MỘT HƯỚNG mở RỘNG ĐỊNH lí về sự tồn tại VECTOR RIÊNG của TOÁN tử lõm TRONG KHÔNG GIAN BANACH THỰC nửa sắp THỨ tự

Với mong muốn mở rộng các kết quả tương ứng đối với toán tử lõm trongkhông gian Banach thực nửa sắp thứ tự, dưới sự hướng dẫn tận tình củathầy giáo, PGS.. GVCC Nguyễn Phụ Hy, tôi đã chọn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN PHỤ HY

HÀ NỘI, 2014

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sựhướng dẫn của PGS TS Nguyễn Phụ Hy Tác giả xin được gửi lời cảm

ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, PGS TS NguyễnPhụ Hy

Đồng thời, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòngSau đại học, các Thầy, Cô của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đãgiúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình họctập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Tác giả

Đào Thị Tươi

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫncủa PGS TS Nguyễn Phụ Hy

Trong khi hoàn thiện luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Tác giả

Đào Thị Tươi

Mở đầu 1

1 Không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự 4

1.1 Khái niệm không gian định chuẩn thực 4

1.2 Khái niệm nón trong không gian định chuẩn thực 8

1.3 Quan hệ thứ tự trên không gian định chuẩn thực 12

1.4 Các phần tử thông ước 16

1.5 Một số nón đặc biệt 18

1.6 Phần tử u0 - đo được Không gian Eu0 20

1.7 Không gian định chuẩn thực M [a; b] 24

1.7.1 Định nghĩa không gian M [a; b] và một số tính chất quan trọng 24

1.7.2 Nón và quan hệ thứ tự trong không gian M [a; b] 28 1.7.3 Các phần tử thông ước trong M [a; b] 35

1.7.4 Không gian M [a; b]u0 37

2 Mở rộng định lí tồn tại vector riêng của toán tử lõm

iii

trong không gian Banach nửa sắp thứ tự 392.1 Khái niệm toán tử lõm 392.1.1 Một số định nghĩa [2,3] 392.1.2 Một số tính chất đơn giản của toán tử lõm 402.2 Toán tử lõm trên không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

M [a; b] 462.3 Mở rộng định lí về sự tồn tại vector riêng của toán tử lõm 482.3.1 Định lí 492.3.2 Áp dụng 54

Luận văn sử dụng những kí hiệu với ý nghĩa xác định trong bảng dướiđây:

M [a; b] Tập tất cả hàm số thực bị chặn trên [a, b]

1 Lý do chọn đề tài

Nhiều vấn đề của toán học, vật lí, kĩ thuật dẫn đến việc xét phươngtrình:

Ax − λx = 0 (1),trong đó A là một toán tử tác dụng trong một không gian X nào đó,

x ∈ X là phần tử phải tìm, tham số λ ∈ R Phần tử x 6= θ thỏa mãn (1)gọi là vector riêng của toán tử A, λ là giá trị riêng tương ứng với vectorriêng x

Nhiều nhà toán học nghiên cứu về phổ và vector riêng của toán tử trongcác không gian hàm Nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki M A

đã nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến - Toán tử lõm Sau đó, năm 1984,Bakhtin I A [7] đã mở rộng các kết quả cho lớp toán tử phi tuyến(K, u0)- lõm

Năm 1987, PGS TS Nguyễn Phụ Hy [2] đã xây dựng khái niệm toán

tử lõm chính quy và sự mở rộng các định lí quan trọng về vector riêngđối với toán tử cho toán tử lõm chính quy

Với mong muốn mở rộng các kết quả tương ứng đối với toán tử lõm trongkhông gian Banach thực nửa sắp thứ tự, dưới sự hướng dẫn tận tình củathầy giáo, PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy, tôi đã chọn đề tài:

“ Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại vector riêngcủa toán tử lõm trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự ”Trong các công trình nghiên cứu, các bài báo nêu trong mục tài liệu

tham khảo từ [1] đến [9], khi mở rộng định lí về sự tồn tại vector riêngcủa toán tử lõm trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự, các tácgiả thường bổ sung các điều kiện phù hợp đối với các toán tử, còn đề tàinày mở rộng theo hướng bổ sung các điều kiện cho nón.

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn “ Một hướng mở rộng định lí tồn tại vector riêng của toán tửlõm trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự ” nhằm đưa ra đượcmột số tính chất của toán tử lõm trong không gian Banach thực nửa sắpthứ tự và mở rộng một định lí về sự tồn tại của vector riêng của toán tửlõm

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích đã nêu trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:

+ Nghiên cứu một số tính chất của không gian định chuẩn thực nửasắp thứ tự

+ Nghiên cứu một số tính chất của toán tử lõm trong không gianBanach thực nửa sắp thứ tự

+ Nghiên cứu sự tồn tại vector riêng của toán tử lõm trong khônggian Banach thực nửa sắp thứ tự

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Toán tử lõm

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng phương pháp giải tích hàm và toán tử lõm nghiên cứu tàiliệu và áp dụng kết quả nghiên cứu vào một không gian hàm cụ thể;+ Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất;

+ Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

+ Trình bày một cách có hệ thống về toán tử lõm và các tính chất củatoán tử lõm

+ Mở rộng một định lí về sự tồn tại của vector riêng của toán tử lõmtrong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự bằng cách bổ sung điềukiện phù hợp cho nón

+ Áp dụng các kết quả vào không gian M [a; b]

Không gian định chuẩn thực nửa

sắp thứ tự

Định nghĩa 1.1.1 (Không gian định chuẩn thực)

Một không gian định chuẩn thực là một không gian vectơ thực E cùngvới một ánh xạ E → R, được gọi là chuẩn và kí hiệu k.k, thỏa mãn cácđiều kiện:

i) kxk ≥ 0, ∀x ∈ E và kxk = 0 nếu và chỉ nếu x = θ, với θ là phần tửkhông của không gian E;

ii) kαxk = |α| kxk, ∀x ∈ E và ∀α ∈ R;

iii) kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀x, y ∈ E

Số kxk được gọi là chuẩn của vector x

Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn tương ứng là E

Các tiên đề i), ii), iii) gọi là các hệ tiên đề chuẩn

Định nghĩa 1.1.2 (Dãy hội tụ)

4

Dãy điểm (xn)∞n=1 của không gian định chuẩn thực E được gọi là hội tụtới điểm x ∈ E nếu lim

n→∞kxn− xk = 0 hay với mỗi ε > 0, tồn tại một số

n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 ta có

kxn − xk < ε

Định nghĩa 1.1.3 (Dãy cơ bản)

Một dãy điểm (xn)∞n=1 trong không gian định chuẩn được gọi là dãy cơbản nếu lim

n,m→∞kxn− xmk = 0 hay với mỗi ε > 0, tồn tại một số n0 ∈ N∗sao cho ∀n, m > n0 ta có

kxn − xmk < ε

Định nghĩa 1.1.4 (Không gian Banach)

Một không gian định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu mọidãy cơ bản trong E đều hội tụ

n→∞(xn + yn) = x + y,

limn→∞αnxn = αx,nghĩa là, các phép toán cộng hai phần tử trong E và nhân một phần tửcủa E với một số thực là liên tục.

Chứng minh Do xn → x khi n → ∞, yn → y khi n → ∞ trong khônggian E, nên ta có

Khi đó, ∀ε > 0 tồn tại một số n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 ta có

kxn − xk < ε

2,

kxn− yk < ε

2.Theo tiên đề iii) của định nghĩa 1.1.1 ta có

kxk − kyk ≤ kx − yk Đổi vai trò của x, y ta lại có

hay kxnk → kxk khi n → ∞

Định lý 1.1.4 Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm(xn)∞n=1 hội tụ thì dãy chuẩn (kxnk)∞n=1 bị chặn.

Chứng minh Giả sử xn → x khi n → ∞ trong không gian E, theo định

lí 1.1.3 ta có kxnk → kxk khi n → ∞, do đó tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho

Định nghĩa 1.2.1 (Khái niệm nón )

Giả sử E là không gian định chuẩn thực, K là tập con khác rỗng trongkhông gian E Tập K được gọi là một nón, nếu K thỏa mãn các điềukiện sau:

i) K là một tập con đóng trong không gian E;

ii) (∀x, y ∈ K) x + y ∈ K;

iii) (∀x ∈ K) (∀t ∈ R+) tx ∈ K;

iv) (∀x ∈ K \ {θ}) − x /∈ K ( θ là phần tử không của không gian E).Định lý 1.2.1 Nếu K là một nón trong không gian định chuẩn thực Ethì θ ∈ K và K là tập lồi

Chứng minh Thật vậy:

∀x ∈ K, ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta có tx ∈ K do đó với t = 0 ta có

tx = 0x = θ ∈ K

∀x, y ∈ K, ∀t ∈ [0, 1] ta có tx ∈ K, (1 − t) y ∈ K nên tx + (1 − t)y ∈ K.

Định lý 1.2.2 Giao của hai nón trong không gian định chuẩn thực Echứa ít nhất hai phần tử là một nón trong không gian định chuẩn E

Chứng minh Giả sử K và H là hai nón trong không gian E sao cho

K ∩ H chứa ít nhất hai phần tử Ta phải chứng minh K ∩ H là một nóntrong không gian E

Định lý 1.2.3 Giả sử M là một tập con khác rỗng của không gian địnhchuẩn E thỏa mãn các điều kiện: đóng, lồi, bị chặn và không chứa phần

tử không của không gian E

Khi đó tập K(M ) = {x ∈ E : x = tz, t ≥ 0, z ∈ M } là một nón trongkhông gian E

||z|| = 0 , theo tính chất cận dưới đúng của dãy số thực thì

∃(zn)∞n=1 ⊂ M sao cho lim

n→∞kznk = 0

Nên dãy (zn)∞n=1 hội tụ tới phần tử không θ trong không gian E, M làtập đóng, suy ra θ ∈ M , điều này mâu thuẫn với tính chất của tập Mkhông chứa phần tử θ Do đó (∃α > 0)(∀z ∈ M ) kzk ≥ α

Ta đã chứng minh được tồn tại các số dương α, β sao cho

(∀z ∈ M )α ≤ kzk ≤ β

*)Tiếp theo, ta chứng minh K(M ) là tập đóng

Giả sử dãy (un)∞n=1 ⊂ K(M ) hội tụ tới phần tử v trong không gian E.Nếu v là phần tử không, thì hiển nhiên v ∈ K(M ), vì θ = 0.z, z ∈ M

Ta xét trường hợp v 6= θ, nghĩa là kvk > 0 Khi đó,

(∃n0 ∈ N∗)(∀n ≥ n0) kun − vk < 1

2kvk

⇒ |kunk − kvk| < 1

2kvk , ∀n ≥ n0

Vậy, K(M ) là tập đóng.

*) Giả sử u, v ∈ K(M ) và α0 ≥ 0, β0 ≥ 0 ta chứng minh α0u + β0v ∈K(M )

Do M là tập lồi nên biểu thức trong ngoặc vuông thuộc M và α0t1+β0t2 >

0 nên α0u + β0v ∈ K(M )

Vì vậy, α0u + β0v ∈ K(M ), ∀α0 ≥ 0, ∀β0 ≥ 0

Vậy, K(M ) là nón trong không gian E.

*) Với x, y ∈ K sao cho x ≤ y và y ≤ x thì y − x ∈ K và x − y ∈ K

Do y − x = −(x − y), nên nếu x − y 6= θ thì mâu thuẫn với điều kiện iv)của định nghĩa 1.2.1 Do đó, x − y = θ ⇔ x = y

*) Với x, y, z ∈ K sao cho x ≤ y và y ≤ z thì y − x ∈ K và z − y ∈ K

Do z − x = (z − y) + (y − x) ∈ K nên x ≤ z

Định nghĩa 1.3.2 (Không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự)

Không gian định chuẩn thực E cùng với quan hệ sắp thứ tự “ ≤ ” trêngọi là không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự theo nón K (hay sắp thứ

λy − λx = λ(y − x) ∈ K ⇒ λx ≤ λy

−λx − (−λ)y = −λx + λy = λ(y − x) ∈ K ⇒ −λy ≤ −λx

Định lý 1.3.3 Nếu với mọi (xn)∞n=1 ⊂ E, (yn)∞n=1 ⊂ E, xn ≤ yn, ∀ n =

1, 2, 3

limn→∞xn = x, lim

Định lý 1.3.5 Giả sử u0 ∈ K, x0 ∈ K sao cho ∃µ0 ∈ R, x0 ≤ µ0u0.Khi đó, tồn tại số thực nhỏ nhất α sao cho x0 ≤ αu0.

Chứng minh Xét ánh xạ

f : R −→ K

µ 7−→ f (µ) = µu0 − x0

Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một

số với một phần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục Từ đó

và từ tính đóng của nón K trong không gian E suy ra f−1(K) là tậpđóng trong không gian R Hiển nhiên, µ0 ∈ f−1(K)

Giả sử inf f−1(K) = −∞ Khi đó ∃(µn)∞n=1 ⊂ f−1(K),

Do đó inf f−1(K) = α > −∞

Do f−1(K) là tập đóng, nên α ∈ f−1(K), nghĩa là α = min f−1(K)

Vì vậy, ∃ α nhỏ nhất sao cho αu0 − x0 ∈ K hay x0 ≤ αu0

Định nghĩa 1.3.3 (Dãy đơn điệu)

- Dãy (xn)∞n=1 ⊂ E gọi là dãy không giảm, nếu:

Định nghĩa 1.3.5 (Cận trên đúng, cận dưới đúng)

- Phần tử x∗ ∈ E gọi là cận trên đúng của tập A ⊂ E, nếu :

i) ∀x ∈ A, x ≤ x∗;

ii) (∃u ∈ E)(∀x ∈ A)x ≤ u, thì x∗ ≤ u

Khi đó, kí hiệu x∗ = supA

- Phần tử y∗ ∈ E gọi là cận dưới đúng của tập B ⊂ E, nếu :

i) ∀y ∈ B, y∗ ≤ y;

ii) Nếu (∃v ∈ E)(∀x ∈ B)x ≥ v, thì v ≤ y∗

Khi đó, kí hiệu y∗ = inf B

1.4 Các phần tử thông ước

Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón

K ⊂ E

Định nghĩa 1.4.1 (Các phần tử thông ước)

Cho K là một nón trong không gian định chuẩn thực E

Với x, y ∈ E ta nói x thông ước với y nếu tồn tại số α(x) > 0, β(x) > 0sao cho

Định lý 1.4.2 Nếu hai phần tử x, y ∈ E cùng thông ước với phần tử

z ∈ E thì x và y thông ước với nhau

Chứng minh Giả sử hai phần tử x, y ∈ E cùng thông ước với phần tửthứ ba z ∈ E

Khi đó, tồn tại các số dương α, β, λ, γ sao cho :

α.z ≤ x ≤ β.z,λ.z ≤ y ≤ γ.z

Giả sử H là nón trong không gian E, u0 ∈ H \ {θ}.

Kí hiệu H(u0) là tập tất cả các phần tử thông ước với u0

Định lý 1.4.3 Tập hợp H(u0) là tập lồi

Chứng minh Với x ∈ H(u0), y ∈ H(u0), t ∈ [0; 1] Vì x, y thông ước với

u0 nên tồn tại các số dương α1, β1, α2, β2 sao cho:

α1.u0 ≤ x ≤ β1.u0,

α2.u0 ≤ y ≤ β2.u0.Suy ra

t.α1.u0 ≤ tx ≤ t.β1.u0,(1 − t)α2.u0 ≤ (1 − t)y ≤ (1 − t)β2.u0.Suy ra

(t.α1 + (1 − t)α2).u0 ≤ tx + (1 − t)y ≤ (β1 + (1 − t)β2)u0

Hiển nhiên, tα1 + (1 − t)α2, β1 + (1 − t)β2 là các số dương

Suy ra tx + (1 − t)y ∈ H(u0),

hay H(u0) là tập lồi

Định lý 1.4.4 Nếu u0 ∈ K \ {θ} thì H(u0) ⊂ K \ {θ}

Chứng minh x ∈ H(u0) khi đó ∃α > 0, β > 0 sao cho

H là nón chuẩn tắc khi và chỉ khi H thỏa mãn điều kiện:

Điều kiện cần: Giả sử H là nón chuẩn tắc, nhưng điều kiện (1.1) khôngxảy ra, nghĩa là

1.6 Phần tử u0 - đo được Không gian Eu0

Định nghĩa 1.6.1 (Phần tử u0 - đo được)

Giả sử E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K,

u0 ∈ K \ {θ}

Phần tử x ∈ E được gọi là u0 - đo được nếu tồn tại số dương t sao cho

−tu0 ≤ x ≤ tu0.Tập hợp tất cả các phần tử u0 - đo được trong E kí hiệu là Eu0

Định lý 1.6.1 Cho E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tựtheo nón K, u0 ∈ K \ {θ} Khi đó, Eu là một không gian tuyến tính

Chứng minh Ta có E là không gian tuyến tính thực và Eu0 ⊂ E, do vậy

để chứng minh định lí ta chỉ cần chứng minh Eu0 là không gian tuyếntính con của E

Thật vậy,

*) ∀t > 0 ta có −tu0 ≤ θ ≤ tu0 suy ra θ ∈ Eu0 Hay Eu0 6= φ

*) ∀x, y ∈ Eu0 ta có x + y ∈ Eu0 Thật vậy, vì x, y ∈ Eu0 nên tồn tại các

*) ∀x ∈ Eu0, ∀α ∈ R ta có αx ∈ Eu 0

Thật vậy, vì x ∈ Eu0 nên tồn tại số dương t sao cho −tu0 ≤ x ≤ tu0.Nếu α ≥ 0 thì −tαu0 ≤ αx ≤ tαu0 Do đó αx ∈ Eu0

Nếu α < 0 thì −α > 0 nên −t(−α)u0 ≤ (−α)x ≤ t(−α)u0,

hay −[t(−α)]u0 ≤ (−α)x ≤ t(−α)u0

kxku

0 = inf {t > 0 : −tu0 ≤ x ≤ tu0} (1.3)Chứng minh Theo định lí 1.6.1 ta có Eu0 là không gian tuyến tính thực

Ta chứng minh hệ thức (1.3) thỏa mãn các tiên đề về chuẩn

*) Hiển nhiên với mọi x ∈ Eu0 ta có kxku

Nếu kxku

0 = 0 ⇔ inf {t > 0 : −tu0 ≤ x ≤ tu0} = 0 thì tồn tại một dãy

số dương tn hội tụ tới 0 khi n → ∞ sao cho

−tnu0 ≤ x ≤ tnu0, ∀n = 1, 2, (1.4)

Từ (1.4) cho n → ∞ ta có θ ≤ x ≤ θ Vì vậy x = θ

Ngược lại, nếu x = θ thì kxku

0 = inf {t > 0 : −tu0 ≤ θ ≤ tu0} = 0.Vậy kxku

0 = 0 ⇔ x = θ Tiên đề i) về chuẩn được thỏa mãn

*)∀x ∈ Eu0, ∀α ∈ R ta có kαxku0 = |α| kxku

0 Thật vậy,Nếu α = 0 thì k0.xku

0 = kθku

0 = 0 = 0 kxku

0;Nếu α > 0 thì :

*) ∀x, y ∈ Eu0 thì kx + yku

0 ≤ kxku

0 + kyku

0 Thật vậy,Với x ∈ Eu0, nên với mỗi n ∈ N∗ tồn tại số dương tn sao cho:

−tnu0 ≤ x ≤ tnu0 và tn < kxku

n,

với y ∈ Eu0, nên với mỗi n ∈ N∗ tồn tại số dương t0n sao cho:

0 ≤ kxku

0 + kyku

0.Tiên đề iii) về chuẩn được thỏa mãn

Như vậy, công thức (1.3) xác định một chuẩn trên Eu0, nên Eu0 là khônggian định chuẩn với chuẩn (1.3)

Chuẩn (1.3) thường được gọi là u0 - chuẩn

Định lý 1.6.3 Nếu K là nón chuẩn tắc trong không gian Banach E thìkhông gian Eu0 là không gian Banach theo u0 - chuẩn

Chứng minh Giả sử (xn)∞n=1 là một dãy cơ bản trong không gian Eu0theo u0 - chuẩn, nghĩa là:

Vậy, Eu0 là không gian Banach theo u0 - chuẩn.

1.7 Không gian định chuẩn thực M [a; b]

1.7.1 Định nghĩa không gian M [a; b] và một số tính chất quan

trọng

Định nghĩa 1.7.1 (Không gian M [a; b])

Tập hợp

M [a; b] = {x : [a; b] −→ R | (∃ αx  R∗+)(∀t ∈ [a; b]) |x(t)| ≤ αx}

cùng với hai phép toán thông thường được xác định như sau:

i)(∀x, y ∈ M [a; b]) (∀t ∈ [a; b]) (x + y) (t) = x(t) + y(t);

ii)(∀x ∈ M [a; b])(∀λ ∈ R)(∀t ∈ [a; b])(λx)(t) = λ.x(t)

là một không gian tuyến tính thực

Chứng minh Trước hết ta chứng minh hai phép toán xây dựng trên

đóng kín trong M [a; b].

(∀x ∈ M [a; b]), ∃ αx > 0 sao cho |x(t)| ≤ αx,

(∀y ∈ M [a; b]), ∃ βy > 0 sao cho |y(t)| ≤ βy

Ta có: |(x + y)(t)| = |x(t) + y(t)| ≤ |x(t)| + |y(t)| ≤ αx+ βy, ∀t ∈ [a; b].Nên x + y ∈ M [a; b]

(∀x ∈ M [a; b])(∀α ∈ R), ∃ Mx > 0 sao cho |x(t)| ≤ Mx, ∀t ∈ [a; b]

vô hướng xác định ở trên.

Ta kí hiệu không gian vector nhận được là M [a; b] và phần tử không củakhông gian đó là θ

Định lý 1.7.1 Không gian vector thực M [a; b] cùng với ánh xạ:

k.k : M [a; b] 7→ R

x 7→ kxk = sup

a≤t≤b

|x(t)| (1.2)

là không gian định chuẩn thực

Chứng minh Vì x(t) bị chặn trên [a; b] nên tồn tại sup

a≤t≤b

|x(t)| Do đóánh xạ (1.2) hoàn toàn xác định

Ta kiểm tra ba tiên đề của chuẩn đối với chuẩn trên

Vậy M [a; b] là không gian định chuẩn với chuẩn (1.2)

Ta kí hiệu không gian định chuẩn thực nhận được là M [a; b]