Luận văn thạc sĩ toán phương pháp điểm bất động cho bất đẳng thức biến phân

Một tiếp cận quan trọng trong nghiên cứu bất đẳng thức biến phân, đặc biệt là việc nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm và phương pháp giải là sử dụng các định lý điểm bất động.. Ý tưởng chín

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ MINH THU

PHƯƠNG PHÁP ĐIẺM BẤT ĐÔNG CHO BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Lề Dũng Mưu

Tôi xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm phòng sau Đại học trường Đạihọc sư phạm Hà Nội 2 cùng các thầy, cô giáo giảng dạy lớp cao học khóa 16 đợt

2 (2012 - 2014), đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành tốt Luận văn này.Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới GS.TSKH Lê Dũng Mưu,người luôn hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành Luận văn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót.Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và bạn đọc đểLuận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 18 tháng 6 năm 2014 Học viên

Phạm Thị Minh ThuTôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này làtrung thực và không trùng lặp với các đề tài khác

Hà Nội, ngày 18 tháng 6 năm 2014 Học viên

Phạm Thị Minh Thu

Mục lục

1 Điểm bất động của ánh xạ co và không giãn 4

1.1 Không gian Hilbert 4

1.1.1 Tích vô hướng 4

1.1.2 Định nghĩa không gian Hilbert và một số ví dụ 5 1.1.3 Tính trực giao 6

1.1.4 Toán tử tuyến tính bị chặn 7

1.2 Điểm bất động của ánh xạ co 8

1.2.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach 8

1.2.2 Mở rộng nguyên lýánh xạ co 9

1.2.3 Ánh xạ co yếu 11

1.3 Ánh xạ không giãn 14

2 Phương pháp điểm bất động cho bất đẳng thức biến phân 18 2.1 Bài toán VI 18

2.1.2 Sự tồn tại và tính duy nhất 32

Tập tất cả các điểm X G K thỏa mãn (VI) được gọi là tập nghiệm của bất

đẳng thức biến phân (VI) và được kí hiệu là Sol(VI) hoặc Sol(VI(F,K))

Một tiếp cận quan trọng trong nghiên cứu bất đẳng thức biến phân, đặc biệt

là việc nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm và phương pháp giải là sử dụng các định

lý điểm bất động Ý tưởng chính của cách tiếp cận này là xây dựng một ánh xạthích hợp sao cho tập điểm bất động của ánh xạ này cũng là tập nghiệm của bàitoán bất đẳng thức biến phân Cách tiếp cận điểm bất động không chỉ làm việc vớikhông gian hữu hạn chiều mà còn được sử dụng trong không gian Hilbert

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự hướng dẫncủa GS.TSKH Lê Dũng Mưu, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: "Phươngpháp điểm bất động cho bất đẳng thức biến phân"

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu phương pháp điểm bất độnggiải bất đẳng thức biến phân Cụ thể là sử dụng định lý điểm bất động Brouwer đểchứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân Ngoài radùng định lý điểm bất động theo nguyên lý ánh xạ co Banach để chứng tỏ tínhduy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh

2 Mục đích nghiên cứu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài nhằm tổng hợp lại một cách có hệ thống vàtương đối đầy đủ những phương pháp điểm bất động đối với các loại ánh xạ co,ánh xạ không giãn cho một số lớp bài toán bất đẳng thức biến phân quan trọng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là điểm bất động và bất đẳng thức biếnphân

Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu

Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứuTrong luận văn này chúng ta làm việc chủ yếu trên không gian Hilbert

thực H Dưới đây ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản về không

gian Hilbert, điểm bất động của ánh xạ co, ánh xạ không giãn, Các kiến thứctrong chương này được lấy chủ yếu từ các tài liệu

2) Vz, y, z e X : (x + y, z) = (X, z) + {y, z);

3) V x , y £ X , Vqí e p : { a x , y ) = a ( x , y );

1.1.2 Định nghĩa không gỉan Hilbert và một số ví dụ

Định nghĩa 1.2 Ta gọi một tập H ^ ộ gồm những phần tử x,y,z, nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện sau:

1) H là không gian tuyến tính trên trường P;

2) H được trang bị một tích vô hướng (.,■);

3) H là không gian Banach với chuẩn ||a:|| = \J(x, x), X e H.

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gianHilbert H

là không gian Hilbert con của không gian H

Ví dụ 1.1 Ký hiệu là không gian véctơ thực k chiều Với

5 Phương pháp nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu1.1.3. Tính trực giao

Định nghĩa 1.3 Cho không gian Hilbert H Hai phần tử x,y e H gọi là trực giao, và kỷ hiệu X-Ly, nếu (x,y) = 0.

Định nghĩa 1.4 Cho không gian Hilbert H và tập con A c H, A Ỷ ộ' Phần tử X G H gọi là trực giao với tập Ả, nếu xl.y(\/y G Á), và ký hiệu XẢ.A.

Từ các định nghĩa trên suy ra một số tính chất đơn giản sau đây:

1) d - L x Vx G H ( 9 là ký hiệu phần tử không của không gian Hilbert

4) Cho phần tử X € H và dãy các phần tử (yn) c H hội tụ tới

5) Cho Ả là tập con trù mật khắp nơi trong không gian H

Khi

đó, nếu X £ H và X-LA thì X = 6.

Định lý 1.1 (Định lý Pythagore) Nếu x,y G H và X-Ly, thì

\\x + y\\ 2 = ||a:|| 2 + \\y\\ 2

5 Phương pháp nghiên cứuĐịnh lý 1.2 (Định lý về hình chiếu lên không gian con) Cho

không gian Hilbert H và H Q là không gian con của H Khi đó phần

tử bất kỳ X £ H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

Định lý 1.3 (Định lý về đẳng thức Paseval) Cho (e n ) n >i là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H Năm mệnh đề sau tương đương (từ một mệnh đề suy ra bốn mệnh đề còn lại):

1) Hệ (e n)„>i ỉà cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert H\

2 Mục đích nghiên cứuĐịnh lý 1.4 (Định lý F.Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

f { x ) = (x,a), X e H, trong đó phần tử a G H được xác định duy nhất

bởi phiếm hàm f và

11/11 = IMI •

Định nghĩa 1.6 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X và không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu

(.Ax,y) = {x,By), Vx G X,Vy € Y.

Toán tử liên hợp B thường ký hiệu là A* Định lý 1.5 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó tồn tại toán tứ A*

là liên hợp với toán tử Ả ánh xạ không gian Y vào không gian X.

5 Phương pháp nghiên cứuĐịnh lý 1.6 (Nguyên lý ánh xạ co Banach) Cho (X,d) là một

không gian metric đầy đủ và T là ánh xạ co trong X Khi đó, tồn tại duy nhất X * £ X m à Tx* = X* Ngoài r a , v ớ i mọi xữ G X t a có T n x 0 —¥

Định nghĩa 1.8 Ánh xạ T trong không gian metric (x,d) được gọi

là (£,ổ) — co nếu với mọi i > 0 đều tồn tại ỏ > 0 sao cho:

Nếu i ^ d(x, y) < i + s thì

d(Tx, Ty) < £.

Có thể kiểm tra rằng lớp ánh xạ ( £ , S )—co chứa cả hai lớp ánh

xạ vừa nêu, và hiển nhiên chứa lớp ánh xạ co vì chỉ cần chọn ỏ = £ ( l

— k ) / k Tuy nhiên mọi ánh xạ co đều thỏa mãn điều kiện:

5 Phương pháp nghiên cứu

(1.5)

Nếu X ^ y thì

d(Tx,Ty) < d(x,y).

2 Mục đích nghiên cứuThật vậy, nếu X Ỷ Y thì đặt Í = D ( X , Y ) > 0 và ta sẽ có £ = D ( X, Y ) < I +

S , nên theo (1.4) ta phải có D (T X ,T Y) < T = D ( X, Y ).

Lớp ánh xạ thỏa mãn điều kiện (1.5) thường được gọi là “co yếu” Hiểnnhiên các ánh xạ thuộc lớp này, nếu có điểm bất động thì nó phải duy nhất

Định lý 1.7 (xem [3]) Cho (X,d) là một không gian metric đầy

đủ và T là một ánh xạ (£,ỏ) — co trong X Khi đó, T có điểm bất động duy nhất X* và với mọi X Q G X, ta có T n x ữ —> X* khi n —> oo.

C h ứ n g m i n h Lấy x 0 G X tùy ý, đặt X n+1 = T x n \ c n =

d ( x n , x n + 1), n = 0,1, 2, Có thể giả thiết c n > 0 Vì T là co yếu nên

c n > 0 là dãy số không âm và giảm, do đó c n — > £ ^ 0 Nếu i > 0 thì

tồn tại ổ > 0 để có (1.4) Chọn к e N (tập hợp mọi số tự nhiên) sao cho nếu n

^ к thì cn < £ + s Theo (1.4) ta có C n+1 < £ là điều vô lí Vậy £ = 0,

tức là c n —> 0

Ta sẽ chứng minh { x n } là dãy Cauchy bằng phản chứng Giả sử có l >

0 sao cho với mọi к G N tồn tại n , m ^ к mà d ( x n, x m ) ^ 2 £ Chọn к

sao cho nếu i ^ к thì C i < f với а = min{ Chọn m > n ^ к để cho

d ( x n , x m) ^ 2 £ và xét các số d ( x n , x n + 1), d ( x n , x n + 2 ) , d ( x n ,

x m ) Khoảng cách giữa hai số liên tiếp là

Id(x n ,xi) - d(arn,a:i+i)| ^ d(xi,x i +1 ) = C; < ^.

5 Phương pháp nghiên cứud{x n ,x ả ) < d(x n ,x n + 1) + d(x n + 1,x j + 1 ) + d(xj + 1,xj)

Định lý 1.8 Cho (X, d) là một không gian metric compact và T là ánh

xạ co yếu trong X Khi đó T có điểm bất động duy nhất trong X.

C h ứ n g m i n h Với mỗi X € X , đặt f ( x ) = d ( x , T x ) Vì T là

ánh xạ co yếu nên cũng liên tục, do đó / là hàm số liên tục trên không gian

compact X Vậy tồn tại x ữ e X sao cho f ( x o) = min{/(x) : X G X } Nếu

f ( x ) > 0 thì x ữ Ỷ T x 0 nên f ( T x ữ) = d ( T x Q , T 2 x Q ) <

d ( x Q , T x o) = f ( x o), mâu thuẫn Vậy f ( x Q) = 0 và x ữ là điểm bất động

của T Tính duy nhất của điểm bất động là hiển nhiên vì T là co yếu Định lý đã

Định lý 1.9 (Định lý điểm bất động Caristi) Cho (X,d) ỉà một không

2 Mục đích nghiên cứudưới và bị chặn dưới Cho ánh xạ T trong X thỏa mãn điều kiện

d(x,Tx) ^ ip{x) — <f(Tx), Vx £ X (1-6) Khi đó, T có điểm bất động trong X.

Trước khi chứng minh Định lý này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng mọi

ánh xạ co thỏa mãn điều kiện (1.6) Thật vậy, với mọi X ta có

( rp \ _ d(x,Tx) kd(x,Tx)

1 _ k 1 _ k .

Mặt khác, ta lại có

d(Tx,T(Tx)) ^ kd(x,Tx), nên d(x,Tx) ^ íp{ x )

C h ứ n g m i n h Trước hết ta đưa vào quan hệ thứ tự trên X như sau:

X ^ y khi và chỉ khi d(x,y) ^ ip{x) —

Dễ kiểm tra đó chính là một quan hệ thứ tự và i p là một hàm không tăng theo quan hệ thứ tự này, tức là nếu X ^ y thì t p ( y ) ^ < p ( x ) Ta sẽ chứng minh trong (X , tồn tại phần tử cực đại V Lấy X i e X tùy ý và đặt

S( Xi) = { Y € X : X Ị < Y }

= { y € X : d(xu y) ^ ụ>(xi) - <p(y)}

= { y £ X : d(x u y) + (p(y) ^ y{xi)}

Vì d ( x 1,.) liên tục và nửa liên tục dưới nên S ( x i ) đóng.

Đặt «1 = inf{^(y) : y G Khi đó tồn tại x 2 € S ( x i) mà

ifi(x2 ) ^ oti + 1.

5 Phương pháp nghiên cứuLại đặt S ( x 2) = {yG S ( x i ) : x 2 ^ y } Khi đó, S ( x 2) đóng và S ( x 2 ) c

S ( x i ) Đặt a 2 = inf{<^(y) : y G 5'(^2)} • Khi đó tồn tại x 3 G S ( x 2) mà

2 Mục đích nghiên cứuip(x3 ) < a 2 +

Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được dãy { x n } với ba tính chất

Vậy d(x, y) ^ 2ip(xn ) - [y{x) + <p{y)].

Mặt khác, theo định nghĩa của các a n và x n , ta có

( f ( x n ) ^ a„_i + —; ¥>(a;) ^ o„; y>(y) ^ an; an ^ a„_i

2 — n

Do đó

ư(x,y) < 2 ( on + ———

\ n — 1

với mọi x , y £ S ( x n ) Vậy —)• 0 khi n —»■ oo.

Vì không gian X đầy đủ nên theo nguyên lý Cantor

5 Phương pháp nghiên cứu

£2 ^ w, mà w G <S'(a:i) nên w G S ( x 2 ) Cứ tiếp tục như vậy ta sẽ được w e

n S ( x n) = { II} , tức là w = V và V là một phần tử cực đại

2 Mục đích nghiên cứuCuối cùng, ta chỉ ra rằng V là điểm bất động của T Theo giả thiết, ta có

d ( v , T v ) ^ ( ß ( v ) — i p ( T v ) Khi đó, theo định nghĩa của thứ tự ta

Ví dụ 1.3 Ký hiệu B là hình cầu đơn vị đóng trong c0 (không gian của cácdãy số hội tụ đến 0 với chuẩn sup) Với mỗi X = ( x i , x 2 , ■ ) G B ta đặt T x = (1, X i , x 2 , •••)■ Khi đó T là ánh xạ không giãn trong B mà không có điểm

bất động

Thật vậy, nếu có X * = T x * thì ta có

/ * * \ /1 * \

Nhưng khi đó ta có X* = 1 với mọi I , nên X* không thuộc c0

Định nghĩa 1.10 Không gian Danach (X, ||.||) được gọi ỉà lồi chặt nếu với mọi X Ỷ y mà ||a:|| ^ 1, ||y|| ^ 1 ta có 11^2^11 <

5 Phương pháp nghiên cứu 1- Điều này tương đương với: nếu |Ịrc + y II = |Ịa:Ị| + |Ịy|Ị và y 0 thì

X = Ằy với một X > 0 nào đó.

Định nghĩa 1.11 Không gian Banach (X, ||.||) được gọi là lồi đều nếu với mọi £ > 0 đều tồn tại ỏ(£) > 0 sao cho với mọi x,y £ X mà

|ỊxỊ| ^ 1, I//II ^ 1, Ị|x — yII ^ l ta luôn có

^ị<l-sự).

Ví dụ 1.4 l p là không gian lồi đều với 1 < p < oo Mọi không gian

Hilbert đều là lồi đều

Định nghĩa 1.12 Tập hợp K trong không gian định chuẩn X được gọi ỉà có cấu trúc chuẩn tắc nếu mọi tập con lồi, đóng, bị chặn

H của nó với diamH > 0 đều chứa một điểm X e H sao cho

sup{ ||íc — z\\ :zẽ H} < diamH, (diam là đường kính của tập hợp).

Định lý 1.10 (xem [3]) Cho c là một tập hợp lồi, compact yếu,

có cấu trúc chuẩn tắc trong không gian định chuẩn X và T : c —> c

là một ánh xạ không giãn Khi đó T có điểm bất động trong c.

2 Mục đích nghiên cứubổ đề Zorn, F chứa một phần tử cực tiểu H

Ta chứng minh H chỉ gồm một điểm bằng phản chứng Giả sử d =

d i a m H > 0 Do c có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn tại z £ H sao cho

r = sup{Ị|^ — ÍCỊ| : X e H} < d

Vậy tập hợp D = { z £ H : H c B ( z , r ) } Ỷ 05 trong đó

B ( z , r ) là hình cầu đóng tâm 2 bán kính r Lấy 2 bất kỳ trong D , do T là

không

giãn, ta có T ( H ) С B ( T z , r ) , vì vậy c õ T ( H ) с B ( T z , r ) , trong

đó cõ là ký hiệu bao lồi, đóng của một tập hợp Vì c õ T ( H ) là một tập hợp lồi, đóng trong С nên cũng compact yếu và vì c õ T ( H ) с c õ H = H nên

T { c õ T ( H ) ) с T ( H ) С C Õ T ( H ) , vậy C Õ T ( H ) e F Vì

C Õ T ( H ) с я và H là cực tiểu nên c õ T ( H ) = H Từ đây ta có я с

B ( T z , r ) , chứng tỏ T z e D , vậy T ( D ) С D vì z bất kỳ trong D

Ta sẽ kiểm tra D lồi và đóng Cho Z \, z 2 € D và г = a z i + (1 —

a ) z 2 với a G [0,1] Khi đó ||x — Zj|| ^ r , i = 1,2, với mọi X G H

Từ đó ||ж — z \ \ ^ r với mọi X G H nên z G D , vậy D lồi.

Nếu z n G D và z n — ï z thì do||ж — z nII ^ r với

||ж — jz|| ^ r với mọi X £ H nên z £ D , vậy D đóng.

Tóm lại, D с с là tập hợp lồi, đóng và bất biến đối với T, vậy

D £ F Vì D С H và H là cực tiểu nên D = H Khi đó, với mọi u , v

£ D = H ta có |Ịw — IIỊ| ^ r, từ đây d = diamiJ = diamZ) ^ r < d , ta gặp

mâu thuẫn Vậy H chỉ gồm một điểm, tức là H = { £ * } •

Vì H bất biến đối với T nên ta có T x * = X * Định lý đã được

5 Phương pháp nghiên cứuĐịnh lý 1.11 (xem [3]) Cho с là một tập lồi, đóng, bị chặn

trong không gian lồi đều X và T : с с là một ánh xạ không giãn Khi

đó tập hợp các điểm bất động của T là lồi, đóng và không rỗng.

C h ứ n g m i n h Vì X lồi đều nên phản xạ, do đó с là compact yếu và có

cấu trúc chuẩn tắc Vậy theo Định lý Kirk, tập hợp các điểm bất động của T không rỗng, ngoài ra nó đóng vì T liên tục Ta cần chứng minh tính lồi của tập

hợp này

Cho u = T u , v = T v v ầ m = X u + ( ĩ — X ) v với một Л £ [ 0 , 1 ] nào đó Khi đó и — 771 = (1 — Л) ( и — v ) và V —

Kết hợp với bất đẳng thức trên, ta được

IIи — г>|| = IIи — Т т II + IIТ т — г>|| Đặt X = и — Т т , у = Т т — V ta có ||ж|| + ||ï/|| = ||ж + у II

Vì X lồi đều thì cũng lồi chặt nên đẳng thức trên chứng tỏ tồn tại А > 0 để

cho И — T M = A (T M — г>) Từ đây ta có

T m = + u^ v = ßu+ (1- ß)v với ß = ^.

Ta sẽ chứng minh ß = X bằng phản chứng Giả sử ß > X Khi đó

ta có

2 Mục đích nghiên cứuII T v — T m \ \ = II г? — T m \ \ =

ß \ \ u — г; II > Л ||м — г»Il = IlV — т II , mâu thuẫn

với tính không giãn của X

Tương tự, nếu ß < X thì ta cũng gặp mâu thuẫn: I\ T u — T m \I >

||w — m II Vậy ß = Л nên T m = ra Vì mọi điểm trên đoạn nối hai điểm bất

động cũng là điểm bất động nên tập hợp các điểm bất động là tập hợp lồi và định

lý đã được chứng minh

□

động cho bất đẳng thức biến phân

Trong chương này, chúng ta xem xét một vài vấn đề về lý thuyết của bấtdẳng thức biến phân với ánh xạ đơn trị liên tục dưới trong không gian hữu hạnchiều, cũng như mối quan hệ của chúng với các vấn đề khác của giải tích phituyến Các kiến thức trong chương này được lấy chủ yếu từ tài liệu [5], [7]

2.1.1 Bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan

Cho X là một tập không rỗng, đóng và lồi của không gian Euclide hữu hạn chiều E , G : X ^ E là một ánh xạ liên tục Bài toán bất đẳng thức biến

phân (variational inequality, viết tắt là VI) được phát biểu như sau:

Tìm điểm X * £ X sao cho

5 Phương pháp nghiên cứu(x — x*) T G(x*) ^ о, Ух e X. (2.1)

Điểm X * G X thỏa mãn (2.1) được gọi là nghiệm của bất đẳng thức

biến phân (2.1) và được kí hiệu là Sol (VI)

Định nghĩa 2.1 Cho X là một tập lồi trong E và cho Q : X —»■ E

là một ánh xạ Ánh xạ Q được gọi là

(a) đơn điệu mạnh trên X với r > 0 không đổi sao cho mỗi cặp điểm X, y G X, ta có

(:X - y) T [Q{x) - Q{y)] ^ T \\ X - y\\ 2 ; (b) đơn điệu ngặt trên X nếu với mọi x,y G X, thỏa mẫn

trên Y ;

(ii) Q là đơn điệu ngặt trên Y nếu VQ là xác định dương trên Y

;