khai triển tường minh các hệ mô hình đơn nguyên

trình bày về khai triển tường minh các hệ mô hình đơn nguyên

CHUONG 2 KHAI TRIEN TUGNG MINH CAC HE MO HINH DON NGUYEN

Nội dung chính của chương này là khai triển tường minh một hệ đơn

nguyên thành nối của hai hệ đơn nguyên Chúng tôi khai triển hệ theo tính chính quy của hàm truyền và khai triển theo không gian con bất biến Sau đó

chúng tôi so sánh giữa hai cách khai triển này

Cho hệ động lực tuyến tính œ=(X.U,V,A,B,C,D) Không gian Xe=yA*BU được gọi là không gian điều khiển được của hệ Không gian xị= vA *X C*V được gọi là không gian quan sát được của hệ Hệ œ được gọi là đơn giản nếu X = XẾv XE, được gọi là tối thiểu nếu X= XC= x9 He được gọi là đơn nguyên nếu toán tử

Cc D

là đơn nguyên Ta có kết quả : nếu hai hệ œ¡, œ; là đơn nguyên thì hệ tích nối tiếp œ = œœ là đơn nguyên

2.1 Khai triển tường minh hệ mô hình đơn nguyên theo nhân tử hóa

chính quy cửa hàm truyền

Theo định lý Livsis - Brodski, hệ đơn giản và đơn nguyên thì được xác định duy nhất theo hàm truyền cho trước; nên để khai triển hệ ta có thể dùng

hệ mô hình của Nagy- Foias mà không làm mắt tính tổng quát của bài toán

Cho 9,(z) e Ø(U¿,V,), U; = Vị Giả sử hàm truyền 9(z) = 0,(z)0,(2) của hệ œ có nhân tử hóa chính quy, nghĩa là khi đó toán tử

Z: Ahr> Az0ih®Aih

sau thác triển tuyến tính liên tục là toán tử đơn nguyên từ không gian AL;(U)

lên không gian AsLạ(U;)®A¡L;(U¡);trong đó U,=U, V;=V Ta xây dựng

tường minh hai hệ đơn giản , đơn nguyên œ, và a, có hàm truyền tương ứng là 9g, (2) = 81 (Z),84,, (Z) = 82(Z) sao cho a = 040

Do Q(z) = 9,(z)0,(z) là chính quy nên toán tử Z là đơn nguyên Do đó

không gian AL;(U được Z chuyển thành tổng trực tiếp của hai không gian

AzL;(U¿) và A¡L¿(U,) nên thay vì khai triển hệ œ trên không gian trạng thái X với hai thành phần Lj(V) và AL;(U), ta có thể khai triển trên hệ ở với không gian trạng tháiÑ có ba thành phn thuộc L?(V), AzL;(U;) và

AiL¿(U¡)và các toán tử Â,Ô,Ê,Ô như sau

Ä=[L?(V)®A;Lz(U;)®A,L¿(0,){(6o®A;8,o®A,)/øeL?(U)}

(2.2) Ấ(o®w®ð9) =(e""(o(e*)~ o(0)) ®e"hự(e")®e "e(e")) (23)

B= [BEDE MO ng AEE 9 NED), e e e (2.4)

Dat

Ä¡ =Í(@;k®©A;k@/keL3(U2),Le AjLa(U,)}e

{®: 9,0 © A,0,0 A\@)/aeL3(U)}

X, =[L4(V) @AzL (Up) © 0)]o{(0,0 © A,@60)/aeLi(Uy)},

Nagy- Foias đã chứng minh được X= x ex, va x, là không gian con bất

biến của toán tử Â

Ta xây dựng hai hệ ê;, Ê; như sau

ô,=(Ñ,,U¡,Vị,Â,,Ê, ,Ê¡ ,Ôi),ô; =Cÿ,U¿,Vạ,Â;,B;,Ê;,Ô;),

á ={(6;k®A;k©@)/ke13(U;),1e AiL;(U,)}©

k(e*)— k(0)

e'

ue"), ), (28) e"

or [z@ ®A,L;()® O36 {0,08 A,@@0)/we L4(U2)}, (2.12)

¿Œ ®g®0)=(e"*(f(e*) ~f(0)) ®e “g(e") @0), (2.13)

B,u=(e"(6,(e") -6,(0))u@e"A,,(e*)u@ 0), (2.14)

20

Khi đó ta có

Định lý 2.1

Hệ đơn giản, đơn nguyên & dạng (2.2) - (2.6) được khai triển tưởng minh thành hai hệ đơn giản, đơn nguyên ô ,và &;, & = &;ê; theo công thức

(2.7) - (2.16)

Chứng minh

Theo định lý Nagy-Foias ta có X = x, ® x Ta chứng minh các toán tử

của các hệ ô ;và đ; dịnh nghĩa như trên được xác định

Ta có A, là toán tử tử không gian X, vao ấy: That vay, vik €L$(U,) nên

it

a có X€ )~XU) =1 >(U,), Hơn nữa do kel)(U;), leAjL2(D) ; e

(®k,A>k,1) thuộc không gian X; néu va chi néu 67k+Ail thuộc không gian L;(U¡) Do đó với (9;k,A;k,)) eÑ, ta có

os HHO) A, = _ 8i(e")k(e” * Ay (ee) _ đc A49

thuộc không gian L;(U¡)

Vay A,(05k,A>k,)) € X;

Ké dén B; 1a todn ti tit U, vao X, vi ta cé

6,(e")-8,(0 AG 2 iC dy c1(U;) 4

va

Ay(e") u

GC) 1 2A (gk) 19”), B_gtreity

Các toán tử cỏn lại hiển nhiên được xác định

Bây giò ta chứng minh ê= ô;ô; Ta kiểm tra được

(Â,P, +Â;P; +Ô;Ê,P,)(o,ự,ð) =

= ¡(62k,Azk,D) + Âz(@~ 6;k,ự = Azk,0) + Ô;Ê;(62k,A;k,D)

it it

=lse (ei KD - = HO) 1 (eine): : —k(), le OI

+96")= 82(e*)k(e*)~ @(0)+ 9;(0)k(0) wel) = Aa(et)k(e")

it

BIA) 529 vớ, age ^zŒ ) 0p

et

-9@")=ø(0) yee") ae"),

eit 2 et ° eit

=Â(0,V,9),

(B, + B,D, u=B,u+B,(0, (Ou) =

it

CHOI 0,0), Ae) ˆ9,(000)=

- Ee ule) = 9(0)0, (0) ¡A2 6), AI)

2

it it it it

== 20), Arle = sul lu

=Bu,

(Ê;P; + Ô;Ê;P,)(@,V„8)=

=Ê;(ø — 82k, — Azk.0)+Ô¿Ê,(8;k,A¿k,l)

=0(0) = 9z(0)k(0) + Ô;(k(0))

=0(0) = 8;(0)k(0) + 92(0)k(0)

=9(0)

=Ê(@,V,0),

Ô;Ô¡u =9;(0)9,(0)u=9(0)u=Ôu

Vì X=X, @X, và các toán tử của các hệ ô¡,&;,Ô thoả mãn các đẳng thức của tích nối tiếp nên ta có = 66

Hé 6 được xây dựng theo mô hình của Nagy-Foias nên hệ ô; đơn giản, đơn nguyên và có hàm truyền là 0;(z).Để chứng minh hệ ê, là đơn giản,

đơn nguyên có hàm truyền là 0,(2), ta xét hệ œ; = ( X,,U,,V,,A,,B,,C,,D,)

xây dựng theo mô hình Nagy- Foias ứng với hàm truyền 6,(z) Gọi

X, =[L3(V) ©A,L, 0) fo {0,0 4,0)/aeL3U,)}

là không gian trạng thái của hệ œ¡, ta xét toán tử

1:X:> &,

(k@N)H(OkOA,kO)

Toán tử T được xác dinh vi tacé (k@ 1) thuộc không gian X nếu và chỉ nếu O;k+Ayl thuộc L2(U,), và điều sau xảy ra nếu và chỉ nếu (0k @ A,k 1) thuộc không gian béo

Hiển nhiên toán tử T là toàn ánh Với hai phần tử bát kỳ (k,® l,) „

(Œ&¿@ l,) thuộc X,, ta có :

(Pky @1,),.(k, ® 1))g, = (80k, 29k) + (Ark, Ark) + (hi sly)

= (0302k; +A3k;,k2)+ (Ii 12)

= (ky ,k2)+ (yl)

= ((k, ®1,),(ky 1a), « Như vậy T là toán tử đơn nguyên Ngoài ra ta dé dàng kiểm tra được

TA¡ =¡T; TBị =Ô, ; C¡ =ÊjT ; Ôi =Dj

Do đó hệ ô¡tương đương đơn nguyên với hệ œ,; nên hệ &, don gidn, don nguyên và có hàm truyền là 9,(2)

Xét 2 =1@ Z: X —› ÄÑ, vì Z là đơn nguyên nên 2 đơn nguyên Đặt X.= 2 4Ã) = {0;k, Z"!{A;k,D) :ke1$(U;),IeA¡L¿(U,) $e

{(0o, Ao)/œeL?(U) }

X;=2_'(Ä,={1?(V)®Z1(A2L;(U;)®{0))}©{6;k,Z'(A;k,0):ke 12(U;)}

thì X; bất biến đối với A, X = X,®X,, cdc hê a, = (X,,U;,V¡,A,,B,,C,,D,),

œ; = Œ,,U;,V;,A;,B;„,C;,D,) đơn giản, đơn nguyên có hàm truyền lần lượt là 9;(2), 6;(z) ; và tử &= ô;ô; ta suy ra œ = œ0

24

Định lý đã được chứng minh

2.2 Khai triển tường minh hệ đơn nguyên theo không gian con bất biến Cho hệ đơn nguyên œ = ( X,U,V,A,B,C,D ) va X, là không gian con bất biến đối với A Ta xây dựng tưởng minh hai hệ đơn nguyên a, va a , cd không gian trạng thái tung ung la X, = KOX, va X, sao cho a= ay,

Việc khai triển hệ trong phần này được dựa vào ý của bài [36], trong đó Brodskii đã chứng mỉnh được sự tổn tại của các hệ con œ,,œ; sao cho œ = œ0,

Ta dễ dàng thấy hệ œ là đơn nguyên nếu và chí nếu các hệ thức sau đây

dược thỏa:

LA*A=C*C, J-AA* = BB*, I-D*D =B*B,

I-DD* =CC*,

-A*B =C*D

Do giả thiết không gian con X; là bất biến đối với A nên T(X,) nam

trong khéng gian X,®V, trong dé T duige định nghĩa bởi (2.1) Giả sử R là

phần bù trực giao của không gian TỢX,) trong X;©V, R=[X,®V]OT(X,) Bây giỏ ta xây dung hai hé a, = ( X,,U;,V;,A),B,,C,,D, ) va

Gly =(X,U),V2,Ay,B,,C,,D, ) với Ủy = V, =R., như Sau :

B, = PB, (2.19)

B,:R > X;;B;@&;@v)=x;, (2.24) D,:R -> V ;D;@x;@v) = v (2.25) Khi đó ta có kết quả sau

Định lý 2.2

Hệ đơn nguyên œ có thể khai triển tường mỉnh thành hai hệ đơn nguyên

ơ, , œ„, được định nghĩa bằng các công thức (2.17) - (2.25), và œ = œ; 0 Chúng minh

Hiển nhiên các toán tử A;, Bị, A;, B;, C;, D; được xác định Để chứng

mỉnh C, và D, được xác định, trước hết ta có nhận xét là với mọi

x;eX,, veV, x;®v thuộc R nếu và chỉ nếu A2X; + Cov = 0 Thực vậy,

x;®v eR ©(x; ® v,Tx2) X2@V =0, Vx;eX;

© (x7 ®v,Ax5 ®Cx4) ( Xaev =0, Wx;eX;

© (xo, A2zX?)x, +(.CzX?)y=0, Vx2eX;

@(A 9X2 + Cy, xo) =), Vx;eX;

X2

26

© Ajx, +Chv=0

V6i todn tt C, định nghia bdi C,x, = P,A( x, @ 0) © C(x, @ 0), tacd

A>P,A(x, @0)+C3C(x, @0)= P, A“A(x, ©0) +P,C*C(x, 60)

=P,(A°A+C°C)(x, ®0),

do hệ œ là đơn nguyên, nên đẳng thức này dẫn đến

A3P,A(x, © 0)+C5C (x; O0)=PyIy (x, 0)=0

Vậy C,x, e R và C¡ là một toán tử tử X, vào R Với toán tử D, định nghĩa bởi D,u = P;Bu ® Du, ta có D, là một toán tử từ U vào R Thực vậy, từ hệ thức

-A'B=CTD

ta suy ra voi moi ucU

-P,A*Bu=P,C*Du

= -A;P;Bu=C?2Du

= A2P;Bu+C?2Du =0

Do đó P;Bu ® Du e R

Bây giò ta chứng mỉnh các toán tử cuả các hệ œ, œ;, œ„ thỏa mãn các đẳng thúc của tích nối tiếp

AP, + A.P, +B,CP,= Aly +Aly, +BalPrAlx, ®@C|x,]

= BAly, +Aly, +PA|

= Aly, +ALL =A,

B, + B,D, = P,B+B, [P,B® D]

P,B+P,B

= B,

C;P;+D¿C¡P, =C|x, + Dạ[P;A|„ ®C|x,]

=¢ X> +C|x,

=C,

D, D, =D, [P,B @ D]

=D;

Cuối cùng , ta chứng minh các hệ œ,,, œ; định nghĩa như trên là các hệ đơn nguyên

Xét hệ ơ; với toán tử

T,=

C, D; } X,®R -> X;®V=T(Œ,)®R

Với bất ky x, e Ä;, ta có

T;(áx; ® 0) = A(x, ® 0) ® C(x, © 0)

và với bat ky r = x;®v thuộc R, ta có

T;(0 ®r) =B„r® Dựr

=x%,Ov

Từ (2.26) va (2.27) dẫn đến T;=T|x, ®Ig Vì T là toán tử đơn nguyên nên T; cũng đơn nguyên

28

Dé chuing minh ơœ, là đơn nguyên, trước hết ta chúng minh,

T=(1, ® Ix, )1x; eT) trong đó

i Ai Bị

Cc, D

Ta có

Ix, 0 0

Ix,®T=| 0 Ai Bị

0 Cc, D,

la todn ti ti X,®X,OU vao X,OX,OR, và

(A, 0 By T,@l„ =| 0 Ty, 0

C 0 Dạ}

là toán tử từ X;®X,@R vào X;©X,®V

C2 0 D0 PAl, SC, P,B@D

(Ar By(PAl, ®Cl,) B2(PB@D)

=| 0 PAly, PB C; D¿(Œ;A|, ©@C|) D;(P;B@D)

A, PAly, PB

=| 0 BA PBI

C dy, »D

VIP,B+P,B=B, C;+C|, =C|, +C|„ =C,

A, +PAly, +P, Alx, = Alx, +Aly = A, nén ma tran trên chính là toán tử

T= CD từ X@U vào X®V, trong do X = X,OX,

Vậy (1x, ®T¡) =(T; ®1ự, )~ÌT Từ kết quả T và T; là đơn nguyên, ta kết

luận T; là đơn nguyên và định lý được chứng minh

2.3 Mối liên hệ giữa sự khai triển hệ đơn nguyên theo tính chính quy cửa

hàm truyền và theo không gian con bất biến

Nhận xét rằng trong trường hợp khai triển đâu, cho trước nệ œ có hàm

truyền 0(z) có nhân tử hóa chính quy 9)= 9;(z)9,(z), khi đó không gian trung gian U; cũng đã được cho trước Trong trưởng hợp khai triển thứ hai,

cho trước hệ œ với không gian con Ä; bất biến đối với A, khi đó không gian

trung gian chưa được cho trước; ta chọn không gian này là R = [X,@V]OT(X,) Tuy nhiên ta có thể chứng minh hai không gian U; và R này tương đương đơn nguyên với nhau

Định lý 2.3

Cho œ = (X,U,V,A,B,C,D) là hệ đơn giản, đơn nguyên xây dựng theo

mô hình Nagy-Foias Giả sử hàm truyền 9(2) của hệ œ có nhân tử hóa chính

30

quy 0(z)= 9, (z)8, (z), 9(z) e ZXU,V), 9, (z) e (U¿,V,), k=1,2, U = U,, V=

V¿, U, = V,, và giả sử Ä; là không gian con bất biến đối với A Khi đó

khong gian U, tong dudng don nguyén vdi khong gian R = [X,OV]OT(X, )

qua toán tử A được định nghĩa như sau

A:U, >R,

Au = (e*(0,(e) - 0,(0))u, e“A,(e")u ) © 0,(0)u

Chứng minh

Trước hết A được xác định vì ta có

_ =((9;(e*)~9;(0)u~8;(e")@,Az(e")u= Az(e")œ]+

(8;(0)u~6z(e")65(0)0;(0)u,=Az(e")62(0)62(0)u),

trong đó

œ=2- | pies cet) 9;(e us 9;(0) tet, (eit) Ane ) dt

21m 0 et et

2n * :

= 3 {u~63(e*)8z(0)u}dt =u—62(0)9;(0)u

Kết quả này dẫn đến

"“—==_-_ =0

e

et

Dodo Aue R

Ta chứng minh rằng A bảo toàn tích vô hướng Thực vậy

it it

it) _ it) _

A it A it

+ (2266s, 26.) +(8;(0)u,6;(0)u;}

Lạ(U2)

==(8;(e")u¡,6;(0)u;)+ (92(0)u,,8z(0)u;)~

~(9;(0)u¡,6;(e*)u;)+(62(0)u¡,82(00u;)+ (uị,u2)

=(uy,U2)

Kế đến ta chting minh A 1a toan ánh

Giả sử (,,v) e R©AU;, ta sẽ chứng minh (@,u,v) = 0

Thật vậy, với bất kỳ (o,u,v)eR, ta có ((@,\,v), Au) = 0 với mọi ueU; nếu và

chỉ nếu các điều kiện sau đây được thỏa

f

Điều kiện (2.30) tương đương với

(c* (29 + Asw),u)— (e"@,62(0)u) + (v,92(0)0) = 0

Diéu nay dan dén

(o,u)- (c*,62(O)u) +(v,82(0)u) = 0,

2 *

trong đó duet ƒ e*(6050+A;)dt eU;

2m ọ

32

Mặt khác, ta có ọ e L?(V), 8,(0)u € Up, nén

{e"o, 9;(0)u)=0

Như vậy điều kiện (2.30) tương đương với điều kiện (o +05(0)v, u) =0 với

mọi u thuộc U; Từ đó suy ra œ+65(0)v =0

Điều kiện (2.29) tương đương với

e“g(e") -,(e")@ +v—-6,(e*)05(0)v =0, (231) fore? -A,x(e")@— A,(e")85(0)v =0 (2.32) Điều kiện (2.31) dẫn đến

et@(e#) + y =6;(e*)[@ +63(0)v]=0

Do đó @(e") =e"*ý eL2(V).Vì ọe LỆ(V) ta phải có = 0 và do đó v =0

Điều kiện (2.32) dẫn đến

e“ự(e*) = Az(e*)[o + 63(0)v] =0,

doddy=0 |

Ta da ching minh duigc ROAU, = {0} nên ta kết luận A là toàn ánh Cụ thể,

bằng vài phép tính ta xác định được

A1(0,V,v) =@+63(0)v, trong dé = ƒe"(850+As)dt

TU ọ

Vậy A là toàn ánh và định lý được chứng minh

Ngoài kết quả U; và R tương đương đơn nguyên, ta còn nhận xét các

toán tử A¿, B;, C;, D; có thể xem là như nhau trong hai trường hợp khai triển.

Thật vậy, vì œ = 0,0, nén A, = Aly, Ca =qy, Trong trường hợp khai triển đầu ta có

B;ạu= Px, (Au); D ju = Py, (Au);B;u+D;u = Au,

trong trưởng hợp sau ta có

Bzu= Px,u;Dạu = Pv,u;B;u + Dạu =u

Một khi œ„ được xây dựng, a, được xác định duy nhất theo œ; tử hệ thức

Œ=0;0

34