Trần Đình Kế, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Bài toán điều khiển cho một lớp phương trình vi phân phi tuyến cấp hai” được hoàn thành bởi nhận thức của riêng tôi
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
Trang 2giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu trường Cao đẳng nghề Cơ khí Nông Nghiệp - Bình Xuyên - Vĩnh Phúc đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học cao học
Qua đây tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn
Hà Nội, tháng 06 năm 201Ậ Tác giả
Nguyễn Thị Huyền
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Đình Kế, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Bài toán điều khiển cho một lớp phương trình vi phân phi tuyến cấp hai” được hoàn thành bởi nhận thức của riêng tôi
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn
Hà Nội, tháng 06 năm 201Ậ Tác giả
Nguyễn Thị Huyền
Trang 3Mục lục
Kiến thức chuẩn bị
Độ đo không compact và ánh xạ đa trị
Họ hàm Cô-sin và tính điều khiển được của phương
trình cấp
hai tuyến tính
Tính điều khiển được của hệ phi tuyến
Thiết lập các giả thiết
Chứng minh tính điều khiển được
6
1.
13161619
Chương 2
2.1.
2.
Chương 3
Trang 4Mở đầu
1 Lí do chọn đề tài
Xét bài toán điều khiển
x"(t) — Ax(t) — Bu(t) € F(í, x(t),u(t)), t £ J := [0, T], (0.0.1)
trong đó hàm trạng thái X lấy giá trị trong không gian Hilbert X, hàm điều khiển u €
L
2 (J;V), với V là một không gian Hilbert Toán tử tuyến tính A là phần tử sinh của một
họ hàm Cô-sin {ơ(í)}ÍỄR, toán tử điều khiển B : V —> X là tuyến tính, bị chặn và hàm phi tuyến F:JxXxV—oXìầ một ánh xạ đa trị Các hàm g, h : C{J]X ) —>■ X và giá trị ban đầu (x0,xi) G X 2 được cho trước.
Hệ điều khiển tuyến tính tương ứng với hệ (0.0.1 )-(0.0.2) là:
với {^(^ỊíeR là họ hàm Sin ứng với họ Cô-sin {ơ(í)}ÍỄR Đối với hệ
phi tuyến (0.0.1 )-(0.0.2), hàm X G C{J\X ) được gọi là nghiệm tích phân ứng với điều
khiển u nếu tồn tại một hàm / e L l Ụ\X) sao cho f(t ) G F(t,x(t),u(t)) với hầu khắp t E
J và
x(t) = C(t)[x 0 — g(x)] + S(t)[x 1 — h(x)] + í S(t — s)[Bu(s) + f(s)]ds.
J 0
Trang 5Những vấn đề cơ bản liên quan đến các phương trình vi phân cấp hai và họ hàm Cô-sin
có thể tìm thấy trong ỊỊ14Ị
Việc nghiên cứu tính giải được của phương trình cấp hai với điều kiện không cục bộ
đã được tiến hành bởi nhiều tác giả, trong đó có các kết quả tiêu biểu trình bày trong p,
hàm thức vi phân hàm dạng trung tính đã được nghiên cứu trong |23
Có thể tìm thấy các kết quả điều khiển cho phương trình vi phân chứa xung hoặc bao hàm thức vi phân trung tính chứa xung trong các công trình p, [241 [26] Đối với bài toán điều khiển có điều kiện ban đầu phi địa phương, một số kết quả gần đây được thiết lập trong các công trình
mmm-Trong các công trình kể trên, các tác giả đã sử dụng một giả thiết quan trọng, đó là
5
Trang 6toán tử
có nghịch đảo bị chặn B T l : X —»• L2(J; y)/ker BT- Giả thiết này đòi hỏi BT phải là toàn ánh và khi đó WT = X.
Ta biết rằng đối với hệ (0.0.3)-(0.0.4), tập đích W T không thể trùng
với X nếu, S (-) là toán tử compact và X là không gian vô hạn chiều (xem [281 [20]) Trong trường hợp này, W T là không gian con thực sự của X Do vậy giả thiết B T là toàn ánh không thực tế, ngay cả với lớp phương trình sóng cổ điển (xem ví dụ chương cuối)
Do hạn chế nói trên, khái niệm điều khiển được chính xác đến không gian con tỏ ra
hữu dụng Ta mô tả khái niệm này như sau Giả sử x 0 là một không gian con đóng của I
và s0 cl X I Hệ tuyến tính được gọi là điều khiển được chính xác từ E ữ đến x 0 (hay (£0, -X’o)-điều khiển được) nếu với mỗi (a:0,a:i) € E ữ ,x T € x 0 , tồn tại u € L 2 (J; V ) sao cho W(x 0 ,Xị,u)(T) = X T ■ Giả sử rằng
{C(T)x0 + S(T)xi : {XQ,XI) G £0} c XQ.
Khi đó điều kiện R[B T ] = x 0 tương đương với (E 0 , x0)-điều khiển được
cho hệ (0.0.3)-(0.0.4), trong đó R[B T ] là tập ảnh của B T Mục tiêu của luận văn là đi tìm các điều kiện cho hàm phi tuyến F và các hàm g, h
sao cho hệ phi tuyến (0.0.1 )-(0.0.2) là (i^o,x0)-điều khiển được khi hệ
tuyến tính tương ứng (0.0.3 )-(0.0.4) có tính chất này,
So sánh với các kết quả đã có, hệ điều khiển đang xét cho phép có nhiễu điều khiển,
tức là, hàm phi tuyến không chỉ phụ thuộc hàm trạng thái X mà còn phụ thuộc u Ngoài
ra, ta không giả thiết hàm F,g,h thỏa mãn điều kiện Lipschitz Thay vào đó, ta yêu cầu
một điều kiện yếu hơn, điều kiện này được diễn tả qua độ đo không compact (MNC)(xem Chú ý 2.1.1 và 2.1.2 để có so sánh chi tiết) Để chứng minh kết quả điều khiển được, ta áp dụng lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị nén (xem [19|) Cụ thể, ta sẽ xây dựng các độ đo không compact phù hợp và sử dụng các ước lượng theo độ đo để chứng minh tính nén của toán tử nghiệm, từ đó áp dụng định lý điểm bất động thích
6
Trang 7hợp Cách tiếp cận của luận văn là phương pháp phổ dụng dùng để nghiên cứu các bao hàm thức vi phân (xem [dõi và các công trình p, [T2Ị, Ị2TỊ, 122]).
Trong Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản liên quan đến độ đo không compact, giải tích đa trị và các kết quả điều khiển đối với phương trình cấp hai tuyến tính Chương 2 trình bày kết
quả chính: tính điều khiển được (Định lý 2.2.2) cho hệ phi tuyến (0.0.1)
(0.0.2) Chương cuối trình bày một ứng dụng cho bài toán điều khiển
đối với phương trình truyền sóng phi tuyến
2 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán điều khiển phi tuyến vô hạn chiều thông qua một lớp bài toán điều khiển phi tuyến cấp hai trong không gian Hilbert Chứng minh chi tiết các kết quả trong bài báo [20]
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
1 Tìm hiểu lý thuyết phương trình vi phân cấp hai tuyến tính tổng quát;
2 Tìm hiểu bài toán điều khiển đối với phương trình cấp hai tuyến tính;
3 Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị nén;
4 Chứng minh tính điều khiển được cục bộ của một lớp bài toán với phương trình cấp hai phi tuyến
4.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu là bài toán điều khiển liên quan đến phương trình vi phân cấp hai
• Phạm vi nghiên cứu: tính điều khiển được cục bộ
5.Phương pháp nghiên cứu
7
Trang 8Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:
• Lý thuyết họ hàm Cô-sin;
• Độ đo không compact và lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị nén;
• Lý thuyết điểu khiển các hệ vi phân tuyến tính
6.Đóng góp mới của luận văn
Chứng minh chi tiết các kết quả trong bài báo pn
8
Trang 9Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
1.1. Độ đo không compact và ánh xạ đa trị
Giả sử s là một không gian Banach Ký hiệu
C (£) = {Ẩ Ẽ 'PịE) : A là tập đóng},
K{S) = {ẨG ?>{£) : A là tập compact},
Kv {£) = {Ẩ Ễ K{£) ’• A là tập lồi}.
Ta có định nghĩa sau đây
Định nghĩa 1.1.1 Giả sử (A, >) là tập sắp thứ tự bộ phận Một hàm 13 :
V{£) —> A được gọi là độ đo không compact (MNC) trên £ nếu
Ị 3 ( c õ íỉ) = /3(fỉ) v ớ i m ỗ i íỉ G v(£)i trong đócõn là bao lồi đóng của íĩ Một MNC /3 được gọi là i) đơn điệu, nếu ^0,^1
€ v(£), íỉo c ÍỈ1 kéo theo /3(fỉo) < /3(^i); ỉỉ) không kỳ dị, nếu /3({a} u ÍỈ)
= /?(íì) với mọi a G £, fỉ G V(£);
Ui) bất biến đối với nhiễu compact, nếu /3(K u ri) = Ị3(ũ) với mọi tập compact tương đối K c £ và $} £ V(£);
Nếu A là một nón trong không gian định chuẩn, ta nói 13 là
iv) nửa cộng tính đại số, nếu /3(íĩ0 + ^1) < ßfäo) + ßis^i) với mọi
f2o; ^1 € v(£);
V) chính quy, nếu ß(ü) = 0 tương đương với íỉ là compact tương đối.
Ví dụ quan trọng về MNC là độ đo không compact Hausdorff, thỏa mãn tất cả
9
Trang 10các tính chất trong định nghĩa nói trên:
x(fỉ) — inf{e : íì có một e-lưới hữu hạn}.
Dựa trên độ đo Hausdorff X trên £ , ta có đ ộ đ o t h e o d ẫ y Xo như sau:
Xo(fì) = sup{ x { D ) : D e A(fì)}, (1-1.1)
với A(fì) là tập các tập con không quá đếm được của ri (xem [ĩ]) Ta biết rằng
với mọi tập bị chặn íĩ c £ Tính chất sau là hiển nhiên:
Mệnh đề 1.1.1 Giả sử X là độ đo Hausdorff trên £ và ri c £ là một tập bị chặn Khi đó với mọi e > 0; tồn tại một dẫy {xn} c fỉ sao cho
x(ft) < 2x({zn}) + 6
Nhắc lại rằng X và V là các không gian Hilbert chứa quỹ đạo các hàm trạng thái và hàm điều khiển tương ứng Ký hiệu Xx và Xv là các độ đo Hausdorff tương ứng trên các không gian này Đặt J = [0, T], Xcx và Xcv là các độ đo Hausdorff tương ứng trên các không gian C(J;X ) và C(J]V) Ta có các kết quả sau (xem JH, [E]): với mỗi tập bị chặn D c C{J]X),
ỵx(D(t)) < Xcx{Đ), với mọi te J, ờ đây Dự) := {x{t) : X e D}
1
Trang 11• nếu D là tập liên tục đồng bậc thì
X c x { D ) = sup x x { D ( t ) )
Ta ký hiệu Kc là một độ đo trong không gian tích C(J;X ) X C(J;V), xác định như
sau: cho 7Ti và 7T2 là các phép chiếu chuẩn tắc từ không gian tích nói trên xuống các
không gian C(J;X ) và C(J; V) tương ứng, khi đó
K c ( Ả ) = X C X { K I { A ) ) + X C V { K 2 OA)), (1.1.3)
với mọi tập bị chặn A c C(J ; X ) X C(J ; V) Chú ý rằng Kc có tất cả
các tính chất nêu trong Định nghĩa 1.1.1 1 bao gồm cả tính chính quy
Ta nhắc lại khái niệm MNC-chuẩn (xem im HS]) mà ta cần dùng trong phần sau
Giả sử £ị, £ 2 là các không gian Banach và T : £\ —> £2 là một toán tử tuyến tính bị chặn Giả sử Ị3i và /?2 là các độ đo không compact trên S \ và s 2 tương ứng Ta định
nghĩa
IITII^ ạ 2 = inf{A; : /32(T(fỉ)) < k(3ị(íl) với mọi tập bị chặn íĩ}.
Khi đó với mỗi r, đại lượng IITII^ ạ 2 là một số thực, được gọi là (/3i, Ị3 2 y chuẩn của r
Đặc biệt, ta có
/32(T(fi)) < ||r||ftAft(n) (1.1.4)
Giả sử Y là một không gian metric.
Định nghĩa 1.1.2 Ánh xạ đa trị T : Y —>• V(£) được gọi là:
(i) nửa liên tục trên (u.s.c) nếu F~l{y) = {y G y : Jr ( y) c V} là tập mở trong
Y với mỗi tập mở V c £;
(ỉỉ) đóng nếu đồ thị của nó IV = {(y,z) : 2: £ J7(y)} là một tập con đóng của
Y X S;
(Hi) compact neu tap anh T{Y ) la compact tUOng doi trong £;
(iv) tiCa compact niu han chi cua no tren cac tap compact la anh xa
compact.
Trang 12Dinh nghia 1.1.3 Mot anh xa da tri T : D{F) C £ —>• K(£) duoc goi la nen
theo do do (3 (fi-nen) neu vdi moi tap bi chan C D(F) khong phai la tap
compact tuong doi, ta co
Dinh nghia 1.1.4 Gia sti G : J K(£) la mot ham da tri Khi do G diitfc goi la
• kha tich; neu no co ham chon kha tich theo nghia Bochner TUc la ton tai g : J —» £, g(t) £ G(t) vdi hau khap t € [0,T] sao cho
• bi chan tich phan, neu ton tai ham £ € Ll{J) sao cho
||G(i)|| := sup{||<7||f : g G G(t)} < £(i) vdi hau khap t G J
Tap cac ham chon kha tich cua G diicJc ky hieu la Sq.
Ham da tri G dude goi la do duac neu G~ l {V) la tap do duoc (theo do do
Lebesgue tren J) vdi mQi tap mci V cua £ Ta noi rang G la do
được mạnh nếu tồn tại một dãy G n : J —)■ K(£), n = 1,2, các hàm đơn giản sao
cho
trong đó ĩí là khoảng cách Hausdorff trên K(£).
T
Trang 13Ta biết rằng nếu không gian s là tách được thì các khái niệm đo được và đo được
mạnh trùng nhau, và nó tương đương với điều kiện ánh xạ í dist(x,G(t)) là đo được với
mỗi X G s Ngoài ra, nếu G đo được và bị chặn tích phân thì nó khả tích Khi đó ta có
hàm đa trị í ẽ G(s ) ds xác định bởi
Ta có kết quả sau đây liên quan đến ước lượng theo độ đo Hausdorff (x-ước lượng) cho
tích phân của hàm đa trị trong trường hợp s là không gian tách được.
Mệnh đề 1.1.2 (|Tãl Định lý 4.2.3]) Giả sử E là không gian Banach tách được
và G : J —>• K{£) là hàm bị chặn tích phân và khả tích sao cho
với mọi t € J Nói riêng, nếu G : J —¥ K(S) đo được và bị chặn tích phân
X(Jo G^ds) - Ị x(ơ(s))ưs
vôi mọi t € J.
Trang 14Xet toan tijf tuyen tinh L : L l (J\£) —> C(J;£) thoa man cac dieu kien sau:
(LI) ton tai hang so C > 0 sao cho
nt
\\L{f){t)-L{g){t)\\s<C || f(S)-g(S)\\sd8
Jo vdi moi f,g£ L X (J ;£), t G J;
(L2) vdi moi tap compact K C £ va day {fn} C L 1 (J;£^) sao cho {/„(*)} C K vdi hau khap t G J, neu fn —^ /0 (hoi tu yeu) thi L{fn) L{f0) trong C(J]
£) (hoi tu manh).
Nhii da noi trong [T2], Chu y 4.2.3], toan tut tich phan (goi la toan til
Cauchy)
(1.1.5)thoa man (L1)-(L2)
Ta co ket qua sau, duoc coi nhu mot ltfOng co ban
Menh de 1.1.3 ([[T9]]) Gia sit L thoa man (LI)-(L2) va {£n} c LX(J\ £) la day
bi chan tich phan, nghla la
||^n(^)||£: < v hau khapt G J,
d do v E Ll{J) Gia sti them rang ton tai q G Ll(J) sao cho
x({£n(i)}) ^ v<3i huu khap t G J.
Khi do
x(Wfn)(*)}) < 2 C [ q{s)ds
Jo
vdi moi t G J, trong do C la hang sd xdc dinh trong (LI).
STJC dung Menh de 1.1.3, ta co:
Trang 15Mệnh đề 1.1.4 Giả sử fỉ c V-Ự^E) là một tập bị chặn thỏamãn
ỉ với mọi £ e ||£(t)||£ < v(t) với hầu khắpt e J,
Vì e là số dương nhỏ tùy ý, ta có điều phải chứng minh □
Ta sử dụng khái niệm dãy nửa compact như sau:
Định nghĩa 1.1.5 Dãy {£n} c Ll{J\S) được gọi là nửa compact nếu nó bị chặn
tích phân và tập {£n(í)Ị là compact tương đối trong £ với hầu khắp t G J.
Sử dụng các kết quả [Щ Định lý 4.2.1 và Định lý 5.1.1], ta có
Mệnh đề 1.1.5 Nếu {£n} С Ll(J\£) là một dãy nửa compact, thì {£n} là
compact yếu trong ƯỰ-^S) và (L(£n)} là compact tương đối trong Hơn nữa, nếu £n — 1 £o thì L(£n) —> L(£o).
Trang 161.2 Họ hàm Cô-sin và tính điều khiển được của phương trình cấp hai tuyến tính
Họ các toán tử tuyến tính bị chặn {C(í)}íẽR trên X được gọi là họ hàm Cô-sin nếu
1 ơ(0) = /;
2 C(t + s) + C(t — s) = 2C(t)C(s), với mọi í,5ẽM;
3 với mỗi X G X, ánh xạ t !-»■ C(t)x là liên tục mạnh.
Họ hàm Sin {5'(Í)}íễR, ứng với họ hàm Cô-sin {C(í)}íeR, được định nghĩa như sau
S(t)x = í C(s)xds, ĩ E l , í ẽ K
Jữ
Toán tử A : D(A ) с X X được gọi là toán tử sinh của họ hàm Cô-sin {C,(í)}í6R nếu
Ax — —C(t)x dt
2 v ' t =0
Ta có kết quả sau:
Mệnh đề 1.2.1 ([Ị2Zj) Giả sử {C(í)}íeR là một họ hàm Cô-sin trên X Khỉ đó tồn tại M > 1 và ÜJ > 0 sao cho
1 ||ơ(í)|| < Ме ш ^ với mọi t G M;
2. — £(£i)|| < M J*2 e^ds vói mọi tị:t2 G M,íi < t2.
Chi tiết về lý thuyết hàm Cô-sin có thể tìm thấy trong các tài liệu
ЩЩ.
Giả sử x0, E ữ là các không gian đã đề cập trong Chương 1 Ta biết
rằng hệ tuyến tính (0.0.3)-(0.0.4) là (E ữ , x0)-điều khiển được nếu và chỉ nếu R[BT\ =
x ữ Ta sử dụng kết quả sau đây:
Bổ đề 1.2.1 (jm Bổ đề 3.5]) Giả sử V, W, z là các không gian Banach phản xạ
và ợữ e L(V; Z),GI ẽ L{ỵ\?\Z) Khi đó các khẳng định sau tương đương:
1 R[Qо] С RịQx],
2 tồn tại 7 > 0 sao cho
л/ÎïlôoVllv < lier^llvv,
Trang 17với mọi z* G z\
Áp dụng bổ đề trên với V = x ữ ,w = L 2 (J-,V), z = X, ợ ữ là phép nhúng x ữ vào X
và Q\ = B T, điều kiện đảm bảo tính điều khiển được tương đương với bất đẳng thức
với mọi z £ Xq ở đây Bĩp : X —> L2(J; V) là toán tử liên hợp của B T Bất đẳng thức cuối suy ra rằng ( B T B ^ Z , z)x > 7lkllx*j với mọi z G X Hơn nữa, sửa dụng lý luận trong chứng minh ỊỊTTỊ Định lý 3.7] ta có В * = B*S*(T — •) và khi đó toán tử Гд : X
Với giả thiết hệ tuyến tính là (E 0 , x 0 )-ãiều khiển được, cho trước X T e x 0 , ta có
thể tìm được điều khiển phản hồi qua công thức sau
u(t) = B'S"{T - txrĩrv - C(T)x 0 - S(T)x,].
Chương 2 Tính điều khiển được của hệ phi tuyến
2.1. Thiết lập các giả thiết
Trong mục này chúng tôi đưa ra một số giả thiết dùng để nghiên cứu
Trang 18(Fl) F : J X X X V —»• Kv(X) sao cho F(-,x(-),v(-)) đo đượcmạnh với
'H^F(t,x,$i),F(t,y,rjỸj < k(t)\\x - y\\x + q(t)U - rj\\v, (2.1.1)
thì (F4) thỏa mãn Thật vậy, do định nghĩa của độ đo không compact Hausdorff, cho
trước 6 > 0, ta có thể chọn {yi,-.-,y m } с X và {??!,Г)р} С V sao cho
Trang 19Đối với các hàm g và h, ta giả sử rằng:
(GHl) g , h : C( «7; X) —> X là các ánh xạ liên tục sao cho với X e C( «7; X),
1 Nếu g và h là các hàm liên tục Lipschitz, thì (GH3) đúng.
Thật vậy, ta có thể chỉ ra (GH3) thỏa mãn với hàm g Giả sử
llỡ(x) - g{y)\\x < ỉgịịx - y\\c, ỉg > 0, với mọi x,y <E C(J;X).
Trang 21ở đây m g := ỉg supíej C(t) Bất đẳng thức này dẫn đến bất đẳng thức cuối trong (GH3) Ngoài ra, dễ dàng kiểm tra rằng g và h thỏa mãn (GH2), do
HíKaOIU < ỉ g \ \ x \ \ c + ||s(0)||*, Đối với h ta chứng minh tương tự.
2 Nếu g và h là các hàm hoàn toàn liên tục, nghĩa là chúng biến các tập bị chặn trong C(J;X ) thành tập compact tương đối trong X, thì (GH3) thỏa mãn với m g = rrih =
Định nghĩa 2.2.1 Một hàm X G C(J;X) được gọi ỉà một nghiệm tích
phân của hệ phi tuyến (0.0.1)-(0.0.2) nếu tồn tại f G Sp(x,u) sao cho
(t) = ơ(í) [x0 - y(®)] + ^(t ) [a?i - /i(x)] + í S(t-s) [Bu(s ) + /(s)] ás.
«/ 0
Để chứng minh tính điều khiển được cho hệ (0.0.1 )-(0.0.2), ta chia
việc chứng minh thành các bước Bước thứ nhất, ta định nghĩa nghiệm
X
Trang 22toán tử đa trị, có các điểm bất động là các nghiệm của bài toán điều khiển
(0.0.1)-(0.0.2)
Xét toán tử Q : C{J\X) —> X được xác định bởi Qy = y(T ) và toán tử tích phân
С được xác định như sau:
С : L\J-X) C(J]X)
£(/)(*) = í s(t - s)f(s)ds Jo
hĩa toán tử G trên C(J:X):
Ngoài ra, ta định nghĩa toán tử Q trên C(J;X):
G{x){t) = Cự) [a?0 - g{x)] + S(t ) [zi - h(x)] Ta xây dựng toán tử đa trị
T : C{J]X) X Ữ{J]V) V{C(J;X) X C{J]V)), T{x:u) = {(y{x,uj),z(x,uj)) : f € 5ị(a;,u)}, trong đó
z(x, u, f ) = B*S*(T - OK)-1 [a* - Ỗỡ(a0 - Q£(/)] ỉ/(z, И, /) = Q(x) + JCBZ(X, u, f
) + £(/)
ở đây toán tử Гд được xác định bởi (1.2.2) và X T € X cho trước.
Chú ý rằng toán tử đa trị T được xác định nhờ giả thiết (SA) Các phép chiếu của T lên C(J;X ) và с {J;V) tương ứng được biểu diễn như sau
(2.2.3)
(2.2.4)(2.2.5)
Trang 23Do đó, dễ dàng kiểm tra rằng hàm u* là hàm điều khiển đưa (X 0 ,XI ) tới X T =
X * ( T )
Bây giờ ta đi tìm điểm bất động của T thỏa mãn (2.2.10)-(2.2.11)
Dễ thấy toán tử đa trị T có thể hạn chế trên C(J;X) X C(J; V) Chúng ta gọi T
Chứng minh Sử dụng kết quả từ [121 Bổ đề 4.2.1], ta thấy c thỏa mãn (L2) Mặt khác, nếu Q c L1(J;X) là một tập bị chặn, thì với mọi f e Q vầ t 1 : t 2 e
||S(Í2 - s) - S{t! - s)II < M [ 2 ewCdC < M(tJtỵ — S 2 - íi)ewT.
Sử dụng ước lượng này, ta được
||£(/)(í2)-£(/)(íi)||x < Af(Í2-íi)ewT [ \\f(s)\\xds+M 0 Ị ||/(s)||xưs.
Bất đẳng thức cuối suy ra kết luận thứ hai trong Mệnh đề 2.2.1 □
Mệnh đề 2.2.2 Giả sử A là một tập bị chặn trong C(J;X) X Ơ(J; V)
Khỉ đó tập TĨ 2^F{Ả) là liên tục đồng bậc trong C(J ; V).