LUẬN án TIẾN sĩ vật lí electron vμ phonon trong dây lượng tử có cấu trúc lõi vỏ

Trong các hệ khối, độ linh động của electron chịu ảnh hưởng của các quá trình tán xạ như tán xạ trên phonon, tạp chất, … Trong dây lượng tử, vì kích thước dây nhỏ nên tạp chất thường đượ

VIÖN HµN L¢M KHOA HäC Vµ C¤NG NGHÖ VIÖT NAM

Lêi cam ®oan

T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña riªng t«i C¸c kÕt qu¶ míi mµ t«i c«ng bè trong luËn ¸n lµ trung thùc vµ ch−a ®−îc ai c«ng bè trong bÊt kú c«ng tr×nh nµo kh¸c

Hµ Néi, ngµy… th¸ng… n¨m 2014

Tôi xin cám ơn Trường Đại học Xây Dựng, đặc biệt là Khoa Cơ Khí Xây Dựng nơi tôi công tác đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành nghiên cứu luận án này trong khuôn khổ hệ nghiên cứu sinh bán tập trung

Hà nội, ngày…….tháng…… năm 2014 Tác giả

Lê Thanh Hải

Mục lục

Lời cam đoan……… 1

Lời cám ơn……… 2

Danh sách hình vẽ……… ……… 4

Mở đầu……… 9

CHƯƠNG 1: ELECTRON TRONG DÂY LƯợng tử 22

1.1 Trạng thái electron trong dây 22

1.2 Hàm điện môi điện tử 25

1.3 Kết luận 40

CHƯƠNG 2: PHONON QUANG DọC TRONG Dây LƯợng tử 42

2.1 Các mode LO phonon trong dây lượng tử 42

2.2 Kết luận 51

CHƯƠNG 3: TáN Xạ CủA ELECTRON BởI LO PHONON 52

3.1 Hamiltonian tương tác electron - LO phonon 52

3.2 Tốc độ tán xạ của electron bởi LO phonon 56

3.3 Kết luận 60

Kết luận CHUNG……… .62

CáC CÔNG TRìNH KHOA HọC Đã CÔNG Bố 64

TàI LIệU THAM KHảO… 65

PHụ LụC……… 79

Danh sách hình vẽ

0 Mật độ trạng thái của electron trong các cấu trúc bán

dẫn: a) vật liệu khối, b) giếng lượng tử, c) dây lượng tử,

d) chấm lượng tử

11

1.2 Sự phụ thuộc của các mức năng lượng liên kết của

electron vào độ dày lớp hàng rào D = R2 – R1 đối với 4

vùng con (ln) thấp nhất

24

1.3 ảnh hưởng của độ dày lớp rào lên hằng số điện môi tĩnh

trong dây GaAs/Al0,3Ga0,7As, bán kính R1 = 3 nm, nồng

độ electron n = 105 cm-1, độ dày lớp rào thay đổi với các

giá trị mà R R2 1= 1, 2; R R2 1= 3; R R2 1= 20 ở nhiệt độ T

= 0K

32

1.4 Hằng số điện môi phụ thuộc nồng độ electron suy biến

trong dây lượng tử GaAs/Al0,3Ga0,7As có bán kính lõi R1

= 3 nm, R R =2 1 1, 2và q = 0,5

32

1.5 Hằng số điện môi trong dây GaAs/Al0,3Ga0,7As có độ dày

lớp hàng rào R2-R1 = 1 nm, bán kính phần lõi thay đổi

với các giá trị R1 = 3 nm; 5 nm; 20 nm

33

1.6 Phụ thuộc của hằng số điện môi vào véc tơ sóng ở T =

150K và T = 300K trong dây GaAs/ Al0,3Ga0,7As có bán

kính R1 = 3 nm, nồng độ electron n = 105 cm-1

34

1.7 Sự phụ thuộc của hằng số điện môi tĩnh vào véc tơ sóng

ở nhiệt độ T =0K Và T = 300K trong dây GaAs/

Al0,3Ga0,7As có kích thước R1=3 nm, độ dày lớp rào vô

hạn, nồng độ electron dọc theo chiều dài dây n = 106

cm-1

35

1.8 Hằng số điện môi tĩnh trong dây GaAs/Al0.3Ga0.7As có

lớp rào dày vô hạn ở nhiệt độ T = 300K, nồng độ

electron n = 9,0.105cm-1; 2,0.106cm-1; 5,0.106cm-1

35

1.9 Sự thay đổi của hằng số điện môi trong dây GaAs/AlxGa

1-xAs có lớp rào dày vô hạn, nồng độ x của Al nhận các giá

trị x = 0,5 và x = 1,0 đối với hệ electron suy biến ở T =

0K (hình trái)) và hệ không suy biến ở T = 300K (hình

electron n = 5.106 cm-1 , nồng độ x của Al ở lớp hàng rào

x = 0 so với dây có nồng độ x = 1, ở nhiệt độ T=0K và T

= 300K

38

1.13 Độ dịch của tần số plasmon ở T = 0K trong dây

GaAs/AlxGa1-xAs có lớp hàng rào dày vô hạn khi nồng độ

x có giá trị x = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 1,0 so với dây có x

= 0

39

GaAs/Al0,3Ga0,7As có R1 = 3 nm so với dây có R1 = 4 nm

lượng tử GaAs/Al0,3Ga0,7As không bọc kim loại, bán kính

lõi R1=3 nm, độ dày lớp hàng rào R2 - R1 =1 nm

2.2 Đường tán sắc một số nhánh (mt) của phonon kiểu 1

trong dây lượng tử GaAs/Al0,3Ga0,7As có bán kính R1=3

nm, độ dày lớp hàng rào R2 - R1 =1 nm, không bọc kim

loại

49

2.3 Các đường tán sắc nhánh (01) của phonon kiểu 1 (hình

trái) và kiểu 2 (hình phải) trong dây GaAs/Al0,3Ga0,7As

không bọc kim loại, bán kính lõi R1= 3nm, độ dày lớp

hàng rào thay đổi lần lượt với các giá trị: a) 0.2nm ; b)

1nm ; c) 30nm

50

2.4 Đường tán sắc nhánh (01) của phonon kiểu 1 (hình trái)

và phonon kiểu 2 (hình phải) trong dây

GaAs/Al0,7Ga0,3As có bán kính R1=3 nm, độ dày lớp vỏ

R2- R1 =1 nm trong trường hợp dây không bọc (đường a),

và dây có bọc kim loại (đường b)

50

3.1 Thế tĩnh điện gây bởi phonon kiểu 1 thuộc 4 nhánh thấp

nhất ứng với m = 0 của dây GaAs/AlGaAs, bán kính

R1=3 nm, độ dày lớp hàng rào R2 - R1=1 nm không được

bọc (hình trái) và dây được bọc một lớp kim loại mỏng

(hình phải)

54

3.2 Thế tĩnh điện gây bởi phonon kiểu 2 thuộc 4 nhánh thấp

nhất ứng với m = 0 trong dây GaAs/AlGaAs, bán kính

R1=3 nm, độ dày lớp hàng rào R2 - R1=1 nm không bọc

kim loại (hình trái) và dây bọc kim loại mỏng (hình

phải)

55

3.3 Thế tĩnh điện gây bởi phonon kiểu 1 (hình trái) và kiểu 2

(hình phải), nhánh (01), véc tơ sóng q = 1/R1, của dây

GaAs/AlGaAs có bán kính R1=3 nm, độ dày lớp hàng rào

R2 - R1=1 nm

55

3.4 Tốc độ hấp thụ (hình trái) và tốc độ phát xạ (hình phải)

của electron trong vùng con (01) ở nhiệt độ T=300K như

là hàm của năng lượng electron trong dây lượng tử

GaAs/AlGaAs, bán kính R1=3nm, không bọc kim loại

khi độ dày lớp rào có giá trị: a) 0,3 nm , b) 0,4 nm, c) 1,0

nm

55

3.5 So sánh tốc độ hấp thụ phonon (hình trái) và phát xạ

phonon (hình phải) của electron như là hàm của năng

lượng electron tại nhiệt độ 300K trong dây GaAs/AlGaAs

có bán kính lõi R1=3nm, độ dày lớp hàng rào d =R2 –R1

ở các giá trị a) d=0,3nm , b) d=0,4nm , c) d=1,0nm; trong

dây bọc và không bọc kim loại

57

3.6 Tốc độ phát xạ và hấp thụ phonon giam cầm kiểu khối

của electron ở vùng con (ln)=(11) trong dây

GaAs/AlGaAs có bán kính R1 = 30 A0, lớp rào dày vô

hạn ở nhiệt độ 150K (đường nét đứt) và 300K (đường liền

nét)

58

3.7 Tốc độ phát xạ và tốc độ hấp thụ của electron bởi LO

phonon trong dây GaAs/AlGaAs có bán kính R1 = 30 A0,

lớp rào dày vô hạn được thể hiện trên hình a) và bởi IF

phonon được thể hiện trên hình b), ở nhiệt độ T = 300K,

ban đầu electron ở nhánh (ln)= (01) hoặc (11), electron

có năng lượng 0,14 eV

59

3.8 So sánh tốc độ hấp thụ phonon giam cầm kiểu khối và

phonon bề mặt của electron ở vùng con (01) với năng

lượng 0,14 eV, ở nhiệt độ T = 300K, trong dây

GaAs/AlGaAs có bán kính R1 = 30 A0, lớp rào dày vô

hạn khi bán kính dây thay đổi

59

Mở đầu

Những tiến bộ của khoa học kỹ thuật trong thời gian gần đây đã cho phép tạo ra các hệ bán dẫn có kích thước nano mét ở các hệ này, chuyển động của hạt tải bị giam giữ theo một số chiều nào đó Khi đó hiệu ứng kích thước lượng tử bộc lộ làm cho các tính chất vật lý của các hệ nano mét này khác xa so với các hệ khối Ví dụ, trong phổ năng lượng của hạt tải xuất hiện các vùng rời rạc, được gọi là sự lượng tử hóa năng lượng Tính chất rời rạc của năng lượng là một trong những nguyên nhân làm tính chất vật lý của hệ thay đổi

Để hiệu ứng lượng tử hóa năng lượng có thể nhận biết được trong các quan sát thực nghiệm thì hệ phải thỏa mãn một số điều kiện nhất định Thứ nhất, khoảng cách giữa các mức năng lượng lân cận En+1ư En phải lớn hơn nhiều năng lượng chuyển động nhiệt của hạt tải điện k TB Trong trường hợp ngược lại, khả năng hai mức lân cận đó bị chiếm đầy bởi hạt tải là như nhau và

sự chuyển dời liên tục của hạt tải giữa hai mức đó làm ta không quan sát được hiệu ứng lượng tử Thứ hai, hạt tải luôn bị tán xạ, ví dụ bởi tạp chất, phonon…Quá trình tán xạ đó được đặc trưng bởi thời gian hồi phục xung lượng

τ Mặt khác, τ lại liên quan đến độ linh động của hạt tải à= e mτ Giá trị của

τ cho biết thời gian sống của hạt tải ở một trạng thái lượng tử nào đó Theo nguyên lý bất định Heisenberg, giá trị hữu hạn của τ dẫn đến độ bất định về năng lượng của trạng thái lượng tử đang xét δE ∼ ℏτ Sự gián đoạn năng lượng

do hiệu ứng kích thước thể hiện rõ khi khoảng cách giữa các mức gián đoạn lớn hơn nhiều độ bất định năng lượng của các mức, nghĩa là En1 En e

điện cao và nhiệt độ đủ thấp

Tùy thuộc vào các cấu trúc giam cầm khác nhau mà chuyển động tự do của hạt tải (điện tử, lỗ trống, ) bị giới hạn theo một, hai hoặc ba chiều trong không gian mạng tinh thể Trường hợp chuyển động của hạt tải bị giới hạn 1

chiều ta thu được các cấu trúc được gọi là giếng lượng tử (quantum well - QW) Khi chuyển động của hạt tải bị giới hạn theo 2 chiều, ta có các cấu trúc dây lượng tử (quantum wire – QWR) Còn khi chuyển động của hạt tải bị giới hạn trong cả 3 chiều, ta nhận được các cấu trúc gọi là chấm lượng tử (quantum dot - QD) Các hệ này được gọi chung là các hệ (giả) thấp chiều

Khi giảm số chiều chuyển động tự do của hạt tải thì mật độ trạng thái của chúng sẽ thay đổi (Hình 0)

Hình 0: Mật độ trạng thái của electron trong các cấu trúc bán dẫn: a) vật liệu khối, b)

giếng lượng tử, c) dây lượng tử, d) chấm lượng tử

Mật độ trạng thái của hạt tải thay đổi cũng làm cho các tính chất vật lý của hệ thay đổi, do đó các hệ thấp chiều có những tính năng ưu việt hơn so với hệ khối Vì vậy, nhiều nghiên cứu về hệ thấp chiều đã được tiến hành nhằm ứng dụng chúng trong kỹ thuật và đời sống Ví dụ, các dây lượng tử được ứng dụng rộng rãi trong việc chế tạo các thiết bị quang điện tử Người ta đã dùng dây lượng tử

để chế tạo các transistor [56], các diode [26], các linh kiện nhớ (memory element) [31] và các sensor hóa sinh [27] Các dây lượng tử ghép có thể sử dụng cho các thiết bị phát xạ ánh sáng như các diode phát quang [60] Cấu trúc dây lượng tử cũng được ứng dụng nhiều trong thông tin lượng tử [11, 34, 38]

Sử dụng dây lượng tử để chế tạo laser làm tăng hiệu suất phát quang và làm giảm dòng ngưỡng cho quá trình hoạt động của laser [36] Tóm lại, việc ứng dụng dây lượng tử đã tạo ra các linh kiện, thiết bị điện tử tiêu thụ năng lượng

nói chung và trong lĩnh vực quang - điện tử nói riêng Nhờ những tính năng nổi bật, các ứng dụng to lớn của dây lượng tử đối với khoa học công nghệ và trong thực tế cuộc sống mà dây lượng tử đã thu hút được sự quan tâm của các nhà vật

lý lý thuyết cũng như thực nghiệm trong và ngoài nước

Hầu hết các dây lượng tử được chế tạo qua hai bước Bước thứ nhất, hệ khí electron hai chiều (2DEG) được tạo ra trong một cấu trúc dị thể bán dẫn (heterostructure) bằng phương pháp epitaxy chùm phân tử (MBE) [104] hoặc bằng phương pháp hóa học lắng đọng pha hơi cơ kim (OMCVD) [14] Khi đó, người ta đã tạo ra lớp tinh thể hoàn hảo trên một đế bằng cách bốc bay từng lớp một Thay đổi đột ngột các loại chất lắng đọng, ta có thể tạo ra cấu trúc dị thể với mặt phân cách phẳng giữa các lớp chứa rất ít tạp chất và sai hỏng Do kiểm soát được việc nuôi các tinh thể như vậy mà ta có thể dễ dàng chế tạo được các cấu trúc dị thể bán dẫn chứa nhiều lớp Khi đó, ta thu được một cấu trúc kiểu giếng lượng tử Trong bước thứ hai, bằng các phương pháp khác nhau, người ta tạo thêm sự giam cầm theo một chiều nữa đối với hệ 2DEG vừa được tạo ra trong cấu trúc dị thể đã nói ở trên Trong bước này, bao giờ cũng phải tạo mẫu trên bề mặt Các phương pháp tạo mẫu được dùng nhiều nhất là phương pháp in bằng chùm electron [119], bằng chùm ion [92] và bằng phương pháp quang học [48] Để tạo mẫu trên bề mặt, người ta cho bốc bay lên bề mặt một lớp vật liệu cản quang hoặc các loại hạt, thường là vật liệu polime Tiếp theo, phần diện tích chọn lọc của lớp cản được chiếu bởi chùm ion, electron, hoặc photon hội tụ cao, dẫn đến sự thay đổi cấu trúc hoặc hóa học ở vùng được chiếu rọi Sau đó, tùy theo vật liệu cản âm hoặc dương mà diện tích được chiếu hoặc không được chiếu rọi sẽ bị loại bỏ Phần vật liệu cản còn lại trên đế tạo nên hình mẫu được

sử dụng ở các phương pháp tạo sự giam cầm tiếp theo

Có nhiều kỹ thuật tạo giam cầm được tiến hành trong phòng thí nghiệm [89] ở đây, ta có thể kể ra bốn phương pháp chính gồm phương pháp khắc chọn lọc, phương pháp tách cổng, phương pháp cấy ion và phương pháp epitaxy chọn lọc

• Phương pháp khắc chọn lọc (selective etching) là kỹ thuật tạo sự giam cầm bổ sung trong cấu trúc dị thể bằng cách loại bỏ chọn lọc các lớp phía trên

của cấu trúc nhờ phản ứng hóa học [95] Tùy theo chiều sâu của lớp khắc bỏ mà người ta chia thành phương pháp mesa sâu [12, 15] hoặc phương pháp mesa nông [52, 88, 93] Để chế tạo các dây lượng tử có độ rộng dưới 1àmthì phương pháp mesa sâu không tốt bởi vì độ linh động của electron bị suy giảm đáng kể

do tán xạ bởi bề mặt thành dây Phương pháp mesa nông có thể dùng để chế tạo các dây lượng tử có độ rộng dưới 100 nm [88]

• Phương pháp tách cổng (split gates) lần đầu tiên được đưa ra bởi Thornton và cộng sự [105] và Zheng cùng cộng sự [129] Phương pháp này sử dụng hai dải kim loại trên bề mặt cấu trúc dị thể hoạt động như là các cổng Khi

đặt một thế âm (so với lớp khí electron hai chiều) lên các cổng, electron ở miền phía dưới hai cổng sẽ bị loại bỏ, chỉ còn lại electron ở miền giữa hai cổng, tạo thành hệ electron giả một chiều, tức là dây lượng tử Khoảng cách giữa hai cổng vào cỡ 100 nm, và độ rộng của dây còn có thể nhỏ hơn Phương pháp này không làm suy giảm độ linh động của electron vì sự giam cầm được tạo bởi thế tĩnh điện thay đổi chậm Hơn nữa, độ rộng của dây lượng tử có thể thay đổi bằng cách thay đổi điện thế cổng Do đó phương pháp tách cổng được sử dụng rộng rãi trong các nghiên cứu thực nghiệm [77, 96, 106, 115, 118]

• Phương pháp cấy ion (ion implantation) [49, 50, 51, 92] sử dụng các chùm ion hội tụ để cấy các ion (như Ga, Si, ) năng lượng cao (cỡ 100 keV) tạo

ra các sai hỏng và pha tạp ở hai bên miền ở giữa Sau đó, mẫu chế tạo thường

được xử lý qua ủ nhiệt Vì độ linh động của electron giảm rất mạnh trong miền cấy ion nên thực tế electron chỉ chuyển động trong miền ở giữa, tạo nên dây lượng tử Bằng phương pháp cấy ion ta có thể tạo ra các dây lượng tử kích thước nhỏ hơn 100 nm [49, 51] Mặc dù vậy, kỹ thuật này không kiểm soát được kích thước của dây vì không điều khiển được sự mở rộng vùng cấy ion do quá trình ủ nhiệt

• Phương pháp epitaxy chọn lọc (selective epitaxy) thực hiện cùng một lúc việc tạo cấu trúc dị thể và tạo ra sự giam cầm Ngày nay, phương pháp epitaxy chọn lọc được sử dụng rộng rãi để chế tạo các dây lượng tử [2, 41, 42, 78, 83,

108, 109] Phương pháp chế tạo dây lượng tử này gồm một số bước: tạo mẫu

thể lên trên vùng không được che bởi lớp điện môi bằng phương pháp MBE hoặc OMCVD Phương pháp này có thể tạo ra vùng giam cầm có độ rộng cỡ 10

nm

Ngoài các phương pháp trên, người ta cũng sử dụng một số phương pháp khác tạo ra thế giam cầm bổ sung đối với 2DEG trong cấu trúc dị thể để chế tạo dây lượng tử, ví dụ, dùng biến dạng riêng [61] hay chiếu sáng toàn ảnh [13]

Một trong những đại lượng được quan tâm liên quan đến ứng dụng của dây lượng tử là độ linh động của electron Trong các hệ khối, độ linh động của electron chịu ảnh hưởng của các quá trình tán xạ như tán xạ trên phonon, tạp chất, … Trong dây lượng tử, vì kích thước dây nhỏ nên tạp chất thường được pha ở bên ngoài vật liệu dây (pha tạp xa), do đó tán xạ của electron trên tạp chất yếu hơn rất nhiều so với trong hệ khối Vì vậy, trong dây lượng tử, tương tác electron – phonon có ảnh hưởng lớn đối với độ linh động của electron Mặt khác, trong tinh thể cực, tương tác electron – phonon quang có vai trò quan trọng ảnh hưởng đến các tính chất vật lý của hệ Vai trò này càng lớn đối với các hệ giả thấp chiều [47]

Trong nhiều nghiên cứu về tương tác giữa electron và phonon trong các cấu trúc thấp chiều nói chung, và dây lượng tử nói riêng, các tác giả chỉ chú ý

đến sự thay đổi trạng thái (năng lượng, hàm sóng) của electron do tồn tại các thế giam cầm và vẫn sử dụng mô hình phonon khối [7, 20, 35, 39, 66, 74, 81, 117] Leburton [66] đã tính tốc độ tán xạ của electron do tương tác với phonon quang khối trong giếng lượng tử và dây lượng tử có tiết diện hình chữ nhật Các tác giả dùng gần đúng rào thế cao vô hạn và xét giới hạn lượng tử, khi electron chỉ chiếm vùng con thấp nhất Fishman [39] nghiên cứu độ linh động của electron giới hạn bởi tán xạ với phonon trong bán dẫn giả một chiều với mô hình rất đơn giản: hàm bao của electron là hằng số trong dây tiết diện tròn và triệt tiêu bên ngoài dây, hằng số tương tác electron-phonon được lấy như trong bán dẫn khối Trong công trình [20], Constantinou và Ridley xét bài toán tốc độ tán xạ cho dây có tiết diện tròn, nhưng chú ý đến ảnh hưởng của chiều cao rào thế hữu hạn đối với tốc độ tán xạ Cũng dùng mô hình phonon khối, các tác giả công trình [74] tính tốc độ bắt electron trong dây lượng tử tiết diện tròn bởi tán

xạ với phonon quang Trong [35], Fai và cộng sự nghiên cứu bài toán polaron trong dây lượng tử tiết diện tròn Cho rằng giới hạn bề mặt dây không cố định cứng, các tác giả sử dụng gần đúng thế giam cầm dạng parabol và chỉ xét tương tác của electron với phonon quang dọc khối

Tuy nhiên, thực nghiệm cho thấy dao động mạng trong các hệ thấp chiều khác nhiều so với dao động trong hệ khối Bằng phép đo phổ Raman, Facol và cộng sự [37], Watt và cộng sự [114] đã chỉ ra sự tồn tại các mode phonon giam cầm và các mode phonon bề mặt trong các cấu trúc lớp hoặc dây, khác với các mode phonon quen thuộc trong cấu trúc khối Đó là bằng chứng nổi bật về sự giam cầm của phonon trong các hệ thấp chiều cần phải được xem xét đến [1, 6,

46, 97, 122] Các công trình nghiên cứu, ví dụ [4, 28, 29, 84, 99, 123] cho thấy hiệu ứng giam giữ của phonon có thể dẫn đến những thay đổi quan trọng trong các tính chất vận chuyển của electron do tương tác electron-phonon thay đổi

Một trong những nghiên cứu đầu tiên về phonon quang trong cấu trúc lớp được đưa ra bởi Fuchs và Kliewer [40] Các tác giả xét một lớp tinh thể ion

có chiều dày hữu hạn và tìm các kiểu (mode) dao động quang chuẩn bằng cách

sử dụng các phương trình động lực tinh thể cũng như các phương trình điện

động lực Các kết quả cho thấy ở giới hạn bước sóng lớn hơn nhiều so với khoảng cách giữa các ion, cả hai phương pháp trên đều cho một hệ phương trình

vi phân liên kết đối với dịch chuyển của ion và chứa tần số của các mode chuẩn Trong hệ có cấu trúc lớp này tồn tại hai lớp các mode dao động chuẩn Một lớp gồm các mode dao động lan truyền trong lớp tinh thể và có tần số giống như trong tinh thể khối (các mode kiểu khối) Lớp thứ hai gồm các dao động có biên

độ giảm theo hàm số mũ khi đi xa khỏi bề mặt phân cách của lớp tinh thể (các mode bề mặt) Mô hình do Fuchs và Kliewer đưa ra được gọi là mô hình điện môi liên tục, gọi tắt là mô hình DC (Dielectric Continuum) Trong cách tiếp cận này, trường dịch chuyển ion tương đối bị chi phối bởi phương trình Born – Huang Dao động của các ion gây nên điện trường thỏa mãn các điều kiện biên

điện từ ở mặt phân cách Mô hình này đòi hỏi thành phần tiếp tuyến của véc tơ cường độ điện trường và thành phần pháp tuyến của véc tơ điện dịch liên tục

và ε2 là hằng số điện môi của môi trường điện môi tương ứng Đi theo hình thức luận của Fuchs và Kliewer, Licari và Evrard [69] đã xây dựng Hamiltonian tương tác của electron và phonon trong cấu trúc lớp tinh thể ion, trong đó có chú ý đến sự phân cực của ion Hamiltonian tương tác này quy về dạng Frohlich cho phonon khối khi độ dày của lớp tinh thể rất lớn

Tiếp theo công trình của Fuchs và Kliewer, nhiều tác giả khác đã áp dụng gần đúng môi trường điện môi liên tục để nghiên cứu các mode dao động tinh thể trong dây lượng tử Stroscio và cộng sự [100] đã thu được véc tơ phân cực và hệ thức tán sắc cho phonon quang dọc kiểu khối bị giam cầm và phonon

bề mặt trong dây có tiết diện hình chữ nhật Các tác giả này cũng tính tốc độ tán xạ của electron bởi phonon quang dọc Họ chỉ ra rằng ở giới hạn véc tơ sóng dọc theo trục của dây dần tới 0, phonon bề mặt có vai trò trội hơn so với phonon kiểu khối trong tương tác với electron Cũng sử dụng cách tiếp cận điện môi liên tục, Knipp và Reinecke [64] đã nghiên cứu các mode phonon quang bề mặt trong dây lượng tử có tiết diện ngang dạng bất kỳ và thu được biểu thức giải tích cho trường hợp tiết diện hình elip Kết quả tính số trong trường hợp tổng quát cho thấy phonon bề mặt định xứ mạnh hơn ở vị trí bề mặt nhọn hơn Enderlein [32] đã xây dựng phương trình Born-Huang tổng quát cho trường véc tơ dịch chuyển tương đối của ion trong dây lượng tử tiết diện tròn, có tính đến các lực đàn hồi tán sắc Tác giả sử dụng các hệ thức vĩ mô chính xác để biểu diễn véc tơ điện trường thông qua véc tơ dịch chuyển của ion Nhờ đó, phương trình Born-Huang trở thành phương trình của bài toán trị riêng Các lời giải riêng của phương trình xác định một nhánh phonon quang dọc (LO) giam cầm, hai nhánh phonon quang ngang (TO) giam cầm và hai loại phonon bề mặt Hệ thức tán sắc của phonon được rút ra từ các điều kiện phù hợp của trường tĩnh

điện Tác giả cũng nhận được Hamiltonian tương tác dạng Frohlich giữa electron và phonon quang dọc và phonon bề mặt Các kết quả của Enderlein cho phép nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam cầm đối với phonon trong nhiều tính chất khác nhau của dây lượng tử như tốc độ tán xạ của hạt tải, thời gian phục hồi năng lượng, hiệu ứng polaron Nghiên cứu của Enderlein giới hạn cho dây có tiết diện tròn, nhưng nhiều tính chất tổng quát của phonon quang

trong dây không phụ thuộc vào dạng cụ thể của dây Do đó, kết quả của nghiên cứu này có thể áp dụng cho dây lượng tử có tiết diện không tròn

Nhằm mục đích cung cấp những phương trình cần thiết cho các nhà nghiên cứu sử dụng khi thiết kế các thiết bị quang điện tử trên cơ sở dây lượng

tử, Crouse [25] đã xây dựng các mode phonon quang trong gần đúng DC và Hamiltonian tương tác electron – phonon theo các cách tiếp cận vĩ mô và vi mô, chỉ ra mối liên hệ giữa hai cách tiếp cận này Đồng thời, tác giả cũng thảo luận khả năng chế tạo đetectơ hồng ngoại dây lượng tử hoạt động ở nhiệt độ cao với dòng tối thấp

Do đơn giản và hiệu quả, cách tiếp cận điện môi liên tục đã được sử dụng rộng rãi để nghiên cứu tương tác electron – phonon, độ linh động của electron giới hạn bởi phonon, năng lượng và khối lượng của polaron, tốc độ mất năng lượng của electron do tán xạ với phonon, thời gian phục hồi năng lượng của electron trong dây lượng tử có tiết diện ngang dạng khác nhau và được chế tạo từ các vật liệu khác nhau [8, 9, 59, 62, 76, 110, 111, 112, 121, 124, 125,

126, 127, 128, 130]

Mô hình DC có tính đến tán sắc là một lý thuyết vĩ mô hoàn chỉnh đơn giản nhất để mô tả các mode phonon quang trong các cấu trúc dị thể Mô hình này tiên đoán sự tồn tại các mode giam cầm kiểu khối và các mode bề mặt đã

được thực nghiệm xác nhận Lý thuyết điện môi liên tục tán sắc đã nêu được những đặc tính chính của phonon quang về mặt định tính, nhưng có những sai khác về mặt định lượng so với các lý thuyết vi mô, ví dụ, về dáng điệu của dịch chuyển ion tại biên phân cách ở giới hạn véc tơ sóng dần tới 0 Sự sai khác này bắt nguồn từ giả thiết về tính liên tục của môi trường Bên cạnh đó, thực nghiệm cũng chỉ ra rằng mô hình này cho kết quả chưa tốt về đối xứng của thế tĩnh điện gắn với điện trường do các dao động quang dọc gây ra [103] Điều này đặc biệt quan trọng khi xét tương tác kiểu Frohlich giữa các hạt tải và phonon quang Nó

có ảnh hưởng trực tiếp, ví dụ, đến quá trình tán xạ Raman cộng hưởng [86]

Một cách tiếp cận khác để nghiên cứu dao động tinh thể trong các hệ giả thấp chiều do Babiker đề xuất [3] được gọi là mô hình thủy động học (HD –

hóa phương trình Born – Huang có chú ý đến tán sắc không gian để khảo sát phonon quang dọc trong cấu trúc bán dẫn cực dị thể kép (giếng lượng tử) Khác với mô hình điện môi liên tục, ở đây, Babiker đòi hỏi véc tơ dịch chuyển ion phải thỏa mãn các điều kiện biên cơ học ở trên mặt phân cách giữa các vật liệu khác nhau tạo nên cấu trúc dị thể Cụ thể, Babiker áp dụng các điều kiện biên trong thủy động lực học, theo đó, thành phần pháp tuyến của véc tơ vận tốc và

áp suất phải liên tục khi đi qua mặt phân cách Với mô hình này, Babiker cho thấy trong cấu trúc bán dẫn cực dị thể kép tồn tại ba kiểu mode phonon quang dọc: các mode phonon kiểu khối bị giam cầm (guided mode), các mode phonon

bề mặt (interface mode) và các mode phonon khối hai chiều (2D bulk mode) Hơn nữa, tác giả cũng nhận được các phương trình xác định sự phụ thuộc của tần số vào véc tơ sóng hai chiều song song với mặt phân cách đối với tất cả các mode phonon Hai kiểu mode phonon đầu tiên (kiểu mode khối bị giam cầm và kiểu mode bề mặt) đã được tiên đoán trong mô hình DC Sự tồn tại của kiểu thứ

ba - kiểu mode phonon khối hai chiều - phụ thuộc vào các thông số vật lý của vật liệu tạo nên cấu trúc dị thể Ví dụ, đối với cấu trúc dị thể kép

đó) Trong công trình [84], Ridley xét tán xạ của electron bởi phonon quang dọc bị giam trong giếng lượng tử GaAs / Al Gax 1ưxAs Tác giả đưa ra điều kiện biên đối với các mode phonon quang dọc là thành phần vuông góc với mặt phân cách của véc tơ dịch chuyển ion triệt tiêu trên bề mặt phân cách Với mô hình

đơn giản này, tác giả đã nêu được những nét chính trong tán xạ của electron bởi phonon quang dọc trong giếng lượng tử Đối với giếng lượng tử mỏng, mode phonon bề mặt có đóng góp chính vào tán xạ trong vùng con Bởi thế, tán xạ sẽ tăng lên khi độ dày của giếng giảm Babiker và cộng sự [4] khảo sát sự thay đổi của tốc độ tán xạ trong giếng lượng tử đơn khi độ dày giếng tăng và phân tích vai trò của các mode phonon trong quá trình tán xạ Kết quả tính số đối với giếng lượng tử GaAs/ Al Ga As cho thấy tốc độ tán xạ tăng khi chiều dày

giếng tăng và có các cực đại một cách tuần hoàn, thể hiện tính cộng hưởng mỗi khi xuất hiện nhánh dao động quang mới

Hai cách tiếp cận, HD và DC, đều sử dụng gần đúng môi trường liên tục

để nghiên cứu phonon quang trong giếng lượng tử, đã có những kết luận mâu thuẫn nhau về sự tồn tại mode bề mặt, cách xác định các mode phonon giam cầm, về tương tác dạng Frohlich giữa electron và phonon Trong công trình của mình [5], Babiker đã trình bày cả hai lý thuyết cùng các giả thiết tương ứng, thảo luận về nguyên nhân dẫn đến những mâu thuẫn giữa hai cách tiếp cận và

so sánh với các kết quả thực nghiệm cũng như lý thuyết khác hiện có Tác giả chỉ ra những hạn chế của mô hình điện môi liên tục và cho thấy những bằng chứng thực nghiệm cũng như lý thuyết đã xác nhận mô hình thủy động học

Một số tác giả đã áp dụng mô hình thủy động học để tiến hành nghiên cứu các mode phonon quang và tương tác electron – phonon quang trong dây lượng tử (xem [86, 101] và tài liệu tham khảo ở đó) Constantinou và Ridley đã khảo sát các kiểu phonon quang dọc (LO mode) và các kiểu phonon bề mặt (Interface mode) trong dây lượng tử tiết diện tròn trên cơ sở phương trình Born - Huang [21, 22] Đối với dây lượng tử tự do (free-standing), các mode dao động thỏa mãn điều kiện áp suất bằng 0 trên bề mặt dây Điều kiện này đã loại bỏ khả năng tồn tại các mode bề mặt Vì vậy, tốc độ tán xạ của electron bởi phonon quang giảm đáng kể so với trường hợp hệ khối [21] Trong trường hợp dây lượng tử kiểu GaAs / Al Gax 1ưxAs, các tác giả công trình [22] xác định tần

số các mode dao động từ đòi hỏi thành phần pháp tuyến của vận tốc và áp suất phải liên tục trên mặt phân cách Họ chỉ ra rằng ứng với mỗi bán kính dây sẽ tồn tại một số hữu hạn các mode phonon quang dọc giam cầm kiểu khối Trong khi đó, các mode bề mặt chỉ tồn tại nếu véc tơ sóng lớn hơn một giá trị tới hạn nào đó Điều này dẫn đến tốc độ tán xạ giảm rõ rệt đối với các dây lượng tử có kích thước nhỏ

Khi áp dụng cho giếng lượng tử, các mô hình môi trường liên tục của phonon quang (mô hình DC và mô hình HD) cho kết quả phù hợp với nhau về dạng của các mode bề mặt, nhưng mâu thuẫn với nhau về đối xứng của thế tĩnh

khác nhau về tốc độ tán xạ electron-phonon [23] Mô hình DC đòi hỏi các điều kiện biên điện từ, theo đó, thế tĩnh điện phải triệt tiêu trên bề mặt phân cách của cấu trúc dị thể Điều đó dẫn đến thành phần pháp tuyến của véc tơ dịch chuyển ion không liên tục trên bề mặt phân cách Mặt khác, rõ ràng là mô hình này không thể mô tả được sự giam giữ phonon quang trong các vật liệu không cực Trong khi đó, mô hình HD chứng tỏ rằng các mode quang dọc tương ứng với véc tơ điện dịch bằng 0, và không mang năng lượng điện từ Do đó, mô hình này chỉ đòi hỏi các điều kiện biên cơ học, một trong số đó là điều kiện liên tục của véc tơ dịch chuyển ion Hiển nhiên là mô hình DC thỏa mãn các điều kiện biên điện từ thì không thể đáp ứng được các điều kiện biên cơ học, và ngược lại, mô hình HD thỏa mãn các điều kiện biên cơ học thì lại không thỏa mãn các

điều kiện biên điện từ Khi sử dụng các mô hình môi trường liên tục nói trên để nghiên cứu dao động quang trong cấu trúc dây lượng tử, các nhà khoa học cũng gặp những khó khăn như vậy

Chúng ta biết rằng trong bán dẫn khối đẳng hướng, các mode dao động dọc và ngang thỏa mãn các phương trình riêng biệt Các dao động này tách riêng và không liên kết với nhau Trong khi đó, điện trường gắn với dao động cơ học ứng với các mode quang dọc Trong các cấu trúc dị thể, sự tồn tại bề mặt phân cách các vật liệu thành phần đã làm mất tính đẳng hướng của hệ, dẫn đến các dao động cơ học dọc và ngang liên kết với nhau và liên kết với điện trường Vì vậy, để có thể mô tả đúng đắn phonon và tương tác electron-phonon trong dây lượng tử nói riêng và trong các cấu trúc dị thể nói chung, cần phải chú ý

đến mối liên kết giữa các dao động dọc và ngang Trong cách tiếp cận mới, người ta đưa ra một hệ phương trình vi phân liên kết đối với véc tơ dịch chuyển ion u và thế tĩnh điện Φcho từng miền của cấu trúc dị thể Khi đó, ta không thể xem xét các dao động quang dọc, quang ngang và dao động bề mặt một cách riêng biệt Lời giải của hệ phương trình vi phân là tổ hợp của các kiểu dao động nói trên và phải thỏa mãn đồng thời điều kiện biên cơ học và điều kiện biên

điện từ ở trên mặt phân cách giữa các miền khác nhau của cấu trúc dị thể Các

điều kiện biên đó có thể là:

i) Véc tơ dịch chuyển u và thế Φphải liên tục

ii) Thành phần pháp tuyến của véc tơ điện dịch liên tục

iii) Thành phần pháp tuyến của ten xơ ứng suất liên tục

Trong khuôn khổ cách tiếp cận này ta không nhận được các mode dao động thuần dọc, hoặc thuần ngang, hay thuần bề mặt Ngược lại, các mode này có thể thể hiện tính dọc, ngang hay bề mặt tùy theo các điều kiện vật lý cụ thể của hệ Các mode này được gọi là các mode lai và lượng tử năng lượng của chúng được gọi là hybridon Mô hình lai của dao động quang được nghiên cứu trong cấu trúc giếng lượng tử [16, 19, 24, 79, 85, 98, 107] và dây lượng tử [17, 18, 23, 91, 113] Trong công trình [85], Ridley nghiên cứu sự giam cầm của các mode dao

động quang trong giếng lượng tử chế tạo từ vật liệu cực, cụ thể là giếng lượng tử AlAs/GaAs Các mode này được tạo thành do sự lai hóa của cả 3 loại dao động: dao động quang dọc, dao động quang ngang và dao động bề mặt phân cách Một kết luận quan trọng của công trình này là không tồn tại mode thuần túy bề mặt trong các hệ thực Vì vậy, tương tác dạng Frohlich giữa electron và phonon càng yếu nếu độ rộng giếng càng nhỏ Kết luận này đúng đối với các hệ mà tán sắc của các mode dao động quang dọc phù hợp với nhau để đảm bảo có sự lai hóa giữa các mode

Trong các hệ thấp chiều, tương tác nhiều hạt đã thu hút được sự quan tâm lớn trong những năm gần đây [75] Một trong những thể hiện của tương tác này đối với hệ electron là hiệu ứng chắn Sự chắn đó được mô tả bằng cách

đưa ra hàm điện môi Một số phương pháp gần đúng đã được sử dụng để nghiên cứu về hàm điện môi của khí electron: gần đúng pha ngẫu nhiên (Random Phase Approximation – RPA) [72, 80], gần đúng Hubbard [57, 58], gần đúng Singwi-Tosi-Lang-Sjolander (STLS) [94] Các phương pháp gần đúng này

được áp dụng trong khuôn khổ lý thuyết phản ứng tuyến tính, nghĩa là giả sử phản ứng của khí electron với tác động bên ngoài là tuyến tính đối với tác động

đó Hàm điện môi của hệ electron trong cấu trúc giả một chiều (QWR) đã được nhiều tác giả nghiên cứu [54, 55, 65, 68, 120] Lee và Spector [68] chỉ ra rằng hàm điện môi tĩnh của khí electron giả một chiều thể hiện kỳ dị loga tại véc tơ sóng q = 2 kF, trong đó kF là véc tơ sóng Fermi của electron, nếu khí electron

như là hàm của bán kính dây, hàm điện môi cũng có phân kỳ loga khi bán kính dây dần tới 0, không phụ thuộc vào tính chất suy biến của hệ electron Tính phân kỳ này liên quan đến ảnh Fourier của thế Coulomb một chiều Trong công trình [55], Huang nhận được hàm điện môi động cho hệ electron bị giam giữ trong dây lượng tử, trong đó có chú ý đến các chuyển mức trong vùng con lẫn chuyển mức giữa các vùng con Hu và O’Connell [54] đã nghiên cứu thế tạp bị chắn và plasmon trong hệ electron giả một chiều và chỉ ra rằng, khác với trường hợp hai chiều và ba chiều, thế tạp bị chắn hữu hạn ngay cả ở tâm tạp và có dao

động Friedel mạnh hơn Gần đây [87], Rodriguez-Coppola nghiên cứu và nhận

được biểu thức cho hàm điện môi của hệ electron trong các cấu trúc thấp chiều trong khuôn khổ lý thuyết phản ứng tuyến tính và gần đúng RPA cũng như gần

đúng Hubbard, có chú ý đến chuyển mức trong cũng như giữa các vùng con Rodriguez-Coppola cũng chỉ ra rằng hiệu ứng trao đổi có ảnh hưởng lớn đến tính chất điện môi của hệ, đặc biệt đối với cấu trúc kim loại và trong bán dẫn có nồng độ hạt tải thấp

Theo hiểu biết của chúng tôi, hầu hết các nghiên cứu trước đây đều xét dây lượng tử nằm trong chân không hoặc dây lượng tử được bao bởi một lớp hàng rào có chiều dày vô hạn Trong thực tế, lớp hàng rào này luôn có độ dày hữu hạn Vì vậy, độ dày hữu hạn của lớp hàng rào có ảnh hưởng như thế nào đối với các tính chất của phonon trong dây, tương tác của electron với phonon, cũng như các tính chất điện môi của dây, là một vấn đề cần được nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi xét dây lượng tử cấu tạo từ chất bán dẫn cực có lớp vỏ (còn gọi là lớp hàng rào) dày hữu hạn, gọi là dây lượng tử có cấu trúc lõi - vỏ

Để làm rõ vai trò của lớp hàng rào và tránh những phức tạp trong tính toán, chúng tôi sử dụng mô hình môi trường điện môi liên tục khi xây dựng các mode phonon trong dây lượng tử Dựa trên Hamiltonian tương tác dạng Frohlich giữa electron và phonon thu nhận được, chúng tôi nghiên cứu tốc độ tán xạ của electron gây bởi phonon quang dọc Ngoài ra, dây lượng tử được bọc kim loại mỏng cũng được chúng tôi xét đến Bên cạnh đó, sự khác biệt về hằng số điện môi giữa vật liệu lõi và vật liệu vỏ ảnh hưởng như thế nào đến tần số plasmon trong dây lõi-vỏ cũng được nghiên cứu trong luận án

Ngoài phần mở đầu trình bày tổng quan về các nghiên cứu đã có của các tác giả trong và ngoài nước về electron và phonon trong dây lượng tử, phần kết luận, danh mục các công trình liên quan đến luận án, tài liệu tham khảo và phụ lục, thì phần nội dung của luận án được bố trí trong 3 chương:

• Chương1 nghiên cứu sự ảnh hưởng của độ dày lớp hàng rào và sự chênh lệch hằng số điện môi giữa miền hàng rào và miền lõi đến trạng thái của các electron liên kết, hàm điện môi và tần số plasmon trong dây

• Chương 2 xây dựng các kiểu phonon quang dọc trong dây có cấu trúc lõi

- vỏ Ngoài ra, dây được bọc kim loại mỏng cũng được xem xét Từ đó, chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của độ dày lớp vỏ và sự tồn tại của lớp bọc kim loại

đến các mode phonon

• Chương 3 nghiên cứu tương tác electron – phonon quang dọc (LO phonon), từ đó tính tốc độ tán xạ của electron bởi LO phonon trong dây Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự thay đổi của tương tác electron – LO phonon và sự thay đổi của tốc độ tán xạ electron bởi LO phonon khi độ dày lớp

vỏ thay đổi và khi dây có thêm lớp bọc kim loại mỏng

CHƯƠNG 1: ELECTRON TRONG DÂY LƯợng tử

Trong luận án này chúng tôi xét dây lượng tử tiết diện tròn, chiều dài L, miền lõi bán kính R1 là một vật liệu bán dẫn cực có hằng số điện môi ε1, ví dụ GaAs; bao xung quanh là một vật liệu bán dẫn cực khác có hằng số điện môi ε2

tạo thành lớp vỏ hay còn gọi là lớp hàng rào có độ dày d = R2ư R1, ví dụ AlGaAs, như hình 1.1 Chúng tôi xét trường hợp bên ngoài dây là chân không

và trường hợp miền hàng rào được ngăn cách với chân không bởi lớp bọc kim loại mỏng

Hình 1.1: Mô hình dây

1.1 Trạng thái electron trong dây

Electron chuyển động trong dây lượng tử chịu ảnh hưởng của trường tuần hoàn tinh thể U r ( )



và thế giam giữ V r ( )



Không làm thay đổi các tính chất định tính của hệ, chúng tôi mô hình hóa chuyển động của electron trong dây lượng tử như sau: Electron chuyển

động tự do theo chiều trục z (trùng với trục của dây) Trong mặt phẳng xy, electron chuyển động trong thế giam giữ (R là khoảng cách tới trục của dây)

1

0 ( ) ( , , ) V 0

R R

R Rϕ

Miền2: Dày R2ư R1, hằng số điện môi ε2

Để tìm hàm sóng và năng lượng của electron trong dây lượng tử ta cần giải phương trình Schrodinger viết cho electron như sau

2 ( ) ( ) ( ) ( )

ở đây chúng tôi đi tìm lời giải của phương trình (1.2) bằng phương pháp gần

đúng khối lượng hiệu dụng [82] Để đơn giản trong tính toán khi xét dây GaAs/AlGaAs, chúng tôi giả thiết khối lượng hiệu dụng của electron trong miền lõi và miền hàng rào xấp xỉ bằng nhau ( * * *

1 2

m ≈ m = m ); không khó khăn khi ta xét trường hợp thực tế * *

= là số lượng tử đại diện cho biểu diễn tối giản của nhóm tịnh tiến với

m là số nguyên; n là đại diện cho các số lượng tử còn lại xác định trạng thái của electron; R , ,ϕ z là các tọa độ của hệ tọa độ trụ mà trục z trùng với trục của dây Năng lượng của electron ở trạng thái Fnlk( ) r

đổi Il(κR K ), l(κR ) Khi κ là số ảo, ta đặt κ' = κ , thì κ được thay bởi κ' và các hàm Ml(κR G ), l(κR ) tương ứng là các hàm Bessel Jl(κ' R N ), l(κ' R )

Các hệ số A, B, C xác định từ điều kiện biên và điều kiện chuẩn hóa được trình bày ở phụ lục 1

Từ điều kiện hàm sóng và đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục,

ta thu được phương trình xác định năng lượng của electron trong dây có lớp hàng rào dày hữu hạn như sau:

Sự phụ thuộc của các mức năng lượng liên kết của electron vào độ dày lớp hàng rào d = R2ư R1 đối với 4 vùng con (ln) thấp nhất trong dây lượng tử GaAs/Al0,3Ga0,7As có bán kính R1 = 3 nm, chiều cao rào thế V0 = 300 meV

được thể hiện trên hình 1.2

Hình 1.2 Sự phụ thuộc của các mức năng lượng liên kết của electron vào độ dày lớp hàng rào d = R2ư đối với 4 vùng con (ln) thấp nhất R1 trong dây lượng tử GaAs/Al Ga As có bán kính R = 3 nm, chiều cao rào thế V = 300 meV

Kết quả tính trên hình 1.2 cho thấy năng lượng electron giảm khi độ dày lớp hàng rào tăng lên và khi độ dày lớp hàng rào càng nhỏ thì sự chênh lệch năng lượng giữa các mức càng lớn Điều này phù hợp với mong đợi của chúng ta

Trong trường hợp rào thế cao hữu hạn và lớp hàng rào dày vô cùng

( ) ( )

( )

l nlk

( ) ( )

0

l nlk

l

J k R = (1.14)

1.2 Hàm điện môi điện tử

Trong phần này chúng tôi áp dụng phương pháp gần đúng pha ngẫu nhiên (RPA) cùng với lý thuyết phản ứng tuyến tính để xây dựng hàm điện môi

điện tử

Xét hệ cân bằng điện, mật độ electron cân bằng với mật độ điện tích dương Giả sử mật độ điện tích dương của các ion phân bố đều Khi tác dụng

của các electron với điện tích thử nên mật độ electron trong hệ trở nên không

đồng đều Ví dụ, trường hợp điện tích thử là điện tích dương, khi đó nó sẽ hút

các electron xung quanh khiến mật độ electron xung quanh nó tăng lên Do đó

tương tác giữa một electron nào đó với điện tích thử sẽ bị ảnh hưởng do có

tương tác với các electron chắn, nói cách khác trong tinh thể đã xuất hiện thế

trong đó H0 là Hamiltonian tự do của electron khi chưa có điện tích thử

Khi hệ có nhiễu loạn, mật độ electron có dạng n r t ( , ) = n0+δn r t ( , ) , trong đó n0

là mật độ electron cân bằng

Toán tử mật độ có thể biểu diễn dưới dạng

ρ( ) t =ρ0+δρ( ) t ,

với ρ0 là toán tử mật độ cân bằng của hệ không nhiễu loạn (U = 0)

Ta xác định hàm điện môi trong tinh thể từ mối liên hệ giữa véc tơ phân cực P



và véc tơ cường độ điện trường tổng cộng E



E r t ( , ) 4 + πP r t ( , ) =ε E r t ( , ) = D r t ( , ), (1.17) trong đó D r t ( , )

υU rs( , ) ω υ, ≡ n l k U r , , s( , ) ω n l k ' , , ' ' (1.19) Xét ảnh Fourier theo biến z của các đại lượng trong (1.18), kết hợp sử dụng (1.19) ta được

'

' ' ,

, , ( , , , ) , , ( , ) 1

2

( , ) ( , ) s

e

U r t π n r t

δε

∇  = ư  , (1.21) trong đó ε là hằng số điện môi nền của môi trường Thăng giáng mật độ electron δn r t ( , ) được xác định bởi biểu thức



Mặt khác, toán tử mật độ ρ( ) t được xác định bởi phương trình Liouville

trong đó Eυ là năng l−ợng của electron ở trạng thái xác định bởi số l−ợng tử đại diện υ; fυ là hàm phân bố của electron ở trạng thái cân bằng xác định bởi '

υυ

δ  =∑ψ  υ δρ υ ψ  , (1.30)

trong đó ψυ( ) r là hàm sóng của electron ở trạng thái xác định bởi số l−ợng tử

đại diện υ trong dây l−ợng tử

Nh− vậy, từ các mối liên hệ (1.21), (1.22), (1.28), (1.30), ta dễ dàng xác

2

2 2 ,

−

∇ −  = −∫   (1.33) Trong ph−¬ng tr×nh (1.33), ε( ) r cã d¹ng

1

2 ( , , )

( , , ) 1

( ) ( , , ) 2

im sm m

s

im sm m

im sm m

πω

θ

θπ

=

∑ ℏ , (1.39) với γ là độ rộng mức năng lượng của electron do electron tương tác với các

khuyết tật của mạng tinh thể, v.v…

điện động lực học tại biên tiếp giáp giữa các lớp vật liệu như sau

• Trường hợp dây không bọc kim loại:

- Điện thế phải liên tục

- Thành phần pháp tuyến của véc tơ điện dịch phải liên tục

• Trường hợp dây được bọc kim loại:

Ngoài các điều kiện như đối với dây không bọc kim loại, trong

trường hợp này điện thế phải triệt tiêu tại R = R2

Từ kết quả thu được cho thế chắn (1.36), để xác định hàm điện môi

trong dây lượng tử (1.20), ta tính yếu tố ma trận của thế chắn

Xét ở giới hạn lượng tử, kích thước của dây đủ nhỏ, khi đó giả thiết electron chỉ

nằm ở các mức năng lượng thuộc vùng con thấp nhất: ' '

Để thuận lợi trong việc tính các biểu thức giải tích, áp dụng cách làm của các tác giả Gold – Ghazali [43], chúng tôi thay hàm sóng thực của electron bởi hàm sóng gần đúng cho trường hợp dây ta xét như sau

3 2 ' 2

8 ( R ) 1 R 0 R R

2 1

Thế (1.45), (1.19) vào (1.20) ta thu được biểu thức của hàm điện môi điện tử trong dây có lớp hàng rào dày hữu hạn như sau

'

'

2 2

electron n = 105 cm-1, ở nhiệt độ T = 0K, độ dày lớp hàng rào thay đổi với các giá trị mà R R2 1= 1, 2; R R2 1= 3; R R2 1= 20

Hình 1.3 ảnh hưởng của độ dày lớp rào lên hằng số điện môi tĩnh trong dây GaAs/Al0,3Ga0,7As, bán kính R1 = 3 nm, nồng độ electron n = 10 5 cm -1 , độ dày lớp rào thay đổi với các giá trị mà R R2 1= 1, 2; R R2 1= 3; R R2 1= 20 ở nhiệt độ T = 0K.

Hình vẽ cho thấy độ dày lớp vỏ càng nhỏ thì hằng số điện môi tĩnh trong dây càng lớn, đặc biệt khi nhiễu loạn có véc tơ sóng nhỏ Hằng số điện môi tĩnh có phân kỳ lôga tại giá trị q = 2 kF với kFlà véc tơ sóng của electron ở mức năng lượng Fermi, đó là sự phân kỳ đã biết trong các hệ một chiều

Hình 1.4 thể hiện sự phụ thuộc của hằng số điện môi tĩnh vào nồng độ electron suy biến trong dây GaAs/Al0,3Ga0,7As, bán kính R1 = 3 nm, độ dày lớp hàng rào thỏa mãn R R =2 1 1, 2và q = 0,5

Hình 1.4 Hằng số điện môi phụ thuộc nồng độ electron suy biến trong dây lượng tử GaAs/Al 0,3 Ga 0,7 As có bán kính lõi R 1 = 3 nm, R R =2 1 1, 2 và qR 1 = 0,5

Từ hình 1.4 ta thấy, trong miền nồng độ electron nhỏ, hằng số điện môi tĩnh của dây thay đổi mạnh khi nồng độ electron thay đổi và thể hiện phân kỳ lôga khi

nồng độ đạt giá trị sao cho kF = q 2 Trong miền nồng độ electron lớn, hằng số

điện môi tĩnh gần như không thay đổi khi nồng độ electron tiếp tục tăng lên

ảnh hưởng của bán kính dây lên hằng số điện môi tĩnh của hệ electron suy biến với nồng độ n = 105 cm-1 trong dây GaAs/Al0,3Ga0,7As có độ dày lớp hàng rào R2ư R1= 1 nm, bán kính phần lõi thay đổi với các giá trị R1 = 3 nm; 5 nm; 20 nm được thể hiện ở hình 1.5

Hình 1.5 Hằng số điện môi trong dây GaAs/Al0,3Ga0,7As có độ dày lớp hàng rào

2 1 1 nm

R ư R = , bán kính phần lõi thay đổi với các giá trị R1 = 3 nm; 5 nm; 20 nm

Hình 1.5 cho thấy, với các dây có cùng độ dày lớp rào, cùng nồng độ electron, bán kính dây càng nhỏ thì hằng số điện môi trong dây càng lớn Sự phụ thuộc của hằng số điện môi tĩnh của dây vào kích thước dây chỉ rõ nét khi véc tơ sóng của nhiễu loạn nhỏ và cũng thể hiện phân kỳ lôga khi véc tơ sóng đạt giá trị

2 F

q = k như chờ đợi đối với hệ electron một chiều Khi véc tơ sóng lớn, hằng số

điện môi tĩnh gần như không thay đổi khi kích thước dây tiếp tục tăng lên

Trong các kết quả tính cho hệ electron suy biến (T = 0K) ở trên, chúng tôi không tính đến độ rộng của các mức năng lượng electron vì chúng rất nhỏ

ở nhiệt độ cao, do va chạm với các khuyết tật của mạng tinh thể, v.v nên electron có độ rộng mức năng lượng được đặc trưng bởi thông số γ trong công thức (1.39) Trong luận án, chúng tôi lấy giá trị của γ vào cỡ 4

10ư EF [116] Tính đến độ rộng mức năng lượng của electron, sự phụ thuộc của hằng số điện môi tĩnh vào véc tơ sóng của electron ở nhiệt độ T = 150 K và T = 300 K trong dây GaAs/AlGaAs có bán kính R = 3 nm, nồng độ electron n = 105 cm-1, được

Hình 1.6 Phụ thuộc của hằng số điện môi vào véc tơ sóng ở T = 150 K và T = 300 K trong dây GaAs/ Al 0,3 Ga 0,7 As có bán kính R 1 = 3 nm, nồng độ electron n = 10 5

cm -1

Từ hình 1.6 ta có thể thấy, khi nhiệt độ tăng thì hằng số điện môi giảm; véc tơ sóng càng lớn thì hằng số điện môi càng nhỏ

Trong trường hợp dây có lớp hàng rào dày vô hạn, bằng phương pháp tương tự, chúng tôi thu được biểu thức giải tích cho hằng số điện môi tĩnh trong dây như sau

Sự phụ thuộc của hằng số điện môi tĩnh vào véc tơ sóng trong dây GaAs/

Al0,3Ga0,7As có bán kính R1 = 3 nm, độ dày lớp rào vô hạn, nồng độ tuyến tính của electron n = 106 cm-1,ở các nhiệt độ T khác nhau (T =0 K và T = 300 K)

được thể hiện trên hình 1.7 cho thấy ở nhiệt độ cao thì hằng số điện môi nhỏ

Hình 1.7 Sự phụ thuộc của hằng số điện môi tĩnh vào véc tơ sóng ở nhiệt độ T = 0 K

Và T = 300 K trong dây GaAs/ Al0,3Ga0,7As có kích thước R1 = 3 nm, độ dày lớp rào

vô hạn, nồng độ electron n = 10 6 cm -1

Trường hợp hệ electron suy biến (T =0 K), hàm ε( ) q phân kỳ tại giá trị q = 2 kF,

đó là sự phân kỳ đã biết trong các hệ một chiều Vì lý do đó, đồ thị của hàm

( , 0) q

ε ở nhiệt độ T = 0 K có dạng như hình vẽ Hằng số điện môi của dây thay

đổi chủ yếu khi nhiễu loạn có véc tơ sóng nhỏ Trong miền véc tơ sóng lớn, hằng số điện môi của dây gần như không thay đổi, không phụ thuộc véc tơ sóng

Do hiệu ứng chắn, nồng độ electron trong dây sẽ ảnh hưởng đến hằng số

điện môi Hình 1.8 cho ta thấy sự thay đổi của hằng số điện môi tĩnh trong dây GaAs/Al0.3Ga0.7As ở nhiệt độ T = 300 K với các giá trị của nồng độ electron n = 9,0.105 cm-1; 2,0.106 cm-1; 5,0.106 cm-1

Hình 1.8 Hằng số điện môi tĩnh trong dây GaAs/Al0.3Ga0.7As có lớp rào dày vô hạn

Hình vẽ chỉ ra rằng, khi nồng độ electron n tăng thì hằng số điện môi trong dây

dây thay đổi chỉ rõ nét khi véc tơ sóng của nhiễu loạn nhỏ ở miền véc tơ sóng lớn thì hằng số điện môi gần như không thay đổi, không phụ thuộc vào nồng độ electron

Chúng tôi xem xét ảnh hưởng của vật liệu lớp hàng rào lên hằng số điện môi trong dây bằng cách thay đổi nồng độ Al trong lớp rào của dây

1

GaAs / Al Gax ưxAs Khi thay đổi nồng độ x của Al, hằng số điện môi của vật liệu hàng rào Al Gax 1ưxAssẽ thay đổi theo công thức [53]

ε0 = 12, 9 2,84 ; ư x ε∞ = 10,89 2, 73 ư x

Hình 1.9 so sánh hằng số điện môi tĩnh của hệ electron suy biến ở T = 0

K (hình trái) và hệ không suy biến ở T = 300 K (hình phải) khi nồng độ x của

Al trong dây GaAs / Al Gax 1ưxAs có lớp hàng rào dày vô hạn nhận các giá trị x = 0,5 và x = 1,0

Hình 1.9 Sự thay đổi của hằng số điện môi trong dây GaAs / Al Gax 1ưxAs có lớp rào dày vô hạn, nồng độ x của Al nhận các giá trị x = 0,5 và x = 1,0 đối với hệ electron suy biến ở T = 0 K (hình trái)) và hệ không suy biến ở T = 300 K (hình phải).

Hình vẽ cho thấy, ở cả hai nhiệt độ T = 0 K và T = 300 K, khi nồng độ x của Al thay đổi thì hằng số điện môi của dây thay đổi không đáng kể, đặc biệt chúng chỉ khác nhau ở khi nhiễu loạn có véc tơ sóng nhỏ

Quang phổ của các kích thích tập thể của mật độ điện tích, hay là plasmon, trong dây lượng tử là một trong những tính chất quan trọng nhất của dây Người ta quan tâm đến việc nghiên cứu plasmon là vì các dao động plasma giữ vai trò quan trọng trong một số hiện tượng lý thú, ví dụ như quá trình truyền

động lượng của electron (hiệu ứng kéo Coulomb) [30, 102] Chúng có ảnh

hưởng đến tính chất của hệ electron trong dây Trong các công trình [45, 70] các tác giả đã xây dựng một mô hình đơn giản của dây và thu nhận được tán sắc của plasmon trong gần đúng pha ngẫu nhiên Những kết quả này đã được thực nghiệm xác nhận [44] Một trong những đặc trưng chính của plasmon một chiều là năng lượng của nó phụ thuộc độ rộng của dây, như đã được xác nhận trong công trình thực nghiệm [90] Khi đường kính dây giảm thì năng lượng plasmon tăng, đó là hệ quả của sự giam cầm lượng tử và các hiệu ứng mặt phân cách Người ta cũng đã chỉ ra rằng phổ của plasmon cũng rất nhạy với dạng của tiết diện ngang của dây [10, 71], mà tiết diện ngang thay đổi tùy theo các quá trình tạo mẫu

Tần số plasmon trong dây là nghiệm của phương trình

ε( , ) q ω = 0, (1.48) trong đó hàm điện môi ( , )ε q ω được xác định bởi các biểu thức (1.46), (1.47) tùy thuộc mô hình dây

Đối với dây có lớp hàng rào dày hữu hạn, chúng tôi vẽ các đường tán sắc của plasmon cho dây GaAs/AlAs, bán kính R1 = 3 nm, độ dày lớp hàng rào

2 1 1 nm

R ư R = , mật độ electron n = 106 cm-1 trên hình 1.10

Hình 1.10 Đường tán sắc của plasmon trong dây GaAs/AlAs có bán kính R1 = 3 nm,

độ dày lớp hàng rào R2ư R1= 1 nm , mật độ electron n = 10 6 cm -1 ở T = 0 K và T =

GaAs/Al0,3Ga0,7As có bán kính R1 =3 nm, độ dày lớp hàng rào R2− R1= 0, 6 nmở nhiệt độ T = 0 K , khi nồng độ electron có các giá trị n = 1.105 cm-1; 5 105 cm-1;

điện môi của GaAs (tức là bỏ qua sự khác biệt về hằng số điện môi giữa lớp lõi

và lớp rào) ở nhiệt độ T = 0 K và T = 300 K đ−ợc biểu diễn trên hình 1.12

Hình 1.12 Độ dịch tần số plasmon trong dây GaAs / Al Gax 1−xAs có lớp hàng rào dày vô hạn, bán kính R1 = 3 nm, nồng độ electron n = 5.10 6 cm -1 , nồng độ x của Al ở lớp hàng rào x = 1 so với dây có nồng độ x = 0, ở nhiệt độ T = 0 K và T = 300 K

Kết quả trên hình vẽ 1.12 cho ta thấy, độ dịch của tần số plasmon gần như không phụ thuộc vào nhiệt độ Vì vậy, để khảo sát sự thay đổi của tần số plasmon khi hằng số điện môi của lớp hàng rào thay đổi, chúng tôi trình bày trên hình 1.13 độ dịch tần số plasmon ở nhiệt độ T = 0 K trong dây lượng tử

Ngoài ra, kết quả tính số cho thấy bán kính dây cũng ảnh hưởng đến tần

số plasmon trong dây Hình 1.14 biểu diễn độ dịch tần số của plasmon trong trường hợp dây GaAs/Al0,3Ga0,7As có lớp hàng rào dày vô hạn, bán kính R1 = 3

nm so với dây có bán kính R1 = 4 nm và R1 = 5 nm; ở nhiệt độ T = 0 K và nồng

độ electron n = 5.106 cm-1