Luận văn bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương

Chẳng hạn, trong mô hình sinh thái học, các biến đầu vào, đầu ra thể hiện số lượng của các loài trong hệ sinh thái, và theo tự nhiên thì phải luôn dương.. Bài toán rút gọn mô hình được p

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ HẢI YẾN

BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH CHO HỆ

TUYẾN TÍNH DƯƠNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học TS HÀ BÌNH MINH

HÀ NỘI - 2014

Mục lục

3.1

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Hà Bình Minh, người đã tận tình giúp

đỡ chỉ bảo và cung cấp cho em những kiến thức nền tảng để em hoàn thành Luận văn này Thầy cũng là người đã giúp em ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy

Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới anh Phạm Văn Duẩn, người đã rất nhiệt tình giúp đỡ chỉ bảo và hướng dẫn em trong quá trình gõ TgXvà hoàn thành Luận văn Anh cũng là người cung cấp thêm tư liệu và kiến thức giúp em giải đáp được những điều chưa hiểu

và băn khoăn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng Sau Đại học

trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô đã trực tiếp giảng dạy lớp kl 6 đợt 2

(2012-2014), truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện Luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và bạn đọc để Luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Học

viên

Trần Thị Hải Yến

Lời cam đoan

Tên em là: Trần Thị Hải Yến, học viên cao học khóa 2012 - 2014 lớp Toán Giải tích K16 - đợt 2 - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Em xin cam đoan đề tài: “Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương”, là kết quả nghiên cứu và thu thập của riêng

em Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác Nếu có gì không trung thực trong luận văn em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học

Hà Nội, tháng 07 năm 2014

Học viên

Trần Thị Hải Yến BẢNG KÝ HIỆU

• R: tập hợp các số thực

• C: tập hợp các số phức

• (A, B, c, D): hệ tuyến tính ban đầu

• (AI, BI, CI , -D&): biểu diễn cân bằng của hệ ban đầu

• (A r, B R , C R , D R )\ hệ đã được rút gọn

• !R(À): phần thực của giá trị riêng À

• G(S ): hàm truyền của hệ tuyến tính

• OB: ma trận điều khiển

• CO '.ma trận quan sát

• A: ma trận đối xứng của ma trận A

• A T \ ma trận chuyển vị của ma trận A

• A~ L \ ma trận nghịch đảo của ma trận A

• ơ ị \ các giá trị Hankel

• P, Q\ ma trận Gramian

• P: ma trận điều khiển được

• Q: ma trận quan sát được

• E: ma trận đường chéo

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

Lớp các hệ dương xuất hiện trong các mô hình liên quan đến sinh thái học, hóa học, kinh tế học, ở đây, tính dương được thể hiện là các biến đầu vào và đầu ra của mô hình luôn dương Chẳng hạn, trong mô hình sinh thái học, các biến đầu vào, đầu ra thể hiện số lượng của các loài trong hệ sinh thái, và theo tự nhiên thì phải luôn dương

Dưới sự phát triển của máy tính và các công cụ tính toán, các mô hình toán học trở nên ngày càng lớn, với số biến lên tới hàng triệu, chục triệu, trăm triệu, thậm chí đến hàng tỷ Việc xử lý những mô hình đó cho các mục đích điều khiển hoặc tính toán trên thời gian thực, đôi khi trở nên rất tốn kém Bài toán rút gọn mô hình ra đời nhằm mục đích giảm đi chi phí tính toán, đồng thời vẫn cho ra kết quả chấp nhận được

Bài toán rút gọn mô hình được phát biểu như sau: Cho một mô hình toán học phức tạp với số biến rất lớn, tìm một mô hình toán học đơn giản hơn (với số biến nhỏ hơn) mà vẫn cho nghiệm xấp xỉ mô hình ban đầu Tuy nhiên trong luận văn này, chúng tôi chỉ khảo sát bài toán rút gọn đối với

hệ có tính dương, được phát biểu như sau:

Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương: CHO MỘT HỆ

tuyến tính ban đầu có tính dương và có số biến rất lớn, tìm một hệ tuyến tính đơn giản hơn (với số biến nhỏ hơn) mà vẫn cho nghiệm xấp xỉ mô hình ban đầu Ngoài ra, hệ rút gọn đó vẫn phải bảo toàn được tính dương giống như hệ ban đầu.

Bài toán rút gọn mô hình được bắt đầu nghiên cứu từ đầu thập kỷ 80 của thế kỷ trước Trong suốt thập kỷ 80 và đầu thập kỷ 90, bài toán đã thu được những kết quả quan trọng về mặt lý thuyết Sau khi tạm ngưng một thời gian, đến những năm gần đây, bài toán rút gọn mô hình đã được quan

5

tâm trở lại, với nhiều phương pháp nghiên cứu và công cụ tính toán mới

Tuy nhiên, BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH DƯƠNG cũng mới chỉ được khảo sát trong những năm gần đây và hiện đang mang tính thời sự cao như các bài báo [1], [2], [5] Vì vậy chúng tôi chọn việc khảo sát bài toán này làm chủ đề chính của Luận văn

2 Mục đích nghiên cứu

Khảo cứu các phương pháp rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Khảo cứu các phương pháp rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính dương

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán rút gọn mô hình, hệ tuyến tính dương

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các công cụ như đại số tuyến tính, lý thuyết ma trận, giải tích số, ngôn ngữ lập trình Matlab,

6 Đóng góp mới

Chạy ví dụ số cho các phương pháp rút gọn mô hình cho một số bài toán trong thực tế

Nội dung

Luận văn tốt nghiệp được chia làm ba chương cộng với phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo Nội dung trong Chương 1, Chương 2 và Chương 3 của Luận văn được phân bổ như sau:

6

Chương 1: Giới thiệu hệ tuyến tính dương Chương 2: Phương

pháp rút gọn cân bằng cổ điển Chương 3: Phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính dương

7

Chương 1

Giới thiệu hệ tuyến tính dương

1.1Giới thiệu mô hình toán học xuất phát từ các bài toán trong thực tế

Hệ tuyến tính bất biến theo thời gian được cho bởi phương trình như sau:

[ xịt) = Ax(t) + Bu(t) : x(t ữ ) = x ữ :

1 _ í 1 - 1 ) [y{t) = Cx(t) + Du{t) , trong đó biến trạng thái X(T ) là vectơ N chiều, tương tự biến đầu vào U(T ) là

vectơ M chiều, biến đầu ra Y(T ) là vectơ P chiều được cho tương ứng như sau:

Ta có

Xi(t)

x 2 {t)

x n (t)

XỊ (T)

1 íc* 1 h- 1

II X 2 (T)

3 U 2 {T) H II

X

N (T) 'UM

(T)

X(T )

Với thời gian ban đầu cố định là TO, biến trạng thái ban đầu sẽ là X(TO) = XO

Ta sử dụng kí hiệu M = [RRIIJ] để biểu diễn ma trận có phần tử hàng thứ Ỉ, cột thứ J là RRIỊJ Khi đó các ma trận hệ số trong (1.1) được xácđịnh như sau:

A [ữjj ], В ịbịj ], С [cjj ], D ịdịj ]

với kích thước tương ứng là n X n , n X m , p X n , p X m

0Cị(t) = an(t)xi(t) + a i 2 {t)x 2 {t) + + a i n {t)x n {t) + bii(t)ui(t) + bị2(t)u2(t) + + bị m (t)u m (t)

VÁ 1 ) = + c j 2 {t)x 2 {t) + + c j n (t)x n (t) +dji(t)ui(t) + dj 2 (t)u 2 (t) + + d j m (t)u m (t) với J = 1,

Trong ví dụ sau chúng tôi sẽ biểu diễn một hệ thống vật lý về dạng (1.1) Xét một mạch điện song song mô tả bởi hình ?? Ta chọn đầu vào là cường độ dòng

điện từ nguồn độc lập U(T ) = I(T ) và đầu ra là điện áp tại tụ điện Y{T) = V(T).

Để thuận tiện ta gắn các biến trạng thái với các thành phần lưu trữ năng lượng trong mạch, trong trường hợp này là tụ điện và cuộn cảm Cụ thể, điện áp tụ điện

và cường độ dòng điện dẫn không chỉ đặc trưng cho năng lượng được lưu trữ trong các thành phần của mạch, mà còn rất thuận tiện cho phép lấy đạo hàm của các phương trình vi phân cần thiết Trong ví dụ này, do là mạch điện song song điện

áp tụ trùng với điện áp trên mỗi phần tử mạch Điều này dẫn đến sự lựa chọn của các biến trạng thái,

Xi{t) = i L (t) , x 2 (t) = v(t).

Với các biến trạng thái này, mối quan hệ điện áp và cường độ dòng điện của cuộn cảm được cho bởi:

Áp dụng định luật dòng điện Kirchhoff áp dụng cho nút trên của mạch ta được

—x 2 {t) + x 1 (t) + c x 2 (t) = u(t).

H

Các mối quan hệ này có thể được biểu diễn qua đạo hàm theo thời gian của các biến trạng thái như sau:

1

ải(í) = ỴX 2 (T),

x 2 {t) = - ^ỹX 2 {t) + Cặp phương trình vi phân bậc nhất này, cùng với việc chọn biến đầu ra Y(T ) =

X

2(T) cho ta mô tả trong không gian trạng thái của mạch điện:

VÍ DỤ 1.1.1 Phương trình trạng thái

Phương trình đầu ra:

XI {T) ' 0

1

L XI(T) + " 0"

>2

{T)_

1

L 1 RC {T )_ 1

u{t )

0 ll

D =

trong đó các ma trận hệ số A, B, c và D tương ứng là

Lưu ý rằng D = 0 do không có liên hệ trực tiếp giữa cường độ dòng nguồn và điện

áp tụ điện

1.2Hệ tuyến tính dương

Một hệ tuyến tính (A, B, c, D) được gọi là dương nếu đầu vào và trạng

thái ban đầu không ăm thì đầu ra và các biến trạng thái là không ầm.

Cho hệ tuyến tính liên tục sau đây:

G _ ịx(t) = Ax(t) + Bu(t), {y(t) = Cx(t) + Du(t)

Ta sẽ khảo sát sơ qua về tính dương của hệ Trước tiên, C > 0 (tức là ma trận C có

các phần tử là không âm) Lý do là vì nếu a;(0) = ej,w(0) = 0 và có ít nhất một Cịj <

tương tự với D ta cũng thấy D > 0

Với điều kiện đặt lên ma trận A để hệ là dương, chúng ta bắt đầu với một số định nghĩa quan trọng là định nghĩa ma trận Metzler

Định nghĩa 1.2.2 (Ma trận Metzler)

Ma trận A được gọi là M e t z l e r, nếu Ả là ổn định (tức là 9ft(A) < 0, VA £ Ơ(Â))

và các phần tử không nằm trên đường chéo chính của ma trận A là không âm

Định lý sau đây cho ta tiêu chuẩn cần và đủ để một hệ tuyên tính liên tục là dương

Nếu ma trận A là ma trận Metzler và B,c, D > 0 thì hệ tuyến tính (A,

B, c, D) là dương.

CHỨNG MINH Xem tài liệu [6].

VÍ DỤ 1.2.4 (Hệ tuyến tính dương) Xét hệ (A, B, C) với

/

Hệ này được cho bởi hàm

_ 2S 2 + 7S + 7 _ 2S 2 + 7S + 7

(s + l)(s2 + 4s + 5) s3 + 5 s2 + 9s + 5

trong đó có cực tại —1 và —2 ± i So sánh hệ số của ma trận Metzler Ả 3 X 3

với s3 + 5s2 + 9s + 5 như sau:

—Ã\\ — «22 — Ã33 = 5 và Ỗnã22 + Ỗnã33 + 022^33 > 9

nên

( — 4 — «22 — ^33) (®22 + Ã33) > 9

hay tương đương với

(ỗ22 + Ỗ33 + 2) 2 < —5 (vô lý) Vậy, hệ ban đầu dương

□

Ả :=

'i'

0 0

\V

Chương 2

Phương pháp rút gọn cân bằng cổ điển

Một loạt các vấn đề thực tế như thiết kế các hệ điều khiển với số chiều lớn, hệ điều khiển cho các vi mạch dẫn tới các mô hình toán phức tạp so với năng lực tính toán của hệ thống Yêu cầu được đặt ra là xác định các hệ rút gọn đủ tốt để

thay thế hệ ban đầu Quá trình này được gọi là GIẢM BẬC MÔ HÌNH Ý tưởng của giảm bậc mô hình là xây dựng một hệ với số chiều nhỏ từ hệ gốc ban đầu, đảm bảo giữ và xấp xỉ các thuộc tính quan trọng của hệ gốc Có rất nhiều phương pháp giảm bậc mô hình khác nhau đã được phát triển, phù hợp với các yêu cầu khác nhau Trong số đó, phương pháp rút gọn cân bằng là phương pháp được biết đến nhiều do tính đơn giản và hiệu quả áp dụng với một lớp lớn các bài toán thực tế Trong chương này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ bản nhất về bài toán rút gọn mô hình và phương pháp rút gọn cân bằng cổ điển