Cơ học cơ bản (Dao động và sóng cơ, nhiệt động lực học)

Вектор мгновенной скорости в данный момент времени направлен по касательной к траектории в данной точке рис.. 18 Таким образом, вектор скорости характеризует быстроту изменения перемеще

Излагаются физические основы механики, колебания и волны в соответствии с программой общего курса физики для технических вузов

Особое внимание уделяется раскрытию физического смысла, содержания основных положений и понятий статистической физики, а также практическому применению рассматриваемых явлений с учетом выводов классической, релятивистской

и квантовой механики

Предназначено студентам 2-го курса дистанционного обучения, может использоваться студентами очной формы обучения, аспирантами и преподавателями физики

Лекция 1

Процессы физического мышления о происхождении и эволюции Вселенной текут на волнах пространства-времени Автор

электромагнитное поле, гравитационное и ряд

других Различные виды материи могут взаимодействовать и превращаться друг в друга

2 Электромагнитные взаимодействия – самые распространѐнные в

природе в наше время, управляют движением и взаимодействием заряженных тел и частиц, включая фотоны, превышают гравитационные силы в 1036

раз, являются как силами притяжения, так и силами отталкивания

3 Слабые взаимодействия управляют взаимопревращением элементарных частиц, кроме фотонов, превышают гравитационные в 10 25

3 Основные методы научного познания

Процесс познания и установления законов физики сложен и многообразен Перед физикой как строгой наукой стоят следующие задачи:

а) исследовать явления природы и установить законы, которым они подчиняются; б) установить причинно-следственную связь между открытыми явлениями и явлениями, изученными ранее, расширить их

Для решения этих и других задач используются следующие методы:

1) наблюдение, т е изучение явлений в природной обстановке;

2) эксперимент – изучение явлений путем их воспроизведения в

лабораторной обстановке Эксперимент имеет большое преимущество перед наблюдением, так как позволяет иногда ускорить, или замедлить наблюдаемое явление, а также многократно его повторить;

Все физические законы установлены на основании опытов Крупные физические открытия рано или поздно приводят к техническим переворотам, созданию новых отраслей науки и техники, новых технологий

В современную эпоху на просторы практического применения вышли ядерная энергетика, проблемы освоения Космоса, нанотехнологии в производстве и т д

Удалось завершить исследовательскую программу Единой Теории Поля, которая и привела к уравнениям физического вакуума

Точные решения системы уравнений физического вакуума описывают

не только гравитационные, электромагнитные, слабые и ядерные (сильные) взаимодействия (поля), но и новые торсионные поля (поля кручения), являющиеся носителями информации

Новая парадигма позволила существенно расширить наше понимание природных явлений

На основе новой парадигмы были предсказаны необычные свойства торсионных полей За первое десятилетие ХХI века удалось разработать в России комплекс торсионных технологий

Непрерывно по восходящей спирали идѐт развитие науки Человечество всѐ более глубоко и всесторонне проникает в сущность окружающего его материального мира Процесс познания окружающего нас мира бесконечен, как бесконечна и вечна Природа

Для успешного изучения физики необходимо понять, что она не свод законов и формул, а стройная система взаимосвязанных явлений Природы

4 Свойства симметрии пространства–времени

Основные законы физики: закон сохранения вектора момента импульса, закон сохранения вектора импульса, закон сохранения энергии, связаны со свойствами симметрии пространства и времени, а именно: изотропностью и однородностью пространства и однородностью времени

В пространстве, свободном от массивных тел, все направления равноценны, т е свободное пространство изотропно, так как в нем нет выделенных направлений, имеющих особые свойства В то же время пространство однородно, т е в нем нет точек, обладающих особыми свойствами Однородным является и время Любые явления, происходящие в одних и тех же условиях, но в разные моменты времени, протекают одинаково

Поскольку пространство изотропно и однородно, то для любых систем отсчета невозможно определить положение тел относительно пространства

С точки зрения какой-либо системы отсчета пространство и время относительны, как и относительно всякое движение Каждый закон ограничен определенной областью применения

Например, закон сохранения вектора импульса является универсальным и используется как в классической, так и квантовой

механике Такие законы называют фундаментальными При этом

необходимо знать размеры исследуемой области пространства, так как от этого зависит характер физических явлений или взаимодействий

Физика сложная, но и интересная наука, включает в себя несколько разделов, начиная от механики больших тел до тел малых размеров, например, элементарных частиц По астрономическим данным во Вселенной элементарные частицы составляют 5 % материи, обнаружено 20 %, темной (невидимой) материи, и 75% темной (невидимой) энергии, которая стремится расширить Вселенную Изучение законов физики и философское осмысление

ее открытий, играет важную роль в формировании научного миропонимания

Замечание: По последним данным все пространство заполнено

физическим вакуумом (эфиром), который является неоднородным и поляризованным

5 Физика и математика

Выражения, характеризующие процесс предельного перехода, которым определяется производная в математике (дифференцирование), вводятся как единое целое, например, соотношение dp/dt – производная импульса по

времени, а в применении к физике dp и dt рассматривается как бесконечно

малое приращение Используя приложения математики в физике, следует учитывать то обстоятельство, что физические величины получены в

результате конкретных измерений Предельный переход типа t 0 в физике понимается как максимально возможно приближенная физическая величина, зависящая от класса точности прибора и методов измерения Следовательно, в физике производная есть отношение конечных, но достаточно малых приращений функции и аргумента Это не единственная причина, есть и другие, обусловленные самой природой физической величины Например, в квантовой механике об этом свидетельствуют

где стремление к нулю ( V 0) надо понимать в физическом смысле, так как объем может быть ограничен размером атома или другой элементарной частицы из-за квантового характера рассматриваемых конкретных физических объектов Также обстоит дело и с интегрированием, которое в физике рассматривается как сумма большого числа бесконечно малых слагаемых

В связи с тем, что многие физические величины являются векторными (скорость, ускорение, сила, импульс и т д.), в физике широко используются понятие вектора и операции векторной алгебры

6 Классическая, релятивистская, квантовая механики, физический вакуум

Классическая механика является предельным случаем релятивистской механики Движения тел, скорости которых сравнимы со скоростью света в вакууме, называют релятивистскими

Например, движения планет, спутников, космических кораблей относятся к медленным движениям и полностью описываются классической механикой На основании теории относительности была создана релятивистская механика, применимая не только к медленным, но и сколь угодно быстрым движениям, сравнимым со скоростью света в вакууме

Успешная работа ускорителей по разгону элементарных частиц подтвердила справедливость выводов релятивистской механики

Например, если гравитационное поле является сверхсильным, то классическая теория тяготения Ньютона к нему не применима В этом случае

используется теория тяготения Эйнштейна Так, при сжатии тела в точку сила тяготения по теории Ньютона стремится к бесконечности

По теории Эйнштейна сила тяготения также стремится к бесконечности, когда размеры тела при сжатии его становятся равными гравитационному радиусу Теория тяготения Эйнштейна связала свойства пространства и времени с силами гравитации

В сильном поле тяготения время течет медленнее, а геометрические

свойства пространства изменяются Геометрия Евклида оказывается неприменимой и начинает работать геометрия Лобачевского – Римана – Клиффорда Пространство не только искривлено, но и скручено

При изучении микромира: атомов, молекул, электронов и других элементарных частиц, свойства которых носят особый квантовый характер, используется квантовая механика

В 90 годах ХХ столетия было открыто пятое фундаментальное взаимодействие – информационное Его проявлением оказались спиноые

поля, выступающие в качестве носителя информации После открытия пятого взаимодействия удалось создать Единую Теорию Поля (ЕТП), которая переросла в теорию физического вакуума

Спиновая парадигма и концепция физического вакуума позволили показать, что все парапсихологические феномены основаны на законах микромира и фундаментальных взаимодействиях Появилась возможность найти взаимосвязь между сознанием и мышлением, основанных на материальном носителе в виде спиновых полей

7 Относительность механического движения

Раньше других разделов физики развивалась механика, изучающая

простейшую форму движения материи – механическое движение

Механическим движением называют изменение с течением времени положения тел относительно друг друга (или частей одного тела) в пространстве

вопросов механики Механика Ньютона зиждется на прочном фундаменте экспериментальных фактов Классическая физика изучает медленные

движения макроскопических тел

Макроскопическими называют тела, состоящие из большого

количества молекул или атомов (для меди: N 10 28 м 3

)

Под медленными движениями понимают движения тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света в вакууме: c 3 108

м/c Скорости современных космических кораблей считаются относительно медленными (v = 7,9 – 16 км /c) Законы классической механики являются теоретической основой многих технических наук: сопротивления материалов, технической механики, гидравлики, аэро-, гидродинамики и т д., а также небесной механики В настоящем учебном пособии используется Международная система единиц – СИ Иногда будут применяться некоторые традиционные для физики внесистемные единицы

Цель механики – изучение законов перемещения исследуемых тел в пространстве и времени

8 Границы применимости классической физики

Область применения классической физики ограничена релятивистской

и квантовой механикой

Механика Ньютона – механика малых скоростей макроскопических тел Согласно выводам квантовой механики, состояние любой квантово-механической системы (электрона, атома, молекулы и т д.) нельзя одновременно характеризовать точными значениями ее координат и импульса (принцип неопределенности) В классической механике состояние движения частицы в любой момент времени характеризуется координатами (радиус-вектором) и скоростью (импульсом)

Согласно квантовой механике, такой способ описания движения частицы имеет границы применимости Несмотря на ограниченную область применения механика Ньютона имеет широкую и практически важную область применения В пределах этой области она никогда не утратит своего научного и практического значения Например, движение космических кораблей рассчитывается по законам классической механики, а при решении задач, связанных с движением заряженных частиц в ускорителях, используют релятивистскую механику и, наконец, при движении электрона в атоме, используют вероятностные законы квантовой механики При определении

границ применимости используют принципы дополнительности и соответствия

Там, где квантовая механика имеет дело с макромиром (тела больших размеров и медленные их движения), ее предсказания должны совпадать с выводами классической физики

Принцип всеобщей относительности и теория физического вакуума объединили проблему поля сил инерции в классической механике; проблему расходимостей в электродинамике и проблему незавершенности квантовой механики

Эти проблемы имеют единый источник – отсутствие полных знаний в физике о фундаментальном физическом поле – поле инерции, которое

выступает в роли Единого Поля, внутренним образом, объединяющим все остальные физические поля

9 Система СИ

В России, согласно Государственному стандарту (Гост 8.417-81), применяется Система Интернациональная (СИ) Она содержит семь

основных единиц измерения физических величин: метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела и две дополнительные: радиан и стерадиан

Метр (м) - длина пути, проходимого светом в вакууме за 1/ 299792458 c Килограмм (кг) - масса тел, равная массе международного прототипа

килограмма (платиноиридиевый цилиндр, хранящийся в Международном бюро мер и весов в Севре, близ Парижа)

Секунда (с) - время, равное 2 192 631 770 периодам излучения,

соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия -133

Ампер (А) - сила, не изменяющегося тока, который при прохождении по

двум параллельным, прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один

от другого, создает между этими проводниками силу, равную 2 10-7

Н на каждый метр длины

Радиан (рад) - угол между двумя радиусами окружности, длина дуги,

между которыми равна радиусу

Стерадиан (ср) - телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающей

на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы

ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧИСЕЛ

Поступательным называют движение тела, при котором прямая,

соединяющая две произвольные его точки, перемещается, оставаясь параллельной своему первоначальному направлению

При поступательном перемещении все точки тела движутся одинаково, в этом случае достаточно наблюдать за перемещением любой его точки (рис 1) Кинематика рассматривает поступательное или вращательное движения, не устанавливая причин этого движения

1.2 Система отсчѐта

Из определения механического движения следует, что движение

относительно: это фундаментальное свойство природы Так как в природе

нет неподвижных тел, то какое-либо тело в данной задаче условно считают неподвижным и движение других тел рассматривают относительно этого

тела

Тело, относительно которого рассматривается движение других

тел, называют телом отсчѐта

Для определения положения тела в пространстве относительно тела отсчета необходима система координат, жестко связанная с ним Например, декартова прямоугольная система координат Положение тела в пространстве

при механическом движении изменяется с течением времени, поэтому

необходимо выбрать способ измерения времени (часы) Таким образом, тело отсчета, жестко связанная

с ним система координат и часы образуют систему отсчета (рис 2) С телом отсчѐта совмещают начало

системы координат В качестве часов может выступать любой периодический процесс, например, суточное вращение Земли вокруг своей оси или вокруг Солнца Для описания движения необходимо

Рис 1

Рис 2

располагать эталонами, которые позволяли бы, с определѐнной точностью,

измерять пространственные и временные промежутки

Такие эталоны служат масштабом и часами

При решении некоторых задач за систему отсчѐта принимают Землю или связанные с ней тела: здания, деревья, машины, механизмы и т д

Многочисленными экспериментальными данными (геодезическими, астрономическими и т д.), вплоть до масштабов, сравнимых с наблюдаемой частью Вселенной, установлено, что геометрия мирового пространства

является Евклидовой Начиная с расстояний, больших 1026

м, пространство становится искривлѐнным в результате действия больших сил тяготения

Мы живѐм в трѐхмерном пространстве В N–мерном пространстве сила

взаимодействия двух точечных тел F ,

1 N

Наблюдая в безлунную ночь, особенно в сельской местности, за

небосводом можно обнаружить на нѐм бесчисленное множество звѐзд Из-за

больших расстояний они кажутся нам яркими светящимися точками различной интенсивности В классической физике любые макроскопические тела можно считать состоящими из множества малых частей, каждую из

которых можно принять за материальную точку В связи с этим

предполагается, что все вещество тела как бы сосредоточено в одной точке

1.4 Радиус-вектор и координаты

Рассмотрим движение материальной точки в произвольно выбранной нами системе отсчета Это движение описано полностью, если известно еѐ положение в любой момент времени относительно выбранной системы отсчѐта Одним из способов определения положения материальной точки М

в пространстве являются, например, еѐ прямоугольные декартовы координаты: x – абсцисса, y – ордината, z – аппликата

Положение материальной точки в пространстве в данный момент

времени может быть задано:

а) радиус-вектором r r t , соединяющим начало системы координат с

точкой М пространства, в которой в данный момент находится м т.;

б) координатами точки М: х, у, z (рис 3)

Проекциями радиус-вектора r на координатные оси являются следующие равенства: rx = x, ry = y, rz = z как соответствующие координаты конца радиус-вектора r

Х называют скалярную величину, связанную с модулем этого радиус-вектора и углом между направлением оси Х и направлением радиус-вектора r , т

е rx = r cos = r cos = x

1.5 Уравнения движения

Основная задача кинематики – написать уравнение движения материальной точки

Поскольку всякое движение происходит в пространстве и времени, то положение материальной точки в любой момент времени относительно тела отсчѐта известно, если заданы еѐ координаты

х = х(t), y = y(t), z = z(t) (1) или радиус-вектор

Рис 4

материальной точки описывается тремя скалярными уравнениями или одним векторным уравнения (1) и (2) характеризуют движение одной и той же

материальной точки, то между ними существует связь:

r i x j y k z (3) Длина радиус-вектора

Число независимых координат, которые полностью определяют положение тел (м т.) в пространстве, называют числом степеней свободы

Следовательно, материальная точка имеет три поступательные степени свободы (i = 3) Если м т движется вдоль прямой, то она имеет только одну степень свободы (i = 1)

Если м т осуществляет движение на плоскости, то она обладает двумя

степенями свободы (i = 2)

Абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы (i = 6): три поступательных и три вращательных Когда речь идет об атомах или молекулах, одноатомные молекулы (аргон, гелий и т д.) можно считать м т., поэтому они имеют три поступательные

степени свободы (рис 5, а)

Двухатомные молекулы: водород,

азот и т д (рис 5, б) имеют пять

степеней свободы: три поступательные и две вращательные

Трех – и многоатомные молекулы имеют шесть степеней свободы (рис 5,

в) Общее число степеней свободы молекулы

i = iпост + iвр +2 iкол (5) Если м т (тело) совершает колебательное движение, то непрерывно происходит превращение кинетической энергии в потенциальную энергию и, наоборот, потенциальной – в кинетическую, поэтому число колебательных

Рис 5

При поступательном движении тела все его точки движутся по траектории одинаковой формы

и равной длины

При вращении тела относительно неподвижной оси траектории всех его точек, не лежащих на оси вращения, имеют одинаковую форму, т е окружности, но длины этих окружностей неодинаковы: чем дальше точка находится от оси вращения, тем больше длина окружности, по которой она движется

В зависимости от формы траектории различают движения прямолинейные и криволинейные

Необходимо помнить, что в различных системах отсчета траектории движущихся м т могут иметь различные формы

Для примера рассмотрим движение точки конца пропеллера летящего самолета

В системе отсчета, связанной с самолетом, траектория – окружность, а

в системе отсчета, связанной с Землей, точка конца пропеллера описывает винтовую линию

Для того чтобы получить уравнение траектории, необходимо из выражений x = x (t), y = y (t), z = z (t) исключить время

Вектор перемещения материальной точки записывают в виде

r r2 r1, (6) Рис 6

Вместо одного уравнения (6) можно использовать три скалярных уравнения – проекций вектора перемещения на оси координат Х, У, Z:

z

r , У У

У y r , Х Х

Х x

x

Если материальная точка (тело) одновременно участвует в нескольких

перемещениях (рис 8), то, согласно принципу независимости движений, каждое совершается независимо одно от другого, т е выполняется закон сложения векторов перемещений

Дr Дr1 Дr2

Замечание о символе : этот символ

имеет несколько смыслов

Во-первых, он обозначает конечное изменение (прирост или убыль) стоящей за ним переменной величины

Например, – изменение вектора; x, y, z – изменения координат

радиус-Во-вторых, он применяется для обозначения абсолютной ошибки измерения в теории погрешностей измерений физических величин

В-третьих, он применяется для обозначения малого элемента переменной величины

Например, t – малый промежуток времени;

V – малый элемент объема (элементарный объем)

В-четвертых, это символический вектор – векторный оператор Лапласа

Замечание о векторных величинах: Общим свойством всех векторных

величин является то, что сложение или вычитание однородных векторных величин производится геометрически

Например, тот опытный факт, что результат нескольких последовательных перемещений всегда находится как геометрическая сумма (по правилу параллелограмма) этих перемещений, говорит о векторном характере перемещений, о необходимости и целесообразности введения

r

Рис 7

Рис 8

перемещения как векторной величины

1.9 Длина пути

При движении материальной точки по траектории используется кинематиче-ская характеристика – длина пути S (рис 7)

Длина пути – скалярная величина, равна длине участка траектории, пройденного м т за рассматриваемый промежуток времени

При прямолинейном движении м т в одном направлении = S, а в общем случае криволинейного движения , но различие между ними тем меньше, чем меньше , или при бесконечно малом промежутке

времени dt, в случае произвольного криволинейного движения, равенство

соблюдается при dr 0, т е .

r d

S d r

S r

понятие скорости

Пусть материальная точка движется и описывает некоторую траекторию в плоскости Х0У В момент времени t1 она находилась в точке

М1, характеризуемой радиус-вектором r1 или координатами (х1, у1, z1), в

момент времени t2 – в точке М2, характеризуемой радиус-вектором r2 или координатами (x2, y2, z2) За промежуток времени t = t2 – t1 м т проходит по траектории путь s и получает элементарное перемещение, которое совпадает с приращением радиус-вектора за это время, т е .

1 2

Вектором средней скорости называют физическую величину, равную отношению вектора перемещения (приращению радиус-вектора) к промежутку времени, за которое это перемещение произошло

По определению вектор средней скорости v r

t (9) Вектор средней скорости направлен в ту же сторону, что и вектор перемещения (рис 9)

r

r

dr dS

В проекциях на оси координат вектора средней скорости с учетом (7) получаем три скалярных уравнения:

Да, но тело-то двигалось!

Для выхода из создавшегося положения вводят понятие средней скалярной скорости <vc>, которая определяется отношением отрезка пути, пройденного м т по траектории за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка, т е

<vc> = s / t (11) Если м т совершает ряд последовательных перемещений

r1, r 2, , rn ,

за соответствующие промежутки времени t1, t2, , tn, то вектор средней скорости результирующего перемещения находят по формуле

v r r r

n n

<v> = (v0 + vt) / 2 , (14) где v0 – начальная скорость, vt – конечная

Эта формула справедлива в случае прямолинейного равноускоренного или равнозамедленного движений и в одну сторону, т е без изменения направления скорости

направления скорости

В СИ за единицу измерения скорости принято м/c

1.11 Мгновенная скорость

Уменьшая неограниченно промежуток времени t, за который произошло перемещение м т в пространстве в пределе, когда t 0, получим мгновенную скорость, т е

.

t d

r d t Д r Д lim v

0 t Д

(15)

Вектор мгновенной скорости равен пределу отношения приращения радиус-вектора м т к тому промежутку времени, за которое это приращение произошло, когда t 0 или равен первой производной радиус- вектора по времени

Вектор мгновенной скорости в данный момент времени направлен по касательной к траектории в данной точке (рис 9)

Действительно, при t 0, когда точка М2 приближается к М1, хорда (секущая) r , сближается с длиной отрезка дуги s и в пределе s = r , а

секущая переходит в касательную Это наглядно подтверждается опытами Например, искры при заточке инструмента всегда направлены по касательной к точильному кругу Поскольку, скорость – величина векторная,

то придется рассматривать такие малые участки пути на траектории s, которые не отличаются от модуля элементарного вектора перемещения r Тогда на основании уравнения (11) можно получить значение мгновенной скалярной скорости v im s

t

dsdt

c t

Одно уравнение вектора мгновенной скорости (15) можно заменить

эквивалентной системой трех скалярных уравнений, проекций вектора скорости на оси координат

vx = dx/dt, vy = dy/dt, vz = dz/dt (16) Вектор мгновенной скорости связан с его проекциями на оси координат выражением v v ix v jy v kz , (17)

где i j k , , – единичные векторы, направленные вдоль осей Х, У, Z соответственно

По модулю v vx2 vy2 vz2 (18)

Таким образом, вектор скорости характеризует быстроту изменения перемещения в пространстве по величине и направлению с течением времени Скорость – функция времени

1.12 Среднее ускорение

При движении тел скорость в общем случае может изменяться как по величине, так и по направлению

Примерами такого движения являются движение Солнечной системы вокруг центра нашей Галактики или движение поезда при торможении и т д Равномерное движение м т по окружности является примером, когда ее скорость изменяется по направлению, оставаясь постоянной по величине Если м т движется по некоторой траектории, изменяя величину и направление скорости, то для характеристики ее движения уже недостаточно

знать перемещение и скорость, нужно знать еще и быстроту изменения скорости, т е

ускорение

Пусть м т в некоторый момент времени

t1 находится в пункте М1 и движется со скоростью v1, а в момент времени t2 – в пункте М2 – со скоростью v2 (рис 10)

Перенесем вектор v2 параллельно самому себе в точку М1 так, чтобы совпали начала векторов v2 и v1 Тогда разность векторов v2 и v1 есть вектор изменения (приращения) скорости за промежуток времени t = t2 – t1, т е

v v2 v1 (19) Вектор среднего ускорения равен отношению вектора изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло

Следовательно,

Рис 10

t

v

a (20) Вектор среднего ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости и, направлен внутрь кривизны траектории

Одному векторному уравнению (1.20) соответствует система из трех скалярных уравнений для проекций вектора среднего ускорения на оси координат

x x ; y y ; z z (21) Модуль вектора среднего ускорения

a

v

t (22)

За единицу измерения ускорения в СИ принят метр на секунду в квадрате

1.13 Мгновенное ускорение

Будем уменьшать промежуток времени t и, когда в пределе t 0, получим вектор мгновенного (истинного) ускорения, т е

a

vt

Одному векторному уравнению (23) соответствует система из трех скалярных уравнений для проекций вектора ускорения на оси координат

x x ; y y ; z z . (24) Абсолютное значение мгновенного ускорения

a = dv /dt = d2r /dt2 (25)

В общем случае криволинейного движения вектор скорости не совпадает по направлению с вектором изменения скорости (вектором ускорения), что и делает возможным само существование криволинейного движения тел.Связь вектора мгновенного ускорения с его проекциями на оси координат запишем в виде a a ix a jy a kz

Соответственно модуль вектора мгновенного ускорения

a ax2 ay2 az2 (26)

Ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости м т

по величине и направлению с течением времени Ускорение – функция времени

1.14 Прямолинейное равномерное движение

Движение называют равномерным и прямолинейным, если м т движется вдоль прямой с постоянной по величине и направлению скоростью

В этом случае средняя и мгновенная скорости совпадают, а движение происходит только в одном направлении, так как модуль вектора перемещения равен расстоянию, пройденному м т по траектории

Скорость равномерного прямолинейного движения м т можно найти

по формуле

v = s / t (27) График зависимости пути равномерного прямолинейного движения м т от времени (рис 1.11) представляет собой прямую, отсекаемую на оси s отрезок

so,и образует с осью времени угол = arc tg (s/t) = arctg v

Если s = s s0 и t = t t0 , то s so= v(t to)

В момент времени t = t0, s = so, но v 0 При t0 = 0, s = so + vt,

где t0 и s0 начальные условия График скорости равномерного прямолинейного движения приведен на рис 12 Путь, пройденный м т., можно найти по графику скорости равномерного прямолинейного движения

Путь равен площади прямоугольника, ограниченного сверху графиком скорости, слева и справа ординатами начального t1 и конечного t2 моментов времени; снизу осью времени Скорость может быть найдена по графику пути (см рис 11), где v = tg Чем больше угол , тем больше и скорость v

1.15 Прямолинейное равнопеременное движение

Движение называют равнопеременным, если м т движется с постоянным по величине и направлению ускорением

Если а > 0 (a v), то движение называют равноускоренным (рис

Рис 13

Рис 12

Рис 11

13, прямая 1); если же а < 0 ( a v ), то движение называют равнозамедленным (рис 13, прямая 2); наконец, при а = 0, движение равномерное (рис 13, прямая 3)

по направлению и совпадает с вектором среднего ускорения (a = const,

a a const) Для того чтобы найти изменение скорости за конечный промежуток времени t, необходимо просуммировать изменение скорости

d v по всем интервалам времени dt Такое суммирование в математике выполняется операцией интегрирования, т е d v a dt

Векторное уравнение (28) соответствует системе трех скалярных уравнений для проекций на оси координат Х, У, Z:

vx v0x a tx , vy v0y a ty , vz v0z a tz . Выражая проекции vx, v0x, ax и т д через модули соответствующих векторов, нужно учитывать знаки («+» и « ») и числовые коэффициенты, которые появляются в зависимости от направления проецируемого вектора и выбора положительного направления координатной оси Например, при равнопеременном, и прямолинейном движении, происходящем вдоль оси Х, можно вместо векторного уравнения (28) написать соотношение vx = v0 + at,

но только для случая, когда направления векторов v a0, совпадают с положительным направлением координатной оси

Например, положительное направление координатной оси совпадает с направлением вектора начальной скорости v0 , а положительный знак у слагаемого at соответствует ускоренному движению; положительный знак перед vx говорит о том, что вектор конечной скорости v направлен в ту же

сторону, что и вектор начальной скорости v0

Если при прочих равных условиях вектор a противоположен по направлению вектору v0 , то vx = v0 at В зависимости от конкретных значений времени t, модулей начальной скорости v0 и ускорения a результат расчета для vx может привести как к положительному, так и к отрицательному значению Рассмотрим конкретный пример

Пусть м т совершает прямолинейное равнопеременное движение с начальной скоростью v0 = 24 м/c и модулем ускорения а = a = 4 м/с2, но направления векторов v a0, противоположны, т е v0 a (а < 0)

Допустим, нас интересуют скорости м т через t1 = 2 c и t2 = 12 c после начала движения Проецируя на координатную ось (например, ось Х), положительное направление которой совпадает с направлением вектора начальной скорости v0 , и, выражая проекции векторов через их модули, получим, что через t1 = 2 c скорость м т v1x = 24 4 2 = 16 м/c

При t2 = 12 c v2x = 24 4 12 = 24 м/c, т е проекция вектора скорости

v2x имеет знак минус Это значит, что к моменту времени t2 = 12 c после начала движения м т движется в противоположном направлении

А когда же это произошло? В какой момент времени? Для этого в формуле vx = v0 at нужно скорость положить равной нулю, т е vx = 0 Тогда v0 = at или t = v0 /a После подстановки числовых значений имеем t =

6 с, т е через 6 с после начала движения м т изменила направление скорости на противоположное

1.17 Путь равнопеременного, прямолинейного движения

Зная скорость в каждый момент времени v = v(t), можно найти путь, пройденный м т от момента времени t1 до момента времени t2

Разделим промежуток времени t на N малых интервалов времени ti

(необязательно равных), где i = 1, 2 , 3, , N номер интервала

Согласно формуле мгновенной скорости v = dS / dt, можно считать, что путь Si, пройденный м т за промежуток времени ti, равен

Если уменьшать интервалы времени ti, то произведение vi ti будет с возрастающей точностью определять пройденный путь Si При ti 0 в пределе получим истинное значение пути:

dt.

t

t

tvS

2

1

Используя формулу скорости v = v0 + at и формулу пути dS = v dt, получим

После интегрирования найдем путь в виде

S = S0+ v0t + a t2/ 2 (29) где S0 – путь, пройденный м т к моменту времени t = 0

х = х0 + v0xt + ax t2/ 2,

y = y0 + v0yt + ay t2/ 2, (31)

z = z0 + v0zt + az t2/ 2

Из уравнения (31) можно получить уравнение, описывающее изменения радиус-вектора, характеризующего движение м т с течением времени в виде

r r0 v t0 a t2

2 (32)

Примерами равноускоренного движения являются свободное падение тел в поле силы тяготения или скатывание тел по наклонной плоскости без учета сил трения и т д

Замечание: Существование начальных условий x0, v0, r0 и т д вытекает из самой природы непрерывного течения времени и только в одном направлении от прошлого к будущему

Начальный момент времени t0 = 0 не обязательно соответствует началу движения или выходу м т (частицы) из состояния покоя

Начальный момент времени можно выбирать произвольно

Это момент времени, с которого наблюдатель начал следить за данным

движением или начал его исследовать

В этот момент обычно включается секундомер или иное устройство для измерения промежутков времени

1.18 Криволинейное движение Радиус кривизны

Движение называют криволинейным, если скорость м т изменяется

и по величине, и по направлению

Одной из основных характеристик этого движения считается ускорение В реальной жизни чаще всего встречается криволинейное движение, когда величина скорости – остаѐтся постоянной, а направление непрерывно изменяется Например, равномерное движение м т по окружности

Рассмотрим движение м т вдоль произвольной кривой

Из математики известно, что малую часть дуги любой плавной кривой

(траектории) можно заменить дугой окружности некоторого радиуса R1 или R2 с центром в точке

01 или 02 (рис 14)

Окружность, которая в пределе совпадает с бесконечно малой дугой произвольной кривой, называют кругом кривизны

Радиус этой окружности называют радиусом кривизны (R1 и R2), а центр окружности – центром кривизны (т 01 и т 02, рис 14) Величину С =1/R называют кривизной данной траектории

V1 и V2 отличаются и по величине, и по направлению,

Рис 14

т е v1 v2 и V1 V2

Перенесѐм вектор

V2 (можно и вектор V1) параллельно самому себе так, чтобы совпали начала

векторов V1 и V2 в точке

А

Соединим концы

векторов V1 и V2 направленным отрезком ВД

n 2

n Д

v t

v

, поскольку R = const и v = сonst, так как вектор в квадрате есть скаляр В 2

,

dt

dvДt

Дvlima

0 Дt

справа – первое слагаемоe

dt

dv v

lim

a

t

0 t

, (34)

второе слагаемое a lim v

tД

0 t Д

n (35)

Тогда a a an , (36)

nR

2vДt

vД0

a , (37)

т е аn = v2

/R, (38) где n – единичный вектор нормали

Он направлен по радиусу к центру круга кривизны (рис.16), так как с переходом к пределу, когда точки А и Е сливаются, скорость v2 приближается к v1 и угол 0 (рис.15)

Соответственно углы АСД и АДC равны и стремятся к 90о

Следовательно, в пределе вектор an ( vn v1 или an v1)

направлен по радиусу к центру круга кривизны и называется центростремительным (нормальным) ускорением

Вектор центростремительного ускорения направлен по радиусу к центру круга кривизны и характеризует изменение скорости по направлению Рассмотрим вторую составляющую полного ускорения

Соединим точки С и Д направленным отрезком, который обозначим вектором V n, характеризующим изменение скорости только по

Вектор

dt

dvt

vlim

0 t

a (39)

называют тангенциальным (касательным) ускорением, где – единичный вектор, направленный по касательной к траектории, т е

(aф v) aф v, v v ф

Вектор касательного ускорения характеризует изменение скорости по величине, направлен по касательной к траектории в данной точке

При произвольном криволинейном движении материальной точки полное ускорение может быть разложено на две составляющие:

a a an , где a aф an

Вектор полного ускорения характеризует изменение скорости по величине и направлению, направлен внутрь кривизны траектории

Модуль полного ускорения

a a2n a2ф (40) Возникновение нормального и тангенциального ускорений наблюдается, например, при движении искусственных спутников Земли

1.20 Кинематика вращательного движения

Абсолютно твердое тело

Другим простейшим видом механического движения является вращательное движение материальной точки и тела

Абсолютно твердым называют тело, деформациями которого можно пренебречь, а расстояние между любыми его двумя точками сохраняется неизменным при движении

Вращательным движением абсолютно твердого тела называют движение, при котором все его точки описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях, а центры их лежат на оси вращения (рис 1.16)

1 21 Угловое перемещение

Положение материальной точки при движении, например, по окружности, можно задать не только радиус-вектором, но и угловым перемещением (углом поворота) радиус-вектора, характеризующего положение м т относительно неподвижной плоскости Q, принятой за тело отсчета и подвижной плоскости Р, жестко связанной с вращающим телом

(рис 17) Выражение вида

= (t), (41) называют уравнением кинематики вращательного движения

Изменение углового перемещения происходит во времени и описывается по уравнению (41), зависит от вида вращения абсолютно твердого тела (равномерное или неравномерное вращение) с неподвижной или подвижной осями вращения.Задача кинематики – установить вид этого уравнения Если тело совершило N оборотов, то общий угол поворота

= 2 N (42) При вращении абсолютно твердого тела любые его точки А и Б, находящиеся на различных расстояниях R1 и R2 от оси вращения (рис 17), перемещаются с различными скоростями (v2 v1), поэтому линейные

скорости точек тела не могут характеризовать вращение тела в целом Действительно, точки А и Б проходят различные расстояния (s2 s1) Однако за одно и то же время t различные точки тела поворачиваются на один и тот же угол Так как абсолютно твердое тело вращается как единое целое, то величина углового перемещения не зависит от выбора конкретной точки тела, а является характеристикой движения всего тела (рис 18)

1.22 Средняя угловая скорость

Рис 16

Рис 17

Рис 1.18

Пусть произвольная точка М находится в подвижной плоскости Р Угол поворота (угловое перемещение) всего тела и путь S будем отсчитывать

от неподвижной плоскости Q по часовой стрелке (рис 18)

Угол поворота в СИ измеряется в радианах (рад)

Известно из математики, что = S / R За малый промежуток

времени t тело повернется на угол , а точка М пройдет путь по траектории S = R (43)

Величина радиуса R и положение центра окружности (т О) определяются соотношением R s

0lim Разделим на t правую и левую части равенства (18):

td

dtД

Дlim

щ

0 Дt

(45)

Мгновенная угловая скорость тела равна первой производной углового перемещения по времени

Например, в настоящее время установлено, что гигантские структуры Вселенной – галактики, включая и нашу спиральную галактику «Млечный Путь», скопления и сверхскопления галактик, вращаются дифференциально,

т е угловая скорость гал вращения диска нашей галактики уменьшается

по мере удаления от центра галактики

Одновременно по диску галактики пробегает спиральная волна плотности с постоянной угловой скоростью спир (твердотельное вращение), имея период обращения в сотни миллионов лет, стимулируя в спиральных рукавах галактики активное звездообразование

В тех областях, где угловая скорость вращения диска галактики совпадает по величине с угловой скоростью спиральной волны плотности галактики ( гал = спир), возникает коротационный круг жизни (обычно вдали

от спиральных рукавов) Кстати, возможно не случайно, наша Солнечная система и находится, предположительно, в области коротационного круга галактики – «Млечный Путь»

1.24 Связь линейной и угловой скоростей

Используя равенство (43), перейдем к пределу при t 0:

R R const

tД

Дt

Дs

Д

lim lim

0 Дt 0

Дt

При переходе к производным имеем

Период – время, за которое тело совершает полный оборот вокруг оси или полюса (точки) В Си период измеряется в секундах (c)

Если тело совершило полный оборот вокруг оси, то оно повернулось на угол = 2 радиан или 360 0

Полагая время одного оборота t = Т получаем, что

этом случае угловая скорость изменяется по величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве При неравномерном вращении тела вокруг неподвижной оси угловая скорость изменяется только по величине, оставаясь постоянной по направлению

Если при вращении (R = сonst) за некоторое время t угловая скорость получит приращение , то линейная скорость получит приращение v, т е

v = R (51) Разделим правую и левую части равенствa (51) на время t, за которое произошло вращение, получим, что

v

Отношение

t (52) – называют средним угловым ускорением

Средним угловым ускорением тела называют отношение изменения угловой скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло

1.27 Мгновенное угловое ускорение

При t 0 в пределе получим абсолютное значение мгновенного углового ускорения:

,

td

dtd

щdtД

щДlim

е

2

2 0

Дt

(53)

т е мгновенное угловое ускорение численно равно первой производной угловой скорости по времени или – второй производной углового перемещения по времени

или с-2)

1.29 Связь линейных величин s, v, a c угловыми , ,

Полученные равенства

аn =

R

V2 = 2 R (56) Вследствие того, что для всех точек тела = const, аn по абсолютной величине растет при удалении от оси вращения Используя связь полного, нормального и касательного ускорений и учитывая (1.54) и (1.56) имеем

Такое направление связывают с правилом правого винта (рис 19)

Таким образом, повороту (угловому перемещению) можно задать численное значение и направление Однако этого еще недостаточно, чтобы угловое перемещение считать вектором

Необходимо, чтобы изображаемые таким образом повороты складывались по правилу сложения векторов, т е геометрически, что характерно для точных векторов

Если поворот бесконечно мал d (d << 2 ), то операция геометрического сложения угловых перемещений выполняется

Следовательно, малые повороты можно рассматривать как векторы

, , у которых абсолютное значение равно углу поворота в радианах

Векторы типа , направление которых связывается с направлением

оси вращения, называют аксиальными, или псевдовекторами,

в отличие от векторов

a,,

r v , которые называют полярными Их направление вытекает естественным образом из природы самих величин

1.32 Вектор угловой скорости

Угловая скорость в отличие от углового перемещения является точным вектором Предел

tД

Дlim

0 Дt

(61)

– конечен, а отклонение от закона векторного сложения векторов угловых скоростей не обнаружено

Вектор угловой скорости тела равен первой производной вектора углового перемещени по времени:

.td

d

щ (62) Как и вектор углового перемещения ,

вектор мгновенной угловой скорости направлен вдоль оси в направлении, определяемом правилом правого винта (рис 20)

Правило правого винта:

Если головку винта вращать по направлению вращения тела, то поступательное движение его укажет направление вектора углового перемещения или вектора угловой скорости

1.33 Вектор углового ускорения

Вектор углового ускорения – первая производная вектора угловой скорости:

Рис 19

Рис 20

по величине и направлению

Если угловая скорость увеличивается с течением времени ( > 0), то вектор и вектор будут направлены так же, как и вектор угловой скорости в одну сторону

Если же угловая скорость убывает с течением времени ( < 0), то вектор изменения угловой скорости и углового ускорения направлены противоположно вектору

1.34 Векторная связь линейной и угловой скоростей

Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью .Выберем на оси за начало отсчета т 0 (рис 21)

Положение точки М характеризуется в данный момент времени радиус-вектором r Разложим радиус-вектор r на составляющие: r rII r Тогда, согласно рис.1.21, имеем щ V r Эти векторы расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис 22) Действительно, согласно (22) и рис 21, имеем

v = R или v = r , (64) где R = r , а угол между вектором угловой скорости и вектором r равен 90о Согласно рис 21 имеем r = r sin С учетом этого формула (64) примет вид v = r sin , т е имеем дело с векторным произведением

v щ r (65) Так как

r rII r ,

то формула (1.65) принимает вид Рис 21

Рис 22

v r r r r

Учитывая, что векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулю ( r , рис 21), получим

v r r (66)

Векторное произведение всегда связано с правилом правого винта

Поэтому, вращая головку винта по направлению от вектора , стоящего на первом месте в (65), к вектору r , стоящему на втором месте, определяем по поступательному движению винта направление третьего вектора v, равного векторному произведению (рис 22)

меры материи Масса – универсальная мера материи В классической физике различают инертную и гравитационную массы Масса – мера инертности

Всякое тело оказывает сопротивление при попытке привести его в движение или изменить величину и направление скорости (появление ускорений под воздействием других тел) Это свойство тел называется инертностью Чем больше масса, тем больше инертность, тем труднее быстро остановить

движущее тело или труднее привести его в движение

Инерция – явление сохранения состояния покоя или равномерного прямолинейного движения тел в отсутствие внешних воздействий

Инерция – не измеряемое понятие Она не имеет количественной меры Любые тела, от элементарных частиц до тел космических размеров, имеют массу, испытывают взаимное притяжение, подчиняясь закону Всемирного

тяготения Масса – мера гравитации Экспериментами установлено, что инертная и гравитационная массы эквивалентны Массой характеризуются и вещество (частицы, тела), и поля Например, фотон в состоянии покоя не

существует, а всегда движется со скоростью света с в вакууме в свободном

Рис 23 Рис 24

арифметической сумме масс его частей (аддитивность), т е

m = m1 + m2 + + mn (1)

В современной физике свойство аддитивности и закон сохранения массы верны в классической механике Ньютона (m = сonst, v << c)

Установлено, например, что увеличить или уменьшить массу электрона (m = 9 11 10 , 31 кг) нельзя, так как это приведет к коллапсу атомов водорода

1.2 Импульс материальной точки

Импульс тела (частиц, м т и т д.) используется не только в классической, но и квантовой механике Импульсом обладают любые

движущие физические системы (частицы и т д., рис 1)

Вектор импульса материальной точки равен произведению массы на вектор скорости:

р p n m vi

1 i i n

1

i i

(4) Следовательно, состояние м т может быть определено, если задать еѐ Рис 1

радиус-вектор r и импульс р В этом ничего неожиданного нет, но переход

от скоростей к импульсам имеет более глубокий физический смысл

1.4 Плотность тел

Для определения плотности тела в любой точке пространства необходимо выделить некоторый объѐм пространства V Если масса вещества, которая содержится в этом объѐме m, то среднюю плотность найдем по формуле

dV

dmV

mim

0 V

 (6)

Единицей измерения плотности в СИ является килограмм на метр в кубе, т е кг/м3

1.5 Сила в механике

Механическое состояние м т или системы м т определяется координатами: x, y, z и скоростью движения Это определение состояния

м т является фундаментальным законом классической физики При изменении одной из этих величин говорят об изменении состояния тела

Если тела (частицы) взаимодействуют друг с другом, то это приводит к изменению их координат и скоростей, в этом случае говорят, что на них подействовала сила F, т е сила является функцией состояния системы и зависит от координат и скоростей м т., является векторной величиной, т е

F F r,v

Cила – мера интенсивности взаимодействия тел, в результате которого они получают ускорения или деформируются

Сила является количественной мерой взаимодействия тел

О действии силы на тела мы можем судить:

1) по их динамическому проявлению, т е по ускорениям, которые получают тела;

2) по статическому проявлению, т е по деформациям, которые возникают в телах;

3) по искривлению поверхности тел, на которую действуют другие тела

Для измерения сил применяются пружинные весы (динамометры) Физика оперирует с двумя основными объектами материи: частицами и

полями, поэтому сила является мерой взаимодействия не только частиц или тел, но является мерой взаимодействия данного тела с окружающими его другими материальными объектами и силовыми полями Кроме того,

присутствие других тел на эту силу не влияет, так как сила, с которой одно тело действует на другое, целиком зависит от радиус-векторов и скоростей этих двух тел

Это положение называют законом (принципом) независимости действия сил

Из принципа независимости

действия сил следует, что в сложных

системах сила, действующая на м т., равна векторной (геометрической) сумме сил, действующих на эту м т., со стороны каждой силы независимо от других м т (тел), т е.

Первый закон Ньютона называют законом инерции, который впервые сформулировал гениальный итальянский ученый Галилео Галилей

Любое тело (м т.) находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, если на него не действуют другие тела

Такие тела называют свободными, а его движение – свободным движением или движением по инерции Первый закон Ньютона связан с понятием инерциальной системы отсчета

1.7 Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона устанавливает связь между массой, ускорением его движения и силой, действующей на это тело:

a

Fm

i i