Giá trị riêng trong các bước phổ của toán tử pauli hai chiều

Nhiệm vụ nghiên cứu • Đưa ra một số kết quả liên quan đến giá trị riêng trong các bướcphổ của toán tử Pauli • Đưa ra ví dụ minh họa cho kết quả vừa thu được 4.. Phương pháp nghiên cứu •

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS TẠ NGỌC TRÍ

HÀ NỘI, 2014

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới TS Tạ Ngọc Trí,người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trongquá trình thực hiện luận văn

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệuTrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy cô giáotrong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toángiải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập vànghiên cứu

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên

và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 8 năm 2014

Trần Thị Hường

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Tạ Ngọc Trí.

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 8 năm 2014

Trần Thị Hường

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Một số không gian 4

1.1.1 Không gian Banach 4

1.1.2 Không gian Lp 5

1.1.3 Không gian các hàm thử (Không gian các hàm kiểm tra) 8 1.1.4 Không gian Sobolev 8

1.1.5 Không gian Hilbert 9

1.2 Toán tử tuyến tính bị chặn 11

1.3 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn 17

1.4 Toán tử tuyến tính không bị chặn 20

1.5 Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn 23

Chương 2 Toán tử Schr¨odinger và toán tử Pauli hai chiều

28 2.1 Toán tử Schr¨odinger 29

2.1.1 Các định nghĩa và tính chất 29

2.1.2 Một số kết quả liên quan đến phổ của toán tử Schr¨odinger 35 2.2 Toán tử Pauli hai chiều 49

2.2.1 Định nghĩa toán tử Pauli hai chiều 49

2.2.2 Tính chất của toán tử Pauli hai chiều 50

hai chiều 52

3.1 Toán tử Pauli trên một hình cầu nhỏ 52

3.2 Giá trị riêng trong các bước phổ 56

3.3 Trường hợp đối xứng xuyên tâm 64

3.4 Toán tử Pauli với các bước phổ 67

Kết luận 72

Tài liệu tham khảo 74

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Nghiên cứu về phổ của toán tử Pauli đã và đang thu hút được sựquan tâm của nhiều nhà toán học Để nghiên cứu vấn đề này, ta phải sửdụng các kết quả của giải tích hàm, phương trình đạo hàm riêng và lýthuyết phổ Nghiên cứu về phổ của toán tử Pauli có vai trò quan trọngtrong Vật lý

Trong luận văn này, ta đi tìm hiểu về toán tử Pauli hai chiều với bướcphổ Toán tử được nghiên cứu ở đây có sự xuất hiện của một từ tínhcho bởi λBs = λd−→a

s, λ ≥ 0 Vấn đề đầu tiên ta nghiên cứu là: “Nếu cả

từ trường và trường thế triệt tiêu ở vô cùng thì có giá trị riêng nào củatoán tử Pauli trong các bước phổ không?” Vấn đề tiếp theo và cũng làrất tự nhiên được sinh ra là: “Liệu có thể chỉ ra một toán tử Pauli haichiều như trên để việc nghiên cứu vấn đề đặt ra đầu tiên có ý nghĩa?”

Cả hai vấn đề trên sẽ được tìm hiểu sâu trong luận văn và là các kếtquả của bài báo [4] Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này,cùng với sự giúp đỡ tận tình của TS Tạ Ngọc Trí, tôi đã chọn nghiêncứu đề tài:

“Giá trị riêng trong các bước phổ của toán tử Pauli hai chiều”

để hoàn thành luận văn tốt nghiệp khóa đào tạo Thạc sĩ chuyên ngànhToán giải tích

2 Mục đích nghiên cứu

• Nghiên cứu giá trị riêng trong các bước phổ của toán tử Pauli haichiều

• Mở rộng các kết quả của bài báo [4]

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Đưa ra một số kết quả liên quan đến giá trị riêng trong các bướcphổ của toán tử Pauli

• Đưa ra ví dụ minh họa cho kết quả vừa thu được

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: toán tử Pauli, phổ của toán tử Pauli, giá trịriêng trong các bước phổ của toán tử Pauli hai chiều

• Phạm vi nghiên cứu: các tài liệu, các bài báo liên quan đến toán tửPauli, phổ của toán tử Pauli hai chiều

5 Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng các kiến thức trong lý thuyết phổ, lý thuyết toán tử, toán

tử tuyến tính bị chặn, toán tử trong không gian Hilbert, đại sốBanach

• Thu thập các tài liệu, các bài báo liên quan đến giá trị riêng trongcác bước phổ của toán tử Pauli hai chiều

• Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Những đóng góp của luận văn

Luận văn sẽ giúp tôi và những người quan tâm hiểu sâu hơn các tínhchất về phổ của toán tử Pauli hai chiều

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này sẽ hệ thống lại một số khái niệm và kết quả về một sốkhông gian, toán tử, phổ của toán tử để làm cơ sở cho việc tiếp cận cáckiến thức ở chương tiếp theo Nội dung của chương này được tham khảotrong các tài liệu [1], [2], [3], [9], [11], [12]

1.1 Một số không gian

1.1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một không gian vectơ trên trường số K(K = R hoặc K = C) Một ánh xạ p : X → R được gọi là một chuẩntrên X nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau

(i) p(x) ≥ 0 với mọi x ∈ X;

p(x) = 0 ⇔ x = θ (θ là kí hiệu phần tử không trong X);

(ii) p(λx) = |λ| p(x) với mọi số λ ∈ K và mọi x ∈ X;

(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ X

Số p(x) còn được gọi là độ dài của vectơ x, thông thường ta kí hiệuchuẩn của x là kxk

Không gian vectơ X cùng với chuẩn k·k trong nó được gọi là mộtkhông gian định chuẩn, kí hiệu (X, k·k)

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử X là không gian định chuẩn Với mọi x, y ∈ X,đặt

d(x, y) = kx − yk Khi đó, d là một metric trên X

Định nghĩa 1.1.3 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi

là hội tụ đến x0 ∈ X nếu

limn→∞kxn − x0k = 0

Khi đó, ta kí hiệu

limn→∞xn = x0 hoặc xn → x0, khi n → ∞.

Định nghĩa 1.1.4 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi

là một dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu

limm,n→∞kxm − xnk = 0

Định nghĩa 1.1.5 Không gian định chuẩn được gọi la không gianBanach nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ

Không gian Banach còn được gọi là không gian định chuẩn đầy đủ.1.1.2 Không gian Lp

Định nghĩa 1.1.6 Cho (X, S, µ) là một không gian đo được, trong đó

X là một tập và

(i) S là một σ – đại số trong X, nghĩa là S là một họ những tập concủa X sao cho

(a) ∅ ∈ S;

(b) A ∈ S ⇒ Ac ∈ S, Ac = XA (là phần bù của A trong X);(c) Nếu An ∈ S, (n = 1, 2, ) thì S∞n=1An ∈ S

(ii) µ là một độ đo xác định trên S, nghĩa là µ : S → [0, ∞) thỏa mãn(a) µ(∅) = 0;

(b) Nếu (An) là họ đếm được các phần tử rời nhau của S, thì

µ(S∞n=1An) =P∞n=1µ(An)

Phần tử của S gọi là tập đo được Ta có thể viết |A| thay cho µ(A).Tập A ∈ S với tính chất µ(A) = 0 gọi là tập có độ đo không Ta nóirằng, một tính chất nào đó đúng hầu khắp nơi trên X nếu tính chất đóđúng khắp nơi trên X ngoại trừ một tập có độ đo không nào đó của X.Hàm f : X → R gọi là đo được trên A đối với σ - đại số S nếu

∀a ∈ R : {x ∈ A : f(x) < a} ∈ S

Trong trường hợp X = Rn và S là những tập hợp đo được theo nghĩaLebesgue thì ta nói tắt f (x) là hàm đo được Khi đó, tích phân Lebesguecủa hàm f (x) trên tập đo được A được kí hiệu là

Z

A

f (x)dµ(x) hoặc

ZA

f (x)d(x) hoặc

ZA

µ{x ∈ X : f (x) 6= g(x)} = 0

Định nghĩa 1.1.7 Cho (X, S, µ) là một không gian đo được Kí hiệu

L1(X, µ) (hoặc L1) là không gian các hàm khả tích trên X với

kf kL1 = kf k1 =

ZX

|f | dµ =

Z

|f |

Cho p ∈ R với 1 < p < ∞, kí hiệu, Lp là không gian các hàm số f (x)

có lũy thừa bậc p khả tích trên X, nghĩa là |f (x)|p ∈ L1 với

kf kLp = kf kp =

ZX

|f |pdµ

1/p

Kí hiệu L∞ là không gian các hàm đo được trên X sao cho tồn tạihằng số C ≥ 0 để |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi trên X với

kf kL∞ = kf kp = inf{C : |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi trên X}

Định nghĩa 1.1.8 (không gian Lp) Cho (X, S, µ) là một không gian

đo được Họ tất cả các hàm số f (x) có lũy thừa bậc p (1 ≤ p < ∞) củamodun khả tích trên X, tức là sao cho

kf kp =



ZX

gọi là không gian Lp(X, µ)

Khi đó, Lp(X, µ) là tập các lớp tương đương (nghĩa là bằng nhau hầukhắp nơi) Khi X là một tập đo được Lebesgue trong Rk, µ là độ đoLebesgue thì ta viết Lp(X) Nếu X = [a, b] ⊂ R1, µ là độ đo Lebesguethì ta viết Lp(a, b) hoặc Lp[a,b] và nếu X = [0, 1] thì viết đơn giản Lp.Định lý 1.1.9 Các không gian Lp với chuẩn cho bởi kf kLp như trongđịnh nghĩa trên là những không gian Banach

1.1.3 Không gian các hàm thử (Không gian các hàm kiểm tra)Cho Ω là một tập con mở trong Rn, không gian

C∞0 (Ω) =  u ∈ C∞(Ω)| Giá compact trong Ω gồm các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong Ω gọi là không giancác hàm thử trên Ω (hay không gian các hàm kiểm tra trên Ω)

Không gian C0∞(Ω) thường được kí hiệu D (Ω)

Giá của hàm liên tục u (Kí hiệu là supp u) xác định bởi:

suppu := {x ∈ Ω | u (x) 6= 0}

1.1.4 Không gian Sobolev

Cho Ω là một tập mở con của Rn có biên là ∂Ω

Định nghĩa 1.1.10 Cho số nguyên m > 0 và 1 ≤ p ≤ ∞ Không gianSobolev được định nghĩa như sau

Wm,p(Ω) là một không gian vectơ.

Trên Wm,p(Ω), ta trang bị một chuẩn k·km,p,Ω như sau

kukm,∞,Ω = max

0≤|α|≤m

kDαukL∞ (Ω).Trường hợp đặc biệt p = 2, ta kí hiệu Wm,2(Ω) = Hm(Ω), cho u ∈

1.1.5 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.11 Cho H là một không gian vectơ trên trường số C(gọi tắt là không gian vectơ phức)

Ánh xạ

H × H → C(x, y) 7→ hx, yiđược gọi là một tích vô hướng trên H nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau

(i) hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈H;

hx, xi = 0 ⇔ x = θ ( θ là kí hiệu phần tử không trong H );

(ii) hx, yi = hy, xi hay hy, xi = hx, yivới mọi x, y ∈ H;

(iii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H;

(iv) hλx, yi = λ hx, yi với mọi x ∈ H, mọi số λ ∈ C

Các phần tử x, y, z gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số hx, yi gọi làtích vô hướng của hai nhân tử x và y

Bốn tiên đề này được gọi là các tiên đề tích vô hướng

Định nghĩa 1.1.12 Cho H là một không gian vectơ trên trường số

C Ánh xạ B : H × H → C được gọi là một dạng tuyến tính rưỡi nếuB(x0, ·) là tuyến tính, B(·, y0) là liên hợp tuyến tính:

B(x + y, z + w) = B(x, z) + B(x, w) + B(y, z) + B(y, w),

B(αx, βy) = α ¯βB(x, y)với mọi x, y, z, w ∈ H; α, β ∈ C

Định nghĩa 1.1.13 Không gian vectơ phức H được trang bị một dạngtuyến tính rưỡi h·, ·i thỏa mãn hx, xi > 0 với mọi x ∈ H \ {θ}, được gọi

là không gian có tích vô hướng (θ kí hiệu là phần tử không trong H).Khi đó, h·, ·i gọi là tích vô hướng trên H Không gian có tích vô hướngcòn gọi là không gian tiền Hilbert

Cho H là không gian tiền Hilbert Với mỗi x ∈ H, ta đặt kxk =phx, xi Khi đó, ta có bất đẳng thức (Cauchy–Schwarz):

|hx, yi| ≤ kxk kyk , ∀x, y ∈ H

Từ bất đẳng thức trên, ta suy ra kết quả sau

Mệnh đề 1.1.14 Mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian địnhchuẩn, với chuẩn

Từ đây trở đi, H sẽ luôn hiểu là không gian Hilbert

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là một toán tử tuyến tính

Toán tử tuyến tính T được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C > 0 saocho

kT xkY ≤ CkxkXvới mọi x ∈ X

Số C nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên được gọi là chuẩn của

Mệnh đề 1.2.2 Cho T là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn

X vào không gian định chuẩn Y Khi đó, ba mệnh đề sau là tương đương(i) T bị chặn;

(ii) T liên tục;

(iii) T liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X

Định nghĩa 1.2.3 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Ta kí hiệuB(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Xvào không gian Y Ta đưa vào B(X, Y ) hai phép toán sau

• Tổng của hai toán tử A, B ∈ B(X, Y ) là một toán tử, kí hiệu là

A + B và được xác định bởi biểu thức

(A + B)(x) = Ax + Bx với mọi x ∈ X;

• Tích vô hướng của α ∈ C với toán tử A ∈ B(X, Y ) là một toán tử,

kí hiệu là αA và được xác định bởi biểu thức

(αA)(x) = α(Ax)

Dễ dàng kiểm tra được rằng A + B ∈ B(X, Y ), αA ∈ B(X, Y ) và haiphép toán trên thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ Khi đó, tậpB(X, Y ) trở thành một không gian vectơ trên trường C Trong trườnghợp Y = C thì B(X, C) được gọi là không gian liên hợp của X, kí hiệu

là X∗ Nếu Y = X thì B(X, Y ) được kí hiệu gọn lại là B(X)

Chuẩn T trong B(X, Y ) được xác định bởi

kT k = sup

x6=θ

kT xkYkxkX , x ∈ X.

Không gian B(X, Y ) với chuẩn vừa nêu ở trên là một không gian địnhchuẩn

Từ định nghĩa trên dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất

(i) kT xk ≤ kT k kxk với mọi x ∈ X;

(ii) Với mọi ε > 0, tồn tại xε ∈ X : kT k − kT xεk < ε

Mệnh đề 1.2.4 Nếu Y là không gian Banach thì B(X, Y ) là khônggian Banach

Vì C là không gian Banach nên từ mệnh đề trên suy ra X∗ luôn làkhông gian Banach

Định lý 1.2.5 ([9], Theorem VI.1, tr 184) Kí hiệu B(H) là tập cáctoán tử bị chặn trên không gian Hilbert H Cho Tn là một dãy các toán

tử bị chặn và giả sử (Tnx, y) hội tụ khi n → ∞ với mọi H Khi đó tồntại T ∈ B(H) sao cho Tn

Cho T ∈ B(X, Y ) Tập các vectơ x ∈ X sao cho T x = 0 được gọi lànhân của T , kí hiệu là Ker(T ) = {x ∈ X| T x = 0} Tập các vectơ y ∈ Ysao cho y = T x với x ∈ X được gọi là miền giá trị của T , kí hiệu làRan(T ) = {y = T x| x ∈ X} Ta có Ker(T ) và Ran(T ) là các không giancon.

Định nghĩa 1.2.6 Cho X và Y là hai không gian Banach, T là toán

tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y Toán tử liên hợp (trong không gianBanach) của T , kí hiệu là T0, là toán tử tuyến tính bị chặn từ Y∗ tới X∗được cho bởi công thức

(T0`)(x) = `(T x)với ∀` ∈ Y∗, x ∈ X

Định lý 1.2.7 ([9], Theorem VI.2, tr 186) Cho X, Y là hai không gianBanach Ánh xạ T → T0 là một phép đẳng cấu đẳng cự của B(X, Y ) vàoB(Y∗, X∗)

Đặc biệt, T là phép biến đổi tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert

H vào chính nó Khi đó, liên hợp không gian Banach của T là ánh xạ từ

H∗ tớiH∗ Cho C : H → H∗ là ánh xạ ứng với mỗi y ∈ H, là phiếm hàmtuyến tính bị chặn (y, ·) trong H∗ Xét C là một phép đẳng cự tuyếntính liên hợp và toàn ánh Chúng ta định nghĩa ánh xạ T∗ bởi công thức

T∗ = C−1T0C

Khi đó, T∗ thỏa mãn

(x, T y) = (Cx)(T y) = (C−1T0Cx, y) = (T∗x, y)

T∗ được gọi là liên hợp (trong không gian Hilbert) của T nhưng chúng

ta thường gọi là liên hợp và kí hiệu là T∗ để phân biệt với T0 Chú ýrằng, ánh xạ T → T∗ là tuyến tính liên hợp nghĩa là αT → αT∗, do C

(e) Ánh xạ T → T∗ luôn liên tục trong tôpô toán tử yếu và đều nhưng

nó chỉ liên tục trong tôpô toán tử mạnh nếu H là hữu hạn chiều;(f) kT∗T k = kT k2

Định nghĩa 1.2.9 Toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert đượcgọi là tự liên hợp nếu T = T∗

Định nghĩa 1.2.10 Nếu P ∈ B(H) và P2 = P thì P được gọi là mộtphép chiếu Nếu thêm điều kiện P = P∗ thì P được gọi là phép chiếutrực giao

Định nghĩa 1.2.11 Cho X là không gian Banach, B(X) tà tập cáctoán tử tuyến tính bị chặn trên X Toán tử A ∈ B(X) được gọi là khả

nghịch nếu tồn tại toán tử B ∈B(X) sao cho AB = BA = 1 (1 là toán

tử đơn vị trong X) Khi đó, toán tử B được gọi là toán tử ngược của A

kA − Bk < 1

kA−1kthì toán tử B khả nghịch

Định nghĩa 1.2.15 Toán tử T được gọi là compact nếu nó liên tục vàbiến mỗi tập bị chặn thành tập compact tương đối, nghĩa là nếu M làtập bị chặn thì T (M ) là compact tương đối (T (M ) compact)

Định nghĩa 1.2.16 Toán tử Hilbert–Schmidt T là toán tử trên H thỏamãn tính chất

∞Xn=1

kT enk2 < ∞,với {e1, , en, } là một cơ sở trực chuẩn của H

Toán tử Hilbert–Schmidt không chỉ là toán tử bị chặn mà còn pact

com-1.3 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn

Định nghĩa 1.3.1 Cho X là không gian Banach trên trường số C,B(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X, toán tử T ∈ B(X).Phổ của toán tử T kí hiệu là σ(T ) là tập tất cả các số phức λ sao cho(T − λ1) /∈ B(X)−1

( B(X)−1

là tập tất cả các toán tử khả nghịch củaB(X)) trong đó 1 là toán tử đơn vị trong X

Định nghĩa 1.3.2 Cho T ∈ B(H) Tập hợp giải được của T xác địnhbởi

ρ(T ) =

n

λ ∈ C| (T − λ1)−1 ∈ B(H)o (1.1)chính xác hơn, số phức λ ∈ ρ(T ) khi và chỉ khi (T − λ1) là song ánh vớitoán tử ngược bị chặn Dễ thấy, phần bù của tập giải được chính là phổ.Tức là

Đặc biệt, λ ∈ σ(T ) nếu (T − λ1) có một hạt nhân không tâm thường.Một vectơ ψ ∈ Ker(T − λ1) được gọi là vectơ riêng và λ được gọi là giátrị riêng tương ứng

Hàm

RT : ρ(T ) → B(H)

λ 7→ (T − λ1)−1được gọi là giải được của T tại λ Ta có công thức sau

RT(λ)∗ = ((T − λ1)−1)∗ = ((T − λ1)∗)−1 = (T∗ − λ∗)−1 = RA∗(λ∗)

Đặc biệt,

ρ(T∗) = ρ(T )∗.Định nghĩa 1.3.3 Cho T ∈ B(X), ta đưa ra các định nghĩa sau:(a) x 6= θ, x ∈ X thỏa mãn T x = λx với λ ∈ C được gọi là vectơ riêngcủa T , λ tương ứng được gọi là giá trị riêng Nếu λ là một giá trịriêng thì (T − λ1) không là đơn ánh do đó λ thuộc phổ của T Tậpcác giá trị riêng của T được gọi là phổ điểm (point spectrum) của

T , kí hiệu là σp(T );

(b) Nếu λ không là giá trị riêng và nếu Ran(T − λ1) không trù mật thì

λ thuộc phổ dư (residual spectrum);

(c) Phổ rời rạc (discrete spectrum), kí hiệu σd(T ) là tập các giá trịriêng bị cô lập với số bội hữu hạn Khi T là toán tử liên hợp thì

σd(T ) =  λ ∈ σp(T )| rank(PT(λ − ε, λ + ε)) < ∞ với mỗi ε > 0 ;

(d) Phổ thiết yếu (essential spectrum) σess(T ) = σ(T )\σd(T ), khi T làtoán tử tự liên hợp thì

σess(T ) =  λ ∈ R| rank(PT(λ − ε, λ + ε)) = ∞ với mỗi ε > 0 Định lý 1.3.4 ([11], Theorem 2.14, tr 70) Tập giải được ρ(T ) là tập

mở và RT : ρ(T ) → B(H) là hàm giải tích, nghĩa là có khai triển chuỗilũy thừa hội tụ tuyệt đối quanh điểm λ0 ∈ ρ(T ) Thêm vào đó

kRT(λ)k ≥ disk(λ, σ(T ))−1.Nếu T bị chặn thì ta có {λ ∈ C| |λ| > kT k} ⊆ ρ(T )

Bổ đề 1.3.5 ([11], Lemma 2.15, tr 71) Ta có λ ∈ σ(T ) nếu tồn tại dãy(ψn) ∈ D(T ) thỏa mãn k(T − λ)ψnk → 0 Nếu λ là điểm biên của ρ(T )thì điều ngược lại vẫn đúng Dãy (ψn) có tính chất như trên được gọi làdãy Weyl.

Một số kết quả về ánh xạ phổ

Bổ đề 1.3.6 ([11], Lemma 2.16, tr 71) Giả sử T là đơn ánh Khi đó

σ(T−1)\ {0} = (σ(T )\ {0})−1.Ngoài ra, ta có T ψ = λψ khi và chỉ khi T−1ψ = λ−1ψ, λ 6= 0

Định lý 1.3.7 ([11], Theorem 2.17, tr 71) Cho T là toán tử đối xứng.Khi đó T là toán tử tự liên hợp khi và chỉ khi σ(T ) ⊆ R và (T − X) ≥ 0,

X ∈ R khi và chỉ khi σ(T ) ⊆ [X, ∞] Hơn nữa kRT(λ)k ≤ |Im(λ)|−1 nếu(T − E) > 0; kRT(λ)k ≤ |λ − X|−1 nếu λ < X

Định lý 1.3.8 ([11], Theorem 2.18, tr 72) Cho T là toán tử tự liênhợp Khi đó

inf σ(T ) = inf

ψ∈D(T ),kψk=1hψ, T ψivà

sup σ(T ) = sup

ψ∈D(T ),kψk=1

hψ, T ψi Định lý 1.3.9 ([11], Theorem 2.19, tr 72) Cho T là toán tử đối xứng.Khi đó, tất cả các giá trị riêng nhận giá trị thực và các vectơ riêng tươngứng với các giá trị riêng này trực giao

Định lý 1.3.10 ([11], Theorem 2.20, tr 72) Giả sử T là toán tử đốixứng có cơ sở trực chuẩn của các hàm riêng {ϕj} Khi đó, T là toán tử

tự liên hợp thiết yếu Đặc biệt, nó tự liên hợp thiết yếu trên span(ϕj)

1.4 Toán tử tuyến tính không bị chặn

Không phải tất cả toán tử trong Vật lí, Toán học đều bị chặn Nhữngtoán tử không bị chặn không thể xác định khắp nơi trên toàn bộ khônggian

Định lý 1.4.1 (Hellinger–Toeplitz, [9], tr 84) Cho T là toán tử tuyếntính xác định khắp nơi trên không gian Hilbert H thỏa mãn hϕ, T ψi =

hT ϕ, ψi, với mọi ϕ, ψ ∈ H Khi đó T bị chặn

Như vậy, kết quả trên cho thấy rằng toán tử tuyến tính không bị chặn

T sẽ chỉ xác định trên một tập con tuyến tính trù mật của không gianHilbert H Do đó, một toán tử trên không gian Hilbert H là ánh xạtuyến tính từ miền của nó (một không gian con tuyến tính của H) vào

H Trừ khi ta chỉ định nếu không, ta sẽ luôn giả thiết rằng miền đó làtrù mật Không gian con đó được kí hiệu là D (T ), gọi là miền của toán

Toán tử T0 được gọi là một mở rộng của T (tức là T ⊂ T0) nếuD(T ) ⊆ D(T0) và T x = T0x với mọi x ∈ D(T ) Hơn nữa, ta nói T làđóng được nếu T có một mở rộng đóng Khi đó, mỗi toán tử đóng được

có một mở rộng đóng nhỏ nhất, được gọi là bao đóng của nó và kí hiệu

hT x, yi = hx, zi Với mỗi y ∈ D(T∗), ta đặt T∗y = z và toán tử T∗ này được gọi là toán

Định nghĩa 1.4.5 Toán tử không bị chặn T được gọi là đối xứng nếu

T ⊂ T∗ hay D(T ) ⊂ D(T∗) và T ϕ = T∗ϕ với mọi ϕ ∈ D(T ) Từ địnhnghĩa, ta có T là đối xứng khi và chỉ khi hT ϕ, ψi = hϕ, T ψi với mọi

ϕ, ψ ∈ D(T )

Định nghĩa 1.4.6 T được gọi là tự liên hợp nếu T đối xứng và D(T ) =D(T∗).

Một toán tử đối xứng luôn luôn đóng được, vì D(T∗) ⊃ D(T ) là trùmật trong H Nếu T đối xứng, T∗ mở rộng đóng của T thì toán tử nhỏnhất mở rộng đóng T∗∗ của T phải chứa trong T∗ Do đó, với toán tửđối xứng, ta có

T ⊂ T∗∗ ⊂ T∗với toán tử đóng đối xứng

(b) T đóng và Ker(T∗ ± i) = {0};

(c) Ran(T ± i) = H

Hệ quả 1.4.9 ([9], Corollary, tr 257) Cho T là toán tử đối xứng trênkhông gian Hilbert Khi đó, các điều sau tương đương

(a) T là tự liên hợp thiết yếu;

(b) Ker(T∗ ± i) = {0};

(c) Ran(T ± i) trù mật

Định lý 1.4.10 (Kato–Rellich, [12], Theorem 1.11.2, tr 21) Giả sử T1

tự liên hợp, T2 đối xứng với D(T1) ⊆ D(T2) Giả sử tồn tại a, b với a < 1thỏa mãn

kT2xk ≤ a kT1xk + b kxkvới mọi x ∈ D(T1) Khi đó, toán tử T1+ T2 tự liên hợp trên D(T1) và tựliên hợp thiết yếu trên miền lõi bất kỳ của T1

Toán tử T2 trong định lý Kato–Rellich có thể được coi như toán tửnhiễu của T1

1.5 Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn

Định nghĩa 1.5.1 Cho T là toán tử không bị chặn trong H Tập giảiđược của T bao gồm tất cả các số phức ρ sao cho T − ρ1 là song ánh từD(T ) lên H với phép biến đổi ngược bị chặn, 1 là toán tử đơn vị

Định nghĩa 1.5.2 Phổ của toán tử T , kí hiệu bởi σ(T ) chính là phần

bù của tập giải được trong C Mỗi giá trị riêng của T đều thuộc σ(T ).Phổ rời rạc của T , kí hiệu bởi σd(T ) là tập các giá trị riêng bị cô lập với sốbội hữu hạn Phổ thiết yếu của T , kí hiệu bởi σess(T ) là tập σ(T )\σd(T )

Như chúng ta đã biết, tập phổ của một toán tử bị chặn là bị chặn.Tuy nhiên, điều này không đúng trong trường hợp toán tử không bị chặn(xem chi tiết ở [3]).

Một phương pháp khác để xác định toán tử tự liên hợp mở rộng củamột số loại toán tử không bị chặn Đó là thông qua dạng toàn phương.Định nghĩa 1.5.3 Dạng toàn phương là một ánh xạ q : Q(q) × Q(q) →

C, trong đó Q(q) là tập con tuyến tính trù mật của H, được gọi là miềnhình thức (form domain), sao cho q(x, ·) tuyến tính và q(·, y) liên hợptuyến tính với mọi x, y ∈ Q(q)

Ta tóm lược cách làm thế nào để liên kết một dạng toàn phương vàmột toán tử không bị chặn Trước hết, ta chú ý tới định nghĩa toán tửdương mở rộng tới toán tử không bị chặn Ta nói rằng toán tử T dương,

kí hiệu T ≥ 0, nếu T đối xứng và hT x, xi ≥ 0 với mọi x ∈ D(T ) Vớimỗi toán tử dương T , ta có thể xác định một tích vô hướng hx, yiT trênD(T ) bởi

hx, yiT = hT x, yi + hx, yi Nếu ta kí hiệu Q(T ) là mở rộng của D(T ) ứng với chuẩn k·kT cảmsinh bởi tích vô hướng trên thì D(T ) ⊆ Q(T ) ⊂ H Thật vậy, ta thấyrằng nếu {xj} là dãy Cauchy trong D(T ) thì nó cũng là dãy Cauchytrong H do kxk ≤ kxkT Từ đó, ta có thể đồng nhất giới hạn trongQ(T ) với giới hạn trong H Do đó, dạng toàn phương liên hợp với T kíhiệu bởi qT có thể mở rộng tới mọi x ∈ Q(T ) bằng cách đặt

qT(x) = kx, xkT − kxk2

Ta gọi Q(T ) là miền của T Vậy, ta có thể nói rằng việc xét dạng toànphương dẫn đến cách hữu ích để xác định toán tử tự liên hợp nếu ta bắtđầu với toán tử đối xứng nửa bị chặn được cho bởi kết quả sau:

Định lý 1.5.4 (Mở rộng Friedrichs, [12], Theorem 1.11.3, tr 22) Cho

T là toán tử đối xứng nửa bị chặn, tức là giả sử tồn tại γ ∈ R sao cho

qT(x) = hT x, xi ≥ γkxk2 với mọi x ∈ D(T )

Khi đó tồn tại một mở rộng tự liên hợp T0 của T bị chặn dưới bởi γ vàthỏa mãn D(T0) ⊆ Q(T ) Hơn nữa, T0 là mở rộng tự liên hợp duy nhấtcủa T với miền chứa trong Q(T )

Điều ngược lại của kết quả này cũng rất quan trọng: Cho dạng toànphương q, câu hỏi đặt ra là liệu có một toán tử tương ứng T sao cho

q = qT không? Câu trả lời là có (xem chi tiết, [9])

Bây giờ, ta xét một dạng toàn phương của định lý Kato–Rellich đượcgọi là định lý KLMN được đưa ra bởi Kato, Lions, Lax, Milgram vàNelson Định lý này cho phép ta xét dạng tổng của các toán tử

Định lý 1.5.5 ([12], Theorem 1.11.4, tr 22) Cho T1 là toán tử tự liênhợp dương và qT2 là dạng toàn phương liên hợp với toán tử đối xứng T2,được xác định trên Q(T1) Nếu có các số thực a < 1 và b thỏa mãn

|qT2(x)| ≤ aqT1(x) + b hx, xi với mọi x ∈ Q(T1),khi đó tồn tại duy nhất toán tử tự liên hợp T với Q(T ) = Q(T1) sao cho

T liên hợp với hình thức qT1 + qT2

Trong trường hợp này, ta cũng gọi T2 là toán tử nhiễu của T1

Giả sử T1 tự liên hợp Ta nói T2 compact tương đối ứng với T1 nếuD(T1) ⊆ D(T2) và toán tử T2(T1 + i)−1 compact Thực tế, ta có thể thay

i bởi một số phức bất kì nằm trong tập giải được của T1 Ta có thể chứng

tỏ rằng T2 compact tương ứng với T1 nếu với mỗi dãy {xj} ⊂ D(T1) ⊆D(T2) thỏa mãn kT1xjk + kxjk ≤ c với c ≥ 0 thì ta có thể chọn dãy con{xjk} sao cho {T2xjk} hội tụ

Ta cũng có các kết quả sau: Nếu T1 tự liên hợp và T2 compact tươngđối ứng với T1 thì toán tử tổng T1 + T2 xác định trên D(T1) đóng Hơnnữa, toán tử tổng có cùng phổ thiết yếu với T1 Nếu ta cần T2 đối xứngthì toán tử tổng tự liên hợp

Định lý 1.5.6 ([11], Theorem 4.12, tr 113) Giả sử A là toán tử tự liênhợp và {ψj}kj=1 là hệ độc lập tuyến tính của H Cho λ ∈ R, ψj ∈ D(A).Nếu

hψ, Aψi < λkψk2với mỗi tổ hợp tuyến tính khác không ψ =

kPj=1

cjψj thìdim Ran PA(−∞, λ) ≥ k

Bổ đề 1.5.7 ([11], Lemma 6.23, tr 142) Giả sử A là toán tử tự liên hợp,

B là toán tử đối xứng và A bị chặn với cận nhỏ hơn một Nếu Kcompacttương đối với A thì nó cũng compact tương đối với A + B

Bổ đề 1.5.8 ([11], Lemma 0.13, tr 10) Cho X là không gian metriccompact địa phương Giả sử K là một tập compact và {Oj}nj=1 là mộtphủ mở Khi đó tồn tại một phân hoạch đơn vị của K phụ thuộc vào phủ

mở này, nghĩa là có các hàm số liên tục hj : X → [0, 1] sao cho hj cógiá compact chứa trong Oj và

nPj=1hj(x) ≤ 1dấu bằng xảy ra khi x ∈ K.

Chương 2 Toán tử Schr¨ odinger và toán tử

Pauli hai chiều

Toán tử Pauli hai chiều có sự biểu diễn tương tự như toán tử Schr¨odinger

Để nghiên cứu toán tử này, trước hết ta tìm hiểu về toán tử Schr¨odinger.Trong chương này, tôi xin đề cập đến ba dạng toán tử Schr¨odinger, đólà

∆j +

NXj<k

Vj,k(xj − xk)

đồng thời, tôi cũng đưa ra một số kết quả về phổ của chúng

Để thuận lợi cho việc trình bày những kiến thức ở trên, ta xét một sốđịnh nghĩa và tính chất về phép biển đổi Fourier và toán tử Schr¨odinger

tự do thông qua toán tử Laplace ∆ =

nPj=1

∂2

∂x 2

j Trong phần này, thôngqua các định lý và bổ đề để đưa ra một số kết quả liên quan tới phổcủa toán tử Schr¨odinger tự do Đặc biệt, định lý 2.1.7 nói rằng toán tửSchr¨odinger tự do tự liên hợp và σ(H0) = [0, ∞)

Sau khi nghiên cứu toán tử Schr¨odinger, ta sẽ đưa ra định nghĩa vềtoán tử Pauli hai chiều và nghiên cứu tính chất liên quan đến phổ của

chúng, đặc biệt là tính chất siêu đối xứng.

Những nội dung trình bày trong chương này chủ yếu được lấy từ [4]

Bổ đề 2.1.1 ([11], Lemma 7.1, tr 155) Xét phép biến đổi Fourier ánh

xạ không gian Schwartz vào chính nó, F : S(Rn) → S(Rn) Với mỗi đachỉ số α ∈ Nn0 và mỗi f ∈ S (Rn), ta có

(∂αf )∧(p) = (ip)αf (p),ˆ (xαf (x))∧(p) = i|α|∂αf (p).ˆ (2.2)

Chứng minh Theo công thức tích phân từng phần, ta có

= ipjf (p).ˆCông thức thứ nhất được suy ra bằng quy nạp

Tương tự, công thức thứ hai suy ra bằng quy nạp, sử dụng

Chứng minh Theo tính hội tụ bị trội, ta có

1(2π)n/2

1(2π)n/2

Z

Rn(φε(p)eipx)∧(y)f (y)dny

= limε→0

1(2π)n/2

1(2π)n/2

Z

Rn

φ1(z)f (x +√

εz)dnz = f (x)

Ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 2.1.4 ([11], Lemma 7.11, tr 163) Cho g(x) là toán tử nhân bởi

g và f (x) là toán tử được cho bởi f (p)ψ(x) = F−1f (p) ˆψ(p)(x) Kíhiệu L∞∞(Rn) là các hàm Borel bị chặn, triệt tiêu tại vô cùng Khi đó,

f (x)g(x) và g(x)f (p) là các toán tử compact nếu f, g ∈ L∞∞(Rn) và làcác toán tử Hilbert–Schmidt mở rộng nếu f, g ∈ L2(Rn)

Chứng minh Theo tính đối xứng, ta chỉ cần xét g(x)f (p) Cho f, g ∈ L2,khi đó

g(x)f (p)ψ(x) = 1

(2π)n/2

Z

Rng(x) ˇf (x − y)ψ(x)dny

Do g(x) ˇf (x − y) ∈ L2(Rn × Rn) chứng tỏ g(x)f (p) là toán tử Hilbert–Schmidt

Nếu f, g bị chặn thì các hàm fR(p) = χ{p|p2 ≤R }(p)f (p) và gR(x) =

χ{p|p2 ≤R }(x)g(x) nằm trong L2 Vậy gR(x)fR(p) compact

kg(x)f (p) − gR(x)fR(p)k ≤ kgk∞kf − fRk∞+ kg − gRk∞kfRk∞tiến đến g(x)f (p) theo chuẩn, từ đó f, g triệt tiêu tại vô cùng

Đặc biệt, từ bổ đề này dẫn đến χΩ(H0 + i)−1 là compact nếu Ω là tập

bị chặn trong Rn Do đó lim

t→∞|χΩe−itH0ψ|2 = 0 với mỗi hàm ψ ∈ L2(Rn)

và Ω bị chặn trong Rn Mặt khác, chất điểm cuối cùng sẽ di chuyển đến

vô cùng từ đó có thể tìm được chất điểm trong mỗi tập bị chặn tiến đến0

Bổ đề 2.1.5 (Riemann–Lebesgue, [11], Lemma 7.6, tr 158) Kí hiệu

C∞(Rn) là không gian Banach của tất cả các hàm số liên tục f : Rn → Ctriệt tiêu tại vô cùng được trang bị chuẩn sup Khi đó, phép biến đổiFourier là một đơn ánh bị chặn ánh xạ từ L1(Rn) vào C∞(Rn) thỏa mãn

k ˆf k∞ ≤ (2π)−n/2kf k1 (2.6)Chứng minh Rõ ràng, ta có ˆf ∈ C∞(Rn) nếu f ∈ S(Rn) Hơn nữa, từđánh giá

f = 0 Theo định lí Fubini, ta có

0 =Z

Rnϕ(x) ˆf (x)dnx =

Z

Rnˆ

ϕ (x) f (x)dnxvới mọi ϕ ∈ S(Rn) Từ đó suy ra f = 0

Định nghĩa 2.1.6 Toán tử Schr¨odinger tự do là toán tử có dạng

H0 = −∆, D(H0) = H2(Rn), (2.7)trong đó, ∆ là toán tử Laplace

∆ =

nXj=1

∂2

∂x2j.Định lý 2.1.7 ([11], Theorem 7.8, tr 161) Toán tử Schr¨odinger tự do

H0 tự liên hợp và phổ của nó được cho bởi

1

r2 − zd˜µψ(r),trong đó

Dùng phép đổi trục tọa độ, ta được

hψ, RH0(z)ψi =

ZR

1

λ − zdµψ(λ),trong đó

dλ,định lí được chứng minh

Bổ đề 2.1.8 ([11], Lemma 7.9, tr 161) Tập

Cc∞(Rn) = {f ∈ S(Rn)| supp(f ) compact} là miền lõi của H0

Chứng minh Dễ thấy S(Rn) là miền lõi nên điều kiện đủ là chứng minhbao đóng của H0|C∞

c (R n ) chứa H0|S(Rn ).Lấy hàm ϕ(x) ∈ Cc∞(Rn) sao cho hàm ϕ(x) = 1 với |x| ≤ 1 và triệttiêu với |x| ≥ 2 Đặt ϕn(x) = ϕ(n1x), khi đó ψn(x) = ϕn(x)ψ(x) nằmtrong Cc∞(Rn) với mỗi ψ ∈ S(Rn) và ψn → ψ tương ứng với ∆ψn →

∆ψ

Ta lưu ý rằng, dạng toàn phương của H0 được cho bởi

qH0(ψ) =

nXj=1

là toán tử Schr¨odinger hoặc toán tử Hamilton

Về miền xác định của toán tử H và tính liên hợp của nó được khẳngđịnh qua định lý Kato–Rellich, với H0 là toán tử tự liên hợp và giả sử V

là một toán tử đối xứng với D(H0) ⊂ D(V ) sao cho có a < 1 và số b để

kV (φ)k ≤ a kH0φk + b kφkvới mọi φ ∈ D(H0) Khi đó H0+V xác định trên D(H0)∩D(V ) ≡ D(H0)

là tự liên hợp

Toán tử H0 thường được gọi là toán tử động năng, hàm số V thườngđược gọi là toán tử thế năng

2.1.2 Một số kết quả liên quan đến phổ của toán tử Schr¨odinger

Bổ đề 2.1.10 ([11], Lemma 10.1, tr 209) Giả sử n ≤ 3 và ψ ∈ H2(R).Khi đó ψ ∈ C∞(Rn) và với mỗi a > 0 tồn tại b > 0 thỏa mãn

kψk∞ ≤ a kH0ψk + b kψk (2.10)Chứng minh Ta thấy (p2 + γ2)−1 ∈ L2

(Rn) nếu n ≤ 3 Vì thế từ(p2 + γ2) ˆψ ∈ L2(Rn),

theo bất đẳng thức Cauchy–Schwartz, ta có

k ˆψk1 = (p2 + γ2)−1(p2 + γ2) ˆψ(p)

1

≤ (p2 + γ2)−1 (p2 + γ2) ˆψ(p) Chứng tỏ ˆψ ∈ L1(Rn) Theo bổ đề Riemann–Lebesgue 2.1.5, ta có

kψk∞ ≤ (2π)−n/2 (p2 + γ2)−1 p2ψ(p)ˆ + γ2 ψ(p)ˆ



= (γ/2π)n/2 (p2 + 1)−1 γ−2kH0ψk + kψk

Bổ đề được chứng minh