Một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ VÂN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ VÂN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI, 2014

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng Sự giúp đỡ,hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiệnluận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếpcận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâusắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, vàcác thầy cô giáo dạy chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiệnthuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cám ơn gia đình, người thân, bạn bè, đãgiúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa họcThạc sĩ, và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 10 tháng 1 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Vân

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừanhững thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sựtrân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trongluận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 16 tháng 9 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Vân

Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị 1

1.1 Không gian metric 1

1.2 Phương trình vi phân thường 3

1.2.1 Khái niệm 3

1.2.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 5

2 Áp dụng phương pháp lặp giải một số phương trình phi tuyến 10 2.1 Định lý điểm bất động trong không gian Banach 11

2.2 Ứng dụng các phương pháp lặp 15

2.2.1 Phương trình phi tuyến 15

2.2.2 Hệ tuyến tính 16

2.2.3 Phương trình tích phân tuyến tính và phi tuyến 19

2.2.4 Phương trình vi phân thường trong không gian Banach 24 2.3 Vi phân của toán tử phi tuyến 25

2.3.1 Đạo hàm Frechet và Gauteaux 26

2.3.2 Định lý giá trị trung bình 31

2.3.3 Đạo hàm riêng 33

2.3.4 Đạo hàm Gateaux và cực tiểu lồi 34

2.4 Phương pháp Newton 37

2.4.1 Phương pháp Newton trong không gian Banach 38

2.4.2 Ứng dụng 41

2.5 Các trường vectơ hoàn toàn liên tục 44

2.6 Phương pháp liên hợp gradient cho phương trình phi tuyến 48 2.7 Phương pháp Euler, Euler cải tiến, và Runge- Kutta 56

2.8 Phương pháp Kantorovich 60

3 Ứng dụng 64 3.1 Giới thiệu phần mềm Maple 64

3.1.1 Maple 64

3.1.2 Chức năng cốt lõi 64

3.2 Giải một số phương trình bằng phần mềm Maple 65

BẢNG KÝ HIỆULuận văn sử dụng những kí hiệu với nghĩa xác định trong bảng dưới đây:

C Tập số phứcC[a; b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a,b]

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cách giải một số phương trình phi tuyến nhờ áp dụngphương pháp lặp Phân tích sự hội tụ của các phương pháp Nêu cácứng dụng của các phương pháp

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Hệ thống một số phương pháp lặp: phương pháp Newton, phươngpháp Euler, phương pháp Runge-Kutta, phương pháp Kantorovich.Ứng dụng giải số một số phương trình trên máy tính

5 Những đóng góp mới của đề tài

Đề tài nghiên cứu một cách có hệ thống một số phương pháp lặp giảiphương trình phi tuyến Nêu lên các ứng dụng của các phương phápnày vào giải một số phương trình vi phân phi tuyến

6 Phương pháp nghiên cứu

Vận dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, giải tích hàm, giải tích

số và lập trình máy tính

Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1 [2] Cho tập X 6= ∅ Một ánh xạ d đi từ X × X vào Rđược gọi là một metric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:(i) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y

(ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X (tính chất đối xứng)

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác).Nếu d là metric trên X thì (X, d) là không gian metric

Nếu d là metric trên X thì nó cũng thỏa mãn tính chất sau

Định nghĩa 1.3 [2] Cho T là một ánh xạ từ tập X vào chính nó Ánh xạ

T được gọi là có điểm bất động nếu tồn tại x0 ∈ X, sao cho T (x0) = x0

Định nghĩa 1.4 [2] Một dãy điểm {xn} trong không gian metric (X, d)được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu ∀ε > 0, ∃n(ε) ∈ N∗ :d(xm, xn) < ε, ∀m, n ≥ n(ε)

Định nghĩa 1.5 [1] Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọidãy cơ bản trong X đều hội tụ đến một phần tử của X

Định lý 1.6 [1] Mọi tập đóng trong không gian metric đầy đủ là mộtkhông gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.7 [1] Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào chính nóđược gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số α ∈ [0, 1) sao cho:

d(T x, T y) ≤ αd(x, y) với mọi x, y ∈ X

Định lý 1.8 [1](Nguyên lý ánh xạ co Banach)

Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và T là một ánh xạ co trên

X Khi đó tồn tại duy nhất u ∈ X sao cho T (u) = u Ngoài ra với mọi

Vì vậy T (u) = u hay u là điểm bất động của ánh xạ T

Vậy với mỗi x ∈ X dãy {Tn(x)} tồn tại giới hạn và Tn(x) → u khi n → ∞.Tính duy nhất : Giả sử T có hai điểm bất động x0, y0; T (x0) = x0, T (y0) =

Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là hàm nhiều biến (xuất hiện cácđạo hàm riêng) thì phương trình vi phân còn được gọi là phương trình đạohàm riêng Để phân biệt người ta thường gọi phương trình với ẩn hàm làhàm một biến là phương trình vi phân thường

Thông thường, ta xét các phương trình với ẩn hàm là hàm số mộtbiến thực y = y(x), xác định trên khoảng mở I ⊂ R Khi đó, hàm F trongđẳng thức trên xác định trong một tập mở G của R × Rn+1 Trong trườnghợp ẩn hàm cần tìm là hàm vector y(x) = (y1(x), , ym(x))T, F là một

ánh xạ nhận giá trị trong Rm và (1.1) là hệ phương trình vi phân.

Ta nói phương trình vi phân có cấp n nếu n là cấp lớn nhất của đạohàm của ẩn xuất hiện trong phương trình

Phương trình vi phân thường cấp 1 có dạng tổng quát

F (x, y, y0) = 0, (1.2)trong đó F (x, y, y0) được giả thiết liên tục cùng với các đạo hàm riêng của

nó trên miền G ⊂ R3 Với một số giả thiết thích hợp, phương trình vi phâncấp 1 có thể được viết dưới dạng sau (gọi là dạng giải ra được đối với đạohàm)

y0 = f (x, y), (1.3)với f liên tục trong miền D ⊂ R2

Xét phương trình (1.1) Hàm giá trị vector φ : I → Rn (với I = (a, b)

là một khoảng nào đó của R) là nghiệm của (1.1) nếu nó có các đạo hàmliên tục đến cấp n trên I và thỏa mãn

F (x, φ(x), φ0(x), φ00(x), φ(n)(x)) = 0 với ∀x ∈ I (1.4)Trong trường hợp phương trình vi phân cấp 1, nghiệm là một hàmthực một biến y = φ(x) mà khi thay vào (1.2) hoặc (1.3) ta được một đẳngthức đúng

1.2.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Bài toán Cauchy

Ta nhận thấy rằng nghiệm của phương trình vi phân phụ thuộc vàomột hay nhiều hằng số tùy ý nào đó Để xác định nghiệm cụ thể, ta cầnthêm một hay vài dữ kiện nào đó về nghiệm (tùy thuộc vào cấp của phươngtrình vi phân) Chẳng hạn: y = x

(1.5)

trong đó (x0, y0) ∈ D được gọi là điều kiện ban đầu

Câu hỏi đặt ra là bài toán có hay không và có bao nhiêu lời giải Talưu ý rằng không phải lúc nào bài toán Cauchy cũng có nghiệm và khi cónghiệm cũng không nhất thiết có duy nhất nghiệm Chẳng hạn, bài toán

y0 = x2, y(0) = 0 có nghiệm duy nhất là y = x

3

3 ; bài toán xy

0 = y, y(0) = 1không có nghiệm nào; còn bài toán y0 = y13, y(0) = 0 có ít nhất hai nghiệm

là y = 0; y2 = 8

27x

3

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Định nghĩa 1.9 [7] Cho hàm f xác định trên miền D ⊂ R2 Ta nói fthỏa mãn điều kiện Lipchitz theo biến y trên D nếu tồn tại hằng số dương

L (gọi là hằng số Lipschitz) sao cho

|f (x, y1) − f (x, y2)| ≤ L|y1 − y2| với ∀(x, y1), (x, y2) ∈ D

Định lý 1.10 [7](Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm)

Giả sử hàm f trong (1.5) liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitztheo biến y trên hình chữ nhật

Z x

x 0

f (t, y0(t))dt

≤ M |x − x0| Bấtđẳng thức này đúng

Giả sử ta có điều đó với k − 1, khi đó với x0 ≤ x ≤ x0 + h, ta có

|yk+1(x) − yk(x)| =

Z x

x 0

[f (t, yk(t)) − f (t, yk−1(t))]dt

... phương pháp lặp giải một< /h2>

số phương trình phi tuyến< /h2>

Giải tích hàm phi tuyến nghiên cứu tốn tử khơng có tính tuyếntính Trong đề tài này, ta xét phương trình tốn tử phi. .. u), f (x) cho, gọi phương trình tích phânHammerstein Phương trình loại xuất xây dựng toán giátrị biên phương trình vi phân phi tuyến thường.

Một phương trình tích phân phi tuyến khác khơng... (2.21)với n = 1, 2, dùng để giải (2.19)

Phương trình tích phân phi tuyến loại hai

Ta xét số phương trình tích phân phi tuyến loại thường thấy .Phương trình

u(x) = µ

Z