Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2• • • • NGUYỄN THÙY DUNG NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI DẠNG BẢO TOÀN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

• • • •

NGUYỄN THÙY DUNG

NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI

DẠNG BẢO TOÀN

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TS Hà Tiến Ngoạn Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS TS Hà Tiến Ngoạn

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả

Mục lục

3

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai, việc nghiên cứu về tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai tổng quát là hết sức cần thiết Đối với phương trình cấp hai tuyến tính dạng bảo toàn có thể đưa vào lớp nghiệm suy rộng có độ trơn tối thiểu và phù hợp với các đòi hỏi của thực tế

Lớp nghiệm suy rộng thường được tìm trong các không gian Sobolev thích hợp Sau khi nghiệm suy rộng đã được chỉ ra sự tồn tại, thì các nghiên cứu về tính chất định tính của chúng như về đánh giá độ lớn và độ trơn của chúng là rất cần thiết Để tìm hiểu những vấn đề đó tôi mạnh dạn chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là:

“Nghiệm suy rộng của phương trĩnh elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn”.

Luận văn gồm hai chương Chương 1, trình bày các không gian hàm như không gian Sobolev, không gian Holder và một số định lý, đặc biệt là định lý Lax-Milgram dùng để nghiên cứu bài toán Trong chương

2, phần đầu chúng tôi mô tả khái niệm nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet, trình bày Nguyên lý cực đại yếu và tính giải được của bài toán Dirichlet Luận văn trình bày một số tính chất định tính như tính khả vi của nghiệm suy rộng, bất đẳng thức Harnack, tính chính quy toàn cục, tính bị chặn của nghiệm suy rộng, cuối cùng là trình bày một số đánh giá tiên nghiệm theo chuẩn Holder đối với nghiệm suy rộng ở bên trong

4

miền và trên biên.

Nội dung chính của luận văn được tham khảo từ chương 8 của tài liệu[3]

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày lớp nghiệm suy rộng cùng với các điều kiện về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Khái niệm nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet

- Tính khả vi của nghiệm suy rộng

- Nguyên lý cực đại yếu

- Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng

- Các đánh giá tiên nghiệm đối với nghiệm suy rộng

- Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Loại phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn

5 Phương pháp nghiên cứu

5

Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được nghiên cứu tổng quan về lớp nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn.

6 Những đóng góp mới của đề tài

Luận văn là tài liệu tham khảo về chuyên đề này

6

Chương 1

Một số không gian hàm

1.1.1 Không gian Ư (íỉ)

Giả sử íỉ c Rn là miền bị chặn với biên L P (íĩ) là không gian các hàm U(X ) =

U(XI,X 2 , ,X N ), 1 < P < +oo sao cho

Không gian L p (Q) với

ũ

Chuẩn trong L2 (rì) được sinh bỏi tích vô hướng

7

và do đó L 2 (íỉ) là không gian Hilbert.

Khi P = oo ta định nghĩa L°° (íỉ) gồm các hàm U(X ) sao cho ||u (aO||

đúng với mọi hàm thử Ộ € ơ£° (fỉ) Kí hiệu D A U = V.

Trong trường hợp ri = (a, B ) c M, nếu w(:c) có đạo hàm suy rộng U'(X ) =

V(X ) G LL O C (A, B ) thì ta nói U(X ) là khả vi yếu trên (A, B )

1.1.3 Khái niệm không giãn Sobolev

Với A; e N, 1 < P < +00, không gian wfe,p (íỉ) là không gian bao gồm tất cả các hàm U (x) € L P (íỉ) có các đạo hàm suy rộng D A U (z) € L P (íỉ), với mọi cc, sao cho

Không gian W K , P (ri) là không gian Banach khi được trang bị chuẩn sau đây

(íì)

1.2.1 Không gian C L

Cho fỉ là miền bị chặn trong Mn, íĩ là bao đóng của nó

Ta kí hiệu C (n) = C° (íỉ) là không gian các hàm số liên tục trên Q với chuẩn

Ỉ M I c ( n ) = I M I o n = S U P \ u

x£ÍÌ

Ta cũng định nghĩa được C L (rỉ) như sau

chuẩn cho C L ( Ũ ) như sau

= iMiỉ,n = SUP \ D Ữ U (aOi- (L4)

\a \<1 Q

1

\ c l (

Các không gian C L (Q) với chuẩn (1,4) là không gian Banach.

1.2.2 Không gian C 1 , 1 (n) với 0 < 7 < 1

và trang bị chuẩn cho ơ0,7(rĩ) như sau(1.5)

Với / G N, 0 < 7 < 1 ta định nghĩa của không gian C 1 , 1 (H) bởi điều kiện

(n) = {« e c' (ự); \D"u\ l f l < +00, V|a| = ỉ} , và trang bị chuẩn sau cho c l , 7 (fĩ)

(1.6)Các không gian C 1 , 1 (H) là không gian Banach Ta có C L , Ữ (H) = C L (H)

và ơ0,1 (íỉ) là không gian các hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz

Một không gian Banach BỊ được gọi là nhúng liên tục vào không gian Banach B 2 , ký hiệu BỊ —>■ B 2 , nếu tồn tại một đơn ánh tuyến tính liên tục BỊ —»■ B 2 Phép nhúng liên tục từ BỊ —»• B 2 được gọi là phép nhúng compact nếu ảnh mọi tập bị chặn là tiền compact

hơn nữa, tồn tại một hằng số dương c = c ( n,p ) mà chỉ phụ

thuộc vào n và p sao cho với mọi u € Wq’ p (íỉ), ta có

Dạng song tuyến tính B(X,Y) trong không gian Hilbert H được gọi là

bị chặn nếu tồn tại một hằng số K sao cho

Định lý 1.3 [3] Giả sử B là một dạng song tuyến tính bị chặn và bức trên không gian H Khi đó với mọi phiếm hàm, tuyến tính bị chặn F £ H*, luôn tồn tại duy nhất một phần tử f € H sao cho

B (x, f) = F (x) ,Vx£H.

CHỨNG MINH Tồn tại ánh xạ tuyến tính T : H —>■ H định nghĩa bởi B (a;, /) = (X,T /) ,\/X G H Hơn nữa ||T/|| < K 11/11 bởi (1.9), nên T bị chặn Từ (1.10) ta thu được ^||/|| 2 < B (/, /) = (/,T/)

< 11/11 ||T/|| , nên V 11/11 < ||T/|| < K 11/11 với V/ G H Đánh giá này chỉ ra rằng T là một đối một và T-1 là bị chặn Giả sử rằng T

(H ) Ỷ H Khi đó tồn tại một phần tử Z Ỷ 0 thỏa mãn (Z, TỊ) = 0 với V/ € H Chọn / = Z, ta thu được (Z,TZ) = B (Z, Z ) = 0, kéo theo Z = 0 bởi (1.10) Hệ quả T~ L là ánh xạ tuyến tính bị chặn trong H Ta có F (X ) = (X,G ) = B (X,T _ 1 G) với \/X € H và duy nhất G £ H, kết quả được chứng minh với F = T~ X G. □

gian Hilbert

Định lý 1.4 [3] Giả sử H là không gian Hiỉbert và T là ánh xạ compact của H vào chính nó Khi đó tồn tại một tập AcKíiổ hạn đếm được trừ điểm A = ũ, do đó nếu X 7^ 0 ;

A ị A thì phương trình

Xx — Tx = y, Xx — T*x = y

có duy nhấtx e H với mọiy e H, và ánh xạ ngược (XI — T) -1 , (XI —

T *) -1 là bị chặn Nếu X G A, thì hạch của các ánh xạ (XI —

hợp khác.

Chương 2

Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn

2.1 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirich- let

2.1.1 Định nghĩa nghiệm suy rộng

Trong miền bị chặn íỉ c Rn ta xét đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai L mà được viết dưới dạng bảo toàn

LU = DỊ (aij (X ) D j U + Ứ (X ) U) + Ổ (X ) D ị U + D ( X) U, (2.1)trong đó aij, B\ C\D (I,J = 1, RÌ) là các hàm đo được, bị chặn trên íỉc Mn Ta quy ước rằng phép cộng được lấy theo các chỉ số lặp từ 1 đến N L là elliptic ngặt trong có nghĩa là tồn tại số dương A sao cho

Ta nhận xét rằng một nghiệm cổ điển cũng là nghiệm suy rộng và một nghiệm suy rộng thuộc lớp c 2 (íỉ) cũng là một nghiệm cổ điển khi các hệ số của L là đủ trơn

Giả sử = L,N là khả tích địa phương trên íĩ Ta xét bài toánDirichlet

Lu (X) = g (x) + Dif (x), X Gũ u (x) = tp (x), X & fỉ,

trong đó (P (X ) ẽ H 1 (Q).

Khi đó một hàm U thuộc vào không gian Sobolev H 1 ( ri) được gọi là một nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet nếu U là một nghiệm suy rộng của phương trình (2.4) và U — Ụ> e H 1 ( ri)

Hàm V G HỊ(ỈL) trong công thức (2.5) được gọi là hàm thử

Từ điều kiện (2.3) và bất đẳng thức Schwarz, ta suy ra tồn tại c > 0 sao cho

|£(u,v)| < / {ỊA} I DJUD I VỊ + |ò*M.Dju| 4- II + |dm;|} DX Ũ

Cố định U G HQ(ÍÌ), từ điều kiện (2.3) ta suy ra ánh xạ V —> £(U,V) là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên HQ(Q).

2.1.2 Nguyên lý cực đại yếu

Nguyên lý cực đại yếu cổ điển cũng được mở rộng tự nhiên tới các phương trình elliptic dạng bảo toàn Để xây dựng nó, chúng ta đưa vào bất đẳng thức tại biên cho các hàm số trong không gian Sobolev H 1 ^) Cụ thể là, ta nói rằng

U

e H 1 (íỉ) thỏa mãn trên ỡíỉ điều kiện U < 0 nếu phần dương của nó U + =

1

max{w,0} G HQ(Q) Nếu U là liên tục trên một lân cận của ỡíỉ, thì U thỏa mãn U < 0 trên ôíỉ theo nghĩa cổ điển tại từng điểm của ỡíỉ Các bất đẳng thức khác trên ỡíỉ như U < V được đưa vào một cách tự nhiên.

VÍ DỤ 2.1 U > 0 trên ỡíỉ nếu —U < 0 trên ỡíỉ; U < V € H 1 ^) trên ôíỉ nếu U

Do Ö* và D là bị chặn, bất đẳng thức (2.9) sẽ vẫn được thỏa mãn với tất cả V €

Wq’ 1 (íỉ) không âm

Chúng ta phát biểu Nguyên lý cực đại yếu như sau

Định lý 2 1 [3] Giải sử и £ H 1 (íì) thỏa mãn Lu > 0 (< 0) trong íì Khi đó

sup < И supií+, (2.10)

CHỨNG MINH Nếu И € Н Г (П),У £ HQ(Ũ) chúng ta có UV G wj’ 1 (FI) và

DUV = VDU + UDV Ta có thể viết bất đẳng thức £ (И , V) < 0 dưới dạng

/ {a»D j U D i V - + é) vD i U } dx < / ịduv - b‘ D i («„)} d x < 0,

ũ ũ

với mọi V > 0 sao cho uv > 0, do được suy ra từ (2.9) Do các hệ số là bị chặn nên

íĩ íĩ với mọi V > 0 sao cho

uv > 0

1

Trong trường hợp đặc biệt + É = 0, ta có F A L *DJUDỊVDX < 0 suy ra

ũ

(2.10) đúng

Ta xét trường hợp B L + É Ф 0, chứng minh trực tiếp bởi việc đặt V = max {lí

— /,0}, ở đây L = supw+ Ta chứng minh sup lí < L là không

1

đúng, ta chọn K thỏa mãn L < K < supw và ta đặt V = (U — K) + Theo

anquy tắc dây chuyền, ta có V e HQ(ÍÌ) và

DU khi U > K (nói cách khác khi V 7^ 0)

1 khi U < K (nói cách khác khi V = 0)

2

(2.1

□

Trong trường hợp N = 2, một bất đẳng thức có dạng giống như vậy với c

— 2) bởi số bất kì lớn hơn 2 Vì các bất đẳng thức đó là độc

lập đối với К nên chúng vẫn đúng khi К tiến đến supw, К = sup lí Đó

2.1.3 Tính giải đ ư ợ c của bài toán Dirichlet

Định lý 2.2 [3] Giả sử toán tử L thỏa mẫn điều kiện (2.2), (2.3) và

(2.9) Khi đó với mọi ip € H l {ỹì) và g,f l € L 2 (íĩ), ỉ = 1 П, bài toán Dirichlet (2.7) Lu = g + Dịp trong г l,u = <p trên dfì là giải được duy nhất.

CHỨNG MINH Định lý 2.2 sẽ được suy ra như một hệ quả của Định lý Milgram Trước tiên ta quy bài toán Dirichlet về trường hợp giá trị biên bằng không Đặt ИЗ = И — (F, ta thu được từ (2.4)

2

Từ Bổ đề 2.1 ta thấy rằng các dạng song tuyến tính tương ứng với L Ơ sẽ là bức nếu Ơ là số dương đủ lớn.

Tiếp tục, ta định nghĩa một phép nhúng I : H —¥ H* bởi

Tiếp tục, ta chọn Ơ 0 sao cho dạng £CTo là bị chặn và bức trong không gian Hilbert H Phương trình LU = F với U G H,F G H* tương đương với phương trình

2

(2.1

Ta định nghĩa liên hợp hình thức L* của L bởi

ưu — Dị (a^DjU — êù) — ỪDịU + du (2-17)

Từ £* (U,V) = £(V,U ) với U,V G H = #o(fỉ) chỉ ra rằng L* là liên hợp của L

trong không gian Hilbert H Khi thay L bởi L Ơ trong lí luận trên, ta thấy rằng phương trình L Ơ U = F sẽ tương đương với phương trình И + (<7 0 — Ơ) L~

L IU = L~ X F và liên hợp Т* của ánh xạ compact T A = {Ơ 0 - Ơ ) L~]Ĩ được đưa ra bởi T* = (<7 0 - Ơ) (LL Ữ Ỵ L I.

Ta có thể áp dụng Nguyên lý Fredholm để thu được kết quả sau

Định lý 2.3 [3] Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.3) Khi

đó tồn tại một tập đếm được, rời rạc M sao cho nếu ơ ị bài toán

với g,p G ứ (ri) và If G H 1 ^) tùy ý Nếu ơ G thì không gian con các nghiệm của bài toán thuần nhất, L ơ u, L* ơ = о, и = 0 trên ôíỉ có số

giải được khi và chỉ khi

J{(9-c<D i V — dip + ơip) V — (/* — ã^Dịip — ữip) Dịv} dx — 0

Định lý 2.4 [3] Giả sử и £ я 1 (ri) thỏa mẫn L ơ u = g + Dif \ и = ip trên

ri sao cho

2

IMIffi(n) < c (llg|l2 + IMIj?i(n)) • (2-19)

Mục này chủ yếu dành cho việc xem xét tính trơn bên trong miền Q của nghiệm suy rộng Ta sẽ nghiên cứu trong phần này sự tồn tại của đạo hàm suy rộng cấp cao của nghiệm suy rộng của phương trình (2.4) Với sự trợ giúp của các kết quả tính khả vi nhận được dưới đây, ta sẽ suy ra sự tồn tại nghiệm cổ điển của bài toán Dirichlet Trong các mục sau đây ta sẽ nghiên cứu các thuộc tính của nghiệm suy rộng, chẳng hạn như bất đẳng thức Harnack, tính liên tục Holder Kết quả về tính trơn trong định lý dưới đây cho các điều kiện đủ để nghiệm suy rộng của phương trình LU = F là hai lần khả vi yếu

Định lý 2.5 [3] Giả sử u G H 1 ( ri) là một nghiệm suy rộng của phương trình Lu = f trên íì, trong đó L là elliptic ngặt trên các hệ số a iJ , = 1 là liên tục Lipschitz đều trên ri, các hệ số c\d]i =

1, ,n bị chặn thực sự (bị chặn hầu khắp nơi) và hàm f thuộc L 2 (fỉ) Khi đó với miền con bất kì Q' cc ta có u € H 2 (fi 7 ) và

IMIiĩ2(íi') — c (iMlíPíí )ĩ + ll/lli2(íi)) ’ (2.20)

K = max {||ay, *1^0,i(n)> IK dL~(fi)} V À D 1 = DIST (Ư, DN).

Ngoài ra u thỏa mãn phương trình

Lu = a^DiịU + {D j ữ j i + Ứ + é) DịU + (Dịứ + d) u = f (2.21)

2

hầu khắp nơi trên ri.

Tiếp tục, ta lấy hàm 77 Ễ Cg1 (íỉ) thỏa mãn 0 < Ĩ} < 1, và ta đặt V = Ĩ] 2 A H U Ta thu được sau đó, sử dụng (2.2) và bất đẳng thức Schawrz,

À J I^-DA^mỊ 2 < J T/ 2 a ij (x + heỵ) A h DiuA h Djudx

= J a ij (X + hek) DjA h u (DịV — 2A h ur)Diĩ]) dx n

< (ơ(n)A'||M|| H1(n) +||/|| 2 ) (\\r ì DA h u\\ 2 + 2\\A h uDr ỉ \\ 2 )

+c {n) KịịĩỉDA^ịị^uDrỊị^.

Điều đó chỉ ra rằng

||t7A\Du||2 < c (||u||Hl(n) + ||/||2 + ||AftuD7/||2)

< C ^1 + sup IDRJL'J (||u||Hi(n) + ||/||2) ,

ở đây C = C (N, X, K ) Hàm 77 có thể được chọn như một hàm cắt cụt

sao cho 77 = 1 trên ÍỈ' cc và Ị.D77Ị < ở đây d' = dist (ỡíỉ, ri') Ta

thu được DU € H 1 (íỉ7), U € w2(íĩ) và đánh giá (2.20) xác định

Cuối cùng, ta có LU e LF O C (íỉ) và rõ ràng đồng nhất thức tích phân (2.5)

Ta chú ý rằng trong đánh giá (2.20), đại lượng |M|H1^ có thể đượcthay bởi |M|iW

Kết quả sau đây về sự tồn tại nghiệm cho bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic có dạng

LU = aij ( X) DỊỊU + Ứ (à?) DỊU + C(X)U = /, (2.24)được suy ra từ định lý 2.5

Định lý 2.6 [3] Giả sử toán tử L là elliptic ngặt trên íĩ và có các hệ số a ij € С 0,1 (П) , ò\c G L°° (ri) , с < 0 Cho tùy ý f € L 2 (ri) và e H 1 (íỉ) Khi đó tồn tại duy nhất hàm и £ H 1 (íĩ) nH^ 0C (íĩ) thỏa mãn Lu = f hầu khắp nơi trên ri và и — ip e (ri).

Tuy nhiên tính duy nhất của kết quả bên trên sẽ phá vỡnếu giả

thiết về tính liên tục của (ÝI bị làm suy yếu, tức là cho phép gián đoạn

ữij Ç L OC n]iư (Jược chứng minh bởi phương trình

AU + Ь^ -Ệ-DIỊU = 0, B = — 1 + -, 0 < Л < 1

\x\ 2 1-A

Với N > 2(2 — Л) > 2 có hai nghiệm Ml (X ) = 1, U 2 (X ) = |ж|А e H2 (В ) và phù hợp trên

ÕB

: Ở đây в là hình cầu đơn vị BI (0)

Hơn nữa tính khả vi cấp cao của nghiệm suy rộng có thể được suy diễn dễ dàng từ Định lý 2.5 Giả sử rằng ta củng cố điều kiện tính trơn trên các hệ số bởi giả thiết aij, ứ € с 1,1 (fỉ)

,C\D € с 0,1 (Ü) cùng với / e H1 (íỉ) Thay V bởi D K V với Ĩ < К < N, trong đồng nhất thức (2.22), ta thu được sau khi tính tích phân từng phần

và từ И G (ri) ta có DKG G Lj (Q) Do đó DỴU G (ri) Bằng phép quy nạp, ta có thể mở rộng Định lý 2.5 như sau

Định lý 2.7 [3] Giả sửu £ H 1 (ri) là một nghiệm yếu của phương trình Lu —

f trên íl, ở đó L ỉà elliptic ngặt trên các hệ số a ij , ò* e с к,х (П), các

hệ số é, d e ck~ljl (rỉ) và hàm số ĩ € H fc (íỉ), к > 1 Khi đó với bất kì miền

con íì' С С Q, ta có и £ H fc+2 (íỉ') và

(2.2

VỚIC = С {N,\,K,D',K), Ở ĐẪY К = max I ||aij, ^ Ilc7*.i(n) ’ IK’ ^lU-^n)}' Từ

Định lý 2.7 ta có hệ quả sau,

Hệ quả 2.2 [3] Giả sứ и £ H 1 (íỉ) là một nghiệm suy rộng của phương

trình elliptic ngặt Lu = / trên íỉ và giả sử rằng các hàm số a ij , b\c\d,

2.3.1 Bất đẳng thức Harnack yếu

Định lý 2.8 [3] Giả sử toán tử L thỏa mẫn điều kiện (2.2), (2.3) và giả

sử rằng /* G L q (íỉ), g E L 9 / 2 (íĩ) với q > n Giả sử и & H 1 (íĩ) là một

nghiệm của phương trình (2.4) trên г ì, không âm trong hình cầu

nghiệm của phương trình (2.4) trên với hình cầu B 2 R ( y) с íỉ bất kỳ và p > 1 ta có

sup U{-U) < С (.R- N / P \\U + ML(iWỉ/)) + K{RỸJ (2.30) B R ( V )

đầy đủ như sau

Định lý 2.9 [3] Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.3) và giả sử rằng

и G H 1 (íĩ) thỏa mãn и > 0 trên íỉ và Lu — 0 trên íĩ Khi đó với hình cầu bất kỳ

2.4 Tính chính quy toàn cục

Với điều kiện trơn thích hợp của biên ỡíỉ, kết quả tính chính quy bên trong trước đó có thể mở rộng cho toàn Q Trước tiên ta suy ra tương tự toàn cục của Định lý 2.5

Định lý 2.10 [3] Giả sử ngoài các giả thiết của Định lý 2.5, ta giả thiết thêm

ở đây С = С (n, Л, К) Từ đó € С 2 , tồn tại cho mỗi điểm X 0 € ỡíỉ, một hình cầu В = В (x0)

và một ánh xạ 1 — 1 Ф từ В lên một tập mở D С R N sao cho

Hơn nữa, từ И € Hg (íỉ), biến đổi nghiệm V — И о Ф~ 1 G Hg (D +) và thỏa mãn TỊV e Hg (D +) với mọi TỊ e CỊ {Ư).

Theo đó, ta giả sử rằng U £ H1 (D +) thỏa mãn LU = / trên D + và

U

e H2 (BP n íỉ) Từ X Ữ là một điểm tùy ý của ỡíỉ vàuỄ H^oc (íỉ) bởi Định lý 2.5, ta kết luận rằng U e H2 (íĩ) Cuối cùng bằng việc chọn một số hữu hạn điểm € DQ sao cho các hình cầu BP phủ ỡíì, ta thu được đánh giá (2.31) từ (2.18) và (2.19) □

Chú ý rằng các điều kiện U e H2 (D +), T]U G Hq (.D+)với 77 e ƠQ (.D'),cũng chỉ ra rằng e (-D+) và

|I77^ả:mIIhi(£)+) — II7/IIci(«+)IIwIIh2(ơ+)’

cho /1 đủ nhỏ ở đó tồn tại một dãy hội tụ yếu trong không

gian Hilbert Hg (D +) Giới hạn của dãy này là hàm số R]D K U Hơn nữa tính chính quy toàn cục của các nghiệm của phương trình LU = / chỉ ra theo phương pháp như Định lý 2.7 từ Định lý 2.5 Theo đó có thể mở rộng Định lý 2.7 như sau

Định lý 2.11 [3] Giả sử ngoài các giả thiết của Định lý 2.7 ta giả sử ỡfỉ thuộc lớp c k+2 và ở đó tồn tại một hàm số ip £ H fe+2 (íỉ) cho bởi u — <p e Hj (íỉ) Khi

đó ta cũng có u € H fe+2 (ri) và

IMIiife+2(n) — C (lMli2(íi) + II^ỈỈHfe(n) + IMIh^+^íì)) 5 (2.35)

ở đây c = c (n, A, K, k, ỡfi) iVeM các hàm a ij , b\ c\d, f và tp thuộc vào c°° (n) và

Kết hợp Định lý 2.2 và Định lý 2.11, ta có một lý thuyết tồn tại nghiệm cổ điển cho bài toán Dirichlet đối với phương trình (2.24).

Định lý 2.12 [3] Giả sử toán tử L là elliptic ngặt trên ri và có các hệ số thuộc c°° (íỉ) và c < 0 trên íỉ Khi đó nếu díì e c°°, thì tồn tại một nghiệm duy nhất u

e c°° (ri) của bài toán Dirichlet, Lu = f, u = ip trên íĩ v ớ i f v à ( f e c ° ° (n) t ù y

ý

Ta sẽ nghiên cứu tính bị chặn toàn cục của H1 (íỉ)-nghiệm của phương trình (2.4) khi nghiệm này là bị chặn trên DFÌ Ta viết lại phương trình

(2.4) dưới dạng :

DịA 1 (a;, u, Du) + B ( X, u, Du) = 0, (2.36)

trong đó

A i (x, z, p) = a ij (z) Pj + ứ (x) z-f (x ), B

(;X,Z,P ) = É (X)PI + D(X)Z- G(X), với (j:,z,p)gíìxRx

Định nghĩa 2.2 Một hàm u(x ) e HỊ 0 C (ÍÌ) được gọi là một nghiệm yếu dưới (nghiệm yếu trên, nghiệm yếu) của phương trình (2.36) trên íỉ nếu cấc hàm

số Á 1 (:r, u, Du) và B ( X , u, Du) là khả tích địa phương và

Ị (DịVA 1 (x, u, Du) — vB (x, u, Du)) dx <(>,=) 0, (2.37)

ũ

VỚI VV > 0,ĩ; e CQ (íỉ)

NHẬN XÉT 2.2 Nếu nghiệm yếu của phương trình (2.4) thuộc H 1 ^) thì nó cũng chính là nghiệm suy rộng.

Đặt b = (ò1,B N ) , c = (c1,C N ) , f = Ự 1 ,F n) và sử dụng điều kiện (2.2) và bất đẳng thức Schwarz, ta có đánh giá :

PIÃ (X, Z,P ) > ^IpỊ2 - ỉ (ib^Ị2 + Ịf|2) , (2.38)

Định lý 2.13 Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.3) và giả sử rằng /*

G L q (íỉ), ỉ — 1, g G L q ! 2 (íỉ) với q bất kỳ, q > n Khi đó nếu u là một H 1 (íỉ nghiệm yếu dưới (nghiệm yếu trên) của phương trình (2.4) trong íĩ và thỏa mẫn u < 0, (> 0) trên dVL, ta có:

)-supU(-U) < C (||w+(w_)|| + K) , (2.41)

íĩ

ở đây k = X 1 ộ|f|| ? + \\g\\ q / 2 ) và c = c (n, ư, q, |fì|).

CHỨNG MINH Ta giả sử rằng U là một nghiệm yếu dưới của (2.4) Cho 13 > 1 và N > K,

ta định nghĩa một hàm H E c 1 [K, oo) bằng cách đặt H (Z) = với 2 €E [K : N] và H

là tuyến tính với Z > N Giả sử

J \Duj\ 2 G' ( uj)dx< Ị ịbơ ( uj)uj 2 + —G {x^u^Du)^ dx n n

< £ Ị G' (cư) \Dív\ 2 dx + ^1 H—^ J bơ (cư) io 2 dx f2 f2

Từ đó G (s) < S G ' (S) và D U = D U ) khi V = G ( Í O ) > 0 Đặt £ = ta

zđược:

I G' (cư) \Du)\ 2 dx < 61 bơ ( uj)uj 2 dx n n

ở đây П = N với N > 2, 2 < 2 < Q, с = с (N) với N > 2 và с = с (2, |fiỊ) với N — 2 Cấu trúc (2.40) và đánh giá ở trên tiếp tục đúng với К — 0 trong (2.39) kéo theo / và G là tập bằng không Chọn К như trong giả thiết của định lý, ta có:

Bây giờ ta giả sử rằng trong phát biểu của giả thiết Định lý 2.13 И < 0 trên DFÌ được tổng quát tới И < L trên ỡíỉ với hằng số L nào đó Khi đó, từ L(U — Ỉ) — LU — LL — LU

— ^DỊƯ + D ) hệ quả của định lý sẽ xác định cho hàm số lí — / với К được thay thế bởi К = К + A_1 |/| (||b|| 9 4- ||d||5/2)- Một nghiệm yếu dưới (nghiệm yếu trên) И của (2.2)

sẽ thỏa mãn một đánh giá:

íì

với К = A" 1 ộ|f||g + ||ỡ||g/2) và С = С {N, И, Q, |fì|)

Trong phần này, nếu И là một nghiệm thì (2.45) đúng với |w| Ta tiếp tục

suy ra đánh giá cho supw độc lập của ||wỊỊ2, rằng một biên tiên nghiệm

íì

mở rộng Nguyên lý cực đại yếu Từ đánh giá (2.19), ||w|| 2 có thể bị chặn độc lập với И

cho nghiệm của (2.4) L dương là một đối một Đó là trường hợp sau: Ta ví dụ nếu (2.9) xác định Biên này có thể được mở rộng tới nghiệm yếu dưới bởi Nguyên lý cực đại yếu

và Định lý 2.1 Nếu И là một nghiệm yếu dưới của (2.4) và (2.9) xác định, ta có thể định nghĩa một hàm V là nghiệm của bài toán Dirichlet tổng quát LV = G + DIF \ V = И trên ỡíỉ Từ Định lý 2.4 ta suy ra И < V trong íỉ và do đó ||w+ || 2 < |H|2 Ta có đánh giá

supií < sup U + + CK íì íì

đối với nghiệm yếu dưới của (2.4), ở đây С là một hằng số độc lập của и □

Định lý 2.14 Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.3), (2.4) và (2.9) và giả sử rằng /* e L q ( ri), ỉ = ổ 1 ẽ L q l 2 (ri) ũđi q > n Khi

đó nếu и là một H 1 [Vì)-nghiệm yếu dưới (nghiệm yếu trên) của phương trình (2.4) ta có:

thiết (2.9), L = supw+ là một nghiệm yếu trên và do đó không mất tính

dũ

tổng quát giả sử L = 0 Tiếp tục như chứng minh của Định lý 2.1, ta có: / ỰDPDV - (B<

+ C‘) VD I U) DX < I ỰDỊV - GV) DX, (2.47)

với mọi V không âm trên Hq (fỉ) sao cho UV < 0 Bất đẳng thức yếu

(2.47) thỏa mãn điều kiện (2.38) với 6* = D = 0 với с được thay bởi

b + с Ta giả sử К > 0 và đặt M = supw+ Trong (2.47) ta chọn hàm

Bây giờ ta định nghĩa

M + k 0J = log

M + K — U + Khi đó từ bất đẳng thức Schwarz ta thu được

dx < c ( 1 + A * I |b + cựdx ÍL

<C(u,\n\),

và do đó bất đẳng thức Sobolev ta có :

IMI2 < c { n i Ự 11^1) •Chứng minh này được hoàn thành bởi việc chỉ ra rằng UJ cũng là một nghiệm yếu dưới của phương trình dạng (2.4) Lấy Ĩ] e ƠQ (fỉ) thỏa mãn

V > 0, RJU > 0 trên íỉ, ta thay vào (2.47) hàm thử : V =

Khi đó ta thu được

Ị [a^D^uiDịĩ] + ĩ]a^DịUjDjUJ — (ừ + c*) T]DịUi) dx n

A

> ấ X + 2

v

2.6 M

ộ t

s ố

đ á n h

g i á

t i ê n