Luận văn sự kết hợp phương pháp sai phân và newton kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN BÁ TRUNG NEWTON-KANTOROVICH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CAP MỘT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN BÁ TRUNG

NEWTON-KANTOROVICH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CAP MỘT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60

46 01 02

Người hướng dẫn khoa học PGS

TS Khuất Văn Ninh

HÀ NỘI, 2014

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Khuất Văn Ninh, ngườithầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này.Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy Khuất VănNinh trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức tráchnhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình

Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo dậy cao họcchuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, phòng Sau đại học Trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến giúp đỡ tác giả trong suốt quátrình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này Đồng thời tác giả cũng chânthành cảm ơn Sở GD-ĐT Hà Nội, Ban giám hiệu, Tổ Tự nhiên 3 Trường THPT XuânGiang đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luậnvăn.Và qua đây cũng cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đã động viên giúp đỡ đểtác giả hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 1 năm 20lị Tác

giả

Nguyễn Bá Trung

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫncủa PGS TS Khuất Văn Ninh

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoahọc với sự trân trọng và biết ơn

Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất

kỳ công trình khoa học nào của ai khác

Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả

Nguyễn Bá Trung

Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân

1.1.4 Đưa phương trình vi phân cấp n về hệ n phương trình vi phân cấp

Phương pháp Newton-Raphson

Phương pháp Newton-Kantoro'v ich

MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

Phương pháp sai phân giải bài toán Cauchy đốivới hệ phương

trình vi phân cấp mộtPhương pháp Newton-Kantorovich giải bài toánCauchy đối với

1 6 1 9

2

hệ phương trình vi phân cấp một

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Bài toán giải hệ phương trình vi phân được nhiều nhà toán học quan tâm, đã cónhiều phương pháp giải được đưa ra, chẳng hạn, các phương pháp giải tích nhưphương pháp giải xấp xỉ liên tiếp; các phương pháp số như phương pháp Euler,phương pháp Runge-Kutta,

Mặt khác, phương pháp Newton-Kantorovich là phương pháp giải tích cho tatốc độ hội tụ cao Vì thế trong luận văn này, với mong muốn tìm hiểu thêm ứngdụng của phương pháp Newton-Kantorovich trong việc giải hệ phương trình viphân cấp một, nên tôi chọn đề tài Sự kết hợp phương pháp sai phân và

học của mình

2 Mục đích

Đề tài nhằm nghiên cứu một số phương pháp giải hệ phương trình vi phân cấpmột, đó là phương pháp sai phân (phương pháp Euler), phương pháp Newton-Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cách giải hệ phương trình vi phân dựa trên hai phương pháp sai phân(phương pháp Euler) và phương pháp Newton-Kantorovich

4 Đối tượng nghiên cứu

Luận văn tập trung chủ yếu vào nghiên cứu phương pháp sai phân, phương phápNewton-Kantorovich và sự kết hợp của hai phương pháp đó để giải hệ phươngtrình vi phân cấp một

5 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan Áp dụng một số phương pháp của Giảitích cổ điển, Giải tích hàm, Giải tích số, Phương trình vi phân

6 Đóng góp mới của luận văn

Hệ thống hóa vấn đề nghiên cứu Áp dụng giải một số hệ phương trình vi phân cụthể bằng phương pháp sai phân, phương pháp Newton- Kantorovich và sự kết hợpcủa hai phương pháp đó

Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa các biến độc lập, hàm phải tìm

và đạo hàm hay vi phân của hàm phải tìm Phương trình vi phân cấp n là một hệthức có dạng:

(1.1)

Trong đó X là biến độc lập, y là hàm số cần tìm, y' : y",ylà các đạo hàm của hàm

số y = y (x ). Ta gọi cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm cómặt trong phương trình Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm số y =

khi thay vào phương trình tađược một đồng nhất thức,

b H ệ p h ư ơ n g t r ì n h v i p h â n Hệ

phương trình vi phân là hệ có dạng

(1.2)

— + c,

Nếu a = 0 thì (L6) là phương trình tuyến tính

• Nếu a = 1 thì (1.6) là phương trình tuyến tính thuần nhất

Nếu a / 0 và a / 1 thì (1.6) chia cả hai vế cho ya, đặt khi đó

phương trình (1.6) trở thành phương trình tuyến tính thuần nhất

mà đã biết cách giải

e Phương trình vi phân toàn phần

Dạng tổng quát là

p(x, y)dx + q(x, y)dy = ũ.

• Bài toán Cauchy

Tìm nghiệm y = y( x) củaphương trình y ' = f( x, y) saocho khi X = x 0 thì y (x0) = y 0

trong đó x0, y 0 là các giá trị tùy

ý cho trước và ta gọi là các giátrị ban đầu

Điều kiện nghiệm phải tìm

y = y( x) nhận giá trị y = y 0

khi đó gọi là điều kiện ban đầu

và ký hiệu là

1 0

và liên tục trên miền D của

không gian M2 Giả sử (x0, y0)

€ D khi đó trong một lân cận

nào đó của điểm x ữ tồn tại duy

nhất một nghiệm y = y( x) của

bài toán Cauchy,

b Bài toán Cauchy với

phương trình vi phân cấp n

1 1

)-• Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy đối với

phương trình (1.10) được hiểu

như sau Tìmnghiệm y = y( x) của phương

trình (1.10) sao cho khi X =

Xq nó thỏa mãn các điều kiện

1 2

’

d y

2

’

’

1 3

d y

y ' ữ ,V q71€ D (là một điểm

thuộc D) khi đó

1 4

trong một lân cận nào đó của

Xét bài toán Cauchy tìm

nghiệm của hệ phương trình

(1-)trong đó f (x, t), x( t) là các

hàm vectơ n chiều, hàm / xác

định trên hình hộp D := [0; 1]

X R n

ở đây ta hiểu nghiệm theo

nghĩa cổ điển và địa

phương, tức là nghiệm

1 5

của (1.13)-(1.14) là một

hàm khả vi

x( t) trên, [0; a]a <

1 6

(nghiệm có thể kéo dài được

trên toàn bộ khoảng xác định,

hay tồn tại nghiệm toàn cục)

1 7 1.1.4 Đưa phương trình

1 8

là nghiệm của phương trình

(1.17) Ngược lại, nếu

= V Q

1 9

tương đương với bài toán

2 0

[ f { x + 2h ) - f { x + h ) ]

= /(я + 2h) - 2f(x + h) + f(x)

được gọi là sai phân cấp 2 của

2 1

nghĩa Fréchet) tại X nếu

tồn tại một toán tử tuyến

A(h ) được gọi là vi phân

cấp một của toán tử f tại

2 2

Vậy

df(x,h ) = f{x)(h).

2 3

Định lý 1.1 Một toán tử

được định nghĩa trên một

tập con mở của một không

gian Banach là khả vi

Fréchet tại một điểm thì

nó liên tục tại điểm đó.

không gian Banach Mỗi X G

X giả sử A , B là hai toán tử

11

2 4

tuyến tính liên tục cùng là đạo

Nhưng (VA: G X) , (e > 0)

ta có

A(k) -

B{k) A(ek) -

B{ek) ek\\

khi e 0 thì ek 0 nên vế phải

dần tới 9 do đó

A(k) = B(k),Vk G X

2 5

hay

A = В.

□

Định lý 1.3 Cho X, Y, z là

những không gian Banach thực Nếu

Chứng minh Với Ax, h £ X,

ta có

2 6

ф ( х + h ) ~ ф ’ ( х ) =

f ( g ( x +

h ) ) -

f { g ( x) ) =

f ( g ( x +

h ) -

g { x ) ) -

f ( g ( x) ) = f(d + y) - f{y),

trong đó d = g (x + h) —

g( x) Do đó,

2 7

2 8

ф'(

а:) (/г)

=

f ( g ( x ) g / ( x

2 9

trong đó X = (xi,x 2 , .,x n )

<E R n , f(xi,x 2 , .,x n ) e R n ,

và f(x ) =

e Æn,ll/ll =

q < 1

Giải phương trình

f(x ) =

0 (1.

3 0

- X o ) ,

(1.19)

Giả sử là

nghiệm xấp

xỉ của (1.22)

f(x 1 )(x 2 - xì) = -f{Xị)

(1.24) được gọi là thuật toán

Raphson

Newton-Dạng tường minh củaphương pháp Newton-Raphson

d/lQKm-l) ^

dx n df 2 l)

X Qlà điểm nằm trong lân cận đủ nhỏ của £.

Lấy Xo bất kỳ thuộc s Giả sử toán tử p có đạo hàm p \x ) liên tục

trong s Khi đó phương trình (1.25) tương đương với phương trình

Phương pháp xây dựng các xấp xỉ như trên được gọi là phương pháp N ewton-Kantorovich.

Nếu dãy { x n } hội tụ đến X và x ữ được chọn gần điểm X thì các toán tử P' (xn)

và P' (xo) sẽ gần nhau Điều đó làm cơ sở cho việc thay thế

công thức (1.26) bằng công thức đơn giản hơn

Vn +1 = Vn - [P'{yo)ì 1 P{y n ),n = 0,1,2, y 0 = x 0 (1.27)

Phương pháp xây dựng dãy như trên gọi là phương pháp Newton- Kantorovich

cải biên Sau đây chúng ta nêu một số điều kiện đủ để

dãy (1.26) hoặc (1.27) hội tụ

Định lý 1.4 Giả sử các điều kiện sau đẫy được thỏa mãn:

ỉ Toán tử p được xác định trong S(xo,r ) và có đạo hàmcấp hai P"

(1.30)

(1.31)

7 Phương trình

ụ>(u) = 0

c ó í t nhất một nghiệm trong đoạn [ UQ ', U '].

Khi đó dãy xấp xỉ theo phương pháp Newton-Kantorovich cải biên

lý 1-4ß.f(x)] được thỏa mãn, ngoài ra <p'{u) < 0 Khi đó phương trình (1.27)

nghiệm duy nhất trên đoạn [u ữ \u'] thì phương trình (1.25) có nghiệm duy nhất.

Định lý 1.6 Giả sử các điều kiện của Định được thỏa mẫn Khi

đó các xấp xỉ của phương pháp Newton-Kantorovich (1.25) hội tụ đến nghiệm của phương trình (1.25) Tốc độ hội tụ được xác định bởi công thức

\x n — X* II <u — u

trong đó u là nghiệm nhỏ nhất của phương trình (1.28) còn u n được xác định bởi công thức

u n Ufi—1 C n — I Í Q u 0

ịnh lý 1.7 (7iả sử toán tử p hai lần khả vi liên tục trong s và thỏa mãn

điều kiện sau

1 Tồn tại toán tử tuyến tính liên tục T 0 = [P'(a:o)] _1 ;

(1.32)

Chương 2 MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI

Giả sử hàm / xác định trong hình chữ nhật D, trong đó D = {(a;, ỳ ) <E M2 : \ x

- x 0 \ < a , \ y - y 0 \ < b } và thỏa mãn điều kiện

4 0

trong đó các giá trị x 0 ,y 0 được xác định từ điều kiện ban đầu (2.1)

Đường cong tích phân y = y (x) đi qua điểm M 0 (x0 , y 0) được thay thế bởi đường gấp khúc M 0 , Mị, M2, với các đỉnh Mị(xi, ĩji), trong đó ĩji

được xác định trong công thức (2.5)

Nếu hàm / thỏa mãn các điều kiện (2.2), (2.4) thì ta có công thức đánh giá sai

số như sau

I y(x n ) - V n \ < K 1 + h N ) n

- !]

trong đó y ( x n) là giá trị chính xác của nghiệm tại thời điểm X y nlà giá

trị xấp xỉ nghiệm tại điểm X = x n

Xét hệ phương trình vi phân thường

4 1

2.2 Phương pháp Newton-Kantorovich giải bài toán Cauchy

đối với hệ phương trình vi phân cấp một

Xét hệ

= fi(t,x 1 , ,x m ),x i (0) = xi, 0<t<T,i = ĩ,m (2.9)

at

Trong không gian E — c1

những hàm vectơ X khả vi liên tục trong [0,T], bằngkhông tại t = 0 Chuẩn trong c1 được thiết lập như sau

vào không gian c

các vectơ hàm liên tục trên [0, T] và có các đạo hàm riêng

Cấp hai liên tục, hơn nữa,

dx l dx' j

- f i [ t, ( í ) , • • • , X o (í)]

4 2

ta cần xác định nghiệm X 1 của những phương

1100*11 < T e 2 M i T + A (1 + TM'eMiT) = ơ0(i)

d t ~ dx< x m dx+ y w

ữ

(g)

ỳi («)

ỡ2/i (í,z)

dxWx k dfi {t,x 0 (í))

1=1 +1 г — 1

1-Ẽ 1=1

= max \\u

1 <г<тп

4 4

2.3 Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương

pháp Newton-Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một

2.3.1 Áp dụng phương pháp Newton-Kantorovich giải hệ phương trình

Nếu coi X = ( x u x 2 ,x 3 , x n ) và F { x) = (/1 (a;), /2 (a;) f n{ x) ).

Ta xét ma trận Jacobi của các hàm f i (X) (i = 1, rì ) được giả thiết là hàm khả

Nếu det J (x°) Ỷ 0 thì (2.11) có nghiệm duy nhất, ta kí hiệu X 1 , để cho

thuận lợi ta giải (2.11) đối với Ax0 = X — x ữ , sau đó tính X 1 = x ữ 4- A x ữ

Như vậy ta đã thay đổi hệ phương trình

fi {x u x 2 ,x 3 , x n ) = 0 (i = l,n)

bởi hệ phương trình (2.11) đơn giản hơn nhiều vì (2.11) tuyến tính đối với X

Nếu x m tìm được thì x m + 1 tính theo công thức,

với h =

hội tụ là tốc độ bình phương Thực tế phép lặp dừng lại khi

bước lặp đầu tiên ta chọn bằng đồ thị (hoặc ghép thử)

2.3.2 Áp dụng phương pháp sai phân (phương pháp Euler) giải hệ phương

4 9 2.3.3 Phương pháp Newton-Kantorovich giải hệ phương trình vi phân

Cứ tiếp tục như vậy ta thu được dãy nghiệm xấp xỉ x n

2.3.4 Sự kết hợp phương pháp sai phân và phương pháp Newton-

Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một

Xét hệ hai phương trình vi phân cấp một

^ = h { t , x, y )

d Ị t =m,x,y).

B ư ớ c 1 : Dùng phương pháp Newton-Kantorovich đưa hệ (2.18) về

hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng

Hệ (2.19) tương đương với hệ

B ư ớ c 2 : Dùng phương pháp sai phân (phương pháp Euler) tìm nghiệm

xấp xỉ của hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một ở trên bởi côngthức:

Z Ì + , = Z l + h 9 l { t \ Z l Z l )

Z l + 1 = Z l + h g 2 ( t \ Z l , Z l )

Chương 3 ỨNG DỤNG MAPLE GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CAP

MỘT

3.1 Giải hệ phương trình vi phân cấp một bằng phương

pháp sai phân (phương pháp Euler)

5 4

-5 5

y(T) := —2 +l/3sợri(3)( (e)(—(—2 +sợrí(3))T)(—1/200 + 1/200

sq rt { 3)) — (e)((2 + sợri(3))T)(—1/200 — l/200sợri(3)));

0488

0.034901877

5 6

1.809206 286

1.667849 810

5 7

5 8

5 9

[> / := proc ( n) option rem em be r] di ff (x (n — l),í) — x( n —

l) 2 — y (n — 1) — cos(í) 2 + 1; end;

/ := proc (n) option r e m e m b e r; d i f f ( x ( n — 1), t ) — x 2 ( n — 1)

—

y (n — 1) — COS2 (í) + 1 end option

[> g := proc (n) option rem em be r; di ff (y (n — 1), ì) + x( n — 1) + y( n —

[> z2 0 := (101/20000)*í2 — (15151/3000000)*í3+(1525151/600000000)* t 4

- (165662651/150000000000) * t 5 :

6 0

[> ж(1) := ж(0) — z l O ;

. _ 101 10101 , 255867 , 89405101х(1) := sin(í)—о.оц— t - tч -———t -— —

6 1

6 2

6 3

0.45 0.4349655341 0.4278273632 0.9004471024 0.9098007058 0.0071381709 0.0093536034 0.50 0.4794255386 0.4724338241 0.8775825619 0.8868268385 0.0069917145 0.0092442766 0.55 0.5226872289 0.5158131724 0.8525245221 0.8616599513 0.0068740565 0.0091354292 0.60 0.5646424734 0.5578582934 0.8253356149 0.8343647603 0.0067841800 0.0090291454 0.65 0.6051864057 0.5984652668 0.7960837985 0.8050113850 0.0067211389 0.0089275865 0.70 0.6442176872 0.6375336637 0.7648421873 0.7736752216 0.0066840235 0.0088330343 0.75 0.6816387600 0.6749668356 0.7316888689 0.7404368007 0.0066719244 0.0087479318 0.80 0.7173560909 0.7106721918 0.6967067093 0.7053816351 0.0066838991 0.0086749258 0.85 0.7512804051 0.7445614690 0.6599831459 0.6686000543 0.0067189361 0.0086169084 0.90 0.7833269096 0.7765509892 0.6216099683 0.6301870271 0.0067759204 0.0085770588 0.95 0.8134155048 0.8065619063 0.5816830895 0.5902419749 0.0068535985 0.0085588854 1.00 0.8414709848 0.8345204410 0.5403023059 0.5488685739 0.0069505438 0.0085662680

[> w i t h ( p ỉ o t s ) :

[> w i t h ( p l o t t o o l s ) :

[> plot{[sin(t), sin(t) - 0.01 + (101/10000) * t - (10101/1000000) * t 2 + (1545403/300000000) * í 3 - (30313501/10000000000) * í 4

+(2791389103/3000000000000) * í 5], t = 0 1, colơr = [red, blueị);

Hình 3.1: Đồ thị nghiệm z(í).

6 4

[> ĩ>ỉoí([cos(í), cos(t) + 0.01 - (101/20000) * í2 + (15151/3000000) * í 3 (3060503/1200000000) * í 4 + (83726539/75000000000) * f»],i = 0 1 ,color =

[> x(0) := exp(t) + 1.01; y(0) := (1/2) * exp(í) — 1.99 :

[> / := proc (n) optỉon remember] diff(x(n — l),í) — (1/6) * x(n - l) 2 + (1/3) * exp(t) * y(n — 1) +1/6; end :

[> g := proc (n) optỉon reme7ĩiber;diff(y(n — l),t) + (1/2) * x(n — 1) —

2 * y(n — 1) — 9/2; end :

[> ds o l v e ( { d i f f ( z l ( t ) , t ) = (1/3) * ж(0) * z l ( t ) — (1/3) * e x p i t ) *

Hình 3.2: Đồ thị nghiệm y (í).