ óvzÄ{ éZø ½íó é ³@y½é ô˜ï˜î ÿ óvzÄ{ éZø ½íó é

é í˜î:½ÿ#ø ïj³V{ ÿ ÿ í˜î˜îó ³@y½í˜î øyé ôzÄ{ é î:½ÿ í˜ô ø ³@y½í˜î øyé ôzÄ{ é î:½ÿ í˜ô ø

y½

ÿ#øî˜ô

î¸ó¸½ï é ³V{ é y½íó ÿ ³@y½ó¦ô #ø ô˜îzÄ{:󸽘ÿ í˜ï ³@y½ó¦ô #ø ô˜îzÄ{:󸽘ÿ í˜ï

ï í:½ï ôj³V{¸îó¸½é N ³ ï:½ï˜ô˜î ÿ ³V{¸í ÿ ÿ#ø ô˜î ³ ï:½ï˜ô˜î ÿ ³V{¸í ÿ ÿ#ø ô˜î

ïó¦ô:½ô ø ³V{¸î˜ô:½#ø î ³ ï:½ÿ ÿ#ø î³V{ ø í:½í ÿ˜ÿ î ³ ï:½ÿ ÿ#ø î³V{ ø í:½í ÿ˜ÿ î

ÿyé y½ø¸ÿyé ³V{¸íy½ï˜î˜í ³ ½î˜ï˜í  ï³V{ ø ½ó ø ³ ½î˜ï˜í  ï³V{ ø ½ó ø

ấBặỠữa‘–—ĩ:Ỏỳ ờỠặ˜‘D’ặỠ™;”–ŽẾ¡Ž˜Ừeð\Ớ;—ẳ—'¡đòž Ừ’¡’ằZ™;”–ŽẾ¡ằZŽẾŸjœÙŽẾ¡U—'¡Ĩ™

yỎé N ỳyé ³V{Ĩĩ:ỎẾắ ˜ỳ ô ³@Ếắ  îẾó ỳ N ³@Ếô³V{ ỳ ỳ ĩẾó   îẾó ỳ N ³@Ếô³V{ ỳ ỳ ĩẾó 

ắ:ỎôẾó é ó˜ó ³V{–yỎé ắ˜ĩ˜ô˜ô é ắẾóỠắ ụ ³@ ụ ³V{ ỳ ỳ ĩẾóỠô é ắẾóỠắ ụ ³@ ụ ³V{ ỳ ỳ ĩẾóỠô

é ắ:ỎĨóẾắj³V{–yỎỳ ĩ˜ắ˜ĩ é é ĩ ĩẾĩ˜ô ³@Ếắ³V{ ỳ ỳ ĩ ắ é ĩ ĩẾĩ˜ô ³@Ếắ³V{ ỳ ỳ ĩ ắ

ỳ é

é ỳój³V{

ỳ é

NẾắ

î yé Ỏ ụẢ ³V{ éZụ Ỏ ỳ ụ yỎóỠĩNẾî³V{ ỳ î˜ô:Ỏ˜ỳ  yỎóỠĩNẾî³V{ ỳ î˜ô:Ỏ˜ỳ 

ắ˜ắ˜ĩ:ỎN ỳ ³V{ é'ỳ ỎóỠĩẾắ yỎ ôẾî ˜ỳ ³V{ ỳ ỳ ĩ î yỎ ôẾî ˜ỳ ³V{ ỳ ỳ ĩ î

ắẾóỠô:Ỏ î³V{ é ô:Ỏ#ụĨỳ  é î ụ’é˜é îj³V{ ỳ î˜ắ:Ỏó N é î ụ’é˜é îj³V{ ỳ î˜ắ:Ỏó N

ụ î˜î:Ỏụ Ếĩj³V{Ĩî é é îẾắ é ĩ˜î é ³V{ ỳ îyỎô éZụ é ĩ˜î é ³V{ ỳ îyỎô éZụ

ụĨỳ#ụ ỎóỠô˜ắj³V{Ĩî˜ắ:Ỏî˜ắ  é ô é ỳ ³V{ ỳyé óĨỎô˜ĩ é ô é ỳ ³V{ ỳyé óĨỎô˜ĩ

ĩẾĩ:Ỏắ îj³V{Ĩî˜ĩ:Ỏî ỳN˜ỳ î:Ỏ ˜ỳ#ụ’é ³V{ ỳyéZụ Ỏ ˜ỳ î:Ỏ ˜ỳ#ụ’é ³V{ ỳyéZụ Ỏ ˜ỳ

ĩ ắ:Ỏĩ ôj³V{ĨîẾóĨỎé N î:Ỏắ˜ô ỳN ôj³V{ ỳyé˜é Ỏắ˜ắẾó î:Ỏắ˜ô ỳN ôj³V{ ỳyé˜é Ỏắ˜ắẾó

ĩẾóỠô:Ỏô ụ ³V{Ĩî˜ô:Ỏ#ụ Ếî î:Ỏỳ˜ỳ#ụ˜ụ ³V{ ỳ Ếô:Ỏé ụ î:Ỏỳ˜ỳ#ụ˜ụ ³V{ ỳ Ếô:Ỏé ụ

ỳyé yỎụĨỳyé ³V{ĨắyỎĩ˜î˜ắ î:Ỏ î ỳ ắj³V{ ỳ Ếĩ:ỎîẾĩ î:Ỏ î ỳ ắ³ ỳ Ếĩ:ỎîẾĩ

™;º’¥˜¡™;º’¥¦™R¯°Ž˜R™;ºU—K‘D¥¦™š™š—£mŽ¡U—˜½

ơĐđZ™;’ơБD‘ẢÁj™;ãU—ơẶœ’œa‘D”DđêơẶ™;”ẢŽâŽĐÉỀ™;ãU—ỳ.K’ăăj—ê'úžY™ÃbơĐ⒞ÃÉ°ŽĐbăHe ùẫsỀÉ°ŽĐ0™;ãU—ež;‘ẢŽ-Œm‘ẢÁđZŽâÌẪЗê;ôЗ'â̙RžÃ—êb”Ả—'žê½

“UŽăơДDâjă”ỡ›y—'“jœẨŽĐ™Ã—'â̙;”DơБẨð\;—ê—'âầúžẼɏ’â’đZ™;”ẢŽâ’ž.Œm”D‘D‘:ÍẨ—m“U—êb”ẢẪЗ'“”Dâjž;UÍažÃ—'đZ™;”ẢŽâ ỵ ờ ù:àyÉ°Ž‘D‘ẢŽ-Œ0—'“Í:Á

ÆRª ˜ã%$

žš—£—'¡F¯°;ŽŸoÀ.”–¤U½ ÿ é ½YÀ.”–¤U;— ÿ é ž;ºUŽ-ŒmžÁ™;º’¥¦™s™;ºU—eŸ¥¦¤¡’”–™;’“U—\Ž˜¯Äe~”ž–g é é n;Î é s¬”DžÁ©˜—£; )ž;Ÿ¥˜‘D‘

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

¢ZŽ¡¸©˜—£;¤˜—'ž\Ÿ(’¢bº

¯¥˜žš™š—£\™;º’¥˜¡Dו¦pmƒmÙ

9ÚÆNÛÆ Ü

z vڝ

zù ڝ

ẳRãU—ž;ơĐăj—™Ã;—'ơẶ™;ăj—'â̙đêơĐâkÍẨ—ơẶœ’œa‘D”Ả—'“H™ÃŽ g ½ợÂn!ơОư™ÃŽ g ½ùĐừẢnb½ÀẳRãU—žÃ—êb”Ả—'žư”D⠙;ãU—ởabžÃ™

ž;’ăăơẶ™;”ẢŽâK”DžỀÉơĐžÃ™B“U—'đêơ'Áy”DâUô\ơĐ⒓K™;ãU—YžÃ—'đZŽâ’“(ž;’ăăơẶ™;”ẢŽâK”DâFgỵ ợÂnỀã’ơОBơmđê‘ẢŽžÃ—'“yỂẾÉ°ŽĐbă žÃŽ‘DU™;”ẢŽâ

iJÁẼu ủ ăăàWâpđêẵu ùJxyà-âpđpžẼu ủJxyàWá-đêẵu™á-đpžẼu ờ àẨơĐ⒓ŽĐœẨ—êbơẶ™;”DâUôÉ°;— :U—'â’đZÁẶIu ụÂxủ)ðẵXưĐ½

ẳRãU—êÁ ơẶ;—\ž;ãUŽ-Œmâ”Dâá.”Ảôžê½ ỵ ợ-Ể ỵ ủ:½sỈy’ăăơẶ™;”ẢŽâUœ™ÃŽ ờ K—'”ẢôЗ'â’ăjŽy“U—'žêà:ơẶÉ°™Ã—ê0™;ãU—Ẽ :’ơО;”ỡỂ>žÃ™;ơẶ™;”Dđ

Real(k z )

← Real part of spectrum for G φ

← Imaginary part of spectrum for G φ

á.”ẢôU;— ỵ ợJ4(Ỉ:œẨ—'đZ™ÃbơБ¾“UŽăơДDâ1ă”ỡ›y—'“!œẨŽĐ™Ã—'â̙;”DơБYð\;—ê—'âầúžeɏ’â’đZ™;”ẢŽâ’Ứ

Êmỉ9ÂĩặNíặ ị

¥˜‘–Ž¡U¤!™;ºU—·¹:‹v­ ŒmºU—£;—“ßG“uÓyxî:ª0ß-žu é yªY¥˜¡’“’ß- u é˜é ¯°Ž˜jžš™šb’¢Z™;U;—Fž;ºUŽ-Œm¡”D¡À.”–¤U½¾ï:½ é

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 3.5

3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3

ầ.”–ẵẾUỚ;— ỳ óẢ4sÓ:œaặỠ™;”Dặ˜‘đ“UŽẾŸặ˜”D¡Ỉð\Ớ;—ẳ—'¡đòžRỪ’¡’ằZ™;”–ŽẾ¡ằZŽẾŸjœÙŽẾ¡U—'¡Ĩ™;ž šOâậÉậ ặ˜¡’“ šOâ›r› ặỠ™ Ô ị Ô u>yxĩ:Ỏ

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 0.5

0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9