Luận văn một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến

Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến vàứng dụng giải một số phương trình cụ thể trên máy tính.. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư

PHẠM HÀ NỘI 2

• • • •

NGUYỄN THỊ VÂN

MỘT số PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

giúp đỡ, hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận vănnày đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, và các thầy cô giáo dạy chuyên ngànhToán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cám ơn gia đình, người thân, bạn bè, đã giúp đỡ, động viên,tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ, và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 10 tháng 1 năm 2015 Tác giả

Hà Nội, ngày 16 tháng 9 năm 2014 Tác giả

Nguyễn Thị Vân

LỜI CẢM ƠN

Mục lục

BẢNG KÝ HIỆULuận văn sử dụng những kí hiệu với nghĩa xác định trong bảng dưới đây:

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình vi phân phi tuyến là một lĩnh vực quan trọng trong các ngànhtoán học cả về phương diện lý thuyết và mô hình ứng dụng Có nhiều phươngpháp giải phương trình phi tuyến Một trong những phương pháp được sửdụng nhiều nhất là phương pháp lặp Nên tôi đã chọn đề tài “Một số phươngpháp lặp để giải phương trình phi tuyến” với mong muốn tìm hiểu sâu hơn vềphương pháp này

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến vàứng dụng giải một số phương trình cụ thể trên máy tính

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cách giải một số phương trình phi tuyến nhờ áp dụng phươngpháp lặp Phân tích sự hội tụ của các phương pháp Nêu các ứng dụng của cácphương pháp

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Hệ thống một số phương pháp lặp: phương pháp Newton, phương pháp Euler,phương pháp Runge-Kutta, phương pháp Kantorovich ứng dụng giải số một

số phương trình trên máy tính

5 Những đóng góp mới của đề tài

4

Đề tài nghiên cứu một cách có hệ thống một số phương pháp lặp giải phươngtrình phi tuyến Nêu lên các ứng dụng của các phương pháp này vào giải một

số phương trình vi phân phi tuyến

6 Phương pháp nghiên cứu

Vận dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, giải tích hàm, giải tích số và lập trình máy tính

Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1 [2] Cho tập 1/0 Một ánh xạ d đi từ X X X vào M được gọi

là một metric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

( ỉ ) d ( x , y ) > 0, d ( x , y ) = 0 X = y

(iỉ) d(x,y ) = d(y,x),Vx,y e X (tính chất đối xứng).

(ỉỉi) d(x, y ) < d(x, z ) + d(z, y),\/x, y,z £ X (bất đẳng thức tam giác) Nếu d là metric trên X thì ( X , d ) là không gian metrỉc.

gọi là hội tụ tới điểm X G X nếu lim d(x n : x ) = 0.

71—>00

Kí hiệu lim x n = X hoặc x n —»• X khi n —>• oo.

n—>00

được gọi là có điểm bất động nếu tồn tại x 0 G X, sao cho T(x 0) = £()•

gọi là dẫy cơ bản (hay dẫy Cauchy) nếu Ve > 0, 3n{e) G N* : d(x m ,x n) < e,Vm,n > n(s)

Định nghĩa 1.5 [1] Không gian metric ( X , d ) được gọi là đầyđủ nếu mọi

6

dãy cơ bản trong X đều hội tụ đến một phần tứ của X.

Định lý 1.6 [1] Mọi tập đóng trong không gian metric đầy đủ là một không gian metric đầy đủ.

được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số a e [0,1) sao cho:

d(Tx,Ty ) < ad(x, y) vôi mọi x,y € X.

Cho ( X, d ) là một không gian metric đầy đủ và T là một ánh xạcotrên

X Khiđó tồn tại duy nhất u e X sao cho T(u ) = u Ngoài ra với mọi

là cấp lớn nhất của đạo hàm của

ẩn xuất hiện trong phương trình

Phương trình vi phân thường cấp 1 có dạng tổng quát

8

trong đó F( X , Y , Y ’)

được giả thiết liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nó trên

F(x, ộ(x), ệ'(x), ộ"(x), (ỊÁ n \x)) = 0 với Mx G I (1-4)

Trong trường hợp phương trình vi phân cấp 1, nghiệm là một hàm thực một

mà khi thay vào (1.2) hoặc (1.3) ta được một đẳng thức đúng

Bài toán Cauchy

Ta nhận thấy rằng nghiệm của phương trình vi phân phụ thuộc vào một haynhiều hằng số tùy ý nào đó Để xác định nghiệm cụ thể, ta cần thêm một hay vài dữkiện nào đó về nghiệm (tùy thuộc vào cấp của phương

Ta xét bài toán sau đây đặt ra với phương trình (1.2), gọi là bài toán Cauchy(hay bài toán giá trị ban đầu).

được gọi là điều kiện ban đầu

Câu hỏi đặt ra là bài toán có hay không và có bao nhiêu lời giải Talưu ý rằng không phải lúc nào bài toán Cauchy cũng có nghiệm và khi cónghiệm cũng không nhất thiết có duy nhất nghiệm Chẳng hạn, bài toán

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

điều kiện Lipchitz theo biến y trên D nếu tồn tại hằng số dương

1 0

L (gọi là hằng số Lỉpschỉtz) sao cho

\f(x,yi) - ĩ{x,y 2 )\ < Lịyi -y 2 \ vớỉ\J{x,y 1 ),{x,y 2 ) e D.

Giả sử hàm f trong (1.5) liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y trên hình chữ nhật

Ta chứng minh rằng phép lặp Picard hội tụ đều trên I đến một nghiệm của bài

Ữ

L \ {k + p)\

j>k +1

Chuỗi số là hội tụ, nên phần dư của nó (xuất hiện

đủlớn Theo tiêu chuẩn Cauchy dãy hội tụ đều trên I

Giả sử bài toán Cauchy còn có thêm nghiệm

Z ( X ).

Khi đó ta có

y(x) - z(x) = f [/(í, y(t)) - f(t, z(t))]dt

J X 0

Suy ra

[f{t, y{t)) - f{t, z(t))]dt <2M\x

I = 0 trên I Như vậy

) là duy nhất.Phân loại nghiệm phương trình vi phân

Về mặt hình học, bài toán Cauchy chophương trình vi phân cấp 1 có thể hiểu là tìm

) (hay còn gọi là đường cong tích phân của

Haynói cách khác, bài toán Cauchy là tìm đường congtích phân của phương trình (1.3) đi qua điểm

Ữ

(a) Với mỗi điều kiện ban đầu ( x ữ ,y ữ) £ D ta luôn giải được c dưới dạng

c =

<p{x 0 ì y 0 ) trong đó <f là hàm liên tục.

(b) Hàm y = y(x,c ) thỏa mẫn phương trình (1.3) với mỗi giá trị của

c khi ( x 0 : y 0) e D.

Khi đó hệ thức <f(x,y) = c (hoặc chính hàm (p(x,y) ) được gọi là tích phẫn tổng quát của phương trình (1.3).

(1.3) mà tại mỗi điểm {x 0 ,y 0 ) của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy (1.5)

được thỏa mãn, được gọi là nghiệm riêng Ngược lại nghiệm của phương trình (1.3)

mà tại mỗi điểm ( XQ ^ Q ) của nó tính duy nhất nghiệm bài toán Cauchy bị vi phạm, được gọi là nghiệm kì dị của phương trình vi phân.

Nhận xét:

Từ định nghĩa nghiệm tổng quát ta suy ra

Giải (hay còn gọi là tích phân) một phương trình

vi phân là tìm tất cả các nghiệm (biểu thứcnghiệm tổng quát) của phương trình đó hoặcnghiệm của bài toán Cauchy với điều kiện banđầu cho trước

thỏa mãn điều kiện y(0) = 1

Dễ dàng kiểm tra rằng nghiệm tổng quát củaphương trình đã cho là

7 Ap dụng phương pháp lặp giải một số phương trình phi tuyến

các toán tử không có tính tuyến tính Trong đề tàinày, ta xét các phương trình toán tử phi tuyến vàphương pháp giải số Chúng ta bắt đầu xem xétcác phương trình toán tử có dạng

12 Cho V

là một không gian Banach,

Xéttoán tử

+ B

24 Vậy, trong trườnghợp không tầm

1)phương pháp lặp hội

tụ khi và chỉ khi |a| < 1

35 suyliên tục Lipsit

36 suyliên tục đều

37 Định lý 2.2 (Định lí Banach về điểm bất động)

38 Giả sử rằng K là một tập đóng khác rỗng trong không gian Banach V, và

T : K —»■ K là một ánh xạ co với hằng số a,0 < a < 1 Khi đó ta có các kết quả sau:

(1) Tồn tại duy nhất u e K sao cho

42

phương trình phi tuyến trong không gian Hilbert

44 Định lý 2.3 Cho V là một không gian Hilbert Giả sửT :V V là đơn điệu mạnh

và liên tục Lipschitz, nghĩa là tồn tại hai hằng số C1,C2 > 0 sao cho với bất kỳ V I , V 2 G

(2.11)

49 Hơn nữa, nghiệm u phụ thuộc liên tục Lipschitz theo b: Nếu T(ui ) = &1 và

T(ii2) = U2, khi đó

Lipschitz của nghiệm đó đối với vế phải Từ

67 T(uị) - T(u 2) = &1 - b 2

68 Khi đó: (T(ui) - T(u 2 ), Ui - u 2 ) = (bị - b 2 ,

2.2 ứng dụng các phương pháp lặp

được trình bày ở phần trước chứa hầu hết tính chấtmong muốn của phương pháp số Với các điềukiện đã nêu, dãy xấp xỉ được xác định, và hội tụđến nghiệm duy nhất của bài toán Hơn nữa, tốc

độ hội tụ là tuyến tính (xem (2.8)), chúng ta cómột ước lượng sai số tiên nghiệm (2.6) dùng đểxác định số lần lặp cần thiết để có được mộtnghiệm với độ chính xác theo quy định, trước khitính toán thực tế; và một ước lượng sai số hậunghiệm (2.7) để tính giới hạn sai số khi tính cácnghiệm bằng số Trong phần này, tôi áp dụng định

lý Banach về điểm bất động để tính xấp xỉ (bằngsố) của một số bài toán

2.2.1.Phương trình phi tuyến

bài toán điểm bất động tương ứng dạng:

76777879

Chẳng hạn, T(x) = X — f(x) hay rộng hơn T(x) = X — c 0 f(x) với c0 cố

X = T(x), x ẽ R (2.14)

(1) Tồn tại duy nhất nghiệm X G [a, b] thỏa mãn phương trình X = T(x).

(2) Dối với bất kỳ Xq g [a,b], dẫy

{ x n} с [a,b] được xác định bởi X n + 1 =

toán điểm bất động và giải bằng các phương pháplặp Tách ma trận

96 với X Q là nghiệm ban đầu.

M

được gọi là ma trận lặp Trừhai phương trình cho nhau, ta được phương trìnhsai số

MỴ{ X — X

Q

nó là chuẩn sinh ra bởi các chuẩn vector

106 P||=supMĩf.(2.18)

(A

Ơ

(A

112 với {Aị(j4)Ị là tập tất cả các giá trị riêngcủa A.

ma trận, còn chuẩn ma trận thì không có tính chất

đó Vì vậy, điều kiện cần và đủ để phép lặp hội tụđược miêu tả trong điều kiện của bán kính phổcủa ma trận lặp Ta có mối liên hệ sau giữa bán

1 R

Ơ

129 7^ 0 là thông số gia tốc Tương ứng phương pháp lặp (xấp xỉ) với lựa

L

[ B - L X

N

2.2.3 Phương trình tích phân tuyến tính và phi tuyến

a<x<b (2.19)

137 J a

về điểm bất động trong không gian Banach Khi đó, ta dễ dàng có được hằng số co

max / \K[x,y)\ay < |A|,

a < x < b J a

B

145 Với giả thiết A <

162 u(x) = ịi k(x,y)h(y,u(y))dy + f(x) a < x < b

tượng trên đó là phương trình Nekrasov

173 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra Phương trình có dạng:

180 \k(t,s,Ui) — k(t,s,u 2)I < M(ui — u 2) ,a < s < t < Ễ

M

181 M là hằng số Khi đó, phương trình (2.27) có một nghiệm duy nhất

đầu u 0 e C[a, 6].

182 C HỨNG MINH

Có hai cách áp dụng định lý Banach về điểm bất động đểchứng minh sự tồn tại nghiệm duy nhất của (2.27), giả thiết rằng điều kiện được nêutrong định lý 2.5 được thỏa mãn Xác định toán tử tích phân phi tuyến:

183 T : c [a, b] —> c [a, b],Tu(t ) = ị k(t, s, u(s))ds + f(t).

184 J a

M

U

A

oo) Điều này cho thấy phương trình:

221 u(t) = í A;(£, s, u(s))ds + /(í) t>a

222 J a

ds

2.2.4 Phương trình vi phân thường trong không gian Banach

trình vi phân Phương trình vi phân (2.31) tương đương với phương trình tích phân

237 Ta có giả thiết về sự tồn tại và tính giải được của phương trình (2.31)

ở định lý sau (Chứng minh là ứng dụng đơn giản của định lí 2.1 kết hợp ý tưởngchứng minh định lí 2.5)

238 Định lý 2.7 Giả sử f : Qb V là liên tục Lỉpsỉt với đối số thứ hai

239 trong đó L là một hằng số không phụ thuộc t Cho

N

( T )

( T )\\ E

L Ị T

2.3.1 Đạo hàm Frechet và Gauteaux

Ữ

\

đúng hơn, chúng ta tuyến tính hóa hàm số

Ữ

Bằng cách này ta chỉ cần giải hàm vector của

D

bất kìthỏa mãn (2.37) nhưng không thỏa mãn (2.36)

Chúng ta qui ước rằng khi nói đến

Như vậy cónghĩa là có một số dương r sao cho

279 B{u Q ,r) = {u& v/\\u-u ữ \\ < r} e K.

280 Định nghĩa 2.8 Hàm f ỉà khả vi Frechet tại u 0 nếu tồn tại A £ L(V,

K chúng ta nói f khả vi Frechet trên K ữ và gọi f ' : K ữ c V - > L(v,w) là đạo hàm của f trên K ữ

283 Nếu / là khả vi tại U

Ữ

chỉ nếu tồn tại A G L(V, w) sao cho:

liên tục tại

u 0

297 f(u ữ + th ) = f(u Q) + tAh + o(|i|) v/i £ V.

298 Do đó, đạo hàm Préchet còn là đạo hàm Gateaux Mệnh đề ngược

lạikhông

lại, nếu giới hạn ở (2.39) là đều với h, ||/ỉ|| = 1, hoặc nếu đạo hàm Gâteaux là liên tục tại Uo thì, đạo hàm Gâteaux tại U Q củng là đạo hàm Fréchet tại U Q

hàm loại nào thì sẽ vừa là đạo hàm Fréchet vừa là đạo hàm Gâteaux

Ữ

309 Cho u, V, w là các không gian định chuẩn, f : K c u —> V, g : L

c V —> w đã cho, f(K ) c L Giả sử u 0 ỉà điểm trong của K , f ( u 0) là một điểm trong của L Nếu f'(u 0) và g'{f(u 0)) là các đạo hàm Fréchet thì g o /

là khả vi Fréchet tại điểm u 0 và

311 Nếu f(u Q) là đạo hàm Gâteaux, g'(f(u ữ)) là đạo hàm Fréchet thì g o / là khả vi Gâteaux tại U Q và công thức củng như trên

329 Ta khái quát định lý giá trị trung bình cho hàm khả vi một biến thực Từ đó, xét định lý trên hàm phi tuyến.

tục biến u trên K vào L(u,v) Cho u,w G K, và giả sử đoạn thẳng nối hai điểm đó cũng được chứa trong K Thì

331 \\F(u) — F(w)\\v < sup \\F'((1 — 9)u + ỡw)\\\\u — w\\u.

liên thông trong u Giả sử F : K —»■ V là khả vi Nếu F r (v) = 0 với mọi V G K, thì F là một hàm hằng.

347 Đối với một hàm khả vi liên tục F : M —»• M, áp dụng định lý giá trị trung bình thông thường cho (2.40), ta có:

u,w £ R

vào F,u và w.

không làm cho các hàm xác định trên không gian Banach Kết quả sau cho ta cậnsai số với xấp xỉ Taylor tuyến tính của một hàm phi tuyến Chứng minh mệnh đềtương tự như ở trên

u —> V Với K là một tập mở Giả sử F là liên tục khả vi cấp hai trên K, với F" : K —»■ L(U X Ư,V) Cho (u 0 , u 0 + h) £ K, củng cấc đoạn thẳng nối chúng Khi đó:

352 ||f>„ + h ) - [f K) + F ' ( u 0 h ) \ \ v < ị sup ll^'K + fl/OIIHÄll,,

2.3.2 Định lý giá trị trung bình

48

353 ^ 0<Ö<1

2.3.2 Định lý giá trị trung bình

49

2.3.3 Đạo hàm riêng

ư X V —»• w Điểm cố định v 0 G V ; f ( u , v 0 ) là hàm của đạo hàm tại u ữ

nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng của f với biến u và được kí hiệu

là fu{uo,Vo) Đạo hàm riêng f v (u 0 ,v 0) được định nghĩa tương tự.

từng phần

fu{uo,v 0) và f v {u 0 ,v 0) tồn tại và

358 f'{u 0 ,v 0 )(h,k) = f u (u 0 ,v 0 )h + f v (u 0 ,v 0 )k, h & u , k & v (2.41)

359 Ngược lại, nếu fu{uo,v ữ ) và fv{uo,v ữ ) tồn tại trong lăn cận của

( u 0 ,v ữ) và liên tục tại ( u ữ, v ữ) thì hàm f khả vi tại ( U Q , t;0) và phương trình

Giả sử / khả vi Eréchet tại (mq,^o) thì

361 f(u 0 + Mo + k) = f(u 0 ,v 0) + f{u 0 ,v 0 )(h,k ) + o\\(h, A:)ỊỊ.

369 Bây giờ giả sử f u ( u Q , V q ) và f v ( u Q , V q ) tồn tại trong lân cận của ( U Q ,

cận của ( u ữ ,v Q) khi và chỉ khi fu(u,v ) và f v (u,v ) liên tục trong lãn cận của

(«0, Vo).

tính lồi của hàm khả vi Gateaux

378 Định lý 2.21 Cho V là không gian định chuẩn, к с V là tập con lồi khác rỗng Giả sử f : к —> M là khả vi Gateaux, thì ba mệnh đề sau là tương đương:

(b) f ( v ) > f ( u ) + { f { u ) , v - и ) Vm, V G К ; (c) ( F '( V