Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r)

Tức là, các phương trình mô tả các quá trình Vật lí là bất biến dưới phép biến đổi tổng quát.Lý thuyết tương đối hẹp đưa ra các phương trình về chuyển động của các vật thể chuyển động k

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

Đào Thị Kiều Vân

Sự GIÃN NỞ NHANH CỦA vũ TRỤ THỜI KÌ ĐAU TRONG LÝ THUYẾT

TƯƠNG Đối TỎNG QUÁT MỞ

RỘNG f(R)

CHUYÊN NGÀNH: Vật lý lý thuyết và vật lý toán MÃ SỐ: 60

LUẬN VĂN THẠC Sĩ KHOA HỌC VẬT CHAT

Hà Nội - 2014

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Đỗ Thị Hương

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Đỗ Thị Hương, người đã định hướng chọn

đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lí toán đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên

và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

g i ả

Đào Thị Kiều Vân

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của TS

Đỗ Thị Hương

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Các thông tin trích dẫn và tài liệu tham khảo đã được chỉ rõ nguồn gốc.

g i ả

Đào Thị Kiều Vân

Mục lục

4

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết tương đối tổng quát mô tả mối liên hệ tính chất hình học của không gian

và vật chất Mối liên hệ này được thể hiện thông qua phương trình Einstein Robertson

và Walker đã áp dụng phương trình Einstein và tìm ra được lời giải của metric mô tả tính chất hình học của không gian là đồng nhất và đẳng hướng, giãn nở đồng đều Dựa trên metric Robertson Walker, Friedmann đã tính toán tensor độ cong của không gian

và tìm ra được lời giải mô tả sự tiến hóa của Vũ trụ Mô hình vũ trụ dựa trên các điều kiện của không thời gian như trên được gọi là mô hình Vũ trụ chuẩn Các tiên đoán của mô hình là hoàn toàn phù hợp với các thời kỳ mà mật độ vật chất và mật độ bức

xạ chiếm ưu thế Tuy nhiên, mô hình Vũ trụ chuẩn còn gặp phải các vấn đề khó khăn khi giải quyết các vấn đề:

- Vũ trụ phẳng

- Vấn đề đường chân trời

- Vấn đề đơn cực từ

Để giải quyết được vấn đề này, chúng ta phải giả thiết là Vũ trụ giãn nở nhanh ở thời

kỳ đầu, trước thời kỳ bức xạ Người ta gọi thời kì này là thời kì lạm phát của Vũ trụ Dựa trên kịch bản lạm phát của Vũ trụ, chúng ta không chỉ giải quyết được các khó khăn trên mà chúng ta còn có thể tiên đoán được các hiện tượng mới như bức xạ nền của Vũ trụ đã được quan sát bằng thực nghiệm hiện nay Chính vì lý do trên, chúng ta cần phải mở rộng mô hình Vũ trụ học chuẩn Chúng tôi sẽ tiếp cận cách mở rộng mô

5

hình dựa trên cách mở rộng Lagrangian của trường hấp dẫn Tức là phương trình Einstien sẽ thay đổi Lý thuyết này gọi là lý thuyết f(R)

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm lời giải của Vũ trụ giãn nở theo quy luật hàm mũ của thời gian dựa trên lý

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Tính chất hình học của không thời gian và hấp dẫn ảnh hưởng đến sư tiến hóa của

Vũ tru

5 Phương pháp nghiên cứu

Hình thức luận metric của lý thuyết tương đối tổng quát

6 Giả thuyết khoa học

Trong lý thuyết tương đối rộng, Lagrangian mô tả hấp dẫn là hàm bậc nhất của độ cong vô hướng Dựa trên nguyên lý tác dụng tối thiểu, chúng ta thu được phương trình Einstein Tuy nhiên, trong luận văn này, chúng tôi dựa trên giả thiết Lagrangian mô tả

hấp dẫn là hàm bất kỳ của độ cong vô hướng và từ đó chúng tôi sẽ nghiên cứu dạng tổng quát của phương trình trường hấp dẫn Chúng tôi sẽ nghiên cứu động học của thời kỳ lạm phát trong Vũ trụ dựa trên giả thiết này.

Luận văn được trình bày gồm 3 chương nội dung:

thuyết GR, tôi sẽ tìm kiếm metric thỏa mãn điều kiện vũ trụ là đồng nhất, đẳng hướng và đang giãn nở Các lời giải về sự giãn nở của Vũ trụ trong mô hình Vũ trụ chuẩn học sẽ được trình bày

•Trong chương 2, tôi sẽ nghiên cứu phương trình hấp dẫn dựa trên hình thức luận metric Tôi sẽ nghiên cứu các điều kiện biên để rút ra phương trình trường hấp

minh lời giải của vũ trụ biến đổi thỏa mãn điều kiện giãn nở và tăng tốc

Chương 1

Lý thuyêt tương đôi tông quát và mô

hình vũ trụ chuẩn

1.1 Lý thuyết tương đối tổng quát

1.1.1 Mối tương quan giữa tính chất của hình học Riemann và metric

a Sự khác nhau giữa thuyết tương dối rộng và thuyết tương đối hẹp

7

Theo lý thuyết tương đối hẹp, tất cả các hiện tượng vật lí đều diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính Hay, các phương trình mô tả các hiện tượng vật lí đều bất biến dưới phép biến đổi Lorentz Lý thuyết tương đối rộng cho rằng, mọi hiện tượng là diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu Tức là, các phương trình mô tả các quá trình Vật lí là bất biến dưới phép biến đổi tổng quát.

Lý thuyết tương đối hẹp đưa ra các phương trình về chuyển động

của các vật thể chuyển động khác nhau trên CƠ SỞ hằng số là tốc

độ ánh sáng, đó là một bất biến trong các hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều

tương đối với nhau Hệ quả của điều này là vật lí không thể tách rời không gian và thời gian khỏi nhau mà phải xét chúng như một hệ không

- thời gian bốn chiều, phụ thuộc vào chuyển động của người quan sát Lý thuyết tương đối rộng bổ sung thêm là không thời gian cục bộ có thể bị bẻ cong do khối lượng của vật chất trong đó Do đó, đường thẳng trong không - thời gian có thể được chúng ta cảm nhận là đường cong trong không gian mà chúng ta trải nghiệm

b Mắỉ liên hệ giữa hình học Riemann và thuyết tương dối rộng

Như ta đã biết, trường hấp dẫn trên thực tế là không đồng đều, càng gần các ngôi sao và các hành tinh thì trường hấp dẫn càng mạnh Do đó không gian mô tả trường hấp dẫn là không gian cong Tuy nhiên, trong không gian cong mô tả hấp dẫn luôn phải thỏa mãn tính chất: Khi vùng không gian khảo sát rất gần nhau thì không gian lại được coi là không gian phẳng Hình học mô tả tốt tính chất không gian cong của trường hấp dẫn là hình học Riemann Chính vì vậy, lý thuyết tương đối rộng của Einstein chủ yếu sử dụng hình học Riemann để mô tả không gian Tính chất của

c Hình học Riemann

Trong phần này, tôi xin trình bày một vài sự khác biệt về tensor trong không gian phẳng và không gian cong

Trong không gian phẳng, đạo hàm của trường vô hướng là tensor hạng nhất, đạo hàm

9

Tuy nhiên, trong không gian cong thì điều này không đúng Cụ thể khi giải tích vector,

ta đã chứng minh được đạo hàm thông thường theo thời gian bốn chiều của vector bốn chiều biến thiên theo quy luật:

So sánh với quy luật biến đổi của tensor hạng hai:

, dx a dxp

thì ta thấy đạo hàm của một vector không biến đổi như một tensor hạng hai

DAỰỊX) lần lượt là các vector định xứ tại hai vị trí + DX F I

Vì hai vector định xứ tại hai điểm khác nhau nên biến đổi của hai vector tại hai điểm

có thể viết dưới dạng:

(1.2)

Vì DXM là vector và DA M cũng phải là vector nên yv không phải là tensor Như vậy, đại lượng đặc trưng cho sự khác nhau của một vector định xứ tại hai điểm khác nhau không phải là tensor hạng hai

Chính vì vậy, trong không gian cong, người ta mong muốn tìm một đại lượng đặc trưng cho sự thay đổi của một vector tại hai điểm mà biến đổi như một tensor

Như ta đã biết, khi tính đạo hàm của một vector thì ta phải quy về cùng một tọa độ không gian Tuy nhiên, trong không gian phẳng, khi chúng ta dịch chuyển song song một vector về cùng một điểm thì vector không

1

bị thay đổi, nhưng trong không gian cong, khi chúng ta dịch chuyển song song một vector từ điểm này sang điểm kia thì vector sau khi dịch chuyển sẽ bị thay đổi Đây chính là lí do để đưa ra khái niệm về dịch chuyển song song.

Có rất nhiều cách tiếp cận để đưa ra dịch chuyển song song, trong luận văn này, tôi không đi sâu vào các cách tiếp cận đó mà tôi công nhận kết quả và từ đó tìm hiểu ý nghĩa của hình học và hấp dẫn Cụ thể, khi dịch chuyển song song vector dọc theo đường cong thì vector trước khi dịch chuyển và vector sau khi dịch chuyển khác biệt nhau một đại lượng:

Với:

gian Được gọi là liên thông Affine (hay chỉ số Christoffel) và nó phụ thuộc vào

Đây chính là đạo hàm, hiệp biến.

đường khác nhau và kết quả đạo hàm hiệp biến lấy theo hai hướng khác nhau là hoàn toàn khác nhau

- A N a_i.a_.fl í 1 - 4 )

1

Cụ thể, chúng ta khảo sát sự khác nhau của đạo hàm hiệp biến lấy theo hai hướng

Ta thấy, số hạng trong móc vuông củabiểu thức trên là đối xứng theo

/i, V, do đó dễ dàng chứng minh được:

As;/ì;i/ — A8 \ v , ị i = —r p n ^ A a + r ^ r ^ A a — ( — V ^ ^ A a + V ạ ^ T ^ A a )

ơ v )Aa) (1.6)

Với: R%v = - r ^ + r /^ r ^ + r /W -r ^ r a, : Gọi là tensor độ cong Riemann.

*Một số tính chất của tensor độ cong Riemann:

• Tính phản xứng

— \ỊJÌV

• Tính chất hoán vị vòng

r > ơ _ p ơ D

1

Hình thức luận metric trong lý thuyết tương đối tổng quát.

Xét khoảng không gian vô cùng nhỏ thì không gian được coi gần như phẳng (Không gian thuần chủng Riemann), khi đó tensor metric không thay đổi nên đạo hàm hiệp biến của nó bằng không Do đó ta có:

qua các chỉ số liên kết không thời gian và ngược lại, đồng thời tensor metric thỏa mãn

1

mãn điều kiện này được gọi là hình học Riemann.

Như vậy, tensor metric quyết định tính chất hình học của không thời gian Tuy

nhiên, yếu tố nào gây nên sự cong của không gian? Điều này sẽ được trình bày

trong phần tiếp theo

một tensor Do đó, chúng có thể viết dưới dạng đạo hàm hiệp biến:

^ 9 ơfj.-,a)] {.& 9 ơịi-,v ~\~ ồQơv-,ụ, ^Ỡ^MỈO-)]]

bộ không gian là bằng không

vế phải của phương trình là mô tả vật chất (Vật chất quyết định độ cong của không gian hay độ cong của không gian mô tả vật chất).

Trong hệ tọa độ đồng chuyển động, ta có khoảng không thời gian giữa hai thiên hà bất

kì luôn không đổi và sự nở của vũ trụ kết quả là sự thay đổi của metric không thời gian

1

Với tọa độ thời gian X Ũ , ta sử dụng thời gian riêng đo bởi đồng hồ gắn với thiên hà, với giả thiết rằng các đồng hồ này chạy như nhau và đồng bộ.

Metric không thời gian có dạng:

ds 2 = dt 2 + g i jdx i dx i Với:

dl 2 =( 3 ) gijdx^xi và gij = —ỹỉị.

Để xác định hình học của không gian, trước hết ta xác định hình học của không gian

ba chiều đồng nhất và đẳng hướng Tại điểm cho trước, ta đưa vào tọa độ trắc địa, khi

đó metric trở thành:

( 3 ) ' , = S k

Từ điều kiện đẳng hướng thì tensor cong phải không thay đổi theo phép quay của tọa

độ trắc địa Do chỉ có tensor đơn vị không thay đổi đối

với phép quay nên tensor cong phải là hàm của tổ hợp các tensor đơn vị:

Bây giờ ta trở lại bài toán không gian đối xứng cầu, từ lời giải Schwarzschild, metric được viết dưới dạng:

Thay (3 ).Rii, ^#11 vào (1.34) ta được:

2 = dí2 — a(í)(———- + R 2 D6 2 + R 2 SIN 2 ỠDIP 2) 1-ivr

Dây chính là metric Robertson Walker.

dL{

(1.3

(1.3

(1.3 2

1.2.2 Lời giải về sự tiến hóa của vũ trụ

Trường hợp hằng số vũ trụ rất nhỏ hoặc bằng không

Xét siêu bề mặt 4 chiều:

1 + а

Tìm sự phụ thuộc của bán kính cong vào thời gian:

Lúc này A đóng vai trò như là thừa số kích thước chung đặc trưng cho khoảng cách của hình học ba chiều.

Khi đó:

DS

2 = DT 2 — A 2 (T)(DX 2 + sin2 ỴDD 2 + sin2 xsin2 QDIP 2 ) (1-43)

Lời giải của phương trình Einstein có dạng đơn giản nhất khi ta

đặt:

(dr) 2 — dỵ 2 — sin 2 ỵdO 2 — sin 2 xsin 2 Qdtp 2 )

a 2 a 2 a 2 sin X a 2 sin X sin 9

Từ đây ta dễ dàng tính được các chỉ số Christoffel:

(1.45)

=

- -R = -8 ttGT0 (1.48)

zvới:

drj

Q

Hoàn toàn tương tự như phần lời giải với độ cong

dương, ta tính được các chỉ số Christoffel, tensor

Ricci và độ cong vô hướng, từ đó thay vào phương

trình Einstein cho thành phần 0 - 0, ta thu được:

AGM

7ra 3

AG M

(1.58)

(1.59)

— b = TỊ + C

tức là tensor độ cong bằng không, ứng với

Với X là tọa độ không thứ nguyên, ta có:

2

=

8 7 ĨGP

J

37r.da

2

4ƠM

(

—

3 7

ra

Trường hợp hằng số vũ trụ khác không

Để đơn giản ta coi hằng số vũ trụ A rất lớn so

với 87 TGTQ.

Trong các trường hợp với độ cong dương, độ cong

âm, độ cong bằng không, ta sử dụng các metric đã

tính ở trên, do đó ta cũng sử dụng lại các kết quả

của tensor Ricci và độ cong vô hướng

Điều khác biệt ở đây là phương trình Einstein cho

thành phần 0 - 0 có dạng:

ữ R= -A

• Độ cong dương Thay các biểu thức của tensor

Ricci và độ cong vô hướng vào phương trình

Einstein trên, ta được:

Vế trái của phương trình không âm, do đó vế

phải cũng không âm, như vậy trường hợp này chỉ

có thể xảy ra với hằng số vũ trụ dương Dùng

phương pháp đặt ẩn phụ như phần trên, ta thu

được nghiệm của phương trình là:

Hình 1.4: Bán kính với độ cong dương,

• Độ cong bằng không

3

5 Cũng như trường hợp độ cong dương, phương trình có nghiệm A > 0:

8

giải vũ trụ với độ cong dương thì vũ trụ giãn nở và co lại theo chu kì nhất định Người ta đã tính được rằng chu kì này nhỏ hơn rất nhiều so với tuổi của vũ trụ

lờigiải đúng phải ứng

1

2 Hình 1.6: Bán kính với độ cong bằng không, A

> 0

13 NHẬN XÉT: Mô hình chuẩn của vũ trụ sớm làm việc rất thành công với

sự phát triển của vũ trụ từ tuổi 10 - 5 S trở đi, như vậy mô hình cho ta đánh giá về

trong tính toán dư thừa Helium và các yếu tố nhẹ khác

• Vấn đề về sự phẳng: Đây là vấn đề về sự không phù hợp giữa quan sát thực nghiệm với lý thuyết là các tham số trong Metric Friedmann

- Robertson-Walker Trong phương trình Friedmann, nếu hằng số vũ trụ

với không gian phẳng Tham số mật độ được định nghĩa bằng:

16

đề ở đây là bất cứ một nhiễu loạn nhỏ nào cũng sẽ làm cho tham số mật độ lệch khỏi giá trị mà ở đó vũ trụ gần như là phẳng, và sự lệch này có thể

không tuân theo một trong hai kịch

3

18 bản là hoặc là bị co cụm lại rất nhanh, hoặc nở ra rất nhanh và phân tán, hiện nay vũ trụ gần như phẳng và đang giãn nở Để phù hợp với điều này thì tham số mật độ phải rất gần với 1 Tuy nhiên, rất khó để giải thích được điều

của nó cũng phải bằng

lạm phát Trong quá trình lạm phát, ở thời kì đầu của vũ trụ, không thời gian giãn nở rất nhanh, bán kính cong của vũ trụ tăng theo hệ số cực lớn làm trơn phẳng độ cong của không gian, vì vậy ngày nay vũ trụ của chúng ta gần như là phẳng

• Vấn đề về sự trơn tru (vấn đề về đường chân trời) : vấn đề này phát sinh từ việc thông tin không thể truyền nhanh hơn ánh sáng Người ta đưa ra một giới hạn gọi là đường chân trời hạt, giới hạn này tách biệt hai vùng không gian bất

kì có mối liên hệ nhân quả với nhau Người ta tính toán được số các vùng không có mối liên hệ nhân quả trên đường tròn quanh ta xấp xỉ bằng 180, như

trời, ta sẽ đo được nhiệt độ ở hai vùng cách nhau là 2° hoặc nhiều hơn Tuy nhiên số liệu quan sát được cho thấy các nhiệt độ này gần như là у như nhau

lí thuyết về mô hình lạm phát, người ta cho rằng có một trường năng lượng đồng nhất và đẳng hướng thống trị vũ trụ tại thời điểm sớm Trong giai đoạn này, vũ trụ của chúng ta giãn nở theo hàm mũ và chân trời hạt mở rộng nhanh

hơn so với giải thiết trước đây Do đó, những vùng hiện nay trên bầu trời ở hai phía ngược nhau vẫn nằm trong chân trời hạt của nhau.

với tương tác điện yếu Trong pha thống nhất này, tại năng lượng cao nhất thì các trạng thái hạt có đối xứng cao nhất, năng lượng càng thấp thì đối xứng sẽ giảm dần và sự thống nhất giữa các tương tác bị phá vỡ

một cách khác, sự phá vỡ đối xứng là khác nhau giữa các vùng ngăn cách với nhau bởi đường chân trời Sự khác nhau ở đây là khác nhau về hướng của không gian đối xứng, điều này tạo nên một khiếm khuyết dạng điểm có tính chất đơn cực từ Thế nhưng cho đến ngày nay, người ta vẫn chưa tìm được đơn cực từ nào

22 Sự lạm phát giải quyết được vấn đề đơn cực từ bằng cách loại bỏ các khiếm khuyết nói trên tương tự như giải bài toán về sự phẳng của vũ trụ.

f ( R )

2.1 Các điều kiện biên

25 &9 S S V \DV = ÀQỤ.V \DV = 0 Và

26 -pa _ 1 a ß / ^ 9 v ß I & 9 ß ß _ & 9 ß V \