Luận văn ứng dụng phương pháp tham biến bé giải phương trình vi phân phi tuyến

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp tham biến bévà ứng dụng vào giải phương trình vi phân phi tuyến, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS.. - Nêu ứng dụng củ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư

PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THANH

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYEN

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Khuất Văn Ninh

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS TS Khuất Văn Ninh Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT tỉnh Bắc Ninh, Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Văn Cừ cùng gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 201Ậ Tác giả

Nguyễn Thị Thanh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của thầy PGS.TS Khuất Văn Ninh.

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2014 Tác giả

Nguyễn Thị Thanh

Mục lục

BẢNG KÍ HIỆULuận văn sử dụng những kí hiệu với ý nghĩa xác định trong bảng dưới đây:

trình toán tử Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp tham biến bé

và ứng dụng vào giải phương trình vi phân phi tuyến, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh, nên tôi đã chọn nghiên

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN "

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp tham biến bé nêu trên.

- Nghiên cứu phương pháp tham biến bé.

- Nêu ứng dụng của từng phương pháp tham biến bé vào giải một số phương

trình toán tử vi phân phi tuyến cụ thể, phương trình toán tử tích phân.

- Giải số một số phương trình vi phân cụ thể.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Phương pháp tham biến bé liên tục.

- Phương pháp thác triển theo tham số.

V

- Phương pháp tham biến bé rời rạc.

- Một số ứng dụng vào giải một số phương trình vi phân phi tuyến cụ thể.

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.

- Vận dụng một số phương pháp phân tích, tổng hợp, các phương pháp của

Giải tích cổ điển, Phương trình vi phân, Giải tích hàm, Giải tích số và lập trình cho máy tính.

6 Đóng góp mới của luận văn

- Trình bày phương pháp tham biến bé liên tục, phương pháp tham biến bé

rời rạc, phương pháp thác triển theo tham số.

- ứng dụng các phương pháp nói trên vào giải phương trình toán tử vi phân,

phương trình toán tử tích phân.

Lập trình trên Maple để giải một số phương trình vi phân phi tuyến cụ thể

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian metric một tập hợp X Ỷ 0 cùng với một ánh xạ d : X X X —>■ R thỏa mãn các tiên đề sau đây:

i) i^x, y E X)d (X, y) > 0, d (x, y) = 0 X = y, (tiên đề đồng nhất);

ii) (yx,y ẽ X ) d ( x , y ) = d ( y , x ) , (tiên đề đối xứng);

iii) (\/x, y,z £ X) d (X, y) < d (X, z) + d (z, y), (tiên đề tam giác) Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d ( x , y ) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử X , y Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề i), ii), Ui) gọi là hệ tiên đề metric.

Không gian metric được ký hiệu là M = ( X , d ) Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric M = ( X , d ) Một tập con bất kỳ

X Q Ỷ Ộ của tập X cùng với metric d trên X lập thành một không gian metric Không gian metric M 0 = (X Q , d ) gọi là không gian metric con của không gian metric đã cho.

Y , - V j f ■

3

=1

Dễ dàng thấy hệ thức (1.1.1) thỏa mãn các tiên đề i), ii) về metric Dễ kiểm tra

hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề iii) về metric, trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy- Bunhiacopski: với 2K

= d 2 ( X , y ) + 2 d ( x , z ) d ( z , y ) + d 2 ( z , y ) = [ d ( x , z ) + d ( z , y ) ] 2 => d ( x , y ) < d (X , z ) + d (z, y).

Do đó hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề iii) về metric.

Vì vậy hệ thức (1.1.1) xác định một metric trên không gian Không gian metric tương ứng vẫn ký hiệu là M fc và thường được gọi là không gian Euclidean, còn metric (1.1.1) gọi là metric Euclidean.

1.2 Không gian Banach, không gian Hilbert, không gian L(X,Y)

Định nghĩa 1.2.1 ( Không gian định chuẩn) Một không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường p (P = R hoặc p = c ) cùng với một ánh xạ X —> M, được gọi là chuẩn và ký hiệu là ||.|| thỏa mãn các tiên đề sau:

Định nghĩa 1.2.3 (Dãy cơ bản) Dãyđiểm { x n } trong khônggian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản, nếu lim ||x n — x m \\ — 0.

m , n —>00

Định nghĩa 1.2.4 (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X được gọi

là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

I \

Thật vậy, dễ dàng kiểm tra được R fc là không gian định chuẩn.

11

Lấy {x n } là dãy cơ bản trong M*, X

N

— X

M

Định nghĩa 1.2.5 Cho X là một không gian tuyến tính Ánh xạ lị) : X

xX->K thỏa mãn các điều kiện:

)

3 ) ý { x , y ) = ĩ ị ; ( y , x ) , V x , y <E X ;

4 ) ý ( a x i + / 3 x 2 , y ) = o e ệ { x 1 , y ) + P ý { x 2 , y ) , V x u x 2 ì y e X

và Vữ, Ị3 € M, được gọi là một tích vô hướng trên X, còn I p ( x , y ) được gọi là tích

vô hướng của hai phần tử X , y và thường được kí hiệu là (X, y).

N HẬN XÉT

1.1 Nếu X

là một không gian tuyến tính trên đó có xác định một

tích vô hướng ( ), khi đó ánh xạ ||.|| : X

Cho hai không gian định chuẩn X,

ta có thể định nghĩa các phép toán tuyến tính như sau: Ta gọi

tổng của hai toán tử А, В

Hơn nữa, trong L(X,Y)

X ^ O

||я|| = 1 đầy đủ các tiên đề về chuẩn, cụ thể là:

Như vậy L(x, Y) là một không gian định chuẩn.

Cũng như trong mọi không gian định chuẩn, trong L(X,

— A\\

—>• 0 Sự hội tụ này gọi là sự hội tụ theo chuấn, để phân biệt sự hội

tụ từng điếm, định nghĩa như sau: một dãy toán tử A

N

Rõ ràng sự hội tụ theo chuẩn kéo theo sự hội tụ từng điểm vì ^A

N

Giả sử M là kí hiệu của trường các số thực Với mỗi số nguyên không âm K ,

không gian của các bộ K

trong đó mỗi X Ị là một số thực Các phép toán của không gian vectơ trên M n

được định nghĩa bởi:

\\x n — x|| = max \x n (t) — X (t)I —>■ 0 khi n —> oo.

a < t < b

Nghĩa là dãy ( X

N

: [ A , B ] —>

R liên tục đều trên đoạn [a, 6] đến hàm số liên tục X :

1.4 Một số khái niệm về phương trình vi phân thường

Phương trình vi phân thường cấp N

là phương trình trong đó có chứa hàm

số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn hàm) và đạo hàm của hàm số đó:

y (zo) = 2 /0 , y ' (so) = y ' o , y { n ~ l ) (x 0 ) = v ĩ ~ l \ (1.4.3) trong đó X

Ữ

J = V 2 ax

dy n - 2

~7 Un-l

2) Các phương pháp số - Đó là các phương pháp tìm nghiệm dưới dạng bảng.

Chẳng hạn: phương pháp xấp xỉ liên tiếp Xét bài toán Cauchy

y ' = f ( x , y ) , y ( x 0 ) = y 0 (1-4.7)

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp là phương pháp xây dựng dãy hàm Y

N

( X )

theo công thức

N

(a;) - Y { X )\< MN

N

= 1, 25 - l3 |[ = 96 s

Từ đó MAX

|y3 (ж) — 2 / (ж) I < —(о, 4)4 и о, 00133

1.5 Phương pháp sai phân, phương pháp Euler

- Q (

X I

đó là giá trị gần đúng của nghiệm bài toán (1.5.1) tại các điểm X Q , X Ị , , X N

Sau khi biến đổi ta được

Theo giả thiết 4y (0) — Y '

0.4

0 , 6

1.403681473 1.846738695

0 , 8 1

2.380612245 3

Bảng 1.1

I = Z Ị ( X

I +

i X I V I Ỉ { X

I

Để có được phương pháp số giải (1.5.4), (1.5.5) với độ chính xác cao hơn phương pháp Euler, chúng ta cần xấp xỉ tích phân ở vế phải của (1.5.8) tốt hơn.

và Л - biến thực hoặc phức Ta có thể đưa một biến mới X — X

Ữ

Chuỗi lũy thừa là một trường hợp đặc biệt của chuỗi trong không gian định chuẩn

vì các số hạng của chuỗi phụ thuộc tham số Л và có dạng

K ^

K

Rõ ràng là miền hội tụ của bất kỳ chuỗi lũy thừa (1.6.1) không rỗng bởi vì 0 €

ri Tương tự như trong trường hợp của các hàm vô hướng, ta có định lý sau.

Định lý 1.6.1 (Abel) Cho Ao ф 0 và X G fỉ; khi đó hình tròn iS^i (0) chứa trong íỉ Trong mọi hình tròn S r ( 0 ) , trong đó r < |Ao|, chuỗi (1.6.1) hội tụ tuyệt đối và đều đối với Л.

O O(số hạng tổng quát của chuỗi hội

tụ dần tới không!) Do đó dãy {x nÀg} bị chặn, tức là tồn tại một hằng số M >

N ^

0,

Ĩ Ì Ă

và theo dấu hiệu Weierstrass, chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều theo A.

Ta định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi theo công thức

S

R

(0) được gọi là hình tròn hội tụ của chuỗi (1.6.1).

Ta lưu ý mà không chứng minh, công thức Cauchy - Hadamard

R =

( lim л/pj) •

Bố đề sau đây có thể dùng cho mục đích này.

Bổ đề 1.1 Nếu tồn tại hằng số M > 0 và к > 0, sao cho ||ж п || < Mk n bắt đầu với một số n nào đó; khi đó bán kính hội tụ của chuỗi (1.6.1) thỏa mãn bất đẳng thức M < 1 /k.

chuỗi (1.6.1) hội tụ Nếu |AỊ К

1.7 Phương pháp Newton - Raphson

Xét hệ phương trình phi tuyến

(1.7.1)

f { x ) = 0

có nghiệm, đồng thời các dãy xây dựng theo phương pháp Newton

- Raph- son và theo phương pháp cải biên của nó hội tụ đến nghiệm đó Tốc độ hội tụ được xác định bởi công thức

x ( p )

3)

\ \ x < * ) - x ' \ \ < ị ( 2 h f ị ,

\ịu„ - 1 * 1 1 < (l - vT — 2h) p + 1 j^, (h < 0

Bài toán Giả sử biết ( N

Chương 2

ứng dụng phương pháp tham biến bé giải một số phương trình vi phân phi tuyến

2.1 Phương pháp tham biến bé liên tục

Định nghĩa 2.1.1 Hàm, biến phức z(À) có tập xác định ri c c và tập giá trị trong không gian định chuẩn X được gọi ỉà một hàm trừu tượng.

Định nghĩa 2.1.2 Hàm trừu tượng x ( X ) được gọi là giải tích tại X = 0, nếu nó biểu diễn trong một số lân cận nào đó của X = 0 dưới dạng chuỗi lũy thừa hội tụ

\\ x k\\ p k ~ l = \\ x k\\ p* <^rkq k -\

p \pj p

00 trong đó Q = P Ị P < 1 Ta lại có chuỗi Ỵ2 K Q K ~ X hội tụ Đặt

00

C 1 (p) = E fcMp fc_1 - fe=i Giả sử À, Ào € 5^(0) Khi đó

2 A 0 + + Aq 1 ) (à — Ào),

từ đó suy ra ||x (À) — X (Ao)II < Ci (p) |A — Aol, và :r(À) liên tục tại điểm bất

kỳ A 0 e <Siỉ(0) Định lý được chứng minh □

Hệ quả 2.1 Chuỗi k x ỵ X * - 1 hội tụ trong S R (0).

||£fc|| P

K

~

L

~

2

DD { Ụ ,

- A),

ịi — X 0

— A Giả sử XI KXỴ \

K

z'-Theo trình bày ở trên ta thấy nếu a;(A) giải tích tại A = 0 và theo định lý duy nhất 1.6.2 thì chuỗi Taylor của nó chính là chuỗi lũy thừa mà nó được phân tích.

Cho nên nó hội tụ trong Sr( 0).

< k (k — 1) p 2 \ịi - A|.

3 6

k=

2

£ (//) — £ (A)

- U (

A)

□

Để kết luận, ta lưu ý rằng nếu hàm trừu tượng z(À)

biến phức À với giá trị trong không gian Banach X

phức là khả vi liên tục thì nó là hàm

3 7

giải tích.

Kết quả này được chứng minh như trong lý thuyết hàm phức, dựa vào công thức tích phân Cauchy cho các hàm trừu tượng.

Khái niệm về hàm giải tích trừu tượng được sử dụng trong phương pháp tham biến bé - một phương pháp được áp dụng rộng rãi trong thực tiễn.

2.1.2 Phương pháp tham biến bé trong trường hợp đơn giản nhất

Với A , c e L ( X , Y ) và y e Y cho trước, A là

tham số vô hướng, |A| < p và X là ẩn cần tìm trong

X Nếu ||àơj4 _1 || < 1, nghĩa là

x{\) = {A - \CỴ l y.

Ta thấy, trong điều kiện (2.2.2) nghiệm nói trên là một hàm giải tích theo biến tham số A và do đó có thể tìm dưới dạng

00

x(X) = ^2x k X k

k=0

3 8

Phương pháp tham biến bé liên tục đối với phương trình (2.2.1) được dựa trên ý tưởng nêu trên Thay chuỗi (2.2.4) vào phương trình (2.2.1), ta có

3 9

k=0

2.1.3 Phương pháp tham biến bé liên tục

Những lập luận trên là gợi ý trong việc nghiên cứu trường hợp tổng quát sau đây Xét phương trình

A(\)x = y(\).

4 0

t 2 - 3 - 2 )

Do A(A) giải tích tại Л = 0, do đó tồn tại một số r >

0, sao cho trong hình tròn |A| < R

||[Л(Л)-Л(0)]Л-'(0)||<1.

Khi đó, trong hình tròn |A| < r hàm - toán tử J 4(A) có toán tử nghịch đảo liên tục và do đó, phương trình (2.3.1) có nghiệm duy nhất

pháp tham biến bé Ta sẽ tìm Æ (A) dưới dạng

x { X ) = J2x k X k

k=0

4 1

= л _1 (0) là toán tử liên tục Giải hệ trên ta có

ở đây các công thức khá phức tạp, nhưng cách này có thể tìm thấy nghiệm với độ chính xác tùy ý.

Như trên, bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa được

sử dụng trong phương pháp tham biến bé là R

E A VA"

71= 1 M

|A|

4 2

:

II^4!^4 0 1 ỊỊ < M, thì (2.3.6) có thể thay bằng bất đẳng thức chính xác hơn:

2.1.4 Ví dụ về phương pháp tham biến bé liên tục

Xét phương trình tích phân sau với một tham số thực bé A:

7T

X

( T )

Như vậy, hệ số toán tử A Ỵ

7Г

1 Г X

Ữ

[—7T, 7r] Hơn nữa

N11 = ịị^yịị < \\y\\ + - / |cos(í-s)|ds||ỉ/|| < (1 + -) \\yị

Trong đó các chuẩn là chuẩn trong C

ở đây x 0 (s) đã được xác định theo công thức (2.5.6).

Một lần nữa phương trình có dạng (2.5.3) và nghiệm của nó cũng có thể tìm được một công thức rõ ràng Vậy ta lần lượt tìm được các hệ số của chuỗi lũy thừa (2.3.3) trong 2.1.3.

Bây giờ ta có đánh giá về bán kính hội tụ R

Dễ dàng nhận thấy rằng \\Ả k \\ < -(7ĩ 2 ) k = 27r (7T 2 ) f c _ 1 và IIA*V II ^ ( 2 ? r + 8 ) í 7 1 - 2 ) * - 1 - Theo công thức (2.3.6) trong 2.1.3 R > — .

& v 1

& 7T 2 +2?r +8

2.2.1 Phương pháp thác triển theo tham số

Chúng ta sẽ nêu một ứng dụng của định lý về toán tử nghịch đảo vào việc xây dựng phương pháp thác triển theo tham số giải phương trìnhtoán tử Cho

liên tục Ta nhận thấy rằng nếu một số điều kiện được thỏa mãn thì có thể chứng minh

rằng B~

X

IIẢ

(A) a;|| > 7 \\ X \\ Định lý 2.2.1 Giả sử hàm - toán tử ^4(A) liên tục trên [0,1] (với mỗi X e [0,1] A (À) e L (X, Y)), toán tử A -1 (0) tồn tại và liên tục Nếu cho j4(A) thỏa mẫn điều kiện 1, thì toán tử A( 1) khả nghịch, A -1 (l) liên tục và ịịA - 1 (1)|| < 7 -1

Chứng minh định lý này được trình bày trong 2 trường hợp: Trường hợp

-

(2.4.1)

(2.4.2)

a Trường hỢp thác triển theo tham số đơn giản

ở đây chúng ta trình bày chứng minh định lý 2.1.3 cho trường hợp khi A

đó toán tử ^4(1) có toán tử nghịch đảo A -1 (l) liên tục b C h ứ n g m i n h đ ị n h

l ý t r o n g t r ư ờ n g h ợ p c h u n g

Trường hợp tổng quát được chứng minh dựa trên các mệnh đề cơ bản sau đây.

Bổ đề 2.1 Giả sử M là tập hợp khác rỗng trên [о, 1], vừa mở vừa đóng trên [0,1] Khi đó M = [0,1].

nó cũng vừa mở vừa đóng trên [0,1] và do

đó ta có thể áp dụng các lập luận đối với sup M