2 Tỡm điểm M thuộc đồ thị C sao cho tiếp tuyến của C tại M tạo với hai đường tiệm cận một tam giỏc cõn.. Cỏc mặt bờn SAB và SAD cựng vuụng gúc với mặt đỏy ABCD.. Tớnh thể tớch khối chúp
Trang 1SỞ GD&ĐT BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT NGễ SĨ LIấN
(Đề thi gồm cú 01 trang)
ĐỀ THI THÁNG LẦN 5 NĂM HỌC 2014 - 2015 Mụn: TOÁN LỚP 12
Thời gian làm bài: 120 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề)
Câu I (2,5 điểm)
Cho hàm số y 2 1
2
−
=
−
x
x cú đồ thị (C).
1) Khảo sỏt và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tỡm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai
đường tiệm cận một tam giỏc cõn
Câu II (2 điểm)
1) Giải phơng trình: sin2 x (1+ tan ) 3sin (cos x = x x − sin ) 3 x +
2) Giải bất phương trỡnh:
1 > + 3 2
1
Câu III (1,5 điểm)
Tớnh tớch phõn: I =
1
0
Câu IV (1 điểm)
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a, gúc BADã =600và
cạnh bờn SC = 2a Cỏc mặt bờn SAB và SAD cựng vuụng gúc với mặt đỏy (ABCD) Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng
SC v à BD.
Câu V (1 điểm)
Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giỏc ABC cú tọa độ cỏc đỉnh
A(1; 3; 2), B(-1; 2; 3), C(-2; 0; 1) Viết phương trỡnh mặt phẳng (ABC) Tỡm tọa
độ trực tõm của tam giỏc ABC.
Câu VI (1 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD biết phương trỡnh cỏc cạnh BC: x + 2y – 4 = 0, phương trỡnh đường chộo BD: 3x + y – 7 = 0, đường chộo AC đi qua điểm M(– 5; 2) Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật
ABCD.
Câu VII (1 điểm)
Cho a, b, c là cỏc số thực dương Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức:
P ( 1)( 1)( 1)
+
– 1
=
- Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THức
Trang 21) TXĐ D = R\{ }2
Ta có
−
−
2 1 /
1 2 /
x
x , → + = +∞
x 2lim y ,
−
x 2lim y
Kl tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
y’(x) = 3 2
( 2)
−
−
x ⇒ y’(x) < 0 ∀ ∈x D
Ta cã b¶ng biến thiên:
x -∞ 2 +∞
y’ - -
y 2 + ∞
2 -∞
Hµm sè nghÞch biÕn trên (- ∞; 2) v (2; + à ∞) Hµm sè không có cực trị
Vẽ đồ thị đúng hình dạng và các điểm căn cứ, nhận xét đồ thị
0,5
0,25
0,25 0,5
2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận đứng và ngang
Gọi điểm M(x0; y0) thuộc (C) (x0 ≠ 2)⇒Tiếp tuyến tại M của (C) có hệ số góc
k = y’(x0) = 2
0
3 0 ( 2)
− <
−
x cắt tiệm cận đứng tại A, tiện cận ngang tại B.
Ta thấy tam giác AIB vuông tại I, mà giả thiết tam giác ABI cân nên
ABI 45= , BI // Ox ⇒ tiếp tuyến trên tạo với Ox góc 450 hoặc 1350 ⇒ k
=1(loại) hoặc k = - 1 (tm)
0
3
1 (x 2)
M1( 2+ 3; 2+ 3),M2( 2− 3; 2− 3),
0,25
0,25 0,25 0,25
II
2
π
≠ ⇔ ≠ + π
Pt ⇔tan2 x(1 t an ) 3tan (1 t an ) 3(1 tan+ x = x − x + + 2x)
⇔ +(1 t an )(tanx 2 x− =3) 0
= −
⇔ = ±
tan 1
ta n 3
x x
⇔ = ±π + π = −π/ 4 m/ 3 n+ π
x
x víi k, m, n ∈Z v à kết luận nghiệm
0,25 0,25 0,5
2) Đk: x > 1
Bpt ⇔ − > +3 −
log x 1 log (1 x 2) (1) ⇔ x− < +1 1 3 x−2 đặt t = 3 x−2> -1 ⇒ = +x t3 2
Bpt trên có dạng: t3+ < +1 1 t (2) vì t > -1 nên
Bpt (2) ⇔t(t 1)(t 2) 0+ − <
⇔t(t 2) 0− < ⇔ < <0 t 2
Khi đó 2< <x 10⇒Kết luận
0,25
0,25 0,25 0,25
III
Ta có: I =
∫x x x+ x∫ x x= I1 + I2 Tính I1: Đặt u = x ⇒du = dx, dv = e4xdx ⇒chọn v = 1
4e4x
0,25
Trang 3Nên
1
4 0
e d
∫x x x
= x x − ∫ x x
1
0
4 16
16 16
Tính I2:
1
0
Do đó I 3e4
16
48
− +
0,5 0,5
0,25
IV
S
K
D C
I
A B
Mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với mặt dáy (ABCD) (gt)
và (SAB) ∩(SAD) = SA nên SA ⊥(ABCD)
⇒ SA ⊥AC, VSABCD = 1SA.SABCD
3 ⇒tam giác SAC vuông tại A ⇒ SA = a
Từ gt ta có tam giác ABD đều cạnh a nên BD = a và AI = a 3
2 ( I là trung điểm AC, BD) ⇒AC = a 3 , đo đó SABCD = 1AC.BD 1a 3.a a2 3
đó VSABCD = 1 aa 2 3 a 33
3 2 = 6 (đvtt)
0,25
0,25
Ta chứng minh BD ⊥(SAC), hạ IK ⊥SC (K∈SC)
⇒ BD ⊥ IK ⇒ I K = d(BD; SC)
Từ cách dựng trên ta c/m∆SAC : ∆IKC ⇒IK= a 3
4 ⇒Kl
0,25 0,25 V
Ta có AB ( 2; 1;1), AC ( 3; 3; 1)uuur= − − uuur= − − − ⇒AB; ACuuur uuur=(4; 5;3) 0− ≠r
Gọi nrABC
là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)
⇒r ⊥uuur r ⊥uuur nên chọn nABC = AB; AC
r uuur uuur
=(4;-5;3)
Từ gt ta có nrABC =(4; 5;3)− , khi đó pt (ABC): 4x−5y+ + =3z 5 0.
Gọi H(x; y; z) là trực tâm của tam giác ABC, ta có
H (ABC)
CH AB
BH AC
∈
4x 5y 3z 5 0
CH.AB 0
BH.AC 0
uuur uuur
uuur uuur
0,25
0,25 0,25 0,25
Trang 44 5 3 5 0 39 / 25
39 11 102 H( ; ; )
25 5 25
VI
Từ gt ⇒B(2; 1)
Từ gt ⇒cos(BC; BD) 3 2 1
10 2 2
+
= = ⇒(BC;BD) 45= 0 ⇒ tứ giác ABCD là hình vuông ⇒ AC⊥BD
Mà AC đi qua M(-5; 2) nên phương trình AC: x – 3y + 11 = 0
Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD ⇒ tọa độ điểm I(1; 4), C(- 2; 3)
Từ đó suy ra A(4; 5), D(0; 7)
0,25
0,25 0,25 0,25
VII
Ta có 4(a2 +b2+ + ≥ + + +c2 1) (a b c 1)2
⇒ 2+ 2+ + ≥2 1 + + + >
2
+ + +
2 2 2
a b c 1
+ + + 3
(a b c 3)
a + b+ c+
suy ra P
(a + b + c + 3)
≤
–
a b c 1
Đặt t = a + b + c + 3, từ gt ⇒ <3 t
Khi đó P≤ −
t 2 t , xét hàm số g(t) = −
t 2 t trên khoảng (3;+∞)
g'(t) = − +
(t 2) t , g'(t) = 0
=
⇔ =t 6t 3 (lo¹i).
Ta cã b¶ng:
x 3 6 +∞
g’ 0 + 0
g
1
4 P≤ 1
4Dấu bằng xảy ra khi t = 6 hay a = b = c = 1 Kl: MaxP =
1 4
0,25 0,25
0,25
0,25