Luận văn phương pháp phần tử hữu hạn trong việc giải phương trình đạo hàm riêng

Bài toán biên cho phương trình Poisson Công thức biến phân cho phương trình Poisson Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình Poisson 20... 35 36 ước lượng sai số Các vấn đề về tính t

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ BÌNH MINH

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Hà Bình Minh Sự giúp đỡ

và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết

ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT Vĩnh Phúc, Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, đồng nghiệp trường Trung học phổ thông Liễn Sơn cùng gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc

sĩ cũng như hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 201ị Tác giả

Trần Quyết

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn của TS Hà Bình Minh.

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng

nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn

đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 20 14 Tác giả

Trần Quyết

2 6

24

Mục lục

2.3.1 Không gian các hàm tuyến tính từng khúc

Bài toán biên cho phương trình Poisson

Công thức biến phân cho phương trình Poisson

Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình Poisson

20

2 6

2.3.2 Tìm nghiệm trên không gian các hàm tuyến tính từng khúc

3.2

35 36

ước lượng sai số

Các vấn đề về tính toán, giải số của phương pháp phần

tử hữu hạn

Bài toán biên 1 chiềuBài toán biên 2 chiều

Tài liệu tham khảo

Với mong muốn tìm hiểu phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng của

nó, tôi chọn đề tài “Phương pháp phần tử hữu hạn trong việc giải phương trình đạo hàm riêng” làm luận văn Thạc sĩ của mình.

2 Mục đích nghiên cứu

Khảo cứu phương pháp phần tử hữu hạn để giải ghiệm số cho phương trình đạo hàm riêng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Khảo cứu phương pháp phần tử hữu hạn để giải ghiệm số cho phương trình đạo hàm riêng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương pháp giải số cho phương trình vi phân đạo hàm riêng.

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp giải tích, giải tích số, ngôn ngữ lập trình

MATLAB,

6 Đóng góp mới của đề tài

Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải một số bài toán trong thực tế

Chương 1

Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài

toán biên một chiều

1.1 Sự khác nhau giữa phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp sai phân

Phương pháp sai phân hữu hạn (PPSPHH) là một phương pháp khác để giải số phương trình vi phân Sự khác nhau giữa phương pháp phần tử hữu hạn

(PPPTHH) và PPSPHH là:

• PPSPHH xấp xỉ bài toán phương trình vi phân; còn PPPTHH thì xấp xỉ lời

giải của bài toán này

• Điểm đặc trưng nhất của PPPTHH là nó có khả năng áp dụng cho những bài

toán hình học và những bài toán biên phức tạp với mối quan hệ rời rạc Trong khi đó PPSPHH về căn bản chỉ áp dụng được trong dạng hình chữ nhật với mối quan hệ đơn giản

• Điểm đặc trưng của phương pháp sai phân hữu hạn là có thể dễ dàng thực

hiện được

• Trong một vài trường hợp, PPSPHH có thể xem như là một tập con của

PPPTHH

• Kết quả của việc xấp xỉ bằng PPPTHH thường chính xác hơn PPSPHH

Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác

1.2 Giới thiệu bài toán biên một chiều

Chúng ta xét bài toán biên ỰD) được cho như sau:

Bài toán (V ): Tìm u e V sao cho

là một không gianhàm nào

đó Bằng cách lấy tích phân phương trình—u” = / hai lần, ta dễ dàng

thấy rằng bài toán có duy nhất nghiệm u.

Trong thực tế, bài toán biên ỰD) là mô hình toán học của rất nhiều bài toán

trong thực tế, chẳng hạn như một số bài toán trong cơ học dưới đây:

Ả Thanh đàn hồi

Ta xét một thanh đàn hồi cố định ở cả hai đầu và chịu một lực ngang theo

phương tiếp tuyến với cường độ f(x) (Xem hình 1.1) Cho ơ(x) là lực đàn hồi

và u(x) là vị trí của X theo phương ngang Theo các định lí vật lí chúng ta có

w(0) = li(l) = 0 (Điều kiện biên)

trong đó E là mô đun đàn hồi Nếu ở đây ta cho E = 1 và khử biến ơ, ta thu được bài toán (T>).

Hình 1.1: T h a n h đ à n h ồ i

B Dây đàn hồi

Xét một dây căng đàn hồi có độ dài l, cố định ở cả hai đầu và chịu tải trọng theo phương thẳng đứng với cường độ / (Xem hình 1.2) Gọi u(x) là vị trí của X theo phương thẳng đứng Theo định luật II Newton, ta thu được bài toán T>.

Hình 1.2: D ẫ y đ à n h ồ i

c Thanh dẫn nhiệt

Cho u là nhiệt độ và q dòng dẫn nhiệt trong một thanh dẫn nhiệt, với một

nguồn nhiệt phân bố cường độ / Giả sử nhiệt độ bằng không ở điểm kết thúc, chúng ta có trong trường hợp:

u( 0) = u( 1) = 0.

Trong đó k là độ dẫn nhiệt Nếu A: = 1 thì ta thu được bài toán (D).

1.3 Công thức biến phân cho bài toán biên 1 chiều

Xét V là không gian hàm được cho bởi:

V :={ V : V liên tục trên [0,1],?/ bị chặn, trơn từng khúc trên [0,1] và

định bởi F ( v ) := ì(v', v ' ) - (/, v ) , với V e V

Các bài toán (.M) và (V) được cho như sau:

Bài toán { Ả i ) : Tìm u E V sao cho F ( u) < F ( v ) , V v G V

và

Bài toán (V): Tìm u E V sao cho (u ', v ' ) = V v E V

Ta có định lý sau:

Định lí1.3.1 Ba bàitoán và (V) làtươngđươngnhau, tức là nghiệm của bài toán nàylà nghiệm của hai bài toán kia và ngUỢc

ỉại.

C h ứ n g m i n h

• ỰD) (V) Để chỉ ra nghiệm u của bài toán ỰD) cũng là nghiệm của bài

toán (V), ta nhân hai vế của phương trình —u” = / với một hàm tùy ý

V E V, V gọi là hàm thử, và tích phân hai vế trên khoảng (0, 1) ta có

<=> —{u", V) = —m'(1)?;(1) + ĩ/(0)i>(0) + (u f , v') = (u f , v r );

nen

( ủ , v ) = (/, v ) V v E V (1.2)

Suy ra u là nghiệm của bài toán (V).

(V) (AI) Ta chỉ rằng các bài toán (V) và (Á4) có cùng nghiệm Giả

sử u là một nghiệm của bài toán (V), cho V E V và lấy w = V — u để v = u + wvầw£V Chúng ta có

F(v) = F(u + w) = ~{u' + w', u' + w') — (/, u + w)

Ẩi

= \{ u 'i u ') - ư, u ) + KX) - ư, w ) + ịi w ', w ') > F i u )

từ (1.2), (u',w') — (f,w) = 0 và (w',w r ) > 0, nên u là một nghiệm của bài toán {M.).

Mặt khác, nếu u là một nghiệm của bài toán (.M) thì với mọi V & V va số thực

có cực tiểu khi € = 0 nên ^(0) = 0 Vì ^(0) = (u', v') — (/, v), Suy ra u là một

nghiệm của bài toán (V)

Tiếp theo, ta chứng minh nghiệm của bài toán (V) được xác định duy nhất.

Giả sử Uị và U 2 là hai nghiệm của bài toán (V), tức là với Uị, U 2 ẽ V ta có

(V) « ( M )

• (V) => ỰD) Ta chỉ ra nếu u là nghiệm của bài toán (V) thì u cũng là

nghiệm của bài toán (D).Thật vậy, giả sử u E V thỏa mãn

là nghiệm của bài toán ỰĐ) Như vậy chúng ta đã thấy rằng nếu u là nghiệm

của bài toán (V) và thỏa mãn thêm giả thiết chính quy

Hình 1.3: Ví dụ về một hàm V € VÀ.

( u f f liên tục) thì u là nghiệm của bài toán ( T > ) Ta lại thấy rằng nếu u là nghiệm của bài toán (V) thì u cũng thỏa mãn giả thiết chính quy và do đó chúng ta có (V) ^ ( T > ) nền ba bài toán (x>), (V) và (M ) là tương đương.

1.4. Phương pháp phần tử hữu hạn

1.4.1 Không gỉan các hàm tuyến tính từng khức

Do không gian V được xây dựng ở phần trước là không gian vô hạn chiều,

việc tìm nghiệm của bài toán biên ( T > ) trở nên khó khăn Thay vì tìm nghiệm trên không gian V , ta sẽ đi tìm nghiệm trên không gian con của V Ta sẽ xây

dựng không gian con Vh 5 hữu hạn chiều, là không gian các hàm tuyến tính liên

tục từng khúc như sau Trước tiên, ta lấy các điểm 0 = X Q < X \ < < X M <

X M +1 = 1 để phân hoạch khoảng (0,1) thành các khoảng con I j = ( X j - 1, X j )

với độ dài h j = X j — = 1, M + 1 Đặt h : = maxj=i M+1 là

tham số để đo độ mịn của phân hoạch Không gian con V h được định nghĩa

như sau: _

V h :={ V : V liên tục trên [0,1], tuyến tính trên mỗi khoảng con I j

và v(0) = v(l) = 0}

Ta nhận thấy rằng Vh с V và có số chiều hữu hạn Để xây dựng một cơ sở của Vh 5 ta chọn các hàm cơ sỏ (fi E Vh, ỉ = 1, , M được xác định như sau:

*^i+i/^i+i) neu З/ị ^ ж 0, nếu ж > Xị+I Mỗi hàm cơ sở (fỉ là hàm tuyến tính từng khúc, liên tục, nhận giá trị bằng 1 tại

Xi và bằng 0 tại các điểm nút khác (xem Hình 1.4)

Hình 1.4: Lồ hàm cơ sở của <Pi

Với mỗi hàm V £ 14, đặt 7 }i = v(xi), i = 0 , , M + 1 Khi đó hàm V có thể biểu diễn theo cơ sở {<P1, •• • > ф п} } nhtf sau:

M

2=0

1.4.2 Tìm nghiệm trên không gỉan các hàm tuyến tính từng khúc

Trên không gian 14 J các bài toán ('Dh) ĩ (Mh) và (14) được phát biểu như sau:

Bài toán ựDh ): Tìm u G Vh sao cho

Định lí 1.4.1 Ba bài toán ('Đh)ĩ i-M-h) và (V/i) lầ tương đương nhau.

C h ứ n g m i n h Chứng minh hoàn toàn tương tự như Định lý

Nhờ Định lý trên, thay vì việc giải bài toán ựDh) trênkhông gian con Vh, bây giờ ta sẽ đi tìm nghiệm của bài toán ựDh) như sau:

(V/j): Tìm Uh ẽ Vh sao cho

K, V ) = ( f , v ) V v e V k (1.3)

Để giải bài toán (Vfc), ta nhận thấy mỗi V G Vh đều là tổ hợp tuyến tính của

1.3.1

các hàm cơ sở íỌi E Vh, i =M Do đó, nếu Uh ẽ Vh thỏa mãn (1.3), thì

các hàm cơ sở e Vh, i = 1 , , M, cũng sẽ thỏa mãn (1.3), tức là:

Ngược lại, nếu tất cả các hàm cơ sở (Pi G Vh cũng sẽ thỏa mãn (1.3), với mọi

i = 1 , , M, thì bằng cách lấy tổ hợp tuyến tính, ta thấy Ufị cũng thỏa mãn

(1.3)

M

i=0

này hoặc là hoặc là bằng0 Như vậy, ma trận Ả là ma trận

3- đường chéo, tức là, chỉ các phần tử trong đường chéo chính và hai đường

chéo liền kề khác 0 với j = 1 Bằng các tính toán đơn giản, ta thu

Như vậy các phần tử của ma trận A đều tính được theo các công thức ở trên

Ta nhận xét rằng A là ma trận xác định dương vì với mỗi 77 e KM, ta chọn

Dấu bằng xảy ra nếu v ' = 0 Từ í;(0) = 0 suy ra V = 0, tức là T)j = 0 với j =

1,M Do vậy A là ma trận xác định dương Chúng ta nhắc lại rằng ma trận M X

M đối xứng A = (ữjj) được gọi là xác định dương nếu

Ĩ] T Aĩ] = '52ị í j=i r ìi a ij r ìj > 0,V7y G KM, trong đó r] T là vectơ hàng chuyển vị

của vectơ ĩ) Chúng ta cũng nhớ lại rằng một ma trận đối xứng A là xác định dương khi và chỉ khi các giá trị riêng của A là dương.

Do ma trận A xác định dương là không suy biến ta suy ra hệ tuyến tính (1.6)

có một nghiệm duy nhất Chúng ta cũng lưu ý rằng A là thưa, tức là, chỉ có một vài phần tử của A khác 0 (A là ma trận 3-đường chéo) Điều này là quan trọng,

vì nó sẽ làm đơn giản việc giải hệ phương trình tuyến tính Độ thưa của ma trận

A phụ thuộc vào cách ta chọn các hàm cơ sở ipj € 14 Trong trường hợp trên, ta

chọn ( P j Ỷ 0 trên một khoảng và chỉ giao với một hai hàm cơ sở lân cận Việc

lựa chọn các hàm cơ sở này là một đặc trưng của phương pháp phần tử hữu hạn

Ví dụ 1.4.1 Trong trường hợp đặc biệt ta phân hoạch (0,1) thành các khoảng đều nhau, ta sẽ thu được hệ phương trình sau

2 1 — 1 0-

trong đó h là độ dài của mỗi khoảng chia.

Tóm lại, trong mục này, chúng ta đã thấy rằng phương pháp phần tử hữu hạn dẫn đến một hệ tuyến tính các phương trình với ma trận thưa, đối xứng

và xác định dương Giải hệ phương trình tuyến tính này, ta sẽ thu được nghiệm của bài toán được cho trong không gian các hàm tuyến tính từng khúc

1.5 Ước lượng sai số cho phương pháp phần tử hữu hạn

Gọi Uh là nghiệm của bài toán biên ỰD) được tìm theo phương pháp phần tử hữu hạn trong mục trước, tức là Uh ẽ Vh, {Ỵh là không gian các hàm tuyến tính từng khúc, hữu hạn chiều) Gọi u là nghiệm của bài toán biên (D) trong không gian V, không gian vô hạn chiều Ta đặt câu hỏi rằng, liệu nghiệm

Uh có phải là xấp xỉ của nghiệm u hay không?

Muốn vậy, ta sẽ đánh giá sai số \u — Uh\ Nếu sai số này là nhỏ thì ta có

thể kết luận như trên Đồng thời, đánh giá sai số cũng giúp ta biết rằng: để thu được nghiệm xấp xỉ ngày càng tốt, ta cần phải gia tăng số chiều của

không gian Vh, tức là phải xây dựng không gian Vh với các điểm chia ngày

BỔ đề 1.5.1 Với mọi vGVh ta có |Ị(w — Uh)'\\ ^ Ị|(w — f),|

Ị- Chứng minh Ta có các phương trình sau đây :

bổ đề (1.5.1) ta có thể có được một đánh giá định lượng cho sai số II (u — UhỴ\\ bằng cách ước tính II(u — ũh)'\\ với Uh G Vh là hàm được lựa chọn phù hợp Chúng ta sẽ chọn £ Vh là đa thức nội suy của u tại các nút Xj, tức là: ũH(xj) = = 0,M + 1.

Dễ thấy, nếu ũh € Vh được chọn theo cách này thì với 0 ^ X ^ 1 ta

Từ (1.12) và bổ đề (1.5.1), ta có đánh giá cho sai số u — Uh sau đây:

Ị(w - u h ỴI < h max \u”(y)\.

0 < y < i

Hình 1.5: Đa thức nội suy Uh

Từ ( u — Wfc)(0) = 0 và (1.14) ta có:

Iu ( x ) — U h ( x ) \ < h max Iu n ( y ) \ với 0 < X < 1

0<y<l Chúng ta quan sát rằng ước lượng sau này ít sắc nét hơn so với ước lượng

(1.13) cho các lỗi nội suy, nơi chúng ta có một yếu tố h 2 Với một phân tích

chính xác ÌLƠn nó có thể cho thấy rằng trền thực tế cũng là phương pháp phần tử hữu hạn cho một yếu tố h 2 cho các lỗi u — Uk- Chúng ta hãy lưu ý rằng định,

lượng It, đại diện cho một biến dạng hoặc một ước lượng trong ví dụ A và B ở

trên, thường là lớn hơn (hoặc ít nhất là không nhỏ hơn) quan tâm thực tiễn có

lợi hơn so với đại lượng u trong chính nó, đại

diện cho một trong các trường hợp phép dời hình Do đó, ước lượng (1,14) được điều khiển độc lập và không chỉ là một bước trên đường đến một ước

tính của u — U h ' Chúng ta cũng nhận thấy rằng để chứng minh (1.14Ị, chúng

ta không cần phải cụ thể xây dựng Uỵ (mà sẽ đòi hỏi kiến thức về các nghiệm chính xác Ifc); chúng ta chỉ có thể hy vọng sẽ đưa ra một ước tính của lỗi nội suy, ví dụ mẫu (1.12Ị, (1.13) Tóm lại, bằng bổ đề (1.5.1 Ị ta có những thông

tin định tính \ \ ( u — U Ị ị Ỵ II là "càng nhỏ càng tốt" và cũng sử dụng ước tính

nội suy (1.12), chúng ta có được những ưốc lượng sai số (1.14), trong đó đặc biệt cho thấy các lỗi dần tiến tới 0 khi độ dài tối đa hoặc dần tiến tới 0 nếu

и" bị chặn trên [0,1].

Chương 2

Phương pháp phần tử hữu hạn cho

phương trình Poisson

2.1. Bài toán biên cho phương trình Poisson

Chúng ta xét bài toán biên ỰD) cho phương trình Poisson được cho như sau:

Bài toán ( V) : Tìm u e V sao cho

í — Am = f trong { (2-1) [u = 0 trên r

trong đó íỉ là miền mở bị chặn trong M2 với biên r, / là một hàm cho

trước và Am = + |-y, V là một không gian hàm nào đó.

Một số bài toán trong vật lí và cơ học được mô hình hóa dưới dạng (2.1),

chẳng hạn u thể hiện cho nhiệt độ, hoặc điện thế, từ tính, hoặc là độ dịch

chuyển của một màng co dãn, như trong hình minh họa dưới đây:

Hình 2.1:

2.2 Công thức biến phân cho phương trình Poỉsson

Xét V là không gian hàm được cho bỏi:

V : ={ V : V liên tục trên - Ệ 2 - và

liên tục từng mảnh trên Q và

V = 0 trên r }.

Trên không gian V , ta xây dựng tích vô hướng như sau

trong đó a ( u , := f \ / u V v d x = f + ỹ U Q V ] d x Ta xét hai bài

toán ( M ) và (V) được cho như sau:

Bài toán { M ) x Tìm u € V sao cho F { u ) < F(v), \ f v £ V và

Bàỉ toán (V): Tìm u € V sao cho a ( u , v ) = (/, v ) , V v E V

• ỰD) (V) Để chỉ ra nghiệm u của bài toán ỰD) cũng là nghiệm của

bài toán (V), ta nhắc lại công thức Green như sau: f TỤV V wdx =

trong đó sỵv biểu thị gradient của V, tức là, x/v = =

+ ^~ n 2 là đạo hàm theo hướng thông thường đối với biên r Ta