Điểm bất động của toán tử d cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2BÙI THỊ THANH DUNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ d - CỰC TRỊ TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH THỰC VỚI HAI NÓN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THỊ THANH DUNG

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN

TỬ d - CỰC TRỊ TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH

THỰC VỚI HAI NÓN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THỊ THANH DUNG

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN

TỬ d - CỰC TRỊ TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH

THỰC VỚI HAI NÓN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02Người hướng dẫn: PGS.TS.GVCC NGUYỄN PHỤ HY

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2014

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy Tôixin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS.GVCC NguyễnPhụ Hy người đã luôn động viên, quan tâm và tận tình hướng dẫn tôitrong quá trình thực hiện luận văn này

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học,cùng các thầy giáo, cô giáo của trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đãgiúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập,nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình cùng cácbạn học viên lớp cao học K16-Toán giải tích trường Đại Học Sư Phạm

Hà Nội 2 đã giúp đỡ, động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình họctập, nghiên cứu

Do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏinhững thiếu sót Rất mong được sự góp ý của các Thầy giáo, cô giáo vàcác bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 7 năm 2014

Học viên

Bùi Thị Thanh Dung

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy Trong quá trìnhnghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà toán học với

sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2014

Học viên

Bùi Thị Thanh Dung

Mục lục

1.1 Không gian Banach thực [4,7] 10

1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự [9,10] 11

1.2.1 Định nghĩa nón và tính chất 11

1.2.2 Quan hệ thứ tự trong không gian Banach thực 14

1.2.3 Phần tử u0 - đo được và không gian Eu0 17

1.2.4 Phần tử thông ước và tập K(u0) 25

1.3 Không gian lp (p > 1) 27

1.3.1 Không gian tuyến tính thực lp 27

1.3.2 Không gian Banach lp(p ∈ R, p > 1) 30

1.3.3 Quan hệ thứ tự trong không gian lp 34

1.3.4 Phần tử u0 - đo được và không gian Eu0 trong không gian lp 36

1.3.5 Phần tử thông ước và tập K(u0) 37

2 Toán tử d - cực trị trong không gian Banach thực với hai

2.1 Toán tử d - cực trị trong không gian Banach thực với hai

nón 392.1.1 Định nghĩa và tính chất đơn giản 392.1.2 Toán tử d - cực trị trong không gian lp với hai nón 432.2 Toán tử (K, u0) - lõm chính qui trong không gian Banach

thực với hai nón 482.2.1 Định nghĩa và tính chất đơn giản 482.2.2 Toán tử (K, u0) - lõm chính qui trong không gian lp 53

3 Sự tồn tại điểm bất động của toán tử d - cực trị trongkhông gian Banach thực nửa sắp thứ tự với hai nón 553.1 Định lý 553.2 Áp dụng 58

Bảng ký hiệu và viết tắt

: Tập các số thực

Số k x k: Chuẩn của véctơ x

X: Là không gian định chuẩn

E: Không gian Banach thực

Eu0: Tập hợp tất cả các phần tử u0- đo được của không gian E

K(u0): Tập hợp tất cả các phần tử thuộc E thông ước với phần tử

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Nhiều vấn đề của toán học và khoa học kỹ thuật dẫn đến việc nghiêncứu sự tồn tại điểm bất động của toán tử nói chung và toán tử d - cựctrị nói riêng tác dụng trong không gian Banach với hai nón Chính vìvậy mà bài toán này đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâmnghiên cứu

Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnoxelxki đã nghiên cứu lớptoán tử phi tuyến: toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thựcvới một nón cố định, và mở rộng cho toán tử lõm tác dụng trong khônggian Banach thực với hai nón cố định, trong đó một nón là tập con củanón kia [9]

Nhà toán học Nga Y.A Bakhtin đã mở rộng các kết quả của các côngtrình [8,9] cho các lớp toán tử phi tuyến (K, u0) - lõm tác dụng trongkhông gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau khác rỗng [10].Các lớp toán tử được các nhà toán học Kraxnoxelxki và Bakhtinnghiên cứu đều có chung tính chất u0 - đo được

Năm 1987, PGS-TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng các kết quả đối với lớptoán tử lõm cho một lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm chính quy,trong đó không yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo được [1,2,5,6].Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ

sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của PGS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy tôi

đã mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài:"Điểm bất động của toán tử d - cựctrị tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón", trong đó toán

tử được xét vừa có tính chất (K, u0) - lõm chính qui vừa có tính chất

d - cực trị trong không gian Banach với hai nón cố định, một nón Kgồm các phần tử dương (không gian được sắp thứ tự theo nón đó) cònnón kia nón H khác K và H ∩ K\{θ} 6= ∅ Còn toán tử được xét trong[7] có tính chất lõm chính qui và d - cực trị tác dụng trong không gianBanach với một nón cố định

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu một cách có hệ thống, chứng minh chitiết các kết quả đã đạt được về điểm bất động của toán tử d - cực trịtác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định, trong đókhông yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo được

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

- Tìm hiểu về toán tử d - cực trị

- Tìm hiểu về sự tồn tại điểm bất động của toán tử d - cực trị trongkhông gian Banach thực nửa sắp thứ tự với hai nón

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả vềtoán tử d - cực trị, sự tồn tại điểm bất động của toán tử d - cực trị trongkhông gian Banach thực nửa sắp thứ tự với hai nón

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước

liên quan đến điểm bất động của toán tử d - cực trị trong không gianBanach thực nửa sắp thứ tự với hai nón.

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập tài liệu và các bài báo về điểm bất động của toán tử d cực trị trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với hai nón

Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Những đóng góp của luận văn

Trình bày một cách có hệ thống những kiến thức về không gian Banachnửa sắp thứ tự, một số tính chất về điểm bất động và sự tồn tại điểmbất động của toán tử d - cực trị trong không gian Banach thực nửa sắpthứ tự với hai nón, các kết quả thu được có thể mở rộng cho một số lớptoán tử khác Áp dụng các kết quả đạt được trong không gian Banachthực tổng quát vào không gian Banach thực lp(p > 1) Luận văn có thể

sử dụng làm tài liệu cho những vấn đề toán học tương tự khác

1 (∀x ∈ X), k x k≥ 0, k x k= 0 ⇔ x = θ (phần tử không của khônggian X);

2 (∀x ∈ X), (∀α ∈ R), k αx k= |α| k x k;

3 (∀x, y ∈ X), k x + y k≤k x k + k y k;

Số k x k được gọi là chuẩn của vectơ x

Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn tương ứng là X

Các tiên đề 1, 2, 3 gọi là các hệ tiên đề về chuẩn

Định nghĩa 1.1.2

Dãy điểm (xn)∞n=1 của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới

Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bảntrong X đều hội tụ.

N1: K là tập đóng trong không gian E;

N2: Với x, y ∈ K ta có x + y ∈ K;

N3: Với x ∈ K, α ∈ R+ ta có αx ∈ K;

N4: Với x ∈ K, và x 6= θ ta có −x /∈ K, (θ là kí hiệu phần tửkhông);

Định lý 1.2.1 K là tập hợp lồi trong E

Chứng minh

∀x, y ∈ K, ∀t ∈ [0, 1] ta có :

theo N3,

(

tx ∈ K,(1 − t) ≥ 0 nên (1 − t)y ∈ K,

inf

z∈F k z k= 0thì ta tìm được một dãy (zn)∞n=1 trong F để

lim

n→∞ k zn k= 0 hay lim

n→∞zn = θtrong E, do F đóng nên θ ∈ F , trái giả thiết

Nên tồn tại m dương để m ≤k z k ∀z ∈ F Do F bị chặn, nên tồn tại

M dương để ∀z ∈ F, k z k≤ M Tiếp theo, ta chứng minh K(F ) là tậpđóng

Lấy một dãy bất kỳ (un)∞n=1 ⊂ K(F ) sao cho

lim

n→∞un = vtrong E

+) Nếu v = θ thì đương nhiên v ∈ K(F ), vì θ = 0.z với z bất kỳ thuộc

Với mọi u, v thuộc K(F ), mọi số thực không âm α, β.

Khi đó: u = t1z1, v = t2z2 với t1, t2 là các số thực không âm, z1, z2 thuộc

Giả sử tồn tại u0 ∈ K(F ), u0 6= θ mà −u0 ∈ K(F )

Ta có u0 = t1z1 trong đó z1 ∈ F , t1 > 0 và −u0 = t2z2 trong đó

Nón K gọi là đặc nếu K chứa điểm trong

1.2.2 Quan hệ thứ tự trong không gian Banach thực

Giả sử E là không gian Banach thực, K là một nón trong không gian

E Với hai phần tử x, y ∈ E ta viết x ≤ y, nếu y − x ∈ K

Định lý 1.2.3

Quan hệ "≤" là một quan hệ sắp thứ tự trong không gian E

Do đó, quan hệ "≤" là một quan hệ sắp thứ tự trong không gian Evới nón K 

Không gian E cùng với quan hệ "≤" gọi là không gian Banach nửasắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) theo nón K

Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự nói trên có một số tính chấtđơn giản sau:

Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một

số với một phần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục Từ đó

và từ tính đóng của nón K trong không gian E suy ra f−1(K) là tậpđóng trong không gian R Hiển nhiên, µ0 ∈ f−1(K)

Giả sử inf f−1(K) = −∞ Khi đó ∃(µn)∞n=1 ⊂ f−1(K),

Do đó inf f−1(K) = α > −∞

Do f−1(K) là tập đóng, nên α ∈ f−1(K), nghĩa là α = min f−1(K)

Vì vậy, ∃α nhỏ nhất sao cho αu0 − x0 ∈ K hay x0 ≤ αu0 

Tính chất 1.2.4

Giả sử có u0 ∈ K và x0 ∈ E sao cho ∃µ1 > 0 : x0 ≥ −µ1u0, thì tìm được

số thực µ dương nhỏ nhất sao cho x0 ≥ −βu0

Chứng minh

Vì x0 ∈ E ⇒ x0 ∈ E Khi đó, với u0 ∈ K:

∃µ1 > 0, x0 ≥ −µ1u0 ⇒ −x0 ≤ µ1u0.Theo tính chất 3, tồn tại số thực β nhỏ nhất sao cho −x0 ≤ βu0 hay tồn

1.2.3 Phần tử u0 - đo được và không gian Eu0

f liên tục nhờ tính liên tục của phép cộng hai vectơ và phép nhânvectơ với một số thực trên E.

Để chứng minh Eu0 là không gian tuyến tính thực ta chỉ cần chứng minh

Eu0 là không gian tuyến tính con của không gian E

+)∀x, y ∈ Eu0 ta chứng minh x + y ∈ Eu0

Do x, y ∈ Eu0 nên tồn tại các số thực dương t1, t2, t3, t4 sao cho

−t1u0 ≤ x ≤ t2u0 và − t3u0 ≤ y ≤ t4u0,

Nếu λ < 0 thì −λ > 0 và (−λ)(−t1)u0 ≤ −λx ≤ (−λ)t2u0

⇔ −(−λ)t2u0 ≤ λx ≤ (−λ)t1u0

Ta có:

inf(−λt2) = −λinft2 = −λβ(x),inf(−λt1) = −λinft1 = −λα(x),Suy ra

k λx ku0 = max{(−λ)β(x), (−λ)α(x)}

= (−λ)max{β(x), α(x)}

= (−λ) k x ku0= |λ| k x ku0 Tóm lại, ∀x ∈ Eu0, ∀λ ∈ R ta luôn có k λx ku 0= |λ| k x ku0

+) Với mọi x, y thuộc Eu0 ta sẽ chứng minh

k x + y ku0≤k x ku0 + k y ku0

Do x, y ∈ E ⇒ ∃t1, t2, t3, t4 ∈ R∗

+ : −t1u0 ≤ x ≤ t2u0, −t3u0 ≤ y ≤ t4u0,Suy ra −(t1 + t3)u0 ≤ x + y ≤ (t2 + t4)u0

Từ inf(t1 + t3) ≤ t1 + t3 ⇒ inf(t1 + t3) ≤ inft1 + inft3

Tương tự ta có: inf(t2 + t4) ≤ inft2 + inft4

Vậy công thức (1.4) xác định một chuẩn trong Eu0 

Không gian tuyến tính Eu0 cùng với chuẩn k ku

Giả sử nón K là nón chuẩn tắc, ta chứng minh

∃M > 0, ∀y ∈ K\{θ}, ∀x ∈ Ey sao cho

k x kE≤ M k x k y k y kE (1.5)Giả sử (1.5) không xảy ra, tức là (∀n ∈ N∗) (∃yn ∈ K\{θ}) (∃xn ∈ Eyn),sao cho

−t1yn ≤ xn ≤ t2yn (1.8)

Ta kí hiệu cận dưới đúng của các số không âm t1 thỏa mãn (1.8) là α(x),cận dưới đúng của của các số không âm t2 thỏa mãn (1.8) là β(x) Khi

k xn kE

E

−

gn

k gn kE