Luận văn bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II

Với những lý do kể trên tôi đã chọn đề tài: và sự ổn định của các tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II... Sau đó tìm các điều kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm và nghiên

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư

PHẠM HÀ NỘI 2

• • • •

PHẠM THỊ THUẦN

BÀI TOÁN TựA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI II

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

• • •

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên để tôi hoàn thành luận văn này.

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng của GS TSKH Nguyễn

Xuân Tấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: ” B À I

1.2.2 Ánh xa đa tri

1.3 Các tính chất của ánh xa đa tri

1.3.1 Tính liên tuc và tính liên tuc theo nón

1.3.2 Tính lồi và tưa lồi theo nón

1.4 Môt số đinh lý về điểm bất đông của ánh xa đa tri

1.4.1 Ro đề KKM

1.4.2 Định lý Kỵ Fan

1.4.3 Định lý Browder-Ky Fan 2 Bài toán tựa cân bằng tống quát loại II 2.1 Phát biếu bài toán

2.2 Sự tồn tại nghiệm

2.3 Sư tồn tai nghiêm của môt số bài toán liên quan

2.3.1 Bài toán tựa cân bằng vô hướng loại II

2.3.2 Bao hàm thức tựa biến phân loại II

2.3.3 Bài toán tựa quan hệ biến phân loại II

2.4 Bài toán tưa cân bằng Pareto và tưa cân bằng yếu

2.5 Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vectc

tống quát

Kết luận

Tài liệu tham khảo

2.6 Sự ổn định của các tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng

49

49 5 2 5 4 6 7

70 76 77

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích đa trị là một hướng nghiên cứu tương đối mới trong Toán học, mặc dù

từ những năm 30 của thế kỷ XX các nhà toán học đã thấy cần phải nghiên cứu ánh

xạ đa trị, tức ánh xạ nhận giá trị là các tập con của một tập hợp nào đó Sự ra đời

của tạp chí quốc tế " S E T - V A L U E D A N A L Y S I S " vào năm 1993 là

một mốc lớn trong quá trình phát triển của giải tích đa trị Vai trò của giải tích đa trị trong Toán học và các ứng dụng của toán học đã được công nhận rộng rãi Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân và phương trình suy rộng, lý thuyết tối ưu, lý thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa học quản lý, và toán kinh tế.

Có thể nói những ứng dụng mà giải tích đa trị đem lại là vô cùng to lớn, đặc biệt trong các bài toán kinh tế.

Bài toán điểm cân bằng được hình thành từ khái niệm hữu hiệu mà Edge- worth và Pareto đề xướng từ cuối thế kỷ 19 Sau đó nó được nhiều nhà toán học như Debreu, Nash, sử dụng để xây dựng những mô hình kinh tế mà trong những năm cuối của thế kỷ 20, nhiều nhà kinh tế thế giới quan tâm khai thác Để chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng của mô hình kinh tế, đầu tiên người ta thường sử dụng các định lý điểm bất động kiểu Brouwer, KakuTani, Ky Fan, Browder, Sau này, người ta đã chỉ ra rằng Định lý điểm bất động Browder tương đương với Định lý về sự tương giao

hữu hạn của các tập compắc, Định lý không tương thích của Hoàng Tụy và Định lý KKM Như vậy, người ta đã tìm ra được nhiều phương pháp khác nhau để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán điểm cân bằng Năm 1972 Ky Fan và năm 1978 Browder-Minty đã phát biểu bài toán điểm cân bằng một cách tổng quát và chứng

minh sự tồn tại nghiệm của nó với những giả thiết khác nhau Kết quả của Ky Fan nặng về tính nửa liên tục trên, còn kết quả của Browder-Minty nặng về tính đơn điệu của hàm số Năm 1991, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng tổng quát và tìm cách liên kết các bài toán của Ky Fan và Browder-Minty với nhau thành dạng chung cho cả hai Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: tìm X G K sao

cho / (X , X ) > 0 với mọi X E K , trong đó K là tập cho trước của không gian, / : K X K — ¥ R là hàm số thực thỏa mãn / (X , X ) > 0 Các tác giả đã

chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán này dựa trên Nguyên lý KKM.

Đầu tiên người ta nghiên cứu những vấn đề liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều này sang không gian hữu hạn chiều khác mà thứ tự đưa ra bởi nón orthant dương Sau đó mở rộng sang không gian có số chiều vô hạn với nón bất

kỳ Khái niệm ánh xạ đa trị đã được xây dựng và phát triển do nhu cầu phát triển của Toán học và các lĩnh vực khác Từ đó người ta tìm cách chứng minh các kết quả thu được từ đơn trị sang đa trị Nếu chúng ta cho thêm các ánh xạ ràng buộc, thì bài toán cân bằng sẽ trở thành tựa cân bằng Bài toán tựa cân bằng được nhiều nhà nghiên cứu trong những năm gần đây Với những lý do kể trên tôi đã chọn đề tài:

và sự ổn định của các tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu bài toán dựa trên những yêu cầu của thực tế khách quan Sau đó tìm các điều kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm và nghiên cứu sự ổn định của các tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II: Sự tồn tại nghiệm, sự ổn định của các tập nghiệm và một số ứng dụng của nó Sau đó, trình bày các mối liên hệ giữa bài toán này với một số bài toán khác trong lý thuyết tối ưu đa trị.

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các định lý điểm bất động của Ky Fan, Fan-Browder và Định lý KKM trong việc nghiên cứu các bài toán tựa cân bằng.

6 Giả thuyết khoa học

Luận văn là cái nhìn cụ thể về một lớp bài toán trong lý thuyết tối ưu Trình bày chi tiết sự tồn tại nghiệm, sự

ổn định của các tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổngquát loại II cũng như những ứng dụng trong các bài toán liên quan

Chương 1 Kiến thức

cơ bản

Chương này trình bày một số không gian thường dùng như: Không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, các khái niệm về nón, ánh xạ đa trị, các tính chất của ánh xạ đa trị để phục vụ chứng minh ở chương sau Ngoài ra, chương này còn trình bày các

định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị, đó là các định lý cơ bản để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát Các khái niệm này ta có thể tìm thấy trong cuốn của Nguyễn Phụ Hy [1], Nguyễn Xuân Tấn [3] Các khái niệm khác được nhắc đến đã có trích dẫn kèm theo.

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian metric một tập hợp X 7 ^ 0 cùng với một ánh

xạ D từ tích Descartes X X X vào tập hợp các số thực M thỏa mãn các tiên đề sau

đây:

1) (Vx, Y e X ) D ( X , Y ) > 0, D ( X , Y ) = 0 •<=>■ X = Y , (tiên đề đồng nhất);

2) (Vx, Y € X ) D ( X , Y ) = D ( Y , X ), (tiên đề đối xứng);

3) (Vz, Y , Z € X) D ( X , Y ) < D ( X , Z ) + D ( Z , Y ) , (tiên đề tam giác).

Ánh xạ D gọi là M E T R I C trên X , số D ( X , Y ) gọi là khoảng cách giữa hai phần

tử X và Y Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2), 3) gọi là H Ệ

T I Ê N Đ Ề M E T R I C

Không gian metric được ký hiệu là M = ( X : D )

Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric M = (X, D ) Một tập con bất

kỳ xữ ^ 0 của tập X cùng với metric d trên X lập thành một không gian

metric.

Không gian metric Mo = ( X Q : ( Ỉ ) gọi là không gian metric con của

không gian metric đã cho.

7 1 — 1 Tính chất 1) ( \ F X J ẽl,j = 1, 2 , 7 7 , , 77, G N * ) D ( X I , X N ) <

J 2 D ( X J , X J + 1 ),

3 =1 2) (Vx,y,u,v G X) \d (x,y) — d (u,v)\ < d (x,u) + d (y,v), ( b ấ t đ ẳ n g t h ứ c t ứ g i á c )

3 (Vx, Y , U G X ) I D (a;, Y ) — D ( Y , U ) \ < D (X , Ù ), (bất đẳng thức tam giác).

Ví dụ 1.1.1 Với hai phần tử bất kỳ X : Y ẽ K ta đặt

Dựa vào các tính chất của giá trị tuyệt đối trong tập số thực M dễ dàng

kiểm tra hệ thức (1.1) xác định một metric trên R Không gian tương ứng

được ký hiệu là M 1 Ta sẽ gọi metric (1.1) là metric tự nhiên trên R 1

Vì các hàm số X ( T ) , Y ( T ) liên tục trên đoạn [ A , B ] nên hàm số

IX ( T ) — Y ( T )I cũng liên tục trên đoạn [a, 6] Do đó hàm số này đạt

giá trị lớn nhất trên

đoạn [ A , B ] Suy ra hệ thức (1.2) xác định một ánh xạ từ tích Descartes

^[0 ,6 ] X C Ị A , B ] vào tập số thực R.

Dê dàng thấy ánh xạ (1.2) thỏa mãn các tiên đề về metric Không gian

metric tương ứng vẫn ký hiệu là C Ị A 6].

Định nghĩa 1.1.3 (Hình cầu) Cho không gian metric M = (X, D ), A G X , số r >

Định nghĩa 1.1.4 (lân cận) Cho không gian metric M = ( X , D ) Ta gọi là L Â N

C Ậ N của điểm X G X trong không gian M mọi hình cầu tâm X , bán kính r >

0 nào đấy.

Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian metric M = (X, D ), tập A C X , điểm

B £ X

• Điểm B gọi là Đ I Ể M T R O N G của tập A , nếu tồn tại một lân cận

của điểm B bao hàm trong tập A

• Điểm B gọi là Đ I Ể M N G O À I của tập A , nếu tồn tại một lân cận của

điểm B không chứa điểm nào của tập A

• Điểm B gọi là Đ I Ể M B I Ê N của tập A , nếu mọi lân cận của điểm B

đều chứa những điểm thuộc tập A , và những điểm không thuộc tập A Định nghĩa 1.1.6 Cho không gian metric M = ( X , D ) và tập A C X

• Tập A gọi là T Ậ P M Ở trong không gian M , nếu mọi điểm thuộc Ả đều là điểm trong của A , hay nói cách khác, nếu điểm X £ A , thì tồn tại một lân cận của X bao hàm trong A

• Tập A gọi là T Ậ P Đ Ó N G trong không gian M , nếu mọi điểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A , hay nói cách khác, nếu điểm X Ệ

A , thì tồn tại một lân cận của X không chứa điểm nào thuộc tập A

Đ ị n h l ý 1 1 1 Trong không gian metric bất kỳ, mọi hình cầu mở

là tập mở, mọi hình cầu đóng là tập đóng.

Định lý 1.1.2 Cho không gian metric M = (X, đ), tập A c X, và A 7 ^ 0 Tập A đóng trong không gian M khi và chỉ khi mọi dãy điểm (x n ) c A h ộ i t ụ

là A , hay I N T A Giao của tất cả các tập đóng chứa A là B A O Đ Ó N G

của A và ký hiệu là Ã hay [Ạ|.

Đ ị n h l ý 1 1 3 Cho không gian metric M = (X,d) và tập A c

X Phần trong A của tập A là tập tất cả các điểm trong của A, còn bao đóng Ẫ của tập A là hợp của tập Ả và tất cả các điểm giới hạn của tập Ả.

H ệ q u ả 1 1 2 Trong không gian metric bất kỳ M = ( X , d)

của một tập là tập mở, bao đóng của một tập là tập đóng.

Đ ị n h l ý 1 1 4 Trong không gian metric bất kỳ M = (X : d),

Vì vậy T là một tôpô trên X

Định nghĩa 1.1.8 Họ r tất cả các tập mở trong không gian metric M — (X, D )

Đ ị n h l ý 1 1 5 Trong không gian metric bất kỳ M — (Xid), tôpô

T sinh bởi metric d là tôpô có cơ sở lân cận đếm được.

Định nghĩa 1.1.9 Trong không gian metric M — ( X I D ) Một dãy {xn } là

— > oo) Nhưng ngược lại một dãy cơ bản trong một không gian bất kỳ không

nhất thiết hội tụ Chẳng hạn nếu coi khoảng (0,1) là một không gian metric thì dãy {-}, mặc dù cơ bản, nhưng không hội tụ trong không gian ấy.

Định nghĩa 1.1.10. • Không gian metric M — ( X , D ) trong đó mọi

dãy cơ bản đều hội tụ (tới một phần tử của X ) gọi là một K H Ô N G

ắt tìm được lân cận V X O = S ( X O , Ỏ ) c X của điểm X Q trong M Ị sao cho

0 : D ( A ( X ) , A ( Y )) < K D ( X , Y )

• K = 1: / được gọi là ánh xạ không giãn.

• 0 < K < 1: / được gọi là ánh xạ co.

Định lý 1.1.7 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) M Ọ I Á N H X Ạ C O Ả

Á N H

xạ không gian Metric đầy M = ( X , d) vào chính nó đều có

X duy nhất, nghĩa là X e X thỏa mãn hệ thức Ax = X.

Định nghĩa 1.1.14 Cho không gian metric M = (X, d) Tập K c X gọi là T Ậ P

C O M P Ắ C trong không gian M , nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập K

Định nghĩa 1.1.15 Cho không gian metric M = (X, D ) và tập A c X

Họ { G A ) A € L gồm các tập mở trong M Ự là tập chỉ số có lực lượng nào

đấy) gọi là một P H Ủ M Ở của A , nếu u G A D A Khi tập I hữu hạn, thì

1.1.2 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.16 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định

chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P ( P = № hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực K, kí hiệu là ll-ll và đọc là chuẩn, thỏa

mãn các tiên đề sau đây:

1) (Vx G X ) ||a;|| > 0, ||x|| = 0 X = 9 (kí hiệu phần tử không là9 );

2) (Vz G X) (Va G P ) IICKÍCỊỊ = |o:I ||zỊỊ;

3) (Vz, Y G X ) ||z + Y \ \ < ||z|| + IHI

Số \ \ X \ \ gọi là chuẩn của véctơX Ta cũng kíhiệu không gian định chuẩn

là X Các tiên đề trên gọi là hệ tiên đề chuẩn.

Đ ị n h l ý 1 1 9 Cho không gian định chuẩn X Dối với hai véctơ bất kì X, y G X ta đặt

Khi đó d là một metric trên X.

Chứng minh của định lý trên dễ dàng suy ra từ hệ tiên đề chuẩn và hệ tiên đề tuyến tính.

Nhờ định lý (1.1.9), mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không

gian metric với metric (1.3) Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong

không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn.

Định nghĩa 1.1.17 Dãy điểm (X n) trong không gian định chuẩn X gọi là D Ã Y C Ơ

B Ả N , nếu

l i m \\x n -x m \\ = 0.

m,,n—¥oo Định nghĩa 1.1.18 Không gian định chuẩn X gọi là K H Ô N G G I A N

B A N A C H , nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

Định nghĩa 1.1.19 Ánh xạ A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y được gọi là tuyến tính nếu

• A(x + y) = A(x) +

C H Ứ N G M I N H Giả sử A giới nội Lấy {;cn} c X , X N — > X tương

Ngược lại, giả sử Ả liên tục nhưng Ả không giới nội.

Tức Vra > 0, 3 X N e X : ỊỊA(a^m )|| > M ||x m || Ta đặt Y M =II ■ Ta được

\ \ y ™ II = Jfrií = ^ 0,ra ->• oo Suy ra { Y M } ->• 0 Ta có \ \ A ( Y M ) \ \

=

^r]f > > 1- Suy ra \ \ A { Y M ) \ \ ^ 0A ( Y m ) 0 = ,4(0) (mâu thuẫn)

Vậy A giới nội.

Ta có điều phải chứng minh.

1.1.3 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.20 (Tích vô hướng) Cho không gian tuyến tính X trên trường P

( P là trường số thực 1R hoặc trường số phức c ) Ta gọi là tích vô hướng trên

không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X X X vào trường P , kí hiệu (.,.),

7) Định nghĩa 1.1.21 Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một tích

vô hướng gọi là K H Ô N G G I A N T I Ề N H I L B E R T

8) Định nghĩa 1.1.22 Ta gọi một tập H ^ 0 gồm những phần tử X , Y ,

Z , nào đấy là K H Ô N G G I A N H I L B E R T , nếu tập H thỏa

mãn các điều kiện:

1) H là không gian tuyến tính trên trường P ;

2) H được trang bị một tích vô hướng (.,.);

3) H là không gian Banach với chuẩn II^ỊỊ = Y / ( X , X ) , X € H

9) Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H

10) Định nghĩa 1.1.23 (Trực giao) Cho không gian Hilbert H Hai phần tử

X , Y E H gọi là T R Ự C G I A O, ký hiệu X - L Y , nếu (X , Y) = 0.

11) Định nghĩa 1.1.24 Cho không gian Hilbert H và tập con A c H , A ^ 0 Phần tử X G H gọi là trực giao với tập A , nếu X - L Y (Vy E Ả ) và kí hiệu

lên không gian con H ữ

15) Định nghĩa 1.1.25 (Hệ trực chuẩn) Cho không gian Hilbert H Một tập

(còn gọi là hệ thống) gồm hữu hạn hay đếm được các phần tử (e n ) >1C H gọi là một

21) Định nghĩa 1.1.26 Mọi họ các lân cận của điểm 0 (Kí hiệu: T I ) được gọi là

họ cơ sở của lân cận nếu:

1) U bất kỳ là lân cận của điểm 0 thì tồn tại U Ữ c 1 4 sao choU Ữ c

U ;

2) Với U Ị , Ư 2 € 1 Ẩ thì Ư Ị n Ư 2 € Ĩ Ầ \

3) Với U ị ẽ Ỉ A , i = 1 , o o t h ì u U ị ẽ Ỉ A \

4) Với W Ễ w, tồn tại U Q E T Ỉ sao cho U Ữ + Ư Q c W

23) Định nghĩa 1.1.27 (Không gian tôpô) Cho tập 1 / 0 Một họ T C V ( X ) các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:

(i)Uer;

(ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc r thì thuộc r;

(iii)Hợp của một họ tùy ý các phần tử thuộc T thì thuộc T.

24) Khi đó (X , T ) được gọi là một không gian tôpô.

25) Định nghĩa 1.1.28 (Không gian vectơ tôpô) Cho không gian vectơ thực X Một tôpô T trên X được gọi là T Ư Ơ N G T H Í C H V Ớ I C Ấ U T R Ú C

Đ Ạ I S Ố của X nếu các ánh xạ + và liên tục, với tôpô r trên X , tôpô thông thường trên M, còn X X X và M X X được trang bị bởi tôpô tích Tức là:

(i) Với mọi X : Y ẽ X và mọi lân cận W của X + Y , tồn tại các lân cận U

của X , V của Y sao cho U + V c W

(ii) Với mọi À € M, X ẽ X và với mọi lân cận W của X X , tồn tại £ > 0 và lân cận V của X sao cho Ị I V c W với mọi F I & (A — £ , X +

29) Định nghĩa 1.1.30 (Không gian tôpô lồi địa phương) Một không gian vectơ

tôpô X gọi là K H Ô N G G I A N L Ồ I Đ Ị A P H Ư Ơ N G (và tôpô của

nó gọi là T Ô P Ô L Ồ I Đ Ị A P H Ư Ơ N G ) nếu trong X C Ó một có sở lân cận (của gốc) toàn tập lồi Vì khi tịnh tiến một tập lồi ta lại được một tập lồi nên trong không gian lồi địa phương mỗi điểm đều có một cơ sở lân cận lồi.

30) Ví dụ Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương sinh bởi

hình cầu đơn vị: Vo = { В (0; 1)} Lúc đó, cơ sở lân cận gốc tương ứng là V = { E B (0; 1) Ịe > 0} = { В (0; È ) \ E > 0}.

31) Định nghĩa 1.1.31 Cho không gian tôpô X thỏa mãn điều kiện với mọi cặp điểm khác nhau X I , X 2 ẽ X đều có hai lân cận V I , V 2 của X ! , X 2 sao cho Ví п V2 = 0 (có nghĩa là, hai điểm khác nhau bao giờ cũng có thể tách được

bởi hai lân cận rời nhau) Khi đó, không gian tôpô X được gọi là K H Ô N G

G I A N T Á C H hay K H Ô N G G I A N H A U S D O R F F , và tôpô của

nó gọi là tôpô tách hay tôpô Hausdorff.

32) Định nghĩa 1.1.32 Một không gian vectơ tôpô X mà có một cơ sở lân cận T gồm toàn tập lồi, thì X được gọi là K H Ô N G G I A N T Ô P Ô T U Y Ế N

34) Định nghĩa 1.2.1 [3] Cho Y là không gian tuyến tính và С ç Y Ta nói rằng С là nón có đỉnh tại gốc trong Y nếu: T C ẽ С với mọi с € С , T > 0 Nón

С được gọi là nón lồi nếu С là tập lồi Trong trường hợp Y là không gian tôpô

tuyến tính và С là nón trong Y ta kí hiệu: c/C, intơ, C O N V ( C ) là bao đóng,

phần trong và bao lồi của nón С Nón С gọi là nón đóng nếu С là tập đóng Kí hiệu: 1 ( C ) = С n (— С ), ta thấy rằng: nếu С là nón lồi, thì 1 ( C ) là

không gian con tuyến tính nhỏ nhất nằm trong С và nó được gọi là phần trong tuyến tính của nón С Ta có các khái niệm sau:

1) Nón С được gọi là nón nhọn nếu 1 ( C ) = {0}.

2) Nón С được gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn.

3) Nón С được gọi là nón đúng nếu C L C + C \ L ( C ) Ç C

35) Dễ dàng thấy rằng, nếu с là nón đóng, thì с là nón đúng.

36) Với nón С cho trước ta định nghĩa quan hệ thứ tự toàn phần trên Y như

sau:

37)x , y G Y , x > z С У n ế u X — у £ С .

38) Nếu không có sự nhầm lẫn, ta có thể viết đơn giản X У У

39) Cho x , y £ Y ta kí hiệu X y y , nếu X — y £ C \ Ỉ ( C ) và a; > Ị/, nếu X —

y € intơ.

40) Ta thấy quan hệ thứ tự trên có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.

Nếu С là nón lồi, thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính nên nó là quan hệ thứ tự từng phần trên Y Hơn nữa, nếu С là nón nhọn thì quan hệ trên có tính phản đối xứng, có nghĩa là nếu có X Y Y và У У X , thì X = Y

41) Ví dụ 1) Tập {0} và cả không gian Y đều là nón trong Y Ta gọi chúng là

Nón này được gọi là nón 46) orthant dương trong R n

đã đưa ra nhiều khái niệm khác nhau về điểm hữu hiệu như: Hữu hiệu lý tưởng,

Pareto, thực sự, yếu, Trước hết ta nhắc lại các khái niệm ấy qua các định nghĩa sau.

52) Định nghĩa 1.2.2 [3] Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự được

sinh bởi nón lồi C và Ả là tập con khác rỗng của Y Ta nói rằng

i) Điểm X G A là ĐIỂM H ỮU H IỆU LÝ TƯỞ NG của tập A đối với nón C nếu Y

— X E C với mọi Y £ A.

53) Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C được ký hiệu là

I M I N ( A \ C ) hoặc I M Ỉ N A

ii) Điểm X ẽ A là Đ I Ể M H Ữ U H I Ệ U P A R E T O (cực tiểu

Pareto) của A đối với nón C , nếu không tồn tại Y E A để X — Y E

C \ Ỉ ( C )

54)Tập các điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C được ký hiệu là

P M I N ( A Ị C ) hoặc đơn giản hơn là M I N ( A Ị C ) hoặc M Ỉ N A iii) Điểm X ẽ A là đ i ể m h ữ u h i ệ u y ế u (khi intơ 7 -

0 vàc ^ y ) của A

55) đối với nón C , nếu X G M Ỉ N ( A \ {0} u intơ) Tức là X là điểm hữu

hiệu theo thứ tự sinh sinh bởi nón C O = {0} и intơ.

56) Tập các điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón С được kí hiệu là

W M I N ( A Ị C ) hoặc W M I N A

iv) Điểm X G A là Đ I Ể M H Ữ U H I Ệ U T H Ự C S Ự của A đối với nón С nếu tồn

tại nón lồi С khác Y và chứa C \ L ( C ) trong phần trong của nó để X

e P M I N .

57) Tập các điểm hữu hiệu thực sự của Ả đối với nón С được ký hiệu là Pr

M I N { A \ C ) hoặc Pr M I N A

58) Khái niệm các điểm hữu hiệu theo nghĩa cực đại cũng được định nghĩa

một cách đối ngẫu và tập hợp các điểm ấy được kí hiệu là I M A X ,

P R M A X , M A X , W M A X

59) Từ các định nghĩa trên ta có được

61) Định nghĩa 1.2.3 [5] Cho X , Y là hai tập hợp bất kỳ Cho F : X

— Ï 2 Y là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y Ta nói

F là Á N H X Ạ Đ A T R Ị từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y Ta nói

F là ánh xạ đa trị từ X vào Y Nếu với mỗi X G X tập F ( X ) chỉ gồm đúng một phần tử của Y , thì ta nói F ( X ) là Á N H X Ạ Đ Ơ N T R Ị

từ X vào Y Kí hiệu quen thuộc F : X — > Y

62)Đ ị n h n g h ĩ a 1 2 4 [ 5 ] Đồ thị gphF, miền hữu hiệu dornF

v à miền ảnh

63) R G E F của ánh xạ đa trị F : X —»■ 2y tương ứng được

xácđịnh bằng các 64) công thức

71) Định nghĩa 1.2.5 [5] Cho F : X — > 2y là ánh xạ đa trị, X và Y là các

không gian tôpô.

1 Nếu G P H F là tập đóng trong không gian tôpô tích X X Y , thì F được

75) tuyến tính lồi địa phương Hausdorff F I , F 2 : X —> 2y là các ánh xạ đa trị Ta có các phép tính sau:

1.3.1 Tính liên tục và tính liên tục theo nón

78) Trong phần này ta trình bày khái niệm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới

và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị Ta nhắc lại khái niệm liên tục của ánh xạ

đơn trị Cho / là ánh xạ đơn trị từ X vào Y , F được gọi là liên tục tại X Q £

X nếu với mọi tập mở V chứa / (ж0 ) tồn tại tập mở И chứa X O sao cho F ( U )

с V Trường hợp F : X — > 2y là ánh xạ đa trị, Berge đã định nghĩa về

nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của F như sau:

79) Định nghĩa 1.3.1 [3] Cho F : X 2 Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y , X Q g D O M F

(a) F được gọi là N Ử A L I Ê N T Ụ C T R Ê N tại X Q (kí hiệu use tại X O) nếu với mọi

tập mở V , F ( X о) с V , đều tồn tại tập mở И của X Ữ sao cho F ( X ) С

V với mọi X € И

(b) F được gọi là N Ử A L I Ê N T Ụ C D Ư Ớ I tại X O (kí hiệu lsc tại

Жо) nếu với mọi tập mở V , F ( X о) п V 7 ^ 0, đều tồn tại tập mở И

của Xo sao cho F ( X ) n V Ф 0 với mọi X € И

(c) F được gọi là L I Ê N T Ụ C tại X Q nếu nó vừa liên tục trên và liên tục dưới tại X Ữ

80) Để đi tới khái niệm ánh xạ đa trị liên tục theo nón, ta nhắc lại các khái niệm

về tính liên tục trên, liên tục dưới của hàm số.

81) Định nghĩa 1.3.2 Ánh xạ đơn trị / : X — ¥ M được gọi là Á N H X Ạ

N Ử A L I Ê N T Ụ C T R Ê N (hoặc D Ư Ớ I) tại X Q nếu với bất kỳ £ > 0 đều tồn tại lân cận И C Ủ A X Ữ S A O C H O : F ( X ) < F ( X 0 ) + £ ( H O Ặ C F ( X ) > F ( X Ữ ) — E ) V Ớ I

M Ọ I X £ И Khái niệm này có thể phát biểu cho ánh xạ đa trị F , trong trường hợp Y là không gian véctơ lồi địa phương với nón С

82) Cho X , Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D là tập con khác rỗng trong X , С là nón trong Y và F là ánh xạ đa trị từ D vào Y Ta có

định nghĩa sau:

83) Định nghĩa 1.3.3 [3] a) F là C - L I Ê N T Ụ C T R Ê N (hoặc C

-L I Ê N T Ụ C D Ư Ớ I ) tại X Q & D nếu với bất kỳ lân cận V của 0 trong

Y đều tồn tại lân cận И của X Ữ trong X sao cho

84) F { x ) С F { x 0 ) + V + C ( h o ặ c F ( x о ) С F ( x ) + V —

С ) v ớ i m ọ i X ẽ и П domF.

b) F là С - L I Ê N T Ụ C tại X Q nếu F vừa là C-liên tục trên và vừa là

ơ-liên tục dưới tại X Ữ

85) F là ơ-liên tục trên, ơ-liên tục dưới, C-liên tục trong D nếu nó là ơ-liên tục

trên, ơ-liên tục dưới, ơ-liên tục tại mọi X thuộc D

c) F là С-liên tục yếu (C-liên tục dưới yếu) tại Xq nếu lân cận и của Xq trong định nghĩa ở trên là lân cận trong tôpô yếu của X

86) Chú ý a) Nếu nón С = {0} và F ( X ữ ) là compắc thì phần (a) Định nghĩa 1.3.3 ở trên đồng nhất với định nghĩa về tính nửa liên tục trên và dưới của Berge.

Trong trường hợp Y là không gian định chuẩn và F vừa là 0-liên tục trên, vừa là

0-liên tục dưới tại X Q thì F liên tục tại X Q theo khoảng cách Hausdorff.

b) Nếu F là ánh xạ đơn trị từ định nghĩa ta thấy ơ-liên tục trên và ơ-liên tục dưới của F là một và lúc đó F được gọi là C-liên tục.

c) Lấy Y = 1 và С = R_|_ = { X E М : X > 0} và nếu ánh xạ đơn trị

F là C-liên tục tại X Q ta suy ra F nửa liên tục dưới tại X Q theo định nghĩa thông thường Trong trường hợp ngược lại, lấy С = R - = { X G

R : X < 0 } V A F là ơ-liên tục tại X Q thì F nửa liên tục trên tại

X Q

87) Một ánh xạ đa trị F là ơ-liên tục trên tại X Q nếu F ( X ) không giãn ra quá so với F ( Xо) + С khi X gần X Q và F là ơ-liên tục dưới tại X Q nếu F(x) không

bị thu lại quá nhỏ so với F ( X 0 ) + С khi X Ở gần X Q Hai khái niệm C-liên tục trên

và C-liên tục dưới của ánh xạ đa trị F là hoàn toàn khác nhau.

88) Định nghĩa 1.3.4 Cho X , Y là các không gian tôpô, F : X — > 2y là ánh

xạ đa trị F được gọi là Á N H X Ạ Đ Ó N G nếu G R F là tập đóng trong

1 x 7 Nếu F (X) là tập compắc trong Y thì F gọi là Á N H X Ạ

C O M P Ắ C

89) Ta tìm hiểu các điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là nửa liên tục trên

và nửa liên tục dưới trong các mệnh đề sau.

90) M ệ n h đ ề 1 3 1 [6] Cho F : D — > ■ 2 y là ánh xạ đa trị Nếu F là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị đóng, thì F là ánh xạ đóng Ngược lại, nếu F là ánh xạ đóng và Y là compắc thì F là ánh xạ nửa liên tục trên.

91) M ệ n h đ ề 1 3 2 [27] a) Cho F : D —> 2 V là ánh xạ đa trị.

F là ánh xạ nửa liên tục dưới tại X € domF khi và chỉ khi với bất kỳ y

& F(x) và với bất

là ánh xạ nửa liên tục dưới.

95) Định nghĩa 1.3.5 Cho F , С : D — ¥ 2 Y là các ánh xạ đa trị 96) F là C - H E M I L I Ê N T Ụ C T R Ê N ( D Ư Ớ I ) nếu với mọi

X , T G D thỏa mãn F { А Х + (1 — A ) T ) Г \ С ( А Х + (1 — A )

T ) Ф 0 với mọi A G (о, 1) thì F ( T ) п С ( T ) 7 ^ 0 (tương ứng, F ( А Х

+ (1 — A ) T ) ^ —intơ ( А Х + (1 — A ) T ) , với mọi a ẽ (о, 1) thì F (t)

ị — intơ (t)).

97) F được gọi là H E M I L I Ê N T Ụ C T R Ê N ( D Ư Ớ I ) nếu với

mọi X , T E D , ánh xạ đa trị / : [0,1] — > 2 Y được xác định bởi / (a) = F ( A X

+ (1 — A ) T) là nửa liên tục trên (tương ứng, dưới).

98) Khái niệm của ơ-hemi liên tục đã được giới thiệu bởi Bianchi và Pini [8] và bởi Hadjisavvas [16] với ánh xạ đơn trị trong nội dung của bài toán bất đẳng thức biến phân.

99) Định nghĩa 1.3.6 [11] Cho F : К X D X D — » 2 y l à ánh xạ

đa trị và С là ánh xạ nón (ánh xạ nón là ánh xạ có tập giá trị là nón).

100) (i) F được gọi là C-liên tục trên (hoặc C-liên tục dưới) tại (ỹ, Ж, T ) G

D O M F nếu với bất kỳ lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân cận И của (ỹ,

X : Ĩ ) sao cho:

101) F (у, X , t) ç F (ỹ, X, t) + V + С (x, ỹ)

102) ( t ư ơ n g ứ n g , F (ỹ, X, ỉ) ç F (y, x , t ) + v — С { ỹ , x ) )

103) thỏa mãn với mọi (Y , X , T ) G И П D O M F

104) Trong trường hợp С = 0 là một nghiệm tầm thường trong Y , ta nói rằng

105) F là liên tục trên, dưới thay vì nói O-liên tục trên, dưới Và F là liên

tục khi và chỉ khi nó đồng thời liên tục trên và liên tục dưới;

(ii) Nếu F đồng thời là C-liên tục trên và C-liên tục dưới tại

106) nói rằng F là С liên tục tại (Ỹ , Ж, Ỉ ) ;

(iii)Nếu F là C-liên tục trên, dưới, tại mọi điểm thuộc D O M F , ta nóirằng 107) nó là C-liên tục trên D

108) M ệ n h đ ề 1 3 4 [11] Cho F : к X D X D —> 2 Y là

ánh xạ đa trị và С : К X D —ì 2 y ỉà ánh xạ đa trị nón liên tục

trên với giá trị ỉồi, đóng, K H Á C R Ỗ N G

(1) Nếu F là C-liên tục trên tại (yo,Xo,to) G domF với F ( y o , X o , t o ) +

109) С ( i / o , X o ) đóng, khi đó với mọi ( y ß , X ß , t ß ) - > ( i / o , x 0 , t ữ ) ,

V ß € F ( y ß , X ß , t ß ) +

110) С ( y ß , X ß ) , V ß -> V Q d ẫ n đ ế n v ữ € F (i/o, ar 0 , to) + с (i/o,

Яо)-111) Ngược lại, nếu F là compắc và với mọi ( y ß : X ß : t ß ) — >

{ y 0 ĩ X ữ : t ữ ) , V ß G F ( Y S S , X S S , T S S ) + С ( Y S S , X S S ) , V S S V Q

D Ẫ N Đ Ế N V Q < E F ( i / o , X 0 , T 0 ) + С ( i / o , X Ữ ) , khi đó F

là C-liên tục trên tại ( y ữ ì x ữ ,t ữ )

(2) Nếu F là compắc và C-liên tục dưới tại ( y o , X o , t Q ) £

domF, khi đó với mọi ( y ß , X ß , t ß ) -> { y 0 , x 0 , t 0 ) , v 0 e F

t ụ { v ß } , V ß — V o — > с £ с ( y o , X ữ ) , k h i đ ó F l à C-liên t ụ c

d ư ớ i t ạ i ( y o , X o ì t o )

-114) M ệ n h đ ề 1 3 5 [3] Cho F : D — > 2 y và с с Y là nón lồi đóng Khi ấy:

(1) Nếu F là C-liên tục trên tại Xq E domF và F(x ữ ) + с là tập

đóng, thì với mọi dãy suy rộng Xß —> X q , y ß € F ( x ß ) +

là hàm số nửa liên tục dưới tại X Q

118) (b) Nếu F là (-C)-liên tục trên (hoặc dưới) tại X Q e domF, thì với mỗi £ € C ' c ố đ ị n h , ( t ư ơ n g ứ n g g ç ) l à h à m s ố n ử a l i ê n

t ụ c t r ê n t ạ i X q

1.3.2 Tính lồi và tựa lồi theo nón

119)Trước hết ta nhắc lại khái niệm hàm lồi trong không gian thực.

120) Giả sử D là tập lồi trong không gian lồi địa phương X , hàm / : D — ¥

M được gọi là lồi trên D nếu với VA G [о, 1] : У Х 1 : Х 2 GÕ ta luôn có:

121) / (Azi + (1 - Л) X 2 ) < Л/ (zi) + (1 - Л) / ( X 2 )

122) Tiếp theo ta định nghĩa hàm lồi trên không gian tôpô tuyến tính.

luôn luôn có

126) / (ах 1 + (1 - a) x2)G af (Xị) + (1 - a) f (x2 )

127) / được gọi là C-lõm trên D nếu —/ là C-lồi trên D

128) Định nghĩa 1.3.7 [3] (a) F được gọi là C - L Ồ I T R Ê N (hoặc C L Ồ I

D Ư Ớ I ) nếu

129) A F (X) + (1 — A ) F ( Y ) c F ( AX + (1 — A ) Y ) + C

(1-11) 130) (tương ứng, F ( A X + (1 — À ) Ỳ ) c A F (X ) + (1 — À ) F ( Y )

— C ) 131) với mọi X , Y G D O M F và cc G [0,1].

(b) F được gọi là C - L Õ M T R Ê N (hoặc C - L Õ M D Ư Ớ I ) nếu

132) a F (X ) + (1 — a ) F ( y ) c F ( a x + (1 — a ) y ) — c (hoặc F (ax +

(1 — a) ỳ) c aF (X) + (1 — a) F (y) + ơ)

133) với mọi X , Y £ D O M F và A e [0,1].

134)Ngoài các khái niệm trên ta còn dùng các khái niệm sau:

135) Cho F là ánh xạ đa trị từ D c X vào 2 Y , y là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương với nón C

(i) F đ ư ợ c g ọ i l à C-tựa giống nhu lồi trên (upper c - like) t r ê n D n ế u v ớ i b ấ t k ỳ X ị : X 2 E D , a E [ 0 , 1 ] , h o ặ c

138) Các khái niệm ơ-lồi trên (dưới) hay C -tựa giống như lồi trên (dưới) là dạng

tổng quát của các khái niệm tương ứng trong trường hợp đơn trị được nói đến trong một số tài liệu Ferro [14, Mệnh đề 4.2] đã đưa ra ví dụ để chỉ ra rằng, ánh xạ

đa trị C -lồi trên (dưới) không phải là ánh xạ ơ-tựa giống như lồi trên (dưới).

139) Dưới đây cho С : К X D —> 2y là ánh xạ nón với giá trị nón lồi, ánh xạ Q

là nửa liên tục dưới theo biến thứ nhất Ta đưa ra một số khái niệm mới về lồi theo đường chéo của ánh xạ đa trị nhiều biến sau

140) Định nghĩa 1.3.8 [9] Cho F : D X D — > 2 Y là ánh xạ đa trị, (i) F đ ư ợ c g ọ i l à С-lồi trên theo đường chéo (tương ứng, dưới) đối với biến t h ứ h a i n ế u v ớ i m ọ i t ậ p h ữ u h ạ n { x i , ж п } ç

148) j =1 (ii) F đ ư ợ c g ọ i l à C-tựa giống như lồi trên theo đường chéo (tương ứng, dưới) đối với biến thứ hai n ế u v ớ i m ọ i t ậ p

159) F ( y , X , x ) c F ( y , X , X j ) - c ( y , a ; ) , v ớ i m ọ i y £ Q

( x , X j )

1.4 Một số định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị

160)Năm 1912, Browder đã dùng phương pháp tổ hợp chứng minh một ánh xạ

đơn trị liên tục từ một đơn hình K c Rn vào chính nó có điểm bất động Sau đó vào

năm 1941, Schauder đã mở rộng định lý cho trường hợp K là tập lồi compắc khác

rỗng trong R n Kakutani mở rộng cho trường hợp ánh xạ đa trị nửa liên tục trên Đến năm 1967, Ky Fan đã chứng minh định lý điểm bất động với K nằm trong không gian tuyến tính lồi địa phương.

161) Năm 1929, ba nhà toán học Knaster, Kuratowski, và Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả rất quan trọng, ngày nay gọi là Bổ đề KKM bằng phương pháp tương đối sơ cấp mà từ đó suy ra được nguyên lý điểm bất động Browder Năm 1961, Fan đã mở rộng Bổ đề KKM cổ điển trong không gian véctơ tôpô Hausdorff hữu hạn chiều với ánh xạ đa trị Năm 1968, Browder đã chứng minh kết quả của Fan theo một dạng khác mà ngày nay người ta gọi là định lý điểm bất động Fan - Browder Từ đó đến nay có rất nhiều kết quả mở rộng của các Định lý Ky Fan, Fan - Browder Bổ đề KKM được xem như là công cụ hữu hiệu để chứng minh

sự tồn tại nghiệm của các bài toán tối ưu.

162)Trước hết ta nhắc lại khái niệm n-đơn hình.

163) Cho X là một không gian vectơ, tập hợp s trong X được gọi là một đơn hình nếu s = C O {«0 , U I , U N } với « 0 , U I , U N G X vào các véctơ U Ị —

71-U Q,U N — U Q là độc lập tuyến tính Các điểm U I được gọi là các đỉnh.

164) Bao lồi của k + 1 đỉnh được gọi là A:-diện của s Mỗi X G s được biểu

diên duy nhất dưới dạng

165) X = X ị U ị , với X i > 0, X) X i = 166) i = 0 i = 0

1-167) Dùng bổ đề Sperner về phép gán số trong phép tam giác phân một đơn

hình do Sperner đưa ra từ 1928, Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã

chứng minh bổ đề quan trọng sau trong không gian R n

1 4 1 ( B ổ đ ề K K M ) (Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz

[2ị],1929) Cho một n-đơn hình s = co {u ữ ì U I , u n } trong R n và các

175)Nguyên lý ánh xạ KKM là một mở rộng của bổ đề KKM ra không gian

vô hạn chiều và trung tâm của lý thuyết KKM, một bộ phận cơ bản và quan trọng của giải tích phi tuyến.

176) Trước khi phát biểu nguyên lý ánh xạ KKM, chúng ta định nghĩa ánh xạ

1.4.1 (Ánh xạ KKM,[9]) Ánh xạ đa trị F : D — > 2 X được gọi là ánh

có

179) C O { T Ị , .,ín } c U" = 1 F ( T J )• Ngoài khái niệm trên, người

ta còn mở rộng khái niệm KKM từ một tập này vào một tập khác Ta có khái niệm ánh xạ KKM suy rộng sau.

180) Định nghĩa 1.4.2 [9] Cho X , Z là các không gian tôpô tuyến tính, D с

X , К G Z , F : К X D X D — Ï 2 Х , Q : D X D 2 K L Ằ

các ánh xạ đa trị Ánh xạ F được gọi là Q-KKM nếu với bất kỳ tập hữu hạn

{ T Ị : ,í n } с D và X G C O { T Ị , T N } , L U Ô N T Ồ N T Ạ I C H Ỉ S Ố J Ẽ { 1 , 7 7 , } S A O

C H O 0 € F ( Y , X , T J ) với mọi Y G Q (ж, íj).

181) Định nghĩa 1.4.3 [9] Cho là quan hệ hai ngôi trên К X D Ta nói rằng 7 Z

là đóng khi và chỉ khi với mọi (Y A , X a) hội tụ tới ( Y , X ) và 7Z ( Y A , X A )

thỏa mãn với mọi A khi đó I Z ( Y , X) thỏa mãn.

182) Định nghĩa 1.4.4 [9] Cho 7Z là quan hệ trên К X D X D Ta nói rằng

T Z là Q-KKM nếu với mọi tập {ti, T N } с D bất kì và X € C O {íi,T n }, tồn tại

T J G {il,T n } sao cho iz(y, X , T J ) thỏa mãn, với mọi Y E Q (ж, T J )

183)Nguyên lý ánh xạ KKM (Ky Fan) [15], 1961) Cho D là một tập hợp trong không gian véctơ tôpô Hausdorff X , F : D —> 2 Х là một ánh xạ KKM với

giá trị đóng Khi đó với mọi tập hữu hạn A nằm trong D ta có:

184) n F ( x ) ĩ < ế

186) Định lý sau là sự mở rộng của định lý điểm bất động của Ky Fan.

187) Đ ị n h l ý 1 4 1 Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, К С X là một tập con lồi, khác rỗng Cho F : к —ï 2 K là ánh xạ

đa trị compắc nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng Khi đó tồn tại X ẽ К sao cho X ẽ F ( x )

1.4.2 Định lý Ky Fan

188)Nếu trong nguyên lý ánh xạ KKM, ánh xạ F có một giá trị compắc, chẳng hạn F ( X o), khi ấy họ tập đóng { F (X ) П F (ж0) : X E D } thuộc tập compắc F ( X o) và có tính chất giao hữu hạn Vì vậy họ này có giao khác rỗng Kết quả này gọi là Bổ đề Ky Fan dưới đây.

190) Khi ấy ta có: П F ( ж ) Ỷ 0 - ĨỄÔ

193) Khi đó, tồn tại điểm X G к sao cho X G F ( X).

194)Định lý sau là một dạng khác của định lý Browder-Ky Fan.

195) Đ ị n h l ý 1 4 3 C h o X l à m ộ t k h ô n g g i a n v e c t ơ t ô p ô ,

к с X l à m ộ t t ậ p con lồi, khác rỗng, compắc F : к —> 2 K là ánh xạ

đa trị thỏa mãn các điều kiện:

198) Chương này đã trình bày một số kiến thức trong giải tích đa trị như:

1 Tính liên tục và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị.

2 Tính lồi và tựa lồi theo nón của ánh xạ đa trị.

200) Chương 2

loại II

2.1 Phát biểu bài toán

203)Ta xét bài toán tối ưu qua các cấp lãnh đạo sau: Tập đoàn kinh tế chuyên sản xuất hàng tiêu dùng hoạt động theo mô hình công ty mẹ, công ty con Giả sử

công ty con có tập các phương án sản xuất D Với mỗi phương án sản xuất X G

D , công ty mẹ có tập chỉ đạo là P I (X ), công ty con có tập chỉ đạo là P 2 (X ) Mục tiêu sản xuất được biểu diễn qua ánh xạ F Trong quá trình sản xuất công ty

con phải chịu các loại thuế Q Mục đích của công ty mẹ là tìm một phương án sản xuất X của chỉ đạo P I (X ) phù hợp với các điều kiện của lãnh đạo công ty con

P 2 (x) sao cho sau khi chịu các loại thuế Q sản xuất luôn ổn định Tức là đạt

được mục tiêu đề ra Bài toán này gặp rất nhiều trong thực tế và nó được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II mà trong luận văn này chúng ta sẽ nghiên cứu 204) Trong luận văn này ta giả thiết X , Z và Y là không gian vectơ tôpô lồi

địa phương Hausdorff, D c X, K c z là các tập con khác rỗng Cho các ánh xạ đa

trị ổ : D X K 2 D , T : D X K -> 2 K ■ P 1 : D 2 ° , P 2 : D -> 2 D ,

Q : K X D -»■ 2 K và F Ị : K X D X D - ¥ 2 Y , F : K X D X D -»■

2 Y với các giá trị khác rỗng, ta có các bài toán sau:

(A) Tìm ( X , Y ) ẽ D X К sao cho

1.X e s ( x , ỹ ) ;

208) 0 G F (y, X, t ) , v ớ i m ọ i t G p 2 (x) v à y G Q (x, t) 209) B à i t o á n n à y đ ư ợ c g ọ i l à bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II v à đ ư ợ c k í h i ệ u l à (GQEP) JJ

210) Trong các bài toán trên, các ánh xạ đa trị (S', T, P 1 1 P 2 và Q là các ràng buộc, F Ị và F là các ánh xạ mục tiêu và chúng có thể là đẳng thức, bất

đẳng thức hoặc là bao hàm thức hay là tương giao của các ánh xạ đa trị Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I được tìm hiểu trong [11] Trong khuôn khổ luận văn này, ta chỉ xét sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II.

211) Dưới đây ta đưa một số ví dụ minh họa sự mở rộng của bài toán

( G Q E P ) J J đối với các bài toán trong lý thuyết tối ưu.