Gọi P là ñiểm chính giữa cung nhỏ AC.. Hai ñường thẳng AP và BC cắt nhau tại M.. Tìm ñiểm M thuộc O sao cho MA + 2MB ñạt giá trị nhỏ nhất... Gọi E là trung ñiểm của OC.. Dấu “=” xảy ra k
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN
NĂM HỌC 2010 – 2011
KHÓA NGÀY 21/06/2010
Đáp án : TOÁN
1
(4 đ)
Câu 1 : (4 điểm)
1) Giải hệ phương trình :
1
y 1
x 1 2 5y 3
x 1
+ =
3y 1
2
−
= + = − = −
+ =
1 x 2 1 y 3
=
⇔
2) Giải phương trình: (2x2−x)2+2x2− −x 12=0
Đặt t = 2x2 – x, pt trở thành
t2 + t – 12 = 0 ⇔ t = 3 hay t = – 4
t = 3 ⇔ 2x2 – x = 3 ⇔ x = – 1 hay x = 3/2
t = – 4 ⇔2x2 – x = – 4 ( vơ nghiệm)
Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm là x = – 1, x = 3/2
0,5x4
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
2
(3 đ)
Câu 2 : (3 điểm)
Cho phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2 + 4m – 3 = 0 (x là ẩn số) (*)
Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) thỏa x1 =2 x2
∆’ = (2m + 1)2 – (4m2 + 4m – 3) = 4 > 0, với mọi m
Vậy (*) luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt với mọi m
x =2m−1, x =2m+3
1 2
x =2 x ⇔ 2m 1− =2 2m+3
7 m
5
m
6
0,5 đ
0,5đ 0,5đ 1,5đ
3
(2 đ)
Câu 3 : (2 điểm)
7 2 11
+
7 2 11
+
Ta cĩ M > 0 và M2 = 14 2 44 2
7 2 11
+
=
1 đ
tuoitre.vn
Trang 24 (4 ñ ) Caâu 4 : (4 ñieåm)
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp ñường tròn (O) Gọi P là ñiểm chính giữa cung nhỏ AC Hai ñường thẳng AP và BC cắt nhau tại M Chứng minh rằng:
a) ABP=AMB
b) MA MP = BA BM
M
P A
O
b) PA PC=⇒CAP ABP AMB suy ra == CM = AC = AB
2ñ 1ñ 1ñ
5
(3 ñ) Caâu 5 : (3 ñieåm) a) Cho phương trình: 2x2 + mx + 2n + 8 = 0 (x là ẩn số và m, n là các số nguyên)
Giả sử phương trình có các nghiệm ñều là số nguyên Chứng minh rằng: m2 + n2
là hợp số
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ⇒ x1, x2 nguyên,x1 x2 m
2 + = − , x1x2 = n + 4
1 2 1 2 1 2 1 2
m +n =(2x +2x ) +(x x −4) =4x +4x +x x +16
2 2
1 2
(x 4)(x 4)
x12 + 4, x22 + 4 là các số nguyên lớn hơn 1 nên m2 + n2 là hợp số
b) Cho hai số dương a, b thỏa a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Tính P = a2010 +
b2010
Ta có 0 = a100 + b100 – (a101 + b101) = a101 + b101 – (a102 + b102)
⇒ a100(1 – a) + b100(1 – b) = a101(1 – a) + b101(1 – b)
⇒ a100(1 – a)2 + b100(1 – b)2 = 0
⇒ a = b = 1
⇒ P = a2010 + b2010 = 2
0,5ñ
0,5ñ 0,5ñ
1ñ 0,5ñ
6 (2ñ) Caâu 6 : (2 ñieåm)
Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA = OB = 2a Gọi (O) là ñường tròn tâm O
bán kính a Tìm ñiểm M thuộc (O) sao cho MA + 2MB ñạt giá trị nhỏ nhất
tuoitre.vn
Trang 3E
B
A C
O D
M
Đường thẳng OA cắt (O) tại C và D với C là trung ñiểm của OA Gọi E là trung
ñiểm của OC
* Trường hợp M không trùng với C và D: Hai tam giác OEM và OMA ñồng dạng
(MOE AOM, OM 1 OE
⇒ ME OM 1
* Trường hợp M trùng với C: MA = CA = 2EC = 2EM
* Trường hợp M trùng với D: MA = DA = 2ED = 2EM
Vậy luôn có MA = 2EM
MA + 2MB = 2(EM + MB) ≥ 2EB = hằng số
Dấu “=” xảy ra khi M là giao ñiểm của ñoạn BE với ñường tròn (O)
Vậy MA + 2MB nhỏ nhất khi M là giao ñiểm của ñoạn BE với ñường tròn (O)
1ñ
0,5 ñ
0,5ñ 7(2ñ) Caâu 7 : (2 ñieåm)
Cho a, b là các số dương thỏa a2+2b2≤3c2 Chứng minh 1 2 3
a+ ≥b c
Ta có
(1) (a 2b)(b 2a) 9ab
+
Từ (1) và (2) suy ra
2 2
a+b≥a+2b≥ 3(a +2b ) ≥c ( do a
2 + 2b2 ≤ 3c2)
0,5 ñ
0,5ñ 1ñ
tuoitre.vn