Phương pháp trung bình bình phương và một số ứng dụng

Có rất nhiều phương pháp để xấp xỉ hàm và một trong những phươngpháp có nhiều ứng dụng là phương pháp xấp xỉ trung bình bình phương.. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp xấp xỉ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN KHẢI

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường

và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT Hà Nội, Ban giám hiệu,các thầy cô giáo, đồng nghiệp trường Trung học phổ thông Bất Bạt cùnggia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuậnlợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 19 tháng 02 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Chí Thân

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừanhững thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sựtrân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫntrong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 19 tháng 02 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Chí Thân

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Không gian metric 5

1.2 Không gian vecto 8

1.3 Không gian định chuẩn và không gian Banach 10

1.4 Không gian Hilbert 12

1.5 Không gian L2[a; b] 16

1.6 Chuỗi Fourier 17

Chương 2 XẤP XỈ TRUNG BÌNH BÌNH PHƯƠNG 18

2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert 18

2.2 Xấp xỉ tốt nhất trong L2[a; b] bằng các đa thức đại số 21

2.3 Xấp xỉ tốt nhất trong L2[a; b] bằng hệ đa thức trực giao 24

2.3.1 Định nghĩa đa thức trực giao 24

2.3.2 Một số tính chất của đa thức trực giao 25

2.3.3 Đa thức trực giao Jacobian 31

2.3.4 Đa thức trực giao Legendre 35

2.3.5 Đa thức trực giao Chebyshev loại 1 38

2.3.6 Đa thức trực giao Chebyshev loại 2 41

2.3.7 Đa thức trực giao Hermite 44

2.3.8 Đa thức trực giao Laguerre 47

2.3.9 Đa thức trực giao Laghe 51

2.3.10 Đa thức trực giao lượng giác 52

2.4 Xấp xỉ hàm cho dưới dạng bảng 54

2.4.1 {ϕ} là cơ sở đại số ϕ i = xi 55

2.4.2 {ϕ} = {1, sin x, cos x, , sin mx, cos mx}, x ∈ [0; 2π] 60

2.4.3 {ϕ} = {emx} 62

Chương 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 64

Kết luận 97

Tài liệu tham khảo 98

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Trong thực tế tính toán, ta thường gặp một số khó khăn khi thựchiện các phép toán với các bài toán mà hàm số f (x) có biểu thức kháphức tạp hoặc hàm số được cho dưới dạng bảng Để khắc phục vấn đềtrên người ta xây dựng hàm số P (x) đơn giản hơn, là xấp xỉ với f (x)

Có rất nhiều phương pháp để xấp xỉ hàm và một trong những phươngpháp có nhiều ứng dụng là phương pháp xấp xỉ trung bình bình phương

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp xấp xỉ trungbình bình phương và ứng dụng của nó, tôi chọn đề tài cho luận văn thạc

sĩ của mình

“Phương pháp trung bình bình phương và một số ứng dụng”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày hệ thống lý thuyết về xấp xỉ trung bình bình phương vànêu một số ứng dụng của nó

Lý thuyết xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert, xấp xỉ tốt nhấttrong L2[a; b], phương pháp bình phương tối thiểu

Một số ứng dụng của nó trong các ví dụ khác nhau

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp xấp xỉ trung bình bình phương.Phạm vi nghiên cứu: Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert,không gian L2[a; b] và phương pháp bình phương tối thiểu

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc, tìm hiểu tư liệu trong sách, báo

Sử dụng các phương pháp của giải tích

Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu của đề tài

5 Dự kiến đóng góp của đề tài

Trình bày một cách có hệ thống và rõ ràng một số vấn đề của lýthuyết xấp xỉ trung bình bình phương

Ứng dụng của lý thuyết xấp xỉ trung bình bình phương để giải vàsáng tạo một lớp bài toán

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp tùy ý X 6= ø Một metric trong X là ánhxạ

d : X × X → Rthỏa mãn các điều kiện sau:

d (x, y) = 0 ⇔ x = y;

ii) d (x, y) = d (y, x) ∀x, y ∈ X;

iii) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) ∀x, y, z ∈ X

Tập hợp X và một metric trong X gọi là một không gian metric,

ký hiệu là (X, d) Số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y.Nếu M là một tập con khác rỗng của X thì M cùng với d hạn chếtrên M là một không gian metric con của không gian metric X

gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim

n→∞d (xn, x) = 0

Ký hiệu lim

Định nghĩa 1.4 Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọidãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử của X.

Định lý 1.1 Mọi tập đóng trong không gian metric đầy đủ là khônggian metric đầy đủ

Chứng minh Giả sử F là một tập đóng trong không gian metric đầy

đủ (X, d) Giả sử {xn} là một dãy cơ bản trong F tức là

lim

Suy ra {xn} là một dãy cơ bản trong X

Do X là không gian đầy đủ nên dãy {xn} hội tụ, tức là

∃x0 ∈ X : xn → x0, n → ∞

x0 ∈ F

Vậy F là không gian metric đầy đủ

Ví dụ 1.1 Xét X = R với khoảng cách d(x, y) = |x − y| Khi đó X làmột không gian metric, hơn nữa X còn là một không gian metric đầyđủ

Ví dụ 1.2 Xét X = Q với khoảng cách d(x, y) = |x − y| Khi đó X làmột không gian metric, nhưng X không phải là một không gian metricđầy đủ

Ví dụ 1.3 Trong không gian metric đầy đủ (X, d), hình cầu đóng

S (x0, r) = {x ∈ X : d (x, x0) ≤ r} , r ∈ R+

là không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.5 Cho hai không gian metric tùy ý (X, d1) và (Y, d2).Ánh xạ A : X → Y gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số α ∈ [0, 1) saocho ∀x1, x2 ∈ X ta đều có

d2(A(x1), A(x2)) ≤ αd1(x1, x2) ,

α gọi là hệ số co của ánh xạ co A

Định lý 1.2 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co)

Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nóđều có một điểm bất động duy nhất

Chứng minh Lấy một điểm bất kỳ x0 ∈ X và lập dãy xn = A (xn−1) ,

Từ đó tồn tại lim

n→∞xn = x∗ ∈ X Ta có

d (Ax∗, x∗) ≤ d (Ax∗, xn) + d (xn, x∗) = d (Ax∗, Axn−1) + d (xn, x∗)

≤ αd (xn−1, x∗) + d (xn, x∗) , ∀n = 1, 2,

Cho n → ∞ ta được d (Ax∗, x∗) = 0 hay Ax∗ = x∗, nghĩa là x∗ là điểmbất động của ánh xạ A.

Giả sử tồn tại điểm y∗ ∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ A thì

d (x∗, y∗) = d (Ax∗, Ay∗) ≤ αd (x∗, y∗)

⇒ (1 − α) d (x∗, y∗) ≤ 0 ⇒ d (x∗, y∗) = 0, (0 ≤ α < 1)

⇒ x∗ = y∗

Vậy x∗ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A

1.2 Không gian vecto

Định nghĩa 1.6 Tập X cùng với phép cộng (+) và nhân vô hướng (.)được gọi là một không gian vecto trên R nếu các điều kiện sau được thỏamãn:

Với mọi x, y, z ∈ X, với mọi α, β ∈ R, ta có

1) x + y = y + x;

2) (x + y) + z = x + (y + z);

3) Tồn tại phần tử trung hòa θ ∈ X sao cho x + θ = x;

4) Với mỗi x ∈ X, tồn tại phần tử đối của x là (−x) ∈ X sao cho

gọi là các tiên đề về không gian vecto.

vecto

Định nghĩa 1.8 Cho X là một không gian vecto Biểu thức dạng

α1x1 + α2x2 + + αnxn; αi ∈ R, xi ∈ Xđược gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ vecto {x1, , xn}

Định nghĩa 1.9 Cho hệ n vecto {x1, , xn} trong không gian vecto

vecto X được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn của nó

là độc lập tuyến tính

Định nghĩa 1.11 Cho n là một số nguyên dương và X là một khônggian vecto Nếu tồn tại n vecto x1, , xn ∈ X độc lập tuyến tính và

mọi hệ n + 1 vecto trong X đều phụ thuộc tuyến tính thì ta nói khônggian X có số chiều là n và kí hiệu dimX = n Nếu không tồn tại n nhưvậy ta nói không gian X là vô hạn chiều.

Định nghĩa 1.12 Cho X là không gian vecto Tập hợp các phần tử

x1, , xn ∈ X được gọi là một cơ sở của X nếu với mỗi x ∈ X, x luônbiểu diễn được dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của x1, , xn và biểudiễn này là duy nhất

Định lý 1.3 Không gian vecto X có số chiều n khi và chỉ khi cơ sởcủa X gồm n phần tử Nếu X có số chiều là n thì mọi hệ vectơ độc lậptuyến tính gồm n phần tử đều là cơ sở của nó

Định nghĩa 1.13 Giả sử X và Y là hai không gian vecto Khi đó, ánh

xạ A : X → Y được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu A thỏa mãn hai điềukiện:

i) A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2) ∀x1, x2 ∈ X

1.3 Không gian định chuẩn và không gian Banach

Định nghĩa 1.14 Cho X là không gian vecto trên R Chuẩn trong X,

ký hiệu k.k, là một ánh xạ từ X vào tập số thực R thỏa mãn các tiên đềsau

i) (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ;

ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ R) kαxk = |α| kxk ;

iii) (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk

Số kxk gọi là chuẩn (hay độ dài) của vecto x.

Một không gian vecto X cùng với một chuẩn xác định trong khônggian đó được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn

Định lý 1.4 Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn, đặt

Khi đó, d là một metric trên X

Nhận xét 1.1 Từ định lí 1.4 ta có mọi không gian tuyến tính địnhchuẩn đều là không gian metric với metric (1.1)

Định nghĩa 1.15 Dãy điểm {xn} của không gian tuyến tính định chuẩn

X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu

lim

n→∞kxn − xk = 0

Ký hiệu lim

chuẩn X được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu

Banach với chuẩn

Banach với chuẩn

kxk = max

t∈[a;b]

1.4 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.18 Cho không gian vecto X trên R Ánh xạ

ϕ : X × X → Rthỏa mãn các điều kiện sau được gọi là một tích vô hướng trên X:

Nhận xét 1.2 Công thức (1.2) xác định một chuẩn trên không gian X.

Từ đó, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn vớichuẩn (1.2)

Định nghĩa 1.20 Không gian X được gọi là không gian Hilbert nếu

X là không gian tiền Hilbert và đầy đủ theo chuẩn (1.2)

Định nghĩa 1.21 Cho không gian Hilbert X

i) Hai phần tử x, y ∈ X gọi là trực giao và ký hiệu x⊥y nếu hx, yi = 0.ii) A là tập con khác rỗng của X Phần tử x ∈ X gọi là trực giao vớitập A nếu x⊥y, ∀y ∈ A và ký hiệu x⊥A

Định lý 1.6 (Định lý Pythagore)

Cho không gian Hilbert X Nếu x, y ∈ X và x⊥y thì

kx + yk2 = kxk2 + kyk2

Định nghĩa 1.22 Một hệ {en}n≥1 các phần tử của không gian Hilbert

X gọi là hệ trực chuẩn nếu hei, eji = δij, trong đó

Định lý 1.7 (Định lí về trực giao hóa Hilbert - Schmidt)

đếm được các phần tử) của một không gian tiền Hilbert X Đặt

e1 = x1

kx1k,

e2 = x2 − hx2, e1i e1

kx2 − hx2, e1i e1k,

Vì he1, e1i = 1 nên hy2, e1i = hx2, e1i − hx2, e1i he1, e1i = 0 tức là

y2⊥e1, do đó e2⊥e1

Giả sử e1, , en trực giao từng đôi một, ta thấy rằng vì hei, eii = 1nên hyn+1, eii = hxn+1, eii − hxn+1, eii hei, eii = 0, tức là yn+1⊥ei và do

đó en+1⊥ei với mọi i = 1, , n

Vậy {en} là một hệ trực chuẩn Định lý được chứng minh

tử của hệ, nghĩa là: x⊥en(n = 1, 2, ) ⇒ x = θ.

Định lý 1.9 Cho {en}n≥1 là một hệ trực chuẩn trong không gian HilbertX

Các mệnh đề sau là tương đương:

Hilbert X và với y tùy ý thì

1.5 Không gian L2[a; b]

Định nghĩa 1.24 Hàm p(x) xác định trên đoạn [a; b] được gọi là hàmtrọng trên [a; b] nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:

i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b]

ii) Tập {x ∈ [a; b] : p(x) = 0} có độ đo Lebesgue bằng không

Định nghĩa 1.25 Không gian L2[a; b] là tập các hàm bình phương khảtích với hàm trọng p(x) xác định trên [a; b], nghĩa là

Khi đó, k.k là một chuẩn trên L2[a; b] và cùng với chuẩn đó thì

L2[a; b] là không gian Banach

Định lý 1.12 Với f (x), g(x) ∈ L2[a, b], khi đó

Định lý 1.14 Cho f (x) ∈ L2[−π; π] và ε > 0 Khi đó tồn tại hàm h(x)

liên tục, tuần hoàn với chu kì 2π sao cho

π

Z

−π

[f (x) − h(x)]2dx < ε

Chương 2 XẤP XỈ TRUNG BÌNH BÌNH

PHƯƠNG

2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert

gian Hilbert H và x là phần tử cho trước thuộc H Tìm h0 ∈ H0 sao cho

h∈H0kx − hk khi và chỉ khi x − h0⊥H0.Chứng minh

Điều kiện cần Nếu h = θ ∈ H0 thì x − h0⊥h

Lấy θ 6= h ∈ H0 tùy ý Khi đó ta có

Do tính chất tùy ý của h ∈ H0 nên x − h0⊥H0.

Sự tồn tại Vì H0 là hữu hạn chiều nên có thể gọi {e1, , en} là một cơ

sở của H0 với dimH0 = n Ta biểu diễn được h0 =

Hệ phương trình (2.1) là hệ phương trình đại số tuyến tính Hệ {e1, , en}độc lập tuyến tính nên định thức của ma trận hệ số là G(e1, , en) 6= 0,vậy hệ (2.1) có nghiệm duy nhất ci, i = 1, n Từ đó h0 là tồn tại Định líđược chứng minh.

Vì {c1, , cn, −1} là nghiệm không tầm thường của hệ (2.4) nên hệ (2.4)

đại số

Xét không gian Hilbert L2[a; b], sự hội tụ trong L2[a; b] được gọi

là sự hội tụ trung bình với trọng p(x) Kí hiệu Pn là không gian concủa L2[a; b] sinh bởi {1, x, , xn} thì dim Pn < +∞ Áp dụng kếtquả ở mệnh đề 2.2 thì với mỗi y ∈ L2[a; b], tồn tại duy nhất đa thức

−1

Trong các ví dụ dưới đây tác giả sử dụng phần mềm Maple 16 đểtính toán, các kết quả được làm tròn đến 10 chữ số sau dấu chấm thậpphân

Ví dụ 2.1 Xấp xỉ trung bình bình phương hàm số f (x) = 3xtrên [−1; 1]bằng đa thức đại số bậc 5

5

P

i=0

aixi.Trước hết ta tính

2.a0 + 0.6666666667a2 + 0.4000000000a4 = 2.427304604

0.6666666667a1 + 0.4000000000a3 + 0.2857142857a5 = 0.82470289000.6666666667a0 + 0.4000000000a2 + 0.2857142857a4 = 0.92595076340.4000000000a1 + 0.2857142857a3 + 0.2222222222a5 = 0.50562063600.4000000000a0 + 0.2857142857a2 + 0.2222222222a4 = 0.58636165790.2857142857a1 + 0.2222222222a3 + 0.1818181818a5 = 0.3654838456Giải hệ phương trình ta có nghiệm gần đúng

a0 = 1.000054696, a1 = 1.098645949, a2 = 0.6023299334, a3 = 0.2206990321,

a4 = 0.06410480778, a5 = 0.01397425472

Như vậy

P3(x) = 1.000054696 + 1.098645949x + 0.6023299334x2 + 0.2206990321x3+0.06410480778x4 + 0.01397425472x5

Ví dụ 2.2 Xấp xỉ trung bình bình phương hàm số f (x) = |x| trên[−1; 1] bằng đa thức đại số bậc 5

5

P

i=0

aixi.Trước hết ta tính

2.a0 + 0.6666666667a2 + 0.4000000000a4 = 1

0.6666666667a1 + 0.4000000000a3 + 0.2857142857a5 = 0

0.6666666667a0 + 0.4000000000a2 + 0.2857142857a4 = 0.50000000000.4000000000a1 + 0.2857142857a3 + 0.2222222222a5 = 0

0.4000000000a0 + 0.2857142857a2 + 0.2222222222a4 = 0.33333333330.2857142857a1 + 0.2222222222a3 + 0.1818181818a5 = 0

Giải hệ phương trình ta có nghiệm gần đúng

a0 = 0.1171874998, a1 = 0, a2 = 1.640625001, a3 = 0, a4 = −0.8203125017,

a5 = 0

Như vậy

P3(x) = 0.1171874998 + 1.640625001x2 − 0.8203125017x4

Nhận xét 2.2 Hệ 1, x, , xn là độc lập tuyến tính, tuy nhiên không

là trực giao trong L2[a; b] nên trong thực hành tính toán thường phứctạp Để các tính toán trung gian thuận lợi đơn giản hơn, sau đây ta sẽxét hệ đa thức trực giao thay cho các đa thức đại số

trực giao

2.3.1 Định nghĩa đa thức trực giao

Định nghĩa 2.1 Trong L2[a; b], họ đa thức {fn(x)}n∈N được gọi là trựcgiao nếu

2.3.2 Một số tính chất của đa thức trực giao

Mệnh đề 2.3 Trong Pn xây dựng dãy các đa thức {Qk(x)}nk=0 như sau:

Q0(x) = 1

Q1(x) = x − a0

· · · ·

Qk+1(x) = (x − ak)Qk(x) − bkQk−1(x) (1 ≤ k ≤ n − 1)trong đó ak = hxQk, Qki

hQk, Qki , bk =

hxQk, Qk−1i

hQk−1, Qk−1i.Khi đó, {Qk(x)}nk=0 là một hệ đa thức trực giao của Pn

Chứng minh Ta chứng minh hQk(x), Qi(x)i = 0, ∀i < k, ∀k = 1, , nbằng quy nạp theo k:

p(x)dx =

hQk+1, Qki = hxQk, Qki − akhQk, Qki − bkhQk−1, Qki = 0 − 0 = 0

hQk+1, Qk−1i = hxQk, Qk−1i − akhQk, Qk−1i − bkhQk−1, Qk−1i = 0.Với i < k − 1

hQk+1, Qii = hxQk, Qii − akhQk, Qii − bkhQk−1, Qii

= hxQk, Qii = hQk, xQii = hQk, Qi+1 + aiQi + biQi−1i = 0

Vậy khẳng định đúng với k + 1 Theo nguyên lý quy nạp mệnh đề đượcchứng minh.

Hệ quả 2.1 Một đa thức tùy ý bậc không vượt quá n là một tổ hợptuyến tính duy nhất của {Q0(x), Q1(x), , Qn(x)}

Mệnh đề 2.4 Trong L2[a; b] hai hệ đa thức trực giao chỉ sai khác nhaunhững thừa số hằng số

Chứng minh Gọi {P0(x), , Pn(x)} và {Q0(x), , Qn(x)} là hai hệ

đa thức trực giao trong L2[a; b]

Ta sẽ chỉ ra Pk(x) = αkQk(x), αk 6= 0∀k

Ta chứng minh khẳng định này bằng quy nạp theo k

k = 0, vì P0, Q0 là đa thức bậc 0 nên luôn tồn tại α0 6= 0: P0 = α0Q0

k = 1, ta có P1, Q1 là đa thức bậc 1 nên luôn tồn tại a 6= 0 và b saocho: P1 = aQ1 + b

Mệnh đề 2.5 Trong L2[a; b] cho hệ đa thức trực giao {Q0(x), , Qn(x)}.Khi đó, Qn(x) có đúng n nghiệm thực phân biệt trên [a; b].

Chứng minh Giả sử phản chứng rằng: trên [a; b], Qn(x) có k nghiệm

Mệnh đề 2.6 Trong L2[a; b] cho hệ đa thức trực giao {Qn(x)} Khi đó,tồn tại ai,j sao cho

Mệnh đề 2.7 Cho hệ đa thức trực giao {Q0(x), , Qn(x)} trong

L2[a; b] Khi đó, các nghiệm của Qn(x) và Qn−1(x) là xen kẽ nhau

Để chứng minh mệnh đề này ta cần bổ đề và hệ quả sau:

Bổ đề 2.1 Cho {Pk(x)}nk=0 là hệ đa thức trực chuẩn có hệ số cao nhất

Giả sử α và β là 2 nghiệm liên tiếp của Pk+1(x) Như vậy α, β

là hai nghiệm đơn liên tiếp của Pk+1(x) Từ đó suy ra signPk+10 (α) =

−signPk+10 (β) 6= 0 Kết hợp với hệ quả 2.3

2.3.3 Đa thức trực giao Jacobian

i(2.9)

Tính chất của đa thức trực giao Jacobian

1 Họ {Pnα,β(x)} là họ đa thức trực giao với hàm trọng

3 Phương trình vi phân

(1 − x2)Pα,β

n (x)00 + [β − α − (α + β + 2)x]Pα,β

n (x)0+n(α + β + n + 1)Pnα,β(x) = 0

Chứng minh

1 Ta chứng minh tính trực giao của các đa thức này

Trước hết, ta thấy Pnα,β(x) là đa thức nhờ khai triển Leibniz:

dxm

h(1 − x)α+m(1 + x)β+mi

dn

dxn

h(1 − x)α+n(1 + x)β+n

idx

Đạo hàm hai vế của (2.21) n + 1 lần ta được

(x2 − 1)u(n+2)+ 2(n + 1)xu(n+1) + (n + 1)nu(n) =

#

Pnα,β(x)

)

(2.20)

Thay (2.23), (2.24) và (2.20) vào (2.22) ta nhận được công thức

(1 − x2)Pα,β

n (x)00 + [β − α − (α + β + 2)x]Pα,β

n (x)0+n(α + β + n + 1)Pnα,β(x) = 0

Mặc dù là hệ đa thức trực giao nhưng hệ đa thức trực giao Jacobiantổng quát phức tạp, ít được vận dụng trong bài toán xấp xỉ hàm Người

ta thường sử dụng trường hợp đặc biệt của hệ đa thức này là hệ đa thứctrực giao Legendre

2.3.4 Đa thức trực giao Legendre

Tính chất của đa thức trực giao Legendre

1 Đa thức trực giao Legendre bậc chẵn chỉ chứa biến bậc chẵn

Đa thức trực giao Legendre bậc lẻ chỉ chứa biến bậc lẻ.

2 Chuẩn

kLn(x)k =

r2

(1 − x2)dLn(x)

⇒ kLn(x)k =

r22n + 1.

4 Xét u = (x2 − 1)n, ta có (x2 − 1)u0 = 2n.x.u.

Đạo hàm hai vế đẳng thức trên n + 1 lần, ta có

⇔ (x2 − 1)u(n+2)+ 2xu(n+1)− (n + 1)nu(n) = 0 (2.29)

mà

u(n+2) = 2nn!L00n(x); u(n+1) = 2nn!L0n(x); u(n) = 2nn!Ln(x) (2.30)

Thay (2.34) vào (2.33) ta có điều phải chứng minh

Xấp xỉ một hàm số bởi các đa thức trực giao Legendre trênđoạn [−1; 1]

Ví dụ 2.1 Xấp xỉ trung bình bình phương hàm số f (x) = 3xtrên [−1; 1]bằng đa thức đại số. .. 0.2206990321x3+0.06410480778x4 + 0.01397425472x5

Ví dụ 2.2 Xấp xỉ trung bình bình phương hàm số f (x) = |x| trên[−1; 1] đa thức đại số bậc

5

P

i=0...

Mệnh đề 2.4 Trong L2[a; b] hai hệ đa thức trực giao sai khác nhaunhững thừa số số

Chứng minh Gọi {P0(x), , Pn(x)} {Q0(x), , Qn(x)}