Phương pháp phần tử hữu hạn trong việc giải phương trình đạo hàm riêng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN QUYẾT PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 0

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN QUYẾT

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠO HÀM RIÊNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ BÌNH MINH

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo TS Hà Bình Minh Sự giúp đỡ và hướng dẫntận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này

đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đềmới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối vớithầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường đã giúp đỡ,tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT Vĩnh Phúc, Ban giám hiệu,các thầy cô giáo, đồng nghiệp trường Trung học phổ thông Liễn Sơn cùng giađình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi đểtác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ cũng như hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2014

Tác giả

Trần Quyết

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS Hà Bình Minh

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa nhữngthành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán biên một chiều 5

1.1 Sự khác nhau giữa phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp sai phân 5

1.2 Giới thiệu bài toán biên một chiều 6

1.3 Công thức biến phân cho bài toán biên 1 chiều 8

1.4 Phương pháp phần tử hữu hạn 11

1.4.1 Không gian các hàm tuyến tính từng khúc 11

1.4.2 Tìm nghiệm trên không gian các hàm tuyến tính từng khúc 12

1.5 Ước lượng sai số cho phương pháp phần tử hữu hạn 16

Chương 2 Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình Pois-son

20 2.1 Bài toán biên cho phương trình Poisson 20

2.2 Công thức biến phân cho phương trình Poisson 21

2.3 Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình Poisson 24

2.3.1 Không gian các hàm tuyến tính từng khúc 24

2.3.2 Tìm nghiệm trên không gian các hàm tuyến tính từng khúc 26

2.4 Ước lượng sai số 29

Chương 3 Các vấn đề về tính toán, giải số của phương pháp phần tử hữu hạn 30

3.1 Bài toán biên 1 chiều 30

3.2 Bài toán biên 2 chiều 33

Kết luận 35

Tài liệu tham khảo 36

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Phương pháp phần tử hữu hạn có nhiều ứng dụng quan trọng trong việcgiải các phương trình đạo hàm riêng xuất phát từ các bài toán trong cơ học,vật lý, v.v

Phương pháp này xuất hiện từ những năm 50, 60 trong thế kỷ trước,

và được ứng dụng mạnh mẽ trong những năm gần đây với sự phát triển củamáy tính và các công cụ tính toán

Với mong muốn tìm hiểu phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụngcủa nó, tôi chọn đề tài “Phương pháp phần tử hữu hạn trong việc giảiphương trình đạo hàm riêng” làm luận văn Thạc sĩ của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Khảo cứu phương pháp phần tử hữu hạn để giải ghiệm số cho phươngtrình đạo hàm riêng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Khảo cứu phương pháp phần tử hữu hạn để giải ghiệm số cho phươngtrình đạo hàm riêng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương pháp giải số cho phương trình vi phân đạo hàm riêng

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp giải tích, giải tích số, ngôn ngữ lập trìnhMATLAB,

6 Đóng góp mới của đề tài

Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải một số bài toán trongthực tế

Phương pháp sai phân hữu hạn (PPSPHH) là một phương pháp khác để giải

số phương trình vi phân Sự khác nhau giữa phương pháp phần tử hữu hạn(PPPTHH) và PPSPHH là:

• PPSPHH xấp xỉ bài toán phương trình vi phân; còn PPPTHH thì xấp

xỉ lời giải của bài toán này

• Điểm đặc trưng nhất của PPPTHH là nó có khả năng áp dụng cho nhữngbài toán hình học và những bài toán biên phức tạp với mối quan hệ rờirạc Trong khi đó PPSPHH về căn bản chỉ áp dụng được trong dạng hìnhchữ nhật với mối quan hệ đơn giản

• Điểm đặc trưng của phương pháp sai phân hữu hạn là có thể dễ dàngthực hiện được

• Trong một vài trường hợp, PPSPHH có thể xem như là một tập con của

• Kết quả của việc xấp xỉ bằng PPPTHH thường chính xác hơn PPSPHH.Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác

1.2 Giới thiệu bài toán biên một chiều

Chúng ta xét bài toán biên (D) được cho như sau:

Bài toán (D): Tìm u ∈ V sao cho







−u”(x) = f (x), 0 < x < 1,u(0) = u(1) = 0,

(1.1)

trong đó f là một hàm liên tục cho trước, V là một không gian hàm nào

đó Bằng cách lấy tích phân phương trình −u” = f hai lần, ta dễ dàngthấy rằng bài toán có duy nhất nghiệm u

Trong thực tế, bài toán biên (D) là mô hình toán học của rất nhiều bài toántrong thực tế, chẳng hạn như một số bài toán trong cơ học dưới đây:

A Thanh đàn hồi

Ta xét một thanh đàn hồi cố định ở cả hai đầu và chịu một lực ngang theophương tiếp tuyến với cường độ f (x) (Xem hình 1.1) Cho σ(x) là lực đànhồi và u(x) là vị trí của x theo phương ngang Theo các định lí vật lí chúng

ta có

trong đó E là mô đun đàn hồi Nếu ở đây ta cho E = 1 và khử biến σ, tathu được bài toán (D)

q0 = f (Bảo toàn năng lượng)

u(0) = u(1) = 0.Trong đó k là độ dẫn nhiệt Nếu k = 1 thì ta thu được bài toán (D)

1.3 Công thức biến phân cho bài toán biên 1 chiều

Xét V là không gian hàm được cho bởi:

V :={ v : v liên tục trên [0,1],v0 bị chặn, trơn từng khúc trên [0,1]

Các bài toán (M) và (V) được cho như sau:

Bài toán (M): Tìm u ∈ V sao cho F (u) ≤ F (v), ∀v ∈ V

thức tích phân từng phần với vế trái và sử dụng điều kiệnv(0) = v(1) = 0

Suy ra u là nghiệm của bài toán (V)

• (V) ⇔ (M) Ta chỉ rằng các bài toán (V) và (M) có cùng nghiệm Giả

sử u là một nghiệm của bài toán (V), cho v ∈ V và lấy w = v − u để

có cực tiểu khi  = 0 nên g0(0) = 0 Vì g0(0) = (u0, v0) − (f, v), Suy ra u

là một nghiệm của bài toán (V)

Tiếp theo, ta chứng minh nghiệm của bài toán (V) được xác định duynhất.

Giả sử u1 và u2 là hai nghiệm của bài toán (V), tức là với u1, u2 ∈ V tacó

Từ đó suy ra (u1− u2)(x) là không đổi trên [0, 1] cùng với điều kiện biên

u(0) = u(1) = 0 suy ra u1(x) = u2(x), ∀x ∈ [0, 1] Tóm lại, chúng ta

đã chỉ ra rằng nếu u là nghiệm của bài toán (D), thì u cũng là nghiệmcủa hai bài toán tương đương (M) và (V) Ta có sơ đồ như sau (D) ⇒(V) ⇔ (M)

• (V) ⇒ (D) Ta chỉ ra nếu u là nghiệm của bài toán (V) thì u cũng lànghiệm của bài toán (D).Thật vậy, giả sử u ∈ V thỏa mãn

V.Nhưng do giả thiết (u00 + f ) liên tục nên (u00 + f )(x) = 0, 0 < x < 1

và suy ra u là nghiệm của bài toán (D) Như vậy chúng ta đã thấy rằngnếu u là nghiệm của bài toán (V) và thỏa mãn thêm giả thiết chính quy

(u00 liên tục) thì u là nghiệm của bài toán (D) Ta lại thấy rằng nếu u

là nghiệm của bài toán (V) thì u cũng thỏa mãn giả thiết chính quy và

do đó chúng ta có (V) ⇒ (D) nên ba bài toán (D), (V) và (M) là tươngđương

1.4 Phương pháp phần tử hữu hạn

1.4.1 Không gian các hàm tuyến tính từng khúc

Do không gian V được xây dựng ở phần trước là không gian vô hạn chiều,việc tìm nghiệm của bài toán biên (D)trở nên khó khăn Thay vì tìm nghiệmtrên không gian V, ta sẽ đi tìm nghiệm trên không gian con của V Ta sẽ xâydựng không gian conVh, hữu hạn chiều, là không gian các hàm tuyến tính liêntục từng khúc như sau Trước tiên, ta lấy các điểm 0 = x0 < x1 < < xM <

xM +1 = 1 để phân hoạch khoảng (0, 1) thành các khoảng con Ij = (xj−1, xj)

với độ dài hj = xj − xj−1, j = 1, , M + 1 Đặt h := maxj=1, ,M +1hj, làtham số để đo độ mịn của phân hoạch Không gian con Vh được định nghĩanhư sau:

Vh :={ v : v liên tục trên [0,1], tuyến tính trên mỗi khoảng con Ij

và v(0) = v(1) = 0}

Hình 1.3: Ví dụ về một hàm v ∈ V

Ta nhận thấy rằng Vh ⊂ V và có số chiều hữu hạn Để xây dựng một cơ sởcủa Vh, ta chọn các hàm cơ sở ϕi ∈ Vh, i = 1, , M được xác định như sau:

hix − xi−1/hi, nếu xi−1 ≤ x < xi

−hi+1x − xi+1/hi+1, nếu xi ≤ x < xi+1

Mỗi hàm cơ sở ϕi là hàm tuyến tính từng khúc, liên tục, nhận giá trị bằng 1

tại xi và bằng 0 tại các điểm nút khác (xem Hình 1.4)

1.4.2 Tìm nghiệm trên không gian các hàm tuyến tính từng khúc

Trên không gian Vh, các bài toán (Dh), (Mh) và (Vh) được phát biểu nhưsau:

Bài toán (Dh): Tìm u ∈ Vh sao cho







−u”(x) = f (x), 0 < x < 1,u(0) = u(1) = 0

Bài toán (Mh): Tìm uh ∈ Vh sao cho F (uh) ≤ F (v), ∀v ∈ Vh

Bài toán (Vh): Tìm uh ∈ Vh sao cho (u0h, v0) = (f, v), ∀v ∈ Vh

Ta có định lí sau đây:

Định lí 1.4.1 Ba bài toán (Dh), (Mh) và (Vh) là tương đương nhau

Chứng minh Chứng minh hoàn toàn tương tự như Định lý 1.3.1

Nhờ Định lý trên, thay vì việc giải bài toán (Dh) trên không gian con Vh,bây giờ ta sẽ đi tìm nghiệm của bài toán (Dh) như sau:

(Vh): Tìm uh ∈ Vh sao cho

Để giải bài toán (Vh), ta nhận thấy mỗi v ∈ Vh đều là tổ hợp tuyến tính củacác hàm cơ sở ϕi ∈ Vh, i = 1, , M Do đó, nếu uh ∈ Vh thỏa mãn (1.3), thìcác hàm cơ sở ϕi ∈ Vh, i = 1, , M, cũng sẽ thỏa mãn (1.3), tức là:

(u0h, ϕ0i) = (f, ϕi), i = 1, , M (1.4)Ngược lại, nếu tất cả các hàm cơ sở ϕi ∈ Vh cũng sẽ thỏa mãn (1.3), với mọi

i = 1, , M, thì bằng cách lấy tổ hợp tuyến tính, ta thấy uh cũng thỏa mãn(1.3)

Hệ phương trình (1.5) chính là một hệ phương trình tuyến tính vớiM phươngtrình, M ẩn η1, , ηM Dạng ma trận của hệ (1.5) được cho dưới dạng

Như vậy các phần tử của ma trậnA đều tính được theo các công thức ở trên

Ta nhận xét rằng A là ma trận xác định dương vì với mỗi η ∈ RM, ta chọn

Dấu bằng xảy ra nếu v0 ≡ 0 Từ v(0) = 0 suy ra v ≡ 0, tức là ηj = 0

với j = 1, , M Do vậy A là ma trận xác định dương Chúng ta nhắc lạirằng ma trận M × M đối xứng A = (aij) được gọi là xác định dương nếu

ηTAη = PM

i,j=1ηiaijηj > 0, ∀η ∈ RM, trong đó ηT là vectơ hàng chuyển vịcủa vectơ η Chúng ta cũng nhớ lại rằng một ma trận đối xứng A là xác địnhdương khi và chỉ khi các giá trị riêng của A là dương

Do ma trận A xác định dương là không suy biến ta suy ra hệ tuyến tính(1.6) có một nghiệm duy nhất Chúng ta cũng lưu ý rằng A là thưa, tức là,chỉ có một vài phần tử của A khác 0 (A là ma trận 3-đường chéo) Điều này

là quan trọng, vì nó sẽ làm đơn giản việc giải hệ phương trình tuyến tính

Độ thưa của ma trận A phụ thuộc vào cách ta chọn các hàm cơ sở ϕj ∈ Vh.Trong trường hợp trên, ta chọn ϕj 6= 0 trên một khoảng và chỉ giao với mộthai hàm cơ sở lân cận Việc lựa chọn các hàm cơ sở này là một đặc trưng củaphương pháp phần tử hữu hạn

Ví dụ 1.4.1 Trong trường hợp đặc biệt ta phân hoạch (0, 1)thành các khoảngđều nhau, ta sẽ thu được hệ phương trình sau

1h

trong đó h là độ dài của mỗi khoảng chia.

Tóm lại, trong mục này, chúng ta đã thấy rằng phương pháp phần tử hữuhạn dẫn đến một hệ tuyến tính các phương trình với ma trận thưa, đối xứng

và xác định dương Giải hệ phương trình tuyến tính này, ta sẽ thu đượcnghiệm của bài toán được cho trong không gian các hàm tuyến tính từngkhúc

1.5 Ước lượng sai số cho phương pháp phần tử hữu hạn

Gọi uh là nghiệm của bài toán biên (D) được tìm theo phương pháp phần tửhữu hạn trong mục trước, tức là uh ∈ Vh, (Vh là không gian các hàm tuyếntính từng khúc, hữu hạn chiều) Gọi u là nghiệm của bài toán biên (D)trongkhông gian V, không gian vô hạn chiều Ta đặt câu hỏi rằng, liệu nghiệm uh

có phải là xấp xỉ của nghiệm u hay không?

Muốn vậy, ta sẽ đánh giá sai số |u − uh| Nếu sai số này là nhỏ thì ta có thểkết luận như trên Đồng thời, đánh giá sai số cũng giúp ta biết rằng: để thuđược nghiệm xấp xỉ ngày càng tốt, ta cần phải gia tăng số chiều của khônggianVh, tức là phải xây dựng không gianVh với các điểm chia ngày càng mịn,tức là h nhỏ

Định lí 1.5.1 Sai số của nghiệm xấp xỉ uh và nghiệm đúng u được đánh giánhư sau:

|u(x) − uh(x)| 6 h max

0≤y≤1|u00(y)| với 0 ≤ x ≤ 1 (1.8)

Bổ đề 1.5.1 Với mọi v ∈ Vh ta có k(u − uh)0k 6 k(u − v)0k

Chứng minh Ta có các phương trình sau đây :

k(u − uh)0k2 = ((u − uh)0, (u − uh)0) + ((u − uh)0, w0) = ((u − uh)0, (u −

uh + w)0) = ((u − uh)0, (u − v)0) 6 k(u − uh)0k k(u − v)0k Chia hai vế cho

k(u − uh)0k ta được bổ đề (1.5.1) (nếu k(u − uh)0k = 0, rõ ràng đúng) Từ bổ

đề (1.5.1) ta có thể có được một đánh giá định lượng cho sai số k(u − uh)0k

bằng cách ước tính (u −fuh)0 với fuh ∈ Vh là hàm được lựa chọn phù hợp.Chúng ta sẽ chọn fuh ∈ Vh là đa thức nội suy của u tại các nút xj, tức là:f

8 0≤y≤1max |u00(y)| (1.13)

Từ (1.12) và bổ đề (1.5.1), ta có đánh giá cho sai số u − uh sau đây:

|(u − uh)0| 6 h max

0≤y≤1|u00(y)| (1.14)

Hình 1.5: Đa thức nội suy ufh

Từ (u − uh)(0) = 0 và (1.14) ta có:

|u(x) − uh(x)| 6 h max

0≤y≤1|u00(y)| với 0 ≤ x ≤ 1

Chúng ta quan sát rằng ước lượng sau này ít sắc nét hơn so với ước lượng(1.13) cho các lỗi nội suy, nơi chúng ta có một yếu tố h2 Với một phân tíchchính xác hơn nó có thể cho thấy rằng trên thực tế cũng là phương phápphần tử hữu hạn cho một yếu tố h2 cho các lỗi u − uh

Chúng ta hãy lưu ý rằng định lượng u, đại diện cho một biến dạng hoặc mộtước lượng trong ví dụ A và B ở trên, thường là lớn hơn (hoặc ít nhất là khôngnhỏ hơn) quan tâm thực tiễn có lợi hơn so với đại lượng u trong chính nó, đạidiện cho một trong các trường hợp phép dời hình Do đó, ước lượng (1.14)được điều khiển độc lập và không chỉ là một bước trên đường đến một ướctính của u − uh Chúng ta cũng nhận thấy rằng để chứng minh (1.14), chúng

ta không cần phải cụ thể xây dựng fuh (mà sẽ đòi hỏi kiến thức về các nghiệmchính xác u); chúng ta chỉ có thể hy vọng sẽ đưa ra một ước tính của lỗi nộisuy, ví dụ mẫu (1.12), (1.13) Tóm lại, bằng bổ đề (1.5.1) ta có những thôngtin định tính k(u − uh)0k là "càng nhỏ càng tốt" và cũng sử dụng ước tínhnội suy (1.12), chúng ta có được những ước lượng sai số (1.14), trong đó đặcbiệt cho thấy các lỗi dần tiến tới 0 khi độ dài tối đa hoặc dần tiến tới 0 nếu

u00 bị chặn trên [0,1].

Chương 2

Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình Poisson

2.1 Bài toán biên cho phương trình Poisson

Chúng ta xét bài toán biên (D) cho phương trình Poisson được cho như sau:Bài toán (D): Tìm u ∈ V sao cho

Hình 2.1:

2.2 Công thức biến phân cho phương trình Poisson

Xét V là không gian hàm được cho bởi:

Bài toán (M): Tìm u ∈ V sao cho F (u) ≤ F (v), ∀v ∈ V

và

Bài toán (V): Tìm u ∈ V sao cho a(u, v) = (f, v), ∀v ∈ V

∂x2 Gọi u = (u1, u2) là véc tơ pháp tuyến hướng ra ngoài của Γ,

dx là vi phân trong R2 và ds là vi phân dọc theoΓ Áp dụng định lí phân

kì đối với A = (vw, 0) và A = (0, vw), ta thu được:

Theo công thức Green (2.2) ta có:

Từ đó suy ra u là nghiệm của bài toán (V)

• (M) ⇔ (V) Ta chỉ rằng các bài toán (V) và (M) có cùng nghiệm Giả

sử u là một nghiệm của bài toán (V), cho v ∈ V và lấy w = v − u để

có cực tiểu khi  = 0 nên g0(0) = 0 Vì g0(0) = a(u, v) − (f, v), suy ra u

là một nghiệm của bài toán (V) Tiếp theo, ta chứng minh nghiệm củabài toán (V) được xác định duy nhất Giả sử u1 và u2 là hai nghiệm củabài toán (V), tức là với u1, u2 ∈ V ta có

nên a(u1(x) − u2(x)) = a(u1 − u2)(x) = 0, ∀x ∈ Γ Từ đó suy ra

a(u1 − u2)(x) là không đổi trên Γ, suy ra u1(x) = u2(x), ∀x ∈ Γ Tómlại, chúng ta đã chỉ ra rằng nếu u là nghiệm của bài toán D, thì u cũng

là nghiệm của hai bài toán tương đương (M) và (V) Ta có sơ đồ như

do giả thiết (∆u + f ) liên tục nên (∆u + f )(x) = 0, x ∈ Γ và suy ra

u là nghiệm của bài toán (D) Như vậy chúng ta đã thấy rằng nếu u lànghiệm của bài toán (V) và thỏa mãn thêm giả thiết chính quy (∆u liêntục) thì u là nghiệm của bài toán (D) Ta lại thấy rằng nếu u là nghiệmcủa bài toán (V) thì u cũng thỏa mãn giả thiết chính quy và do đó chúng

ta có (V) ⇒ (D) nên ba bài toán (D), (V) và (M) là tương đương

2.3 Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình Poisson

2.3.1 Không gian các hàm tuyến tính từng khúc

Do không gian V được xây dựng ở phần trước là không gian vô hạn chiều,việc tìm nghiệm của bài toán biên (D)trở nên khó khăn Thay vì tìm nghiệmtrên không gian V, ta sẽ đi tìm nghiệm trên không gian con của V Ta sẽ xâydựng không gian con Vh, hữu hạn chiều, là không gian các hàm tuyến tính