Toán tử nửa đơn điệu trong không gian banach và ứng dụng

Nguyễn Năng Tâm,luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Toán tử nửađơn điệu trong không gian Banach và ứng dụng” được hoàn thànhbởi nhận thức của bản thân tác giả.. Năm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Người hướng dẫn khoa học

PGS TS Nguyễn Năng Tâm

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Năng Tâm,người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn giúp tôi có thểhoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phòngSau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tíchcùng các thầy cô trong trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡtôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anhchị, bạn bè, đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thànhkhóa học và hoàn thiện luận văn

Qua đây tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới bố mẹ, anh traicùng những người thân trong gia đình đã luôn luôn tin tưởng và khích

lệ giúp tôi hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Vũ Ngọc Hoàn

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Năng Tâm,luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Toán tử nửađơn điệu trong không gian Banach và ứng dụng” được hoàn thànhbởi nhận thức của bản thân tác giả Các trích dẫn trong luận văn đãđược chỉ rõ nguồn gốc

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng nhất

Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Vũ Ngọc Hoàn

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert 3

1.2 Toán tử liên tục, hoàn toàn liên tục 5

1.3 Không gian đối ngẫu, tôpô yếu và tôpô yếu* 7

1.4 Toán tử đơn điệu 10

1.5 Bậc tôpô 10

1.6 Không gian Sobolev 11

Chương 2 Toán tử nửa đơn điệu và ứng dụng 14

2.1 Toán tử nửa đơn điệu 14

2.2 Bất đẳng thức biến phân với toán tử nửa đơn điệu 17

2.3 Phương trình toán tử nửa đơn điệu 25

2.4 Lý thuyết bậc cho các toán tử nửa đơn điệu 29

2.5 Một số ứng dụng vào phương trình vi phân 34

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo 40

Bảng kí hiệu

E∗ Không gian liên hợp của E

E∗∗ Không gian liên hợp E∗

hx, yi Tích vô hướng của x và y

W∗F Bao đóng yếu* của WF trong E∗∗

B(0, r) Hình cầu đóng với bán kính r trong E∗∗

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Trong Giải tích hàm phi tuyến, tính compact và tính đơn điệu là haikhái niệm quan trọng Chúng có vai trò lớn trong nghiên cứu của nhiềulĩnh vực, chẳng hạn như: Phương trình vi phân thường, phương trình viphân đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân, lý thuyết điểm bất động,

lý thuyết tối ưu, Năm 1968, Browder [4] đã sử dụng sự kết hợp tínhcompact và tính tăng trưởng (accretivity) để nghiên cứu phương trìnhtoán tử, có tên là phương trình toán tử nửa tăng trưởng (semi-accretive)trong không gian Banach Từ đó đến nay khái niệm này đã có nhiều tácgiả quan tâm nghiên cứu và sử dụng xem [6], [7] và các tài liệu dẫn trong

đó Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mốiquan hệ và những ứng dụng của toán giải tích, đặc biệt là lý thuyết toán

tử và ứng dụng, tôi chọn đề tài “Toán tử nửa đơn điệu trong khônggian Banach và ứng dụng” để làm luận văn tốt nghiệp chương trìnhđào tạo Thạc sĩ

2 Mục đích

Nghiên cứu về toán tử nửa đơn điệu trong không gian Banach và ứngdụng những tính chất của chúng vào nghiên cứu bất đẳng thức biếnphân

1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu tính chất và những ứng dụng của toán tử nửa đơn điệu trongkhông gian Banach

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Phạm vi nghiên cứu: Toán tử trong không gian Banach

- Đối tượng nghiên cứu: Toán tử nửa đơn điệu và ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu tài liệu: Các bài báo đã được đăng và sách đã in liên quanmật thiết đến toán tử nửa đơn điệu và ứng dụng

- Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm, phương trình toán tử

6 Đóng góp mới

- Trình bày tổng quan về toán tử nửa đơn điệu và một số ứng dụng

- Chứng minh được một số tính chất đơn giản của toán tử nửa đơn điệu

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày những khái niệm cơ bản và một số kiến thức xemnhư là công cụ sẽ dùng đến trong chương sau Những nội dung này khôngchứng minh có thể tìm thấy trong [1, 3, 9, 10]

1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1 Cho E là một không gian vectơ trên trường số thực.Một chuẩn trên E là một hàm x 7→ ||x|| từ E vào R thỏa mãn các điềukiện sau với mọi x, y ∈ E, mọi λ ∈ R:

Định lý 1.1 Chuẩn x 7→ ||x|| là một hàm liên tục từ E vào R

Định lý 1.2 Giả sử E là một không gian định chuẩn Khi đó ánh xạ(x, y) 7→ x + y từ E × E vào E và (λ, x) 7→ λx từ R × E vào E là liêntục

3

Định nghĩa 1.3 Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ.Định nghĩa 1.4 Cho E là một không gian vectơ trên trường số thực.Một dạng Hermite trên E là một hàm ϕ : E × E → R thỏa mãn:

Bổ đề 1.2 Một dạng Hermite dương ϕ trên E là một tích vô hướng nếu

và chỉ nếu ϕ(x, y) = 0 với mọi y ∈ E thì x = 0

Bổ đề 1.3 (Bất đẳng thức Minkowski)

Nếu ϕ là dạng Hermite dương thìpϕ(x + y, x + y) ≤ pϕ(x, x)+pϕ(y, y)với mọi x, y ∈ E

Định nghĩa 1.7 Một không gian tiền Hilbert là một không gian địnhchuẩn, với chuẩn sinh bởi tích vô hướng.

Nếu E là một không gian tiền Hilbert thì thay cho ϕ(x, y) ta còn viết

hx, yi và gọi số này là tích vô hướng của x và y

Định lý 1.3 Từ định nghĩa của tích vô hướng và bất đẳng thức Minkowski

1.2 Toán tử liên tục, hoàn toàn liên tục

Định nghĩa 1.9 Giả sử E và F là các không gian vectơ trên trường sốthực, A : E → F là một ánh xạ tuyến tính nếu:

i) A (x1 + x2) = Ax1 + Ax2 với mọi x1, x2 ∈ E;

ii) A (αx) = αAx với mọi x ∈ E và với mọi số α ∈ R

Ở đây, để cho gọn ta viết Ax thay cho A (x) để chỉ từng phần tử ứngvới x trong ánh xạ A Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyếntính

Định lý 1.5 Giả sử A là một toán tử tuyến tính từ không gian địnhchuẩn E vào không gian định chuẩn F Khi đó các mệnh đề sau là tươngđương:

a) A là liên tục đều;

b) A là liên tục;

c) A liên tục tại điểm 0 ∈ E;

d) A bị chặn, tức là tồn tại số k > 0 sao cho ||A(x)|| ≤ k||x|| vớimọi x ∈ E

Định nghĩa 1.10 Giả sử E và F là hai không gian tuyến tính địnhchuẩn trên cùng trường số thực Kí hiệu L(E, F ) là không gian các ánh

xạ tuyến tính liên tục từ E vào F

Định nghĩa 1.11 L(E, F ) là không gian vectơ con của R-không gianvectơ L(E, F ) tất cả các ánh xạ tuyến tính từ E vào F Với mỗi A ∈L(E, F ), đặt:

||A|| = inf{k : ||Ax|| ≤ k ||x|| với mọi x ∈ E}

Bổ đề 1.4 Hàm A 7→ ||A|| là một chuẩn trong L(E, F )

Định lý 1.6 Nếu F là không gian Banach thì không gian L(E, F ) làBanach

Định lý 1.7 Nếu A : E → F và B : F → G là các ánh xạ tuyến tínhliên tục thì A ◦ B là ánh xạ tuyến tính và ||A ◦ B|| ≤ ||A|| ||B||

Định nghĩa 1.12 Cho E và F là các không gian định chuẩn Toán tửtuyến tính A : E → F được gọi là toán tử compact nếu ảnh A(B) củahình cầu đơn vị B trong E là compact tương đối trong F.

Như vậy, nếu A là toán tử compact thì

b) Nếu X là tập bị chặn trong E thì A(X) là tập compact tương đốitrong F ;

c) Nếu dãy {xn} là dãy bị chặn trong E thì tồn tại dãy con {xnk}

để dãy {Axnk} hội tụ trong F

1.3 Không gian đối ngẫu, tôpô yếu và tôpô yếu*

Định nghĩa 1.13 Giả sử E là một không gian định chuẩn trên trường

số thực Ta gọi E∗ = L(E, R) là không gian liên hợp (hay là không gianđối ngẫu) của E và gọi (E∗)∗ = E∗∗ = L(E∗, R) là không gian liên hợpthứ hai của E

Bây giờ, xét ánh xạ ϕ : E → E∗∗ xác định bởi ϕ(x)(f ) = f (x) vớimọi x ∈ E, f ∈ E∗ Giả sử x, y ∈ E, α, β ∈ R ta có

ϕ(αx + βy)(f ) = f (αx + βy) = αf (x) + βf (y)

= (αϕ(x))(f ) + (βϕ(y))(f )với mọi f ∈ E∗, vậy ϕ là ánh xạ tuyến tính Mặt khác

|ϕ(x)(f )| = |f (x)| ≤ ||f ||.||x|| với mọi f ∈ E∗nên

||ϕ(x)|| = sup

kf k=1

|ϕ (x) (f )| ≤ kxk Với mọi x ∈ E, x 6= 0 tồn tại f ∈ E∗ với ||f || = 1 và f (x) = ||x||

tất cả các hợp tùy ý của các giao hữu hạn của các tập đã chỉ ra Mộtcách cụ thể W ∈ σ nếu và chỉ nếu mọi x ∈ W tồn tại hữu hạn hàm

f1, f2, , fn ∈ E∗ và ε > 0 sao cho U (f1, f2, , fn, x, ε) ⊂ W, ở đây

Sự hội tụ yếu có đặc trưng sau đây

Bổ đề 1.5 Dãy {xn} trong không gian định chuẩn E hội tụ yếu đến

x ∈ E nếu và chỉ nếu f (xn) → f (x) với mọi f ∈ E∗

Từ bổ đề này ta thấy rằng nếu xn → x thì xn * x Điều ngược lạichỉ luôn luôn đúng trong trường hợp E hữu hạn chiều

Nhờ phép nhúng ϕ : E → E∗∗, mỗi x ∈ E được đồng nhất với một phần

tử của E∗∗, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E∗

Định nghĩa 1.17 Tôpô yếu nhất trên E∗ để các phiếm hàm x ∈ E ≡ϕ(E) ⊂ E∗∗ liên tục được gọi là tôpô yếu* trên E∗

1.4 Toán tử đơn điệu

Định nghĩa 1.18 Một ánh xạ T từ một không gian Banach E vào E∗gọi là một toán tử đơn điệu nếu

hT x − T y, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ E

Ví dụ 1.1 Cho C là một tập con không rỗng, lồi, đóng, bị chặn trongkhông gian Hilbert H và cho U (nói chung phi tuyến) là ánh xạ khônggiãn (nonexpansive) của C vào chính nó ||U (x) − U (y)|| ≤ ||x − y||với mọi x, y ∈ C Cho I kí hiệu là ánh xạ đồng nhất trong H; khi đó

T = I − U là đơn điệu với D(T ) = C

Thật vậy, với mọi x, y ∈ C,

Cho f : Ω ⊂ Rn → R là hàm khả vi tại x0, ta gọi Jf(x0) = det f0(x0) làJacobi của f tại x0

Định nghĩa 1.19 Cho Ω ⊂ RN là tập mở bị chặn và f ∈ C1(Ω) Nếu

p /∈ f (∂Ω) và Jf(p) 6= 0 Khi đó ta định nghĩa

deg(f, Ω, p) = X

x∈f −1 (p)

sgn Jf(x),trong đó deg(f, Ω, p) = 0 nếu f−1(p) = ∅

Định nghĩa 1.20 Cho ánh xạ T : E → E∗ được gọi là một toán

tử thuộc lớp (S+) nếu với bất kỳ dãy un nằm trong E mà un * u vàlim sup

n→∞

hT (un), un− ui ≤ 0 ta đều có un → u

Định lý 1.10 Cho J : E → E∗ là ánh xạ đối ngẫu, Ω ⊂ E là một tập

mở bị chặn và T : Ω → E∗ là toán tử demi-liên tục của lớp (S+), tức làvới bất kì dãy xn → x ta có T xn * T x0 và θ∗ ∈ T (∂Ω) Khi đó bậc tôpô/deg(T, Ω, θ∗) thỏa mãn điều kiện sau:

deg (T, Ω1, θ∗) + deg (T, Ω2, θ∗) = deg (T, Ω1 ∪ Ω2, θ∗) ;

(d) Nếu {Tt}[0,1] là một đồng luân của lớp (S+) và θ∗ ∈ T/ t(∂Ω) khi

đó deg (T, Ω, θ∗) không phụ thuộc t ∈ [0, 1]

1.6 Không gian Sobolev

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm không gian Sobolev dựatheo tài liệu [3]

Định nghĩa 1.21 Giả sử u, v ∈ L1loc(Ω) và α là một đa chỉ số Ta nóirằng v là đạo hàm yếu cấp α của u nếu

kukwm

p (Ω) =



X

Chuẩn tương ứng sinh bởi tích vô hướng này là:

kukHm (Ω) =



X

Chương 2 Toán tử nửa đơn điệu và ứng dụng

Chương này trình bày khái niệm toán tử nửa đơn điệu trong không gianBanach, một số tính chất đặc trưng và ứng dụng của nó Các kết quảnày được trình bày dựa trên tài liệu [7] Trong chương này, E là khônggian Banach thực, E∗ là không gian đối ngẫu của E và E∗∗ là khônggian đối ngẫu của E∗

2.1 Toán tử nửa đơn điệu

Định nghĩa 2.1 Ánh xạ A : E∗∗× E∗∗ → E∗ gọi là nửa đơn điệu nếu

A thỏa mãn:

i) Với mỗi u ∈ E∗∗, A(u, ) là đơn điệu, nghĩa là

hA (u, v) − A (u, w) , v − wi ≥ 0, ∀u, v, w ∈ E∗∗;

ii) Với mỗi v ∈ E∗∗ cố định, A (., v) là toán tử hoàn toàn liên tục,nghĩa là, nếu uj * u0 trong tôpô yếu* của E∗∗, thì {A (uj, v)} cómột dãy con A (ujk, v) → A (u0, v) trong tôpô chuẩn của E∗

Định lý 2.1 Cho A, B là các toán tử nửa đơn điệu, khi đó:

1) A + B cũng là toán tử nửa đơn điệu;

2) αA cũng là toán tử nửa đơn điệu ∀α ∈ R+

14

Chứng minh 1) Thật vậy,

i) ∀u, v, w ∈ E∗∗ ta có:

h(A + B)(u, v) − (A + B)(u, w), v − wi

= h[A(u, v) − A(u, w)] + [B(u, v) − B(u, w)], v − wi

= hA(u, v) − A(u, w), v − wi + hB(u, v) − B(u, w), v − wi ≥ 0.ii) Với mỗi v ∈ E∗∗ cố định, ta chứng minh (A + B)(., v) là toán tửhoàn toàn liên tục

Thật vậy, với bất kì dãy uj * u0 trong tôpô yếu* của E∗∗ khi đó,

do A là nửa đơn điệu nên ta có {A(uj, v)} là compact tương đối và

do đó tồn tại các dãy con {A(ujk, v)} mà A(ujk, v) → A(u0, v) Vì dãy

ujk * u0 trong tô pô yếu* của E∗∗ và B là nửa đơn điệu nên {B(ujk, v)}

là compact tương đối và do đó có dãy con hội tụ B(ujkl, v): B(ujkl, v) →B(u0, v) trong tôpô chuẩn của E∗ Khi đó rõ ràng là A(uj

kl, v) cũng hội

tụ đến A(u0, v) và ta có

||(A + B)(ujkl, v) − (A + B)(u0, v)||E∗

= ||A(ujkl, v) − A(u0, v) + B(ujkl, v) − B(u0, v)||E∗

≤ ||A(ujkl, v) − A(u0, v)||E∗ + ||B(ujkl, v) − B(u0, v)||E∗ → 0,khi k → ∞ Hay dãy {(A + B)(uj, v)} có dãy con (A + B)(ujkl, v) →(A + B)(u0, v) trong tôpô chuẩn trong E∗

Vậy A + B là toán tử nửa đơn điệu

2) Thật vậy,

i) ∀u, v, w ∈ E∗∗, ∀α ∈ R+ ta có:

h(αA)(u, v) − (αA)(u, w), v − wi = hαA(u, v) − αA(u, w), v − wi

= α hA(u, v) − A(u, w), v − wi ≥ 0.ii) Với mỗi v cố định thuộc E∗∗, giả sử uj * u0 trong tôpô yếu* của E∗∗,

do A là toán tử nửa đơn điệu, nên dãy A(uj, v) có một dãy con

A(ujk) ⊂ A(uj, v)sao cho

A(ujk, v) → A(u0, v) khi k → ∞trong tôpô chuẩn của E∗ hay

⇒ kA (ujk, v) − A (u0, v)kE∗ → 0, (k → ∞)khi đó, ∀α ∈ R+ ta có:

||(αA)(ujk, v) − (αA)(u0, v)||E∗ = ||α[A(ujk, v) − A(u0, v)]||E∗

= α||A(ujk, v) − A(u0, v)||E∗ → 0, (k → ∞).Suy ra dãy {(αA)(uj, v)} có dãy con {(αA)(ujk, v)} mà

(αA)(ujk, v) → (αA)(u0, v), (k → ∞)trong tôpô chuẩn của E∗

Ví dụ 2.1 Cho ánh xạ A : R × R → R với A(u, v) = u2v Khi đó A làtoán tử nửa đơn điệu

Thật vậy,

i) Ău, ) đơn điệu: Với mọi u, v, w ∈ R ta có

hA (u, v) − A (u, w) , v − wi = 2v − u2w, v − w

= (u2v − u2w)(v − w) = u2(v − w)2 ≥ 0.ii) ∀v0 ∈ R, Ặ, v) là toán tử hoàn toàn liên tục: Với Ău, v0) = u2v0.Lấy (xn) bị chặn trong R ta cần chứng minh Ăxn, v0) là compact tươngđốị

Thật vậy, do (xn) bị chặn nên |xn| ≤ M, ∀n ≥ n0

⇒ |Ăxn, v0)| = |x2nv0| ≤ M2|v0|, ∀n ≥ n0.Vậy dãy Ăxn, v0) là dãy bị chặn trong R, theo nguyên lí Bolzano Weier-strass tồn tại một dãy con hội tụ Ăxnk, v0) trong R

Vậy Ặ, v0) hoàn toàn liên tục

Từ i) và ii) suy ra A là toán tử nửa đơn điệụ

2.2 Bất đẳng thức biến phân với toán tử nửa đơn

điệu

Định nghĩa 2.2 Cho A : E∗∗× E∗∗ → E∗ là nửa đơn điệu và K ⊂ E∗∗

là một tập con lồi đóng Bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán:

Tìm w0 ∈ K sao chohĂw0, w0), u − w0i ≥ 0, ∀u ∈ K

Ta sẽ chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử sau

Ău, u) + f (u) = 0, u ∈ E∗∗,

trong đó f : E∗∗ → E∗ là ánh xạ hoàn toàn liên tục.

Trong phần này chúng ta ký hiệu * là sự hội tụ yếu* trong E∗∗.Định nghĩa 2.3 Toán tử A : D (A) ⊂ E∗∗ → E∗ gọi là hemi-liên tụctại x0 ∈ D(A) nếu với bất kì y ∈ E∗∗, t ∈ (0, +∞) mà x0 + ty ∈ E∗∗, tacó

hA (x0 + ty), zi → hAx0, zi , ∀z ∈ E∗∗ khi t → 0+

Bổ đề 2.1 Cho A : K ⊆ E∗∗ → E∗ là một toán tử đơn điệu hemi-liêntục, K là tập con lồi và x0 ∈ K là một điểm cho trước Khi đó

hAx0, x − x0i ≥ 0 với mọi x ∈ Kkhi và chỉ khi

hAx, x − x0i ≥ 0 với mọi x ∈ K

Định lý 2.2 Cho E là không gian Banach thực, K ⊂ E∗∗ là tập con lồiđóng bị chặn, A (u, v) : K × K → E∗ là toán tử thỏa mãn các điều kiệnsau:

(i) A là nửa đơn điệu;

(ii) Với mỗi u ∈ K, A (u, ·) : K → E∗ là liên tục hữu hạn chiều,nghĩa là với bất kì F ⊂ E∗∗ là không gian con hữu hạn chiều bất kỳ,thì A (u, ·) : K ∩ F → E∗ là liên tục

Khi đó tồn tại w0 ∈ K, sao cho

hA (w0, w0) , u − w0i ≥ 0, ∀u ∈ K

Chứng minh Cho F ⊂ E∗∗ là không gian con hữu hạn chiều, sao cho

KF = F ∩ K 6= ∅ Với mỗi v ∈ E∗, xét bài toán bất đẳng thức biến phânsau :

v0 ∈ T v0 Vì vậy, ta có

hA (v0, v0) , u − v0i ≥ 0, ∀u ∈ KF (2.2)Đặt

F = {F ⊂ E : F là không gian hữu hạn chiều và F ∩ K 6= ∅}.Đặt

WF = {w ∈ K, sao cho hA (w, u) , u − wi ≥ 0, ∀u ∈ KF}, F ∈ F Theo (2.2) và Bổ đề 2.1, ta có WF là khác rỗng và bị chặn Kí hiệu W∗Fbao đóng yếu* của WF trong E∗∗ Khi đó W∗F là compact yếu* trong

hA(w0, u), u − w0i ≥ 0.

Theo Bổ đề 2.1, ta có

hA(w0, w0), u − w0i ≥ 0, ∀u ∈ K

Bây giờ, nếu E là không gian Banach phản xạ, ta có E∗∗ = j (E),trong đó j : E → E∗∗ là ánh xạ đối ngẫu xác định bởi (jx, f ) = (f, x) ,với mọi x ∈ E, f ∈ E∗, ánh xạ j là đẳng cự, vì thế ta có thể coi E = E∗∗qua phép đẳng cự Kết quả sau là một hệ quả của Định lý 2.2

Định lý 2.3 Cho E là không gian Banach phản xạ thực và K ⊂ E làtập con lồi đóng bị chặn Cho A : K × K → E∗ là một ánh xạ thỏa mãn:(i) A là nửa đơn điệu;

(ii) Với u ∈ K, A (u, ·) : K → E∗ là liên tục hữu hạn chiều