Quan hệ vuông góc trong không gian Hình học 11 nâng cao

Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian • Ba vectơ được gọi là dồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng • Cho hai vectơ ,a br r không cùng phương.. H

QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

I TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC

A PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN:

1 Các quy tắc cần nhớ:

a Quy tắc ba điểm

Với ba điểm A, B, C bất kỳ ta có AB BC ACuuur uuur uuur+ = và AC BC BAuuur uuur uuur= −

b Quy tắc hình bình hành

Với hình bình hành ABCD ta có: AC AB ADuuur uuur uuur= +

c Quy tắc hình hộp:

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với AB, AD, AA’ là ba cạnh có chung đỉnh A và AC’ là đường chéo, ta có uuuur uuur uuur uuurAC'=AB AD AA+ + '

Hình 6.1

c

b

a

a + b + c B

B' C' C

A'

A

D' D

2 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

• Ba vectơ được gọi là dồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng

• Cho hai vectơ ,a br r không cùng phương Ba vectơ , ,a b cr r rđồng phẳng khi và chỉ

khi có cặp số m, n sao cho c ma nbr= r+ r

• Cho , ,a b cr r r là ba vectơ không đồng phẳng Với bất kì một vectơ xr nào trong

không gian ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x ma mb pcr= r+ r+ r

B QUAN HỆ VUÔNG GÓC:

3.Góc giữa hai đường thẳng Hai đường thẳng vuông góc

• Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’

và b’ cùng đi qua một điểm O bất kì lần lượt song song với a và b

• α là góc giữa hai đường thẳng a và b thì ta luôn luôn có α ≤ 900 Nếu ur là vectơ

chỉ phương của đường thẳng a và vr là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và ( ur

, vr)=α thì góc giữa hai đường thẳng a, b bằng α nếu α ≤ 900 và bằng 1800 – α nếu

α > 900

• Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900

4 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

• Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy

• Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng đó cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song vớ nhau

• Định lý ba đường vuông góc

- Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) Gọi b là đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α) và b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (α) Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’

- Cho đường thẳng d cắt mặt phẳng (α) tại O và d không vuông góc với (α) Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) là góc tạo bởi đường thẳng d và hình chiếu d’ của d trên (α)

- Khi d vuông góc với mặt phẳng (α) ta nói góc giữa d và (α) bắng 900

5 Hai mặt phẳng vuông góc:

• Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng

900

• Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

• Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó

6 Khoảng cách

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Đường vuông góc chung của chúng cắt a tại A, cắt b tại B Ta nói khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b là khoảng cách giữa A

và B

II RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:

1 Chứng minh các đẳng thức về vectơ

* Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là một hình chữ nhật.

Chứng minh rằng:

a SA SC SB SDuur uuur uur uuur+ = +

b SAuur2+SCuuur2 =SBuur2+SDuuur2

Giải

a Gọi O là tâm của hình chữ nhật Vì OA – OC nên: SA SCuur uuur+ =2SOuuur (1)

Vì OB = OD nên SB SDuur uuur+ =2SOuuur (2)

So sánh (1) và (2) ta suy ra SA SC SB SDuur uuur uur uuur+ = +

b Ta có:

2

SA= SO OA+ =SO +OA + SO OA

uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Mà OA OCuuur uuur r+ =0 nên

2

SA +SC = SO +OA +OC

uur uuur uuur uuur uuur

Tương tự ta có: SBuur2+SDuuur2 =2SOuuur2+OBuuur2+ODuuur2

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có

OAuuur = OBuuur= OCuuur = ODuuur

Từ đó suy ra SAuur2+SCuuur2 =SBuur2+SDuuur2

Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung

điểm của đoạn MN Chứng minh rằng:

a uuur uuur uuur uuurAD BC+ = AC BD+ =2MNuuuur

b GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r+ + + =0

c PA PB PC PDuuur uuur uuur uuur+ + + =4uuurPG với P là một điểm bất kì

Giải:

a Ta có: MN MA AD DNuuuur uuur uuur uuur= + + và

MN =MB BC CN+ +

uuuur uuur uuur uuur

Suy ra: 2MNuuuur=(MA MBuuur uuur+ )+uuur uuurAD BC+ +(uuur uuurDN CN+ )

Vì MA MB DN CNuuur uuur uuur uuur r+ = + =0 nên 2MN AD BCuuuur uuur uuur= +

Hình 6.2

O

D

C B

A

S

Hình 6.3

D

C

N M

A

Ta suy ra: uuur uuur uuur uuurAD BC+ =AC BD+ =2MNuuuur

b Vì GA GBuuur uuur+ =2GMuuuur, GC GDuuur uuur+ =2GNuuur, GM GNuuuur uuur r+ =0 nên GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0

c Với điểm P bất kì, từ kết quả trên ta có:

(PA PGuuur uuur− ) (+ PB PGuuur uuur− ) (+ uuur uuurPC PG− ) (+ PD PGuuur uuur− ) 0=r

Do đó: PA PB PC PDuuur uuur uuur uuur+ + + =4PGuuur

2 Chứng minh ba vectơ , , a b cr r r đồng phẳng

* Chứng minh rằng các vectơ , ,a b cr r r có giá song với một mặt phẳng

Chứng minh rằng có cặp số m, n sao cho c ma nbr= r+ r với ar và br không cùng phương

Bài 3: Cho hình tứ diện ABCD Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và

CD Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M,N sao cho

( 0)

AM BN

k k

AC = BD = > Chứng minh rằng ba vectơ PQ PM PNuuur uuuur uuur, , đồng phẳng

Giải:

Vì Q là trung điểm của cạnh DC nên ta có:

1

2

AC BD AP BP

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

Vì uuur uuur rAP BP+ =0 nên 1( ) 0

2

PQ= AC BD+ − uuur uuur uuur r

Theo giả thiết ta có AC 1 AM

k

=

uuur uuuur

và BD 1BN

k

= uuur uuur

2

k

uuur uuuur uuur

Vì: AM AP PMuuuur uuur uuuur= + và BN BP PNuuur uuur uuur= + nên 1 ( )

2

PQ AP PM BP PN

k

uuur uuur uuuur uuur uuur

uuur uuuur uuur

Từ hệ thức trên ta suy ra ba vectơ uuur uuuur uuurPQ PM PN, , đồng phẳng

Bài 4: Trong không gian cho tam giác ABC

a Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì OMuuuur=xOA yOB zOCuuur+ uuur+ uuur với mọi điểm O trong đó x + y + z = 1

b Ngược lại nếu có một điểm O trong không gian sao cho OMuuuur=xOA yOB zOCuuur+ uuur+ uuur trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mặt phẳng (ABC)

Giải

Q P

Hình 6.4

D

C

M

A

Hình 6.6 Hình 6.5

H C

B

A

C B

A

a Vì uuur uuurAB AC, là hai vectơ không cùng phương nên điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) khi:

AM =mAB nAC+

uuuur uuur uuur

hay OM OA m OB OAuuuur uuur− = (uuur uuur− )+n OC OA(uuur uuur− ) với điểm O tuỳ ý, tức là OMuuuur= − −(1 m n OA mOB nOC)uuur+ uuur+ uuur

Đặt 1 – m – n = x, m = y, n = z thì: OMuuuur=xOA yOB zOCuuur+ uuur+ uuur với x + y + z = 1

b Ngược lại nếu có điểm O sao cho OMuuuur=xOA yOB zOCuuur+ uuur+ uuur với x + y + z = 1 thì

OMuuuur= − −y z OA yOB zOCuuur+ uuur+ uuur hay OM OA y AB z ACuuuur uuur− = uuur+ uuur

Từ đó suy ra : AMuuuur= y AB z ACuuur+ uuur Do đó điểm M thuộc mặt phẳng (ABC)

3 Ứng dụng của tích vô hướng:

Bài 5:Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện là AB và CD, AC và DB vuông góc

với nhau Chứng minh rằng cặp cạnh đối diện còn lại là AD và BC cũng vuông góc với

nhau

Giải:

Trước hết tà cần chứng minh hệ thức sau đây:

AB CD AC DB AD BC+ + =

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Ta có:

AB CD AB AD AC AB AD AB AC

AC DB AC AB AD AC AB AC AD

AD BC AD AC AB AD AC AD AB

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB CD AC DB AD BC. + . + . =0

Do đó, nếu AB⊥CD nghĩa là uuur uuurAB CD =0 và AC ⊥ DB nghĩa là uuur uuurAC DB =0 thì từ hệ thức

(4) ta suy ra uuur uuurAD BC. =0 nghĩa là AD ⊥ BC

Cách khác:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng

(BCD), ta có AH ⊥(BCD) Do đó CD ⊥ AH Theo giả thiết

CD ⊥ AB, ta suy ra CD ⊥(AHB) Vậy CD ⊥ BH Tương tự,

theo giả thiết BD⊥AC, ta suy ra BD⊥(ACH), do đó BD⊥

CH Vậy H là trực tâm của tam giác BCD tức là DH⊥BC Do

đó BC ⊥ (ADH) nên ta suy ra BC⊥AD

4 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: I

Hình 6.7

H

C A

* Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) ta chứng minh :

- d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α)

- d song song với một đường thẳng d’ mà d’ vuông góc với (α)

- d vuông góc với (β) mà (β) // (α)

Bài 6: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân có chung đáy BC

a Chứng minh BC ⊥ AD

b Xác định hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (BCD)

Giải:

a Gọi I là trung điểm của BC, ta có BC ⊥ AI và BC ⊥ DI

Do đó BC ⊥ (ADI) và suy ra BC ⊥ AD

b Mặt phẳng (BCD) chứa đường thẳng BC⊥(ADI) nên (BCD) ⊥ (ADI) Ta có DI là giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (ADI) vuông góc với

nhau nên hình chiếu vuông góc H của đỉnh A phải nằm trên

giao tuyến DI của hai mặt phẳng đó Trong mặt phẳng (ADI),

ta vẽ AH ⊥ DI thì H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên

mặt phẳng (BCD)

Bài 7: Cho tam giác ABC Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc

với đường thẳng CA tại A và (β) là mặt phẳng vuông góc với

đường thẳng CB tại B

a Chứng minh hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau

b Gọi d là giao tuyến của (α) và (β) Chứng minh d ⊥

(ABC)

Giải:

a Theo giả thiết CA ⊥ (α) và CB ⊥ (β) nên góc của hai mặt phẳng (α) và (β) bằng góc

·ACB của tam giác ABC đã cho hoặc bằng góc 1800 - ·ACB Do đó ta suy ra hai mặt

phẳng (α) và (β) phải cắt nhau

b Vậy (α) và (β) phải cắt nhau theo giao tuyến d Ta cần chứng minh d ⊥ (ABC) Vì CA

⊥(α) và d thuộc (α) nên CA ⊥ d Tương tự, vì CB ⊥ (β) và d thuộc (β) nên CB⊥d Do

đó, vì d ⊥ CA và d ⊥ CB nên ta suy ra d ⊥ (ABC)

5 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi

cạnh a và có các cạnh bên SA = SB = SC = a Chứng minh:

a Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

b Tam giác SBD vuông tại S

Giải

a ABCD là hình thoi nên có AC ⊥ BD tại O Mặt khác SA

= SC nên có AC ⊥ SO Vậy AC ⊥ (SBD) Mặt phẳng

(ABCD) chứa AC ⊥ (SBD) nên (ABCD) ⊥ (SBD)

α

B

C

A

Hình 6.8

Hình 6.9

O D

C B

S

A

a

a

a

b Ta có: ∆SAC = ∆BAC (c – c – c) mà OA = OC nên SO = BO Mặt khác BO = DO nên

SO=OB=OD Ta suy ra tam giác SBD vuông tại S

Bài 9: Hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H và K lần

lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC

a Chứng minh rằNG (SAC) ⊥ (BHK) và (SBC) ⊥ (BHK)

b Tính diện tích tam giác ABC biết rằng tam giác SBC có SB =

15cm, SC = 14cm, BC = 13cm và có góc giữa hai mặt phẳng (SBC)

và (ABC) bằng 300

Giải:

a Gọi A’ là giao điểm của AH và BC Ta có BC⊥AA’ và BC⊥SA

suy ra BC⊥(SAA’) Do đó BC⊥SA’

Vậy SA’ đi qua K vì K là trực tâm của tam giác SBC

Vì BH ⊥ AC và BH ⊥ SA suy ra BH ⊥ (SAC)

Do đó BH SC SC (BHK)

BK SC



Vậy: (SAC) ⊥ (BHK)

BC ⊥ (SAA’) do đó BC ⊥ HK;

SC ⊥ (BHK) do đó SC ⊥ HK

Từ đó suy ra HK ⊥ (SBC) và (BHK) ⊥ (SBC)

b Gọi SSBC là diện tích tam giác SBC Theo công thức Hê – rông, ta có:

SBC

S = p p a p b p c− − − trong đó p = ½ (13+14+15) = 21

Do đó S SBC = 21(21 13)(21 14)(21 15) 84(− − − = cm2)

Ta có tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC)

Áp dụng công thức S’ = S cosϕ trong đó ϕ = 300 là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và

(ABC) ta có:

SABC = S’ = 84.cos300 = 42 3 (cm2)

6 Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và đến mặt

phẳng

Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a

a Chứng minh rằng khoảng cách từ các điểm B, C, D, A’, B’,

D’ đến đường chéo AC’ bằng nhau Hãy tính khoảng cách đó

b Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (A’BD) của hình

lập phương

Giải:

a ABC’ là tam giác vuông tại B, do đó khoảng cách từ B đến

AC’ là độ dài đường cao BI kẻ từ B xuống AC’ Vì ∆ABC’

vuông tại B nên ta có:

2 2

A'

K

H C

B A

S

Hình 6.10

Hình 6.11

I O

D'

D

C'

C

B' B

A' A

Lập luận tương tự đối với các điểm còn lại ta chứng minh được các khoảng cách từ các

điểm này đến đường chéo AC’ đều bằng nhau

b Điểm A cách đều ba đỉnh của tam giác đều A’BD vì ta có AB = AD = AA’ = a Điểm

C’ cũng cách đều ba đỉnh của tam giác đều A’BD vì ta có C’B=C’D=C’A=a 2 Vậy

AC’ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đều A’BD, do đó AC’ ⊥ (A’BD) tại trọng tâm

I của ∆A’BD Ta cần tính AI

Vì A’I = BI = DI = 2

3A’O với O là tâm hình vuông ABCD Ta có:

a

A O BD= =a = và A’I = 2 ' 6

a

A O= Xét tam giác vuông AA’I, ta có:

AI2 AA’2 – A’I2 = a2 -

2

AI

3

a

AI =

7 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a

và b

* Tính khoảng cách giữa a và mặt phẳng (α) chứa b và (α) // a

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa a và b

Bài 11: Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với OA=OB=OC=a

Gọi I là trung điểm của cạnh BC Tìm khoảng cách giữa AI và OC đồng thời xác định

đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó

Giải:

Ta có OC ⊥ (AOB) Gọi K là trung điểm OB, ta có hình chiếu của AI lên (AOB) là AK

(vì IK ⊥ (AOB))

Vẽ OH ⊥ AK Dựng HE// OC c8át AI tại E Dựng EF // OH c8át OC tại F Khi đó EF là

đường vuông góc chung của AI và OC Độ dài đoạn EF là khoảng cách giữa AI và OC

Xét tam giác vuông AOK ta có:

2

2

OH =OA +OK = a + a =a

 

 ÷

 

Do đó: OH2 = 2 5

OH

Vì OH = EF, ta suy ra khoảng cáhc EF = OH = 5

5

a

III BÀI TẬP:

1 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

a Chứng minh rằng uuur uuuur uuuur uuuurAA'+AC'= AB'+AD'

b Chứng minh: uuur uuur uuuur uuuuur rAB BC CD+ + '+D A' ' 0=

O K

I

E F

B

A

Hình 6.12

2 Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Trên các cạnh AD và BC ta lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho PAuuur= −3PD QBuuur uuur, = −3QCuuur Chứng minh rằng ba vectơ MN MP MQuuuur uuur uuuur, , đồng phẳng

3 Hai tam giác đều ABC và ABD có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC, BD, DA Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

4 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng đường thẳng AC’ vuông góc với các đường thẳng BD, DA’

5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD); gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB và

SD Chứng minh SC ⊥ (AHK) và HK ⊥ (SAC)

6 Hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Chứng minh (SCD) ⊥ (SAD) và (SBC) ⊥ (SAB)

7 Cho tứ diện ABCD có AB = 7cm, AC = 8cm, BC = 5cm Cạnh AD = 4 cm và AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

a SB và AD

b BD và SC