Cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục của bài toán cauchy cho phương trình hamilton jacobi với dữ kiện ban đầu lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐỖ THỊ HỒNG THẮM CẤU TRÚC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON – JACOBI VỚI DỮ KI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ THỊ HỒNG THẮM

CẤU TRÚC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM TOÀN CỤC

CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH

HAMILTON – JACOBI VỚI DỮ KIỆN BAN ĐẦU LỒI

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HỮU THỌ

HÀ NỘI, 2014

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Hữu Thọ Tác giả xin được gửi lờicảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS NguyễnHữu Thọ, đồng thời tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thànhtới các Thầy, Cô đã tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giảitích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Sau đại họctrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong quátrình tác giả học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướngdẫn của TS Nguyễn Hữu Thọ

Trong khi hoàn thiện luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Tác giả

Mở đầu 1

1.1 Ánh xạ đa trị 5

1.2 Tập đóng, tập mở 6

1.3 Hàm lồi 8

1.4 Hàm liên tục Lipchitz 9

1.5 Liên hợp Fenchel 9

1.6 Công thức Hopf trong trường hợp dữ kiện ban đầu là hàm lồi 10

1.7 Kết luận 11

2 Đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một 13 2.1 Phương trình vi phân thường đặc trưng 13

2.2 Một số ví dụ 17

2.3 Điều kiện biên 25

iii

2.4 Nghiệm địa phương 30

3 Cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục với dữ

3.1 Hệ phương trình vi phân đặc trưng 363.2 Công thức dạng Hopf và các đặc trưng 373.3 Dải khả vi của nghiệm được xác định qua công thức dạng

Hopf 45

Luận văn sử dụng những kí hiệu với ý nghĩa xác định trong bảng dướiđây:

∥.∥ Chuẩn trong không gian

domf Miền hữu hiệu của f

epif Trên đồ thị của f

U x Lân cận mở của x

f |U x Thu hẹp của f trên U x

|x| Giá trị tuyệt đối của x

f ∗ Liên hợp Fenchel của f

Lip(Ω) Tập hợp các hàm số liên tục Lipchitz

địa phương trên Ω

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Việc nghiên cứu phương trình phi tuyến nói chung và phương trình

vi phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng đã và đang là một vấn đềhết sức cần thiết của Giải tích hiện đại: chỉ trong lĩnh vực Phương trìnhđạo hàm riêng phi tuyến cấp một thôi chúng ta có thể thấy hàng loạtcác công trình của rất nhiều các nhà Toán học trên thế giới, trong đóPhương trình Hamilton-Jacobi đã và đang được quan tâm nhiều

Phương trình Hamilton-Jacobi là phương trình đạo hàm riêng phituyến cấp một có dạng như sau:

∂u

∂t + H(t, x, u, Du) = 0, t > 0, x ∈ R n

ở đây H được gọi là Hamiltonian.

Những nghiên cứu về phương trình Hamilton-Jacobi xuất hiện từ rấtlâu, có lẽ từ việc khảo sát các bài toán biến phân với đầu mút động

Có nhiều phương pháp cổ điển nghiên cứu nghiệm trơn, địa phương củaphương trình này Định lý Cauchy-Kovalevskaya là một trong nhữngđịnh lý đầu tiên nói về sự tồn tại, duy nhất nghiệm địa phương với các

dữ kiện được đặt ra là những hàm giải tích Các phương pháp tách biến,biến đổi Legendre, tích phân toàn phần, lý thuyết đặc trưng Cauchy,biến phân, đồng dạng đã góp phần làm phong phú lĩnh vực nghiêncứu về phương trình Hamilton-Jacobi

Tuy nhiên, trong nhiều bài toán vật lý và ứng dụng, nghiệm cổ điểnđịa phương của phương trình Hamilton-Jacobi chưa đáp ứng được yêu

cầu thực tế vì chúng ta mong muốn nhận được thông tin tổng thể vàđầy đủ hơn Nhìn chung, các nghiên cứu cổ điển trước đây hoặc chưaquan tâm đến vấn đề nghiệm toàn cục, hoặc vì chưa có cách hiểu nghiệmmột cách mềm dẻo (do bản chất phi tuyến của phương trình Hamilton-Jacobi, nghiệm cổ điển toàn cục của bài toán Cauchy đối với phươngtrình Hamilton-Jacobi nói chung chỉ tồn tại trong một số lớp khá đặcbiệt) Bắt đầu từ những năm 1950-1951, với sự ra đời của các bài báo của

E Hopf và J.D Cole về phương trình Burger, việc nghiên cứu nghiệmtoàn cục của phương trình Hamilton-Jacobi được đặt nền móng và đượccác nhà Toán học quan tâm, và ngay sau đó đã có rất nhiều những kếtquả kinh điển ra đời tạo ra những định hướng quan trọng

Do tính phi tuyến của Hamiltonian nên miền xác định của nghiệmnói chung bị hạn chế nghiêm ngặt Để đạt được sự tồn tại toàn cục chonghiệm cổ điển đối với bài toán Cauchy đòi hỏi phải có điều kiện ngặtđặt trên Hamiltonian và dữ kiện ban đầu Đây cũng là nguyên nhânthúc đẩy sự phát triển các phương pháp tìm nghiệm toàn cục, nghĩa làtìm nghiệm trong toàn bộ miền đã cho Để nhận được điều này chúng

ta không hy vọng đạt được độ trơn cao của nghiệm mà nhất thiết phảigiảm yêu cầu đó Một lớp hàm được quan tâm trước hết trong việc mởrộng khái niệm nghiệm toàn cục đó là lớp hàm liên tục Lipschitz TheoĐịnh lý Rademacher: “Mỗi hàm liên tục Lipschitz địa phương đều khả

vi hầu khắp nơi trong miền xác định của nó”, chúng ta thấy lớp hàmnày là một lớp con không quá rộng của lớp hàm liên tục và chứa lớp cáchàm khả vi, và từ đó gợi ý cho những nghiên cứu về những lớp nghiệmsuy rộng

Với mong muốn được tiếp cận tới lý thuyết về nghiệm suy rộng của

Bài toán Cauchy đối với phương trình Hamilton-Jacobi, được sự hướngdẫn của Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, tôi đã chọn đề tài về:

"Cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục

của Bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton - Jacobi

với dữ kiện ban đầu lồi."

2 Mục đích nghiên cứu

Mô tả cấu trúc nghiệm toàn cục của bài toán Cauchy cho phươngtrình Hamilton-Jacobi thông qua đặc trưng trong trường hợp dữ kiệnban đầu lồi và xét tính chính quy của nghiệm toàn cục

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tổng quan về phương pháp đặc trưng đối với phương trình đạo hàmriêng phi tuyến cấp 1

Mô tả nghiệm toàn cục cho bài toán Cauchy cho phương trình Jacobi trong trường hợp dữ kiện ban đầu lồi thông qua nghiệm của hệphương trình vi phân đặc trưng

Hamilton-Khảo sát tính chính quy của nghiệm toàn cục của bài toán Cauchycho phương trình Hamilton-Jacobi khi dữ kiện ban đầu lồi

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp

dữ kiện ban đầu lồi, hệ phương trình vi phân đặc trưng, công thức dạng

Hopf-Lax cho nghiệm toàn cục.

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp

để nhận được một nghiên cứu về cấu trúc nghiệm toàn cục của bài toánCauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp dữ kiện banđầu lồi

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Trình bày một cách có hệ thống về cấu trúc nghiệm toàn cục mô tảbởi công thức dạng Hopf-Lax đối với bài toán Cauchy cho phương trìnhHamilton-Jacobi trong trường hợp dữ kiện ban đầu lồi

là miền hữu hiệu (miền xác định) của F

Một ánh xạ đa trị được đặc trưng bởi một tập con của X × Y , gọi là

GraphF (đồ thị của F ) và xác định bởi

chỉ nếu tại mỗi x ∈ X, có một lân cận V x của x trong X sao cho thu hẹp F | V x của F lên V x là bị chặn.

Định nghĩa 1.1.2 [5] Ánh xạ đa trị F : X −→ Y được gọi là nửa liên

số dương r sao cho

∀x ′ ∈ B X (x, r), F (x ′) ⊂ U

F được gọi là nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu nó nửa liên tục trên

1.2 Tập đóng, tập mở

Định nghĩa 1.2.1 [4] Cho x0 ∈ R n , ε > 0, ta gọi tập

Định nghĩa 1.2.2 [4] Tập U ⊂ R n gọi là mở nếu ∀x0 ∈ U, ∃ε > 0 sao

Định nghĩa 1.2.4 [4] Tập B trong Rn gọi là bị chặn nếu tồn tại m > 0

Cho U ⊂ R n là một tập mở và giả sử f : U → R n thuộc lớp C1,

f = (f1, f2, , f n ) Giả thiết x0 ∈ U, z0 = f (x0) Khi đó

C1, f = (f1, , f m ) Giả thiết (x0, y0) ∈ U, z0 = f (x0, y0) Khi đó:

Định nghĩa 1.2.6 [1] J y f = |det D yf| =

∂(f ∂(y11, , f , , y m m))

Định lý 1.2.1 (Định lý hàm ẩn)[1] Giả thiết f ∈ C1(U ;Rm ) và J y f (x0, y0) ̸=

0 Khi đó tồn tại một tập mở V ⊂ U với (x0 , y0) ∈ V , và tập mở W ⊂ R n

1.3 Hàm lồi

Định nghĩa 1.3.1 [4] Tập M ⊂ R n gọi là tập lồi nếu:

∀x, y ∈ M, {λx + (1 − λ)y : λ ∈ [0, 1]} ⊂ M

Định nghĩa 1.3.2 [4] Hàm f được gọi là hàm lồi (t.ư., đóng) nếu tập

Đối với các hàm lồi, proper (chẳng hạn hàm lồi từ Rn vào R) tính lồicủa nó tương đương với điều kiện:

Hàm f : Rn −→ R được gọi là lồi ngặt nếu trong bất đẳng thức (1.1),

khi x ̸= y, dấu = xảy ra nếu λ = 0 hoặc λ = 1.

Định lý 1.3.1 [4] Mọi hàm lồi xác định trên Rn và chỉ nhận giá trị

Định nghĩa 1.3.3 [4] Hàm lồi, proper f được gọi là đối hữu hạn nếu

lim

||y||→+∞

f (y)

Định lý 1.3.2 [4] Giả sử f là hàm lồi, hữu hạn trên một tập lồi, mở

C Khi đó, nếu f khả vi trên C thì f cũng khả vi liên tục trên C.

1.4 Hàm liên tục Lipchitz

Định nghĩa 1.4.1 [4] Giả sử f là một hàm xác định trong một tập

K được gọi là hằng số Lipchitz của f trên X.

Dễ thấy điều kiện (1.2) suy ra f là hàm liên tục đều trong X.

Hàm f được gọi là Lipchitz địa phương trên X nếu với mỗi x ∈ X

tồn tại lân cận mở U x của x sao cho thu hẹp f |U x là Lipchitz trên U x

Định lý 1.4.1 (Định lý Rademacher)[4] Một hàm liên tục Lipschitz địa

phương thì khả vi hầu khắp nơi trong miền xác định của nó.

Cho f : Rn → R là một hàm lồi, hữu hạn, khi đó f liên tục đều và

hơn nữa liên tục Lipschitz trên mỗi tập con bị chặn của dom f.

Định lý 1.4.2 [4] Cho f là hàm lồi, proper trên X Khi đó domf ∗ sẽ

bị chặn khi và chỉ khi f hữu hạn và liên tục Lipschitz toàn cục trên X.

Định lý 1.5.1 [4] Giả sử f :Rn −→ ¯R là hàm lồi, proper và đóng Khi

Với mọi hàm f : Rn −→ ¯R, hàm liên hợp f ∗ luôn luôn lồi và đóng.

Hơn nữa, khi f lồi, trong (1.3) (t.ư., (1.4)) sup được thay thế bằng max nếu y (t.ư., x) là điểm trong của domf ∗ (t.ư., domf ).

Định lý 1.5.2 [4] Giả sử f là một hàm lồi, đóng và xác định trên Rn

(Kết quả trong mục này được trích dẫn từ [3] và [5]).

Chúng ta xét bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobidạng:

u t + H(t, Du) = 0, (t, x) ∈ Ω = (0, T ) × R n (1.5)

trong đó u = u(t, x) là ẩn hàm, Haminltonian H và hàm dữ kiện ban đầu σ được cho trước, Du = D x u = (u x , u x , , u x ).

a Trường hợp Hamiltonian chỉ phụ thuộc vào gradient của ẩn hàm:[3]

Giả sử Hamiltonian H = H(p) là hàm liên tục và dữ kiện ban đầu

xác định bởi công thức Hopf :

u(t, x) = max

là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài toán (1.5)-(1.6)

b Trường hợp Hamiltonian phụ thuộc vào gradient của ẩn hàm

và biến thời gian:[5]

hằng số dương r và N sao cho

Hamilton-Jacobi trong trường hợp dữ kiện ban đầu là hàm lồi Đây lànhững kiến thức nhằm hỗ trợ cho các kết quả sẽ được trình bày trongcác chương sau.

Chương 2

Đặc trưng của phương trình đạo

hàm riêng phi tuyến cấp một

(Các kết quả trong Chương này được trích dẫn từ tài liệu [1])

2.1 Phương trình vi phân thường đặc trưng

Xét phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một:

với điều kiện biên:

giả sử F, g là những hàm trơn.

Để nghiên cứu bài toán (2.1), (2.2) ta dùng phương pháp đặc trưng,

đây là phương pháp biến đổi phương trình đạo hàm riêng thành một hệphương trình vi phân thường tương ứng Ý tưởng chủ yếu như sau

Giả sử u thỏa mãn (2.1), (2.2) và x là điểm cố định nào đó thuộc U Ta

sẽ tìm một đường cong nằm trong U nối x với x0 ∈ Γ Theo (2.2) ta có

13

u = g trên Γ, vì thế ta biết giá trị của u tại điểm mút x0 của đường

cong: u(x0) = g(x0) Nếu u là hằng số dọc theo đường cong, ta tìm được giá trị của u tại x.

Cách tìm phương trình vi phân thường đặc trưng

Giả sử đường cong được tham số hóa bởi hàm

x(s) = (x1(s), x2(s), , x n (s))

trong đó s nằm trong khoảng con nào đó của R

Giả thiết u là C2 - nghiệm của (2.1), ta đặt:

(ở đây ta dùng (2.5) và (2.8) để nhận được đẳng thức thứ hai) Ta viết

lại các phương trình (2.8) − (2.10) theo ký hiệu véc tơ

Hệ (2n + 1) phương trình vi phân cấp một này gọi là các phương trình

đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một (2.1).

Các hàm x(.) = (x1(.), x2(.), , x n (.)); z(.); p(.) = (p1(.), p2(.), , p n (.))

được gọi là những đặc trưng Ta còn gọi x(.) gọi là đặc trưng gốc, nó

là hình chiếu của toàn bộ đặc trưng (x(.), z(.), p(.)) ⊂ R 2n+1 lên miền

Như vậy ta đã hoàn thiện chứng minh định lý sau đây:

Định lý 2.1.1 [1] (Cấu trúc của phương trình vi phân thường

đặc trưng) Cho u ∈ C2(U ) là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng

(2.1) trong U Giả thiết rằng x(.) thỏa mãn phương trình vi phân thường (2.11)(c), với p(.) = Du(x(.)), z(.) = u(x(.)) Khi đó p(.) là nghiệm của

phương trình vi phân thường (2.11)(a) và z(.) thỏa mãn phương trình vi

Ta còn cần phải tìm điều kiện ban đầu tương ứng cho hệ phương trình

vi phân thường (2.11) để hệ này sẽ thực sự có ích.

Giả sử u là một nghiệm của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một (2.1), khi đó hệ phương trình vi phân thường đặc trưng là một

hệ đóng đối với x(.), z(.) = u(x(.)), và p(.) = Du(x(.)) Bước quan

trọng mang tính quyết định ở đây là việc đặtx = D . p F , tức là đẳng thức

(2.8), do đó, như đã nói ở trên, khi đó các số hạng chứa đạo hàm cấp

hai bị loại bỏ

2.2 Một số ví dụ

Trước khi tiếp tục xét về các phương trình đặc trưng (2.11) ta sẽ

dừng lại để xét một số trường hợp đặc biệt mà trong đó cấu trúc củacác phương trình đặc trưng có dạng đơn giản

Đây là phương trình vi phân tuyến tính đối với z(.), nếu ta tìm được x(.)

thông qua việc giải (2.13) Kết hợp lại ta nhận được hệ phương trình

là các phương trình đặc trưng đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến

tính (2.12) Trong trường hợp này phương trình đối với p(.) là không

(2.16)

ở đây x0 > 0, 0 6 s 6 π

2 Ta sẽ tìm C1, C2, C3 từ điều kiện ban đầu.

b Trường hợp F là hàm tựa tuyến tính

Phương trình đạo hàm riêng (2.1) được gọi là tựa tuyến tính nếu nó

có dạng

tức là F tuyến tính theo Du Trong trường hợp này

là những phương trình đặc trưng đối với phương trình đạo hàm riêng

tựa tuyến tính cấp một (2.17) Ta lại thấy, trong trường hợp này phương

trình đối với p(.) là không cần thiết.

Ví dụ 2.2.2 Giải bài toán sau:

Cố định một điểm (x1, x2) ∈ U, ta cần chọn s > 0 và x0 ∈ R sao cho

c Trường hợp F là hàm hoàn toàn phi tuyến

Khi F hoàn toàn phi tuyến, hệ phương trình đặc trưng (2.11) là rất

phức tạp, sau đây ta sẽ xét một ví dụ minh họa cho trường hợp này

Ví dụ 2.2.3 Giải bài toán sau:

(2− x2)2

2.3 Điều kiện biên

Bây giờ ta quay trở lại để hoàn thiện lý thuyết tổng quát về đặc trưngcho phương trình đạo hàm riêng cấp 1

a Làm phẳng biên

Chúng ta sẽ sử dụng hệ phương trình vi phân đặc trưng (2.11) để giải bài toán giá trị biên (2.1) − (2.2) chí ít cũng tại một lân cận của một

phần biên Γ của ∂U Để đơn giản hóa các phép tính có liên quan, trước

hết ta sẽ dùng phép biến đổi thích hợp để làm phẳng phần biên đangquan tâm

Xét U ⊂ R n là tập mở, bị chặn, k ∈ 1, 2, 3,

Định nghĩa 2.3.1 [1] Ta nói rằng biên ∂U là C k nếu với mỗi điểm

là đạo hàm theo hướng pháp tuyến (hướng ra ngoài) của u.

Ta thường phải đổi hệ tọa độ gần một điểm của ∂U để làm phẳng biên Cụ thể, ta cố định điểm x0 ∈ ∂U và chọn r, γ, như trên Khi đó

Giả sử u là một nghiệm thuộc lớp C1 của bài toán biên (2.1) − (2.2)

trong U , ta sẽ xét xem v sẽ thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng nào trong V ?

G(y, v(y), Dv(y)) = 0 trong V.

Đặt ∆ := Φ(Γ), h(y) := g(Ψ(y)), khi đó v = h trên ∆ Và do vậy bài

bài toán có dạng tương tự

b Điều kiện tương thích của các dữ kiện biên

Như đã trình bày ở trên, với một điểm x0 ∈ Γ ta có thể ngay từ đầu

(không mất tính tổng quát) giả thiết rằng phần biên Γ là phẳng ở gần

x0 và nằm trên mặt phẳng x n = 0

Bây giờ ta sẽ dùng hệ phương trình vi phân thường đặc trưng (2.11)

để thiết lập nghiệm của (2.1) − (2.2) chí ít là gần x0, và để làm đượcđiều đó ta cần xác định điều kiện ban đầu tương ứng:

p(0) = p0, z(0) = z0, x(0) = x0 (2.23)

vi phân thường (2.11) để hệ thực có ích.

Giả sử u nghiệm phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp (2.1), hệ phương trình. .. xét phương trình đặc trưng (2.11) ta sẽ

dừng lại để xét số trường hợp đặc biệt mà cấu trúc củacác phương trình đặc trưng có dạng đơn giản

Đây phương trình vi phân tuyến tính. .. (Cấu trúc phương trình vi phân thường

đặc trưng) Cho u ∈ C2(U ) nghiệm phương trình đạo hàm riêng

(2.1) U Giả thiết x(.) thỏa mãn phương