Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số

Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp runge kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến tính nhiều biến số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN TOÁN

SỰ KẾT HỢP CỦA PHƯƠNG PHÁP PHÁT TRIỂN THEO THAM SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP

RUNGE – KUTTA TRONG VIỆC GIẢI HỆ

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN NHIỀU BIẾN SỐ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01 02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Khuất Văn Ninh, người

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoànthành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôitrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 06 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Văn Toán

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh,luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Sự kết hợpgiữa phương pháp thác triển theo tham số và phương phápRunge - Kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiềubiến số” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 06 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Văn Toán

Mục lục

Mở đầu 4

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Phương trình phi tuyến 6

1.1.1 Định nghĩa phương trình phi tuyến 6

1.2 Hệ phương trình phi tuyến 8

1.2.1 Định nghĩa hệ phương trình phi tuyến 8

1.2.2 Chuẩn trong không gian Euclid 9

1.2.3 Chuẩn của ma trận 9

1.3 Hệ phương trình vi phân thường 10

1.3.1 Bài toán Cauchy 11

1.3.2 Định lý tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân 11

1.4 Đạo hàm Fréchet 12

1.5 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 12

Chương 2 Sự kết hợp giữa phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp Runge - Kutta giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số 17

2.1 Phương pháp thác triển theo tham số 17

2.2 Phương pháp Runge-Kutta 21

2.2.1 Phương pháp Runge -Kutta cổ điển 21

2.2.2 Phương pháp Runge -Kutta ẩn 23

2.2.3 Một số ví dụ 26

Chương 3 Ứng dụng 41

3.1 Thuật toán của phương pháp Runge - Kutta cổ điển 41

3.2 Thuật toán Runge -Kutta ẩn 55

Kết luận 69

Tài liệu tham khảo 70

∆xi Sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ

∆yi Sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ

∆yi Sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Bài toán giải hệ phương trình phi tuyến là bài toán được dẫn tới từ nhiềubài toán: Giải phương trình toán tử tích phân phi tuyến theo phươngpháp cầu phương, Phương pháp sai phân giải Phương trình vi phân phituyến Giải phương trình vi phân thường phi tuyến Bài toán giải hệphương trình phi tuyến được sự quan tâm của nhiều nhà toán học Đãđược đề xuất một số phương pháp giải gần đúng như: Phương pháp lặpđơn, Newton, Thác triển theo tham số kết hợp với phương pháp Runge

- Kutta được các nhà toán học quan tâm Với mong muốn tìm hiểu sâuhơn các vấn đề đó nên tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Sự kết hợp củaphương pháp thác triển theo tham số và phương pháp Runge – Kuttatrong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số ”

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu cách giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến sốdựa trên sự kết hợp của hai phương pháp thác triển theo tham số vàphương pháp Runge – Kutta

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cách giải một số hệ phương trình phi tuyến nhiều biến sốdựa trên sự kết hợp hai phương pháp thác triển theo tham số và phươngpháp Runge – Kutta

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

- Hệ phương trình phi tuyến n biến

- Phương pháp thác triển theo tham số, phương pháp Runge – Kutta

5 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.Sử dụng một số phương phápcủa Giải tích hàm, Giải tích số, Phương trình vi phân

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Hệ thống lại các nội dung của phương pháp thác triển theo tham số kếthợp phương pháp Runge -Kutta và vận dụng vào giải những hệ phươngtrình phi tuyến cụ thể

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Phương trình phi tuyến

1.1.1 Định nghĩa phương trình phi tuyến

Định nghĩa 1.1 Phương trình phi tuyến là phương trình có dạng f (x) =

0 trong đó hàm f : (a, b) ⊂ R → R, f (x) không tuyến tính đối với x

xỉ của phương trình ta đưa phương trình đã cho về dạng x = g(x) )trong đó hàm g(x) liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz

1) |g(x) − g(y)| ≤ q |x − y| ; 0 < q < 1, x, y ∈ S

2) |g(x) − x| ≤ |1 − q| δ; S = x : |x − x| ≤ δ

Khi đó phương trình x = g(x) có nghiệm duy nhất x∗ và dãy được lậptheo công thức sau:

xn+1 = g(xn), n = 0, 1, 2, , x0 tùy ý thuộc S sẽ hội tụ tới x∗ và ta cócác công thức đánh giá :

|xn − x∗| ≤ q

n

1 − q |g(x0) − x0| ,

|xn+1 − x∗| ≤ q |xn − x∗|

từ đó phương pháp lặp đơn có tốc độ hội tụ tuyến tính

Ví dụ 1.2 : Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình bằng phươngpháp lặp đơn

f (x) := x3 + 3x2 − 1 = 0

Ta có f liên tục trên [−3, −2] và f (−3).f (−2) < 0 suy ra phươngtrình f (x) = 0 có nghiệm trong [−3, −2] Trên đoạn [−3, −2] phươngtrình đã cho tương đương với:

suy ra hàm g là ánh xạ co đi từ [−3, −2] vào chính nó điều này có nghĩa

là phương trình g(x) = x có nghiệm duy nhất trên [−3, −2] Ta sẽ tìmnghiệm xấp xỉ của phương trình bởi công thức lặp đơn như sau:

xk+1 = g(xk); x0 = −2.5; k = 0, 1, 2,

1.2 Hệ phương trình phi tuyến

1.2.1 Định nghĩa hệ phương trình phi tuyến

Định nghĩa 1.2 Hệ phương trình phi tuyến là hệ có dạng:

Đặt: X = (x1, x2, , xn)t ; F = (f1(X), f2(X), , fn(X))t Thì hệ phươngtrình đã cho trở thành: F (X) = 0

1.2.2 Chuẩn trong không gian Euclid

Định nghĩa 1.3 Trong không gian Euclid En, x = (x1, x2, , xn) ∈ Enchuẩn của véc tơ x có thể xác định bởi một trong các công thức sau đây.kxk1 =

1≤i≤n λi(ATA)

12

Trong đó λi ATA
là các giá trị riêng của ma trận đối xứng và xác địnhkhông âm ATA.

1.3 Hệ phương trình vi phân thường

Định nghĩa 1.5 Hệ phương trình vi phân thường là hệ có dạng

Hệ n hàm khả vi y1 = ϕ1(x), y2 = ϕ2(x), , yn = ϕn(x) xác định trênkhoảng (a, b) được gọi là nghiệm của hệ phương trình vi phân nếu vớimọi x ∈ (a, b) thì điểm (x, ϕ1(x), ϕ2(x), , ϕn(x)) ∈ G và khi thay chúngvào hệ đã cho ta được n đồng nhất thức theo x trên (a, b)

Tập hợp điểm Γ = {(x, ϕ1(x), ϕ2(x), , ϕn(x)), x ∈ (a, b)} được gọi làđường cong tích phân ứng với nghiệm ϕ1(x), ϕ2(x), , ϕn(x)

1.3.1 Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy là bài toán có dạng:

1.3.2 Định lý tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân

i) Các hàm fi liên tục trong miền

G = { kx − x0k ≤ a; y1 − y01 ≤ b; y2 − y02 ≤ b; ; yn− y0n ≤ b}

Và : |fi(x, y1, y2, , yn)| ≤ M (i = 1, 2, , n)

ii) Các hàm f1, f2, , fn thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y1, y2, , yntrong miền G cùng với hệ số Lipschitz L > 0.

1.4 Đạo hàm Fréchet

Cho X, Y là các không gian Banach, L(X, Y ) là tập tất cả các toán tửtuyến tính liên tục đi từ X vào Y f : X → Y, x0 ∈ X, h ∈ X Nếu tồntại toán tử A ∈ L(X, Y ) sao cho f (x0+ h) − f (x0) = A(x0, h) + α(x0, h)trong đó A(x0, h) tuyến tính đối với h và lim

khk→0

||α(x0,h)||

khk = 0 thì ta nóiánh xạ f khả vi tại x0, biểu thức A(x0, h) được gọi là vi phân của ánh xạ

f và ký hiệu là df (x0, h) = A(h); A : h → A(x0, h) là đạo hàm Fréchetcủa f tại x0 ký hiệu là f0(x0)

1.5 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Xét hệ phương trình phi tuyến

Nếu hệ phương trình có thể đưa được về dạng

Hoặc dưới dạng véc tơ x1(m+1) = ϕ(x(m)); m = 0, 1, 2, hội tụ tới

x∗ = (x1∗, x2∗, , xn∗) còn các hàm gi(x) liên tục, thì véc tơ x∗ là nghiệmcủa hệ x = ϕ(x) hay

2) ϕ(x0) − x0 ≤ (1 − q)δ.

Khi đó hệ phương trình (2) trên có nghiệm duy nhất trong hình cầu

S, dãy x(m) = (x(m)1 , x(m)2 , , x(m)n ) hội tụ đến x∗ = (x∗1, x∗2, , x∗n) khi

m → ∞ và sai số của phương pháp được đánh giá bởi công thức:

x(m)− x∗ ≤ q

m

1 − q ϕ(x

0) − x0

Sự hội tụ của phương pháp xấp xỉ liên tiếp được coi là tối ưu khi q ≤ 12

Ta chỉ ra điều kiện đủ để điều kiện (1) được thỏa mãn

∂gi(x)

∂xk



< 1 khi đóđiều kiện (1) được thỏa mãn

∂gi(x)

∂x2

... 2

Sự kết hợp phương pháp thác triển theo tham số phương pháp Runge - Kutta giải hệ phương trình< /h2>

phi tuyến nhiều biến số< /h2>

Để giải hệ phương trình phi tuyến, ta... gần hệ phương trình sau:

a) Sử dụng kết hợp hai phương pháp thác triển theo tham số v? ?phương pháp Runge -Kutta cổ điển

b) Sử dụng kết hợp hai phương pháp Thác triển theo tham số v? ?phương. .. phương pháp thác triểntheo tham số để đưa hệ phương trình phi tuyến ban đầu hệ phươngtrình vi phân Sau ta sử dụng phương pháp Runge -Kutta cổ điểnhoặc phương pháp Runge -Kutta ẩn để giải hệ phương