Luận văn phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN THANH DUY PHƯƠNG PHÁP NHIỄU SUY BIEN CHO BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THANH DUY

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU SUY BIEN CHO

BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học TS HÀ BÌNH MINH

HÀ NỘI – 2014Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Hà Bình Minh, người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành luận văn này Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng Thầy.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Phòng sau đại học, các thầy cô đã trực tiếp giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.

Hà Nội, tháng 06 năm 2014 Tác giả

Nguyễn Thanh Duy

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS Hà Bình Minh, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: "Phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình" được hoàn thành bởi nhận thức của chính tác giả.

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 06 năm 2014 Tác giả

Nguyễn Thanh Duy

Mục lục

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Các mô hình toán học trong lí thuyết điều khiển xuất phát từ thực

tế, đến từ việc mô phỏng các hệ thống, mạng lưới, trong các lĩnh vực như công nghiệp, giao thông, kinh tế, xã hội Các mô hình toán học trở nên ngày càng lớn với số biến lên đến hàng triệu Việc

xử lý những mô hình đó cho các mục đích điều khiển hoặc tính toán trên thời gian thực, đôi khi trở nên rất tốn kém Bài toán rút gọn mô hình ra đời nhằm mục đích giảm đi chi phí tính toán, đồng thời vẫn cho ra kết quả chấp nhận được.

Bài toán rút gọn mô hình được phát biểu như sau: Cho một mô hình toán học phức tạp với số biến rất lớn, tìm một mô hình toán học đơn giản hơn (với số biến nhỏ hơn) mà vẫn cho nghiệm xấp xỉ

mô hình ban đầu.

Bài toán rút gọn mô hình được bắt đầu nghiên cứu từ đầu thập kỷ

80 của thế kỷ trước Trong suốt thập kỷ 80 và đầu thập kỷ 90 bài toán đã thu được những kết quả quan trọng về mặt lý thuyết Sau khi tạm ngưng một thời gian, đến những năm gần đây, bài toán rút gọn mô hình được quan tâm trở lại, với nhiều phương pháp nghiên cứu và công cụ tính toán mới phương pháp nhiễu suy biến là một trong nhiều phương pháp nghiên cứu rút gọn mô hình, và được chọn làm chủ đề chính của luận văn này.

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Khảo cứu phương pháp nhiễu suy biến cho bài toán rút gọn mô hình.

ỉ

Nguyễn Thanh Duy K16 - Toán

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán rút gọn mô hình

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các công cụ như Đại số tuyến tính, Lý thuyết ma trận, Giải tích

số, ngôn ngữ lập trình MATLAB.

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu.

Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi giới thiệu về các kiến thức chuẩn bị như mô hình toán học xuất phát từ thực tế, các khái niệm cơ bản về tính ổn định, tính điều khiển được, quan sát được, khái niệm hệ tuyến tính cân bằng trong lý thuyết điều khiển Ngoài ra, trong chương này cũng giới thiệu về bài toán rút gọn mô hình.

1.1Mô hình toán học xuất phát từ bài toán trong thực tế

Hệ tuyến tính bất biến theo thời gian được cho bởi phương trình như sau:

Ị±(t) = A x ự ) + B u ( t ) , x ( t 0 ) = x 0,

y y { t ) = C x ( t ) + D u ( t ) , trong đó biến trạng t h á i X ( T ) là véc tơ N chiều, biến đ ầ u vào U { T )

là véc tơ M chiều, biến đầu ra Y ( T ) là véc tơ P chiều được cho tương

ứng như sau:

6Nguyễn Thanh Duy K16 - Toán

( t ) Ú 2 {t )

x n ( t ) Với thờigian ban đầu cố định là Ỉ Q , biến trạng thái ban đầu sẽ làX ( TŨ ) =

X Q

Ta sử dụng kí hiệuM = [ Ĩ Ĩ I Ị J \ để biểu diễn ma trận có phần tử hàngthứ i,

cột thứ J là 777/2j• Khi đó các ma trận hệ số trong (1.1) được xác định như

sau:

A B \ p i j ] 5 C \ p i j ] ; D ị d ị j ] , với kích thước tương ứng là n X n, n X ra, p X n, p X 771.

Hệ (1.1) được viết tường minh như sau:

X ị { t ) = a n Xị { t ) + a i 2 x 2 ( t ) - ị -b a i n x n { t ) +

+ b ị i U i ( t ) + b ị 2 U 2 ( t ) + • • • + b i m u m { t ) ,

V Á 1 ) = CjiíCi(í) + C J 2 X 2 { T ) + -h C J N X N ( T ) +

+<ỊjiWi(í) + D J 2U2(T ) + • • • + DJ M U M ( T ) , với I = 1, , N và J = 1, , P

Hình 1.1: Phương trình trạng thái Hình (1.1) cho ta thấy sơ đồ khối của

không gian trạng thái, với đầu vào,

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC

Nguyễn Thanh Duy K16 - Toán

đầu ra là tuyến tính, bất biến theo thời gian.

Trong Ví dụ sau chúng tôi sẽ biễu diễn một hệ cơ học về dạng (1.1).

V Í D Ụ 1.1.1 Xét hệ cơ học trong hình (1.2) Trong hệ này đầu vào là lực kéo

U { T ) = F ( T ), đầu ra là các khoảng cách 7/1 (í), 7/2(£)• Áp dụng Định luật Newton I I cho các vật nặng M I , M 2 ta có được các phương trình vi phân bậc hai

sau:

m ĩ ỹ i i t ) + k ì y ^ t ) - k 2 [ y 2 ( t ) - y ^ t ) ] = /(í), m2j/2(t) + c ỳ 2 ( t ) + k i [ y i ( t )

-ỉ/i(í)] = 0.

Trong hệ này các thành phần chứa năng lượng là hai lò xo và hai vật nặng

7711,7712- Ta định nghĩa véc tơ trạng thái X ( T ) gồm các thành phần:

X i { t ) = X 2{ t) = y 2( t )

-y i ( t ) , Z3 { t ) =

Thay các giá trị trên vào (1.2) và (1.3) ta được:

r r i i X ^ t ) + k ỵ X i ự ) - k 2 x 2 { t ) = f ( t ) ,

m 2 X ị { t ) + c X ị { t ) + k 2 x 2 { t ) = 0.

Với đầu vào U ( T ) = F ( T ) , ta có phương trình thứ nhất của hệ tuyến tính

bất biến theo thời gian là:

Phương trình đầu ra là:

Từ đó ta có thể xác định các hệ số A , B , c và D Ta có thể định nghĩa 3^2(í)

= Y 2ÌF ) m à không làm thay đổi tính chất của hệ.

Các biến trạng thái tương ứng là:

ằ x 17

2/2

{ t ) ,

ỹ ĩ i t

Khi đó ta có các matrận mới A và C là:

các ma trận B và D là không đổi.

1.2 Các khái niệm cơ bản trong lý thuyết điều khiển

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử / là một hàm của biến số thực T sao cho tích

Định nghĩa 1.2.3 Một ma trận được gọi là Ổ N Đ Ị N H T I Ệ M C Ậ N nếu tất cả

các giá trị riêng của nó có phần thực nhỏ hơn 0 Hệ tuyến tính (1.1) được gọi

là ổn định tiệm cận nếu ma trận Ả ổn định tiệm cận.

định tiệm cận.

Định nghĩa 1.2.5 Hệ (1.1) được gọi là điều khiển được (controllable) nếu với bất

kỳ trạng thái khởi tạo X ( T O ) = X Q và trạng thái kết thúc X Ị , T Ị > 0 đều tồn tại đầu vào U ( ) thỏa mãn X ( T Ị ) = X \ Điều này tương đương với M A trận điều khiển:

• Hạng của ma trận điều khiển R A N K ( C Q ) = 2

Vậy hệ là điều khiển được.

Định nghĩa 1.2.7 Hệ (1.1) được gọi là Q U A N S Á T Đ Ư Ợ C ( O B S E RVA B L E ) nếu với bất kỳ TỊ > 0, trạng thái khởi tạo X ( TO ) = X O có thể được xác định

từ đầu vào U { T ) và đầu ra Y { T ) trong đoạn [0,ti] Điều này tương đương với

Vậy hệ là quan sát được.

Định nghĩa 1.2.9 Hệ (1.1) được gọi là C Â N B Ằ N G nếu ổn định tiệm cận, điều

khiển được, quansátđược và thỏa mãn hai phươngtrình Lyapunov sau:

là cân bằng, bởi vì:

1 Do ma trận A C Ó các giá trị riêng là {-0.9998, -2.0001} nên A ổn định tiệm

cận Vậy hệ ổn định tiệm cận.

4 Có tồn tại ma trận dạng đường chéo s = phương trình Lyapunov.

1.3Giới thiệu về bài toán rút gọn mô hình

Xét hệ tuyến tính (1.1)

j x ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) , x ( t 0) = X Q ,

y y ( t ) = C x { t ) + D u ( t ) , với x ( t ) e u { t ) e M m , y { t ) e R p , A e R n x n , B e c e R p x n ,

D € M pxm Biến X ( T ) được gọi là biến trạng thái, biến U ( T ) là biến đầu vào ( i n p u t ) , b i ế n y ( t ) l à b i ế n đ ầ u r a ( o u t p u t )

Trong thực tế bài toán (1.1) có số biến trạng thái N rất lớn, điềunày gây

ra nhiều khókhăn trong tính toán Bài toán rút gọn mô hình làbài toán xây

0.4924 0.2765 -0.4924 1.7537

có R A N K ( C Q ) = 2, và

0.4924 0.2765 -0.4924 1.7537 có R A N K ( 0‘ B) = 2, và

dựng hệ tuyến tính với số biến trạng thái nhỏ hơn hệban đầu như sau:

^ y { t ) = C z { t ) + D u { t ) , trong đó z { t ) €R r , u ( t ) G M m , y { t ) e R p , Ầ e W x r , B e R r x m , c e

• Bảo toàn các tính chất quan trọng của hệ ban đầu.

• Có sai số nhỏ.

Việc xây dựng mô hình rút gọn cho hệ (1.1) đã được nghiên cứu với nhiều phương pháp khác nhau Trong các chương tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày một số phương pháp cho bài toán rút gọn mô hình.

Định nghĩa 1.3.2 Xét mô hình tuyến tính biểu diễnbởi hệ (1.1) Chuẩn

H O A củahàm truyền G ( S ) được xác định bởi công thức sau:

(1.9) UẼi

trong đó X M A X là giá trị suy biến lớn nhất của G ( J U )

Để tính I Ịơ(s) Ị loo trong Matlab:

• Nhập các hệ số (A, B , ơ, D ) của hệ:

Sai số giữa hệ (1.7) với hệ (1.1) được đánh giá qua giá trị ||Cr(s) — Cr(s)||

oo trong đó G , G lần lượt là hàm truyền của hệ (1.1) và hệ (1.7).

Chương 2

Các phương pháp rút gọn mô hình cổ điển

Trong chương này chúng tôi trình bày một số phương pháp rút gọn

mô hình cổ điển dựa trên các tài liệu tham khảo [1] và [6].

2.1Phương pháp chặt cân bằng (balanced truncation method)

Trong trường hợp hệ (1.1) ổn định tiệm cận, điều khiển được và quan sát được ta có thể chuyển về dạng cân bằng theo các bước sau:

1 Lần lượt tính các ma trận năng lượng điều khiển P , ma trận năng lượng quan sát Q từ hai phương trình Lyapunov

A P + PA ' + B B ' = 0,

A ' Q + Q A + Ơ C = 0.

2 Tìm ma trận tam giác dưới R sao cho P = R R '.

3 Thực hiện khai triển trị riêng suy biến ma trận R ' Q R : R ' Q R = U T, 2 U ' ,

1Nguyễn Thanh Duy K16 - Toán

trong đó u thỏa mãn U'U = I và ma trận s có dạng đường chéo

'1'

2 3 . 0 .

2 1 5 1 0

Ta chuyển hệ về dạng cân bằng theo các bước như sau.

B Ư Ớ C 1: Kiểm tra tính ổn định tiệm cận, tính quan sát được và tính điều khiển được của hệ.

A =

B =

c

=

-0.5007 -1.0001

99.3298 108.0725 60.4835 181.3648 -246.2959 -316.8050 -135.8776 -447.4810.

Hạng của ma trận quan sát: rank(OB) = 4

do số chiều của ma trận Ả cũng bằng 4 nên hệ là quan sát được.

4 Tính ma trận điều khiển:

CO = ctrb(SYS)

1.130.0948 -99.9736 286.0438 2.1-16.905953.6780 -157.1404

3 -44.3952 128.9415 -340.4249

-1.5131 -0.3614 0.0000 1.2979

Hạng của ma trận điều khiển:

rank(co) = 4

E i g A

C ỡ

do Số chiều của ma trận A cũng bằng 4 nên hệ là quan sát được

117.2012 -36.0507 -144.2995 -36.0507 11.9505 46.5143 -144.2995 46.5143

11.1120 -3.6365

p

183.4440 -14.4273

2 Tính ma trận năng lượng quan sát:

157.2970 127.1309 66.6440 315.9175 127.1309 103.4126 52.4954 256.3495 66.6440 52.4954 31.8469 131.2181 315.9175 256.3495 131.2181 636.4224

0.000 0 0.928

0.000 0 0.000

R

-0.2354 -0.2853 0.0549

4 Tính ma trận U : E 1 / 2 :

[U,Sigma,V] = svd(transpose(R)*Q*R)

-0.9764 0.2051 -0.0672 -0.0103 -0.2067 -0.9767 0.0305 -0.0483

T =

-0.2027 1.0914 -0.4304 0.0675 0.2228 -0.9597 0.5225 1.3212

6 Dạng cân bằng của hệ tuyến tính đã cho:

u =

E 2

= E

SYSb = ss(TAT~{-l},TB,CT~{-l},D);

-0.2385 0.7141 -0.0598 0.0112 -0.7141 -2.523 0.492 -0.0931 0.0598 0.4920 -2.1610 0.7719 -0.0112 -0.0931 0.7719 -1.5770 '-5.5040"

-6.9860

0.6888 0.1289.

.-5.5040 -6.986 0.6888 -0.1289 0

B Ư Ớ C 3 : Kiểm tra lại các tính chất của

hệ mới xây dựng.

1 Tính ma trận các giá trị riêng của ma trận

S Y S B A: EigSYSb.A = [eig(SYSb.A)]

2 99 97 -1.9996

0.5007

1.

00 01

Do phần thực của các giá trị riêng

của ma trận S Y S B A đều âm nên

ma trận S Y S B A ổn định tiệm cận.

Vậy hệ cân bằng ổn định tiệm cận.

2 Tính ma trận quan sát:

OBb = obsv(SYSb)

5.5039 -6.9858 0.6888 -0.1289 3.7189 21.9087 -5.3546 1.4469

-16.8694 -55.3949 23.2460 -8.4131 45.0676 139.9497 -82.9781 36.1813 Tính hạng của ma trận quan sát: rank(OBb) = 4

do số chiều của ma trận Ả cũng bằng 4, nên hệ là quan sát được.

3 Tính ma trận điều khiển:

COb = ctrb(SYSb)

-5.5039 -3.7189 16.8694 -45.0676 -6.9858 21.9087 -55.3949 139.9497

0.6888 -5.3546 23.2460 -82.9781 -0.1289 1.4469 -8.4131 36.1813 Tính hạng của ma trận điều khiển:

rank(co) = 4

do số chiều của ma trận A cũng bằng 4, nên hệ là điều khiển được.

4 Tính ma trận năng lượng điều khiển:

Qb = DiagịQ3.5100 9.6704 0.1098 0.0053].

Ta thấy hai ma trận P B , Q B trùng nhau và trùng với ma trận s

Vậy hệ mới xây dựng là cân bằng.

6 Hàm truyền của hệ cân bằng: