Nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHAN ĐÌNH CÔNG NGHIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ LÀ CÁC HÀM GIẢI TÍCH Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHAN ĐÌNH CÔNG

NGHIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ LÀ CÁC HÀM GIẢI TÍCH

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối vớiPGS TS Hà Tiến Ngoạn; thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫntác giả hoàn thành Luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô Trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, cùng toàn thể đội ngũ giảng viênKhoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, trang

bị kiến thức, phương pháp nghiên cứu để tác giả hoàn thành khoá học

Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Phạm Công Bình

đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt quá trình học tậpvừa qua

Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn những người thân trong gia đình, tậpthể lớp K16 Toán Giải tích – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, quýthầy cô đồng nghiệp trường THPT Phạm Công Bình và bạn bè đã giúp

đỡ, động viên rất nhiều trong quá trình học tập và nghiên cứu Tác giảxin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 7 năm 2014

Tác giả

Phan Đình Công

Lời cam đoan

Dưới sự hướng dẫn của PGS TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả xin camđoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Nghiệm

cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là cáchàm giải tích” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thântác giả, không trùng với bất cứ luận văn nào khác

Trong quá trình làm đề tài, tác giả đã kế thừa những thành tựu củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2014

Tác giả

Phan Đình Công

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 SÓNG PHẲNG VÀ CÔNG THỨC BIỂU DIỄN HÀM SỐ BẤT KỲ QUA SÓNG PHẲNG 4

1.1 Một số ký hiệu 4

1.2 Khái niệm sóng phẳng 5

1.3 Công thức biểu diễn hàm số 8

1.3.1 Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng 8

1.3.2 Biểu diễn hàm số qua tích phân của nó trên các siêu phẳng 11

1.4 Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính không thuần nhất với vế phải là các hàm sóng phẳng 14

1.4.1 Bài toán Cauchy, Định lí Cauchy-Kowalewski 14

1.4.2 Bài toán Cauchy trong trường hợp vế phải đồng nhất bằng 1 15

1.4.3 Bài toán Cauchy với vế phải là hàm sóng phẳng 20

Chương 2 NGHIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH EL-LIPTIC TUYẾN TÍNH

21 2.1 Phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích Nghiệm cơ bản 21

2.1.1 Khái niệm phương trình elliptic tuyến tính 21

2.1.2 Định nghĩa nghiệm cơ bản 22

2.1.3 Xây dựng nghiệm cơ bản cho phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích 23

2.2 Nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính với hệ số

hằng 34

2.2.1 Trường hợp n lẻ 35

2.2.2 Trường hợp n chẵn 39

2.3 Nghiệm cơ bản của hệ phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích 43

2.3.1 Hệ phương trình elliptic tuyến tính 44

2.3.2 Ma trận nghiệm cơ bản 45

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Đối với một số phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hằng, nghiệm

cơ bản của chúng đã được các nhà toán học tìm ra công thức biểu diễndưới dạng tường minh

Luận văn đặt vấn đề mô tả nghiệm cơ bản của phương trình elliptictuyến tính với hệ số là các hàm giải tích bằng việc sử dụng công cụcác sóng phẳng trong không gian nhiều chiều Với mong muốn được tìmhiểu sâu hơn về vấn đề này tác giả chọn đề tài: “Nghiệm cơ bản củaphương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích”

Bố cục của luận văn gồm 2 chương

Chương 1 Luận văn trình bày các khái niệm về hàm sóng phẳng vàmột số tính chất Phát biểu và chứng minh một số định lý về công thứcbiểu diễn một hàm số bất kỳ qua hàm sóng phẳng Cũng trong chươngnày Luận văn trình bày bài toán Cauchy cho phương trình elliptic vớicác dữ kiện Cauchy được cho trên siêu phẳng

Chương 2 Luận văn trình bày cách xác định nghiệm cơ bản củaphương trình elliptic tuyến tính thông qua việc giải bài toán Cauchy ởChương 1 Đồng thời đưa ra công thức nghiệm cơ bản của phương trìnhelliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích Cũng trong chương nàyLuận văn ứng dụng nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính

để trình bày ma trận nghiệm cơ bản của hệ phương trình elliptic tuyếntính với hệ số là các hàm giải tích.

Luận văn được trình bày với cơ sở là nội dung chương 3 của cuốn sách:

"Fritz John (1955), Plane Waves and Spherical Means, Springer-Verlag,New York Heidelberg Berlin."

2 Mục đích nghiên cứu

Đưa ra công thức mô tả nghiệm cơ bản của phương trình elliptictuyến tính với hệ số là các hàm giải tích trên cơ sở sử dụng phép biểudiễn hàm số bất kỳ qua các sóng phẳng trong không gian nhiều chiều

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày các khái niệm sóng phẳng và công thức biểu diễn hàm sốbất kỳ qua các sóng phẳng, sau đó dẫn dắt ra công thức mô tả nghiệm

cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giảitích

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu và tổng quan kết quả về nghiệm cơ bản của phương trìnhelliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Tổng quan về nghiệm của phương trình elliptic tuyến tính với hệ số

là các hàm giải tích bằng cách sử dụng công cụ là hàm sóng phẳng

Chương 1 SÓNG PHẲNG VÀ CÔNG THỨC BIỂU DIỄN HÀM SỐ BẤT KỲ

• Độ dài (x.x)12 của vectơ x là |x|

• Phần tử thể tích dx1, , dxn được viết tắt là dx, trong khi dSx

được kí hiệu phần tử diện tích mặt của một siêu mặt trong khônggian n chiều

• Mặt cầu đơn vị có bán kính 1 với tâm ở gốc tọa độ trong khônggian x được kí hiệu là Ωx, phần tử diện tích mặt cầu đơn vị là dωx,diện tích mặt cầu đơn vị là ωn

• Thể tích của hình cầu đơn vị trong không gian n chiều là  1

Định lý 1.1 Giả sử n ≥ 2, g(s) là một hàm liên tục của biến vô hướng

có khoảng cách từ gốc là |p|, hàm g (x.y) có giá trị g (|y| p) Phần giao(n − 1) chiều của mặt phẳng đó với hình cầu có diện tích (xem Hình 1.1)

ωn−1

n − 1(r

2 − p2)n−12

Chứng minh Với g(s) = const = 1 ta có h = 1, và từ (1.1) ta suy racông thức sau

1.3 Công thức biểu diễn hàm số

1.3.1 Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng

Định lý 1.3 Giả sử f (x) là một hàm thuộc lớp C1 và bằng không ngoàitập bị chặn nào đó Khi đó ta có công thức biểu diễn sau

(∆z)n+k2

Z



Z

là toán tử Laplace theo biến z

Chứng minh Ta xét một hàm f (x) tùy ý thuộc lớp C1 và bằng khôngngoài tập bị chặn nào đó Khi đó

u(z) =

Z

f (y)|y − z|2−n(2 − n)ωndy (1.10)

là một hàm của z thuộc lớp C2, thỏa mãn phương trình vi phân Poisson

∆zu(z) = f (z) (1.11)

trong đó ∆z là Laplace đối với các biến z1, , zn

Với n = 2 hàm nhân trong (1.10) được thay thế bằng 1

|y|=r

−y2 i

Việc chứng minh của công thức Poisson được đưa ra ở đây một cách

chi tiết, bởi sự quan trọng của nó cho những phần sau, vì tất cả các phép

tính đạo hàm đối với các tích phân kỳ dị sẽ được thực hiện bằng việc

đưa đến công thức này Nó sẽ được đề cập đến cho phương trình cùng

dạng được xác định với giả thiết rằng f (x) thỏa mãn điều kiện H¨older

Bây giờ ta chọn n chẵn cho đồng nhất thức (1.4), n lẻ cho đồng nhất

thức (1.3), thay y bằng y − z, nhân hai vế với f (y) và lấy tích phân theo

y (ta vẫn giả thiết rằng f là thuộc lớp C1 và bằng không ngoài tập bị

chặn nào đó) Ta chọn một số nguyên k không âm sao cho n + k là một

số chẵn, và áp toán tử ∆z vào hai vế của đẳng thức cuối n + k

2 lần Ta

2 |y − z|2−n

(1.12)với n lẻ,



Z

Công thức (1.8), (1.9) thể hiện việc biểu diễn của hàm f (z) như một

tổ hợp tuyến tính của các hàm sóng phẳng của z Các hàm sóng phẳng

ở đây có một trong hai dạng |(y − z).x|k hoặc [(y − z).x]klog |(y − z).x|

1.3.2 Biểu diễn hàm số qua tích phân của nó trên các siêu

với n chẵn, trong đó phân tích f (z) thành các hàm sóng phẳng.

Chứng minh Theo công thức (1.15) J (x, p) = J (−x, −p) Sử dụngcông thức (1.8) cho n lẻ với k = 1 ta có

với k = 0 Ta chú ý ở đây đối với |x| = 1,

1.4 Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic tuyến

tính không thuần nhất với vế phải là các hàm

sóng phẳng.

1.4.1 Bài toán Cauchy, Định lí Cauchy-Kowalewski

Gọi L[u] là toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp m có dạng

Q(x, ξ) 6= 0, ∀ξ ∈ Rn, ξ 6= 0 (1.22)

Ta sẽ luôn giả thiết rằng m là số chẵn

Giả sử ξ ∈ Rn, ξ 6= 0 được cố định Trong không gian Rn ta xét siêuphẳng Sξ,p sau

Sξ,p = {x ∈ Rn; ξ.x − p = 0} (1.23)

trong đó p ∈ R là một số thực nào đó Siêu phẳng này có vectơ pháptuyến là vectơ ξ Nếu phương trình (1.19) là elliptic thì mọi siêu phẳng

Sξ,p đều là không đặc trưng

Ta xét bài toán Cauchy sau đối với phương trình

với các dữ kiện Cauchy thuần nhất trên siêu phẳng nêu trên là

∂ku(x)

∂ξk = 0, x ∈ Sξ,p, k = 0, , m − 1, (1.25)trong đó vế trái là đạo hàm các cấp theo hướng ξ của u(x)

Ta có định lý Cauchy-Kowalewski sau đây

Định lý 1.5 Giả sử f (x) và các hệ số Ai1 ik(x) là các hàm giải tích.Khi đó bài toán Cauchy nói trên có duy nhất nghiệm giải tích u(x) tronglân cận của siêu phẳng Sξ,p

Do mọi hàm f (x) đều có thể biểu diễn thành các hàm sóng phẳngnên trong các mục sau ta sẽ lần lượt xét bài toán Cauchy nói trên chocác trường hợp f (x) = 1 và f (x) = g(x.ξ − p)

1.4.2 Bài toán Cauchy trong trường hợp vế phải đồng nhất

Ta sẽ chứng minh được nghiệm v này có dạng

sử rằng điểm đó là điểm gốc tọa độ

Khi đó theo định lý của Cauchy-Kowalewski trong lân cận của điểmbất kỳ x0 trong N nằm trên siêu phẳng ở đó tồn tại hàm v = v(x, ξ, p) lànghiệm của phương trình (1.26) (Chúng ta dùng ở đây đặc trưng ellipticcủa phương trình, bảo đảm rằng các siêu phẳng thực không là mặt đặctrưng, cũng như tính giải tích của các hệ số thỏa mãn định lý) Hơn nữa

v là xác định duy nhất Vì v chỉ phụ vào L và siêu phẳng, nên nó phải

là thuần nhất bậc 0 theo ξ và p

Ta sẽ phân tích sự phụ thuộc của v vào ξ và p Cho thuận tiện ta cóthể biến siêu phẳng thành cố định bằng phép biến đổi trực giao Phépbiến đổi này có thể được chọn địa phương để phụ thuộc một cách liêntục vào ξ và p Giả sử η là vectơ đơn vị: |η| = 1 Khi đó siêu phẳngx.ξ = p có thể biến thành siêu phẳng x0.η = 0 bằng phép biến đổi trựcgiao

Phép biến đổi ngược được cho bởi công thức

tâm là điểm gốc bán kính δ, trong đó hệ số của L là hàm giải tích Tahạn chế ξ với |ξ − η| < 12 và p với |p| < δ4, thì |ξ| > 12,

−p

|ξ|η

< δ2.Ảnh của N với phép biến đổi (1.30) là hình cầu N0 tâm x0 = −pη/ |ξ|bán kính δ Hình cầu N0 chắc chắn chứa hình cầu bán kính δ/2 tâm làđiểm gốc của không gian x0 (Hình 1.2)

Bằng phép thế (1.31) các hệ số A(x) của L trở thành các hàm

A0(x0, ξ, p) (với η giữ cố định) A0 ở đây là các hàm giải tích của x0, ξ, pvới

Toán tử L trở thành toán tử L0 tác động vào các hàm của x0, với các hệ

số phụ thuộc giải tích vào x0 và tham số ξ, p trong miền (1.32) Các hệ

số có thể khai triển thành chuỗi luỹ thừa hội tụ đối với x0i, ξi − ηi, pvới |x0| , |ξ − η| , |p | đủ bé

Bài toán Cauchy với v trên trở thành việc tìm một hàm v0 của phươngtrình

nó triệt tiêu với tất cả các đạo hàm cấp ≤ m − 1 trên siêu phẳng cố định

x0.η = 0

Theo Định lý Cauchy-Kowalewski tồn tại số ε = ε(η) < δ4 và nghiệm

v0 = v0(x0, ξ, p) của bài toán Cauchy được cho bởi chuỗi luỹ thừa hội tụtheo x0i, ξi − ηi, p với

|x0| < ε, |ξ − η| < ε, |ρ| < ε (1.34)

và như vậy nó là hàm giải tích của x0, ξ, p trong miền đó Sự biến đổitrước chúng ta thấy tồn tại nghiệm v = v(x, ξ, p), là hàm giải tích củacác đối số của nó với

... data-page="26">

Chương NGHIỆM CƠ BẢN CỦA

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC< /h2>

TUYẾN TÍNH

2.1 Phương trình elliptic tuyến tính với hệ số các< /h3>

hàm giải tích Nghiệm bản< /h3>... phương trình elliptic tuyến tính

Định nghĩa 2.1 Cho tốn tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp m

Ta xét phương trình

Phương trình (2.2) gọi phương trình elliptic tuyến tính. .. A0 hàm giải tích x0, ξ, pvới

Toán tử L trở thành toán tử L0 tác động vào hàm x0, với hệ

số phụ thuộc giải tích vào x0 tham số ξ, p