Luận văn ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier

Một số tính chất của chuỗi hội tụ.... Tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều .... Việc áp dụng Cị —quá trình vào nghiên cứu chuỗi Fourier được nghiên cứu bởi Fejér, trong việc nghiên cứu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

ĐÀO QUANG HƯNG

KHẢ TỎNG VÀ ÁP DỤNG Đối VỚI LÝ THUYET CHUỖl FOURIER

LUẬN VĂN THẠC Sĩ

HÀ NỘI - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

i i

ĐÀO QUANG HƯNG

c k - KHẢ TỎNG VÀ ÁP DỤNG Đối VỚI LÝ THUYET CHUỖl FOURIER

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC Sĩ

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS.NGUYỄN VĂN HÀO Thầy đã hướng dẫn và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm quý báu tronghọc tập cũng như trong nghiên cứu khoa học Thầy luôn quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt quátrình hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy

Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, phòng Sau đại học, các thầy,cô trường Đại học sưphạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chươngtrình đào tạo Cao học, hoàn thiện luận văn bảo vệ tốt nghiệp Tác giả xin cảm ơn Ban lãnh đạo TỉnhVĩnh Phúc,Lãnh đạo UBND Huyện Tam Đảo Phòng GD & ĐT Huyện Tam Đảo đã tạo mọi điều kiệngiúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt khóa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới giađình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên tinh thần để tác giả hoàn thiện khóa học và hoàn thành luậnvăn này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 12 năm 20lị Tác giả

ĐÀO QUANG HƯNG

Tôi xin cam đoan Luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS.NGUYỄN VĂN HÀO

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng

và biết ơn sâu sắc Các kết quả trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc

LỜI CAM ĐOAN

Hà Nội, tháng 12 năm 20lị Tác giả

ĐÀO QUANG HƯNG

Mục lục

1.1 Chuỗi số 6

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản 6

1.1.2 Điều kiện để chuỗi hội tụ 8

1.1.3 Một số tính chất của chuỗi hội tụ 10

1.1.4 Chuỗi số dương 12

1.1.5 Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý 17

1.1.6 Chuỗi hội tụ tuyệt đối 18

1.2 Dãy hàm và chuỗi hàm 20

1.2.1 Một số khái niệm cơ bản về dãy hàm 20

1.2.2 Điều kiện hội tụ đều của dãy hàm 22

LỜI CAM ĐOAN

1.2.3 Tính chất của hàm giới hạn của dãy hàm 23

1.2.4 Một số khái niệm cơ bản về chuỗi hàm 24

1.2.5 Các tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm 25

1.2.6 Tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều 29

1.3 Chuỗi lũy thừa 30

1.3.1 Khái niệm về chuỗi lũy thừa 30

1.3.2 Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa 31

1.3.3 Chuỗi Taylor của hàm số 34

1.3.4 Khai triển một số hàm sơ cấp 36

2 Chuỗi phân kì và vấn để ơfc-khả tổng 38 2.1 Lời dẫn về việc nghiên cứu chuỗi phân kỳ 38

2.2 Quá trình Cesáro hay Cỵ—quá trình 40

2.3 Một số ví dụ về ơfc-khả tổng 41

2.4 Một số điều kiện để chuỗi Cỵ—khả tổng 45

3 Áp dụng của Cfc-kha tổng đối với chuỗi Fourier 50 3.1 Chuỗi lượng giác 50

3.2 Chuỗi Fourier 52

LỜI CAM ĐOAN

3.3 Áp dụng của Cfc-khả tổng đối với chuỗi Fourier 53

3.4 Tính tổng một số chuỗi qua ứng dụng của chuỗi Fourier 60

đó từ nhiều lĩnh vực thực tế về lĩnh vực này, theo tiến trình lịch sử có lẽ phải

kể đến sự quan tâm của các nhà Toán học về chuỗi hình học

Đương thời lúc đó, người ta vẫn nghi ngờ các khẳng định ở trên Để thấy đượcđiều đó ta có thể xét chuỗi

1 - 1 + 1 - 1 + ,theo cách suy luận trên đây có kết quả bằng — Thế nhưng, từ biểu diễn

Cauchy và Abel là những người đầu tiên đưa ra khái niệm hội tụ của chuỗi sốtheo quan điểm hiện đại như ngày nay Quan điểm của các nhà Toán học này chỉ

xét sự hội tụ của một chuỗi số thông qua sự hội tụ của một dãy tổng riêng (s n).Trở lại vấn đề này ta xét chuỗi

00 7Ỉ = 0

CÓ dãy tổng riêng

(s„) = l,0 ,1 ,0 , ! , • • • ,không tồn tại giới hạn Tuy nhiên, có một ý tưởng được nghĩ đến dạng trungbình số học

, S Q + Si + + s n n ~n+l ’

Chỉ đơn giản như thế cũng đã chỉ ra rằng những suy luận của Euler là chưa có

cơ sở

Từ đó, người ta đưa ra khái niệm có tính thử nghiệm như sau: Dãy

4

theo nghĩa mới Ngoài dạng trung bình số học trên đây, cũng gợi ý chonghiên cứu đến một quá trình khác có thể dùng thay thế một số dạng khái

niệm hội tụ Việc áp dụng Cị —quá trình vào nghiên cứu chuỗi Fourier được

nghiên cứu bởi Fejér, trong việc nghiên cứu điều kiện để chuỗi Fourier của

hàm f(x ) hội tụ tại điểm x ữ Với mong muốn tìm hiểu về lý thuyết chuỗi phân

kỳ và lý thuyết chuỗi Fourier, nên tác giả đã chọn đề tài “Cfc—khả tổng và

áp dụng đối với lý thuyết chuỗi Fourier”

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về lý thuyết chuỗi phân kỳ và áp dụng Ck ~quá trình vào việc

nghiên cứu chuỗi Fourier

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết chuỗi phân kỳ và lý thuyết chuỗi Fourier

4 Phương pháp nghiên cứu

Tra mạng tìm tài liệu, phân tích và tổng hợp kiến thức, xin ý kiến địnhhướng của người hướng dẫn

5 Dự kiến đóng góp của đề tài

Trình bày một cách có hệ thống về lý thuyết chuỗi phân kỳ, chuỗi Fourier,

các Ck ~quá trình và ứng dụng của Ck ~quá trình trong việc nghiên cứu lý

thuyết chuỗi Fourier

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản

Cho dãy số {an} Ta gọi tổng vô hạn

thì ta nói rằng chuỗi (1 1 ) hội tụ và viết là

ОС

^ ^ — S'

71= 1

Khi đó, s được gọi là tổng của chuỗi (1.1).

Nếu lim s n = ±oo hoặc không tồn tại giới hạn này, ta nói rằng chuỗi

lim s^+1 = lim (n + 1 ) = oo.

(iii) Trường hợp q = — 1 dãy tổng riêng được xác định như sau

như vậy dãy (Sn+i) không có giới hạn Do đó, với \q\ = 1 thì chuỗi đã cho phân

kỳ

Ví dụ 1 2 Cho chuỗi số

Ta có

Từ đó, suy ra limSrc = 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ với tổng bằng 1

1.1.2 Điều kiện để chuỗi hội tụ

Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Dể chuỗi (1.1) hội tụ điều kiện cần và đủ là với £ > 0 tồn tại số nguyên dương n 0 = n ữ {e) sao cho với mọi n > n ữ (e) và với mọi số nguyên dương p, ta có

\a n+ i + a n + 2 + + a n+ p I < £.

Chứng minh Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {sn} có giới

hạn hữu hạn Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, với

mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương щ =Щ (e)saocho vớimọi n > Щ

và với mọi số nguyên dương p, ta có

l^n+p I <

Điều này tương đương với

I a 7i+1 + a n+ 2 + + an + p I < £.

Vậy định lý đã được chứng minh

Hệ quả 1.1 (Điều kiện cần đối với sự hội tụ củachuỗi) Nếu chuỗi (1.1) hội tụ thì lim a n = 0.

71—> ОС

Chứng minh Thật vậy, theo bất đẳng thức (1.3) thì với mọi n > N chọn p = 1 ta nhận được \a n+ 1 | < £ Do đó, ta có

lim a n = 0 n4oc

Vậy ta có điều phải chứng minh

Chú ý Điều kiện trên chỉ là điều kiện cần chứ không phảilàđiều kiện

đủ Điều đó được minh họa qua ví dụ dưới đây

Nếu chuỗi số là hội tụ thì các dãy tổng riêng s n và s 2n phải cùng dần tới

một giới hạn khi n —> oo tức là lim (s 2n — s n) = 0 Tuy nhiên, điều này

71—>00

mâu thuẫn với đánh giá trên

1 0

Hệ quả 1.2 Chuỗi (1.1) và chuỗi nhận được từ chuỗi này bằng cách thêm vào hay bỏ bớt đi một số hữu hạn các số hạng cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

1.1.3 Một số tính chất của chuỗi hội tụ

Tính chất 1.1 (Các phép toán tuyến tính trên các chuỗi hội tụ) Nếu

Vậy ta có điều cần phải chứng minh

Tính chất 1.2 (Việc nhóm tùy ý các số hạng của chuỗi) Nếu chuỗi

1 1

tk ^7ỉjfc •

Do đó, từ lim s n = s suy ra

lim t k = lim s nk = s.

71—>00 71—>00

Vậy ta có điều phải chứng minh

Định lý 1.2 (Dấu hiệu Dirichlet) Nếu chuỗi (1.1) có dẫy các tổng

oo

riêng bị chặn và b n là dẫy số giảm dần đến 0 thì chuỗi a n b n hội tụ.

71=1

Chứng minh Từ giả thiết cho ta thấy, đối với dãy tổng riêng s n của chuỗi (1.1),

luôn tồn tại M > 0 sao cho với mọi n > 1, ta có

1 2

dãy tăng Do đó ta có định lý sau

và bn- Giả sử tồn tại số с > 0 sao cho

và chuỗi bn- Theo Hệ quả (1.2), ta có thể coi bất đẳng thức (1.5)

71=1

được thỏa mãn với n > 1 Từ giả thiết, tồn tại số M > 0 sao cho

t n < M, với mọi n.

1 3

(ii) Suy ra từ (i)

Định lý 1.5 (Dấu hiệu so sánh thứ hai) Giả sử lim — = k Khi đó,

1 4

2n

oo ^Theo ví du (1.4), chuỗi hôi tu Bởi vì

n=l ™n

1 5

(ỉ) nếu с > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.

1 6

Như vậy, chuỗi phân kỳ theo Hệ quả (1.1) của định lý (1.1)

Vậy ta có điều cần phải chứng minh

00

Định lý 1.7 (Dấu hiệu D’Alembert) Cho chỗi số a n Giả sử tồn

tại qiới hạn lim 7 1 + 1 = d Khi đó, ta có khẳnq định sau *-*00 a n

(ỉ) Nếu d < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.

(ii) Nếu d > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.

Chứng minh, (i) Nếu d < 1 thì tồn tại p để d < p < 1 Vì lim ữn+1 = d 71->00 a r

nên tồn tại số nguyên dương n0 để mọi n > n0 và

1 7

1 8

1trên, ta thấy rằng dãy {sn} và tích phân f f (x)dx cùng bị chặn hoặc

1không cùng bị chặn Điều đó, cho ta khẳng định của định lý

Chú ý Khi áp dụng dấu hiệu D’Alembert hay dấu hiệu Cauchy nếu lim rc+ 1 = 1

hoặc lim ýcĩn = 1 thì chưa kết luận được gì về sự hội tụ

hay phân kỳ của chuỗi

1.1.5 Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý

Định nghĩa 1.3 (Chuỗi đan dấu) Một chuỗi có dạng

00

với a n > 0 , gọi là chuỗi đan dấu

Định lý 1.9 (Dấu hiệu Leibniz) Giả sử dãy {an} đơn điệu giảm và lim a n = 0, thì chuỗi đan dấu (1.6) hội tụ.

1 9

ta thấy rằng s2m < dị với mọi m Do đó, dãy {s2m} đơn điệu theo tiêu chuẩn hội tụ

Như vậy, nếu lim s 2m = s thì với mọi £ > 0 tồn tại số

2 0

Định lý 1.10 (Liên hệ giữa tính chất hộitụ vàhội tụ tuyệt đối) Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối là chuỗi hội tụ.

2 1

bán hội tụ thì ta có thể thay đổi thứ tự các số hạng của nó để thu được chuỗi hội tụ

và có tổng bằng một số bất kì cho trước hoặc chuỗi đó phân kỳ

trên A Q và khi đó ta xác định được hàm f ( x ) bởi hàm

2 2

/ (X ) = lim f n (X ); với mọi X G A ữ

Ti—>00

và hàm f { x ) được gọi là giới hạn của dãy hàm {/„ ( x ) }

Như vậy, bằng ngôn ngữ Cauchy ta có thể định nghĩa sự hội tụ điểm như sau

Định nghĩa 1.5 Dãy hàm { f n (a;)} được gọi là hội tụ điểm về hàm f(x ) trên tập

Aq nếu với mọi X € Aq và mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương n0 = ti q(e , X) sao

Định lý 1.11 (Tiêu chuẩn Cauchy) Diều kiện cần và đủ để dãy hàm ưn (a:)}

hội tụ đều về hàm f(x) trên tập A là với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương

n Q = n ữ ( s ) s a o c h o t a c ó

\ f m { x ) - f n { x ) \ < £ ' , (1.9)

với mọi m,n > n0và với mọi X £ A.

2 3

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử f n ( x ) =4 f { x ) Khi đó, với £ > 0 tồn tại số nguyên dương n ữ = IĨO ( E ) sao cho

\ f n ( x ) - f ( x )I <

với mọi n > n0 và với mọi X € A.

Khi đó, ta cũng có

Iỉ m ( x ) - f ( x ) \ <

với mọi m > n0 và với mọi X E A.

Từ hai bất đẳng thức trên, ta nhận được

If m ( x ) - f n ( ® ) | < Iỉ m ( x ) - / { x ) \ + I / ( x ) - f n ( x ) I < I + I = e ;với mọi 771, n > n 0 và với mọi X £ A.

Điều kiện đủ Ngược lại, nếu xảy ra bất đẳng thức (1.10). Khi đó,với

mọi X € A thì {fn (x)} là dãy Cauchy và do đó tồn tại

/ (z) = lim f n (X).

Ti—>00

Trong bất đẳng thức (1.10) cố định n > n0 và cho m —> oo, ta nhận được

I/ M - fn WI < e; với mọi € A.

Định lý 1.12 (Tính liên tục) Giả sử {f n (x)} là dẫy các hàm liên tục tại a € A, hội tụ đều trên A về hàm ỉ { x ) Khi đó f ( x ) liên tục tại a.

Chứng minh Trước hết, do dãy hàm {f n (x)} hội tụ đều về hàm f(x ) trên tập A nên với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương Щ sao cho

với n > Щ và mọi X € A. Đặc biệt, do a G A nên ta cũng có

2 4

Định lý 1.13 (Qua giới hạn dưới dấu tích phân) G i ả s ử d ẫ y h à m { f n { x ) } gồm các hàm liên tục hội tụ đều về hàm ĩ { x ) trên đoạn [o, 6] Khi đó, hàm

ĩ { x ) liên tục trên đoạn [a, b] và ta có

f (x) = lim f n ( ж )

n—>00

2 5

Định nghĩa 1.6 Cho dãy hàm {/„ (x)} xác định trên tập А с к Та gọi tổng vô hạn

+ Hàm f n ( x ) gọi là số hạng thứ n của chuỗi.

+ Hàm s n ( x ) = f ị ( x ) + f 2 { x ) + + /n(x) gọi là tổng riêng thứ n của

chuỗi hàm

Điểm X £ A gọi là điểm hội tụ hay phân kỳ của chuỗi (1.13) nếu dãy tổng riêng {^(ж)} của nó hội tụ hay phân kỳ tại điểm này Nếu A q là miền hội tụ của dãy {s^æ)} thì ta cũng gọi A ữ là miền hội tụ của chuỗi

Định nghĩa 1.7 (Sự hội tụ điểm và sự hội tụ đều) Ta nói chuỗi hàm

(1.13) hội tụ điểm trên A tới hàm f ( x ) , nếu dãy tổng riêng {sn(2 ;)} hội tụ điểm

trên A tới f ( x ) Điều đó, có nghĩa là với mọi X G A và mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương n ữ = n 0 ( e , x ) sao cho

00

2 6

Định nghĩa 1.8 Chuỗi hàm 2 2 f n ( x ) được gọi là hội tụ đều về hàm

2 7

2 8

A, nghĩa là tồn tại số M > 0 sao cho

< M; với mọi n G N* và mọi X € A.

(ii) Dẫy hàm {b n (x)} hội tụ đều về 0 trên A.

ОС

Khi đó, chuỗi hàm a n ( x ) b n ( x ) hội tụ đều trên A.

71=1

Chứng minh Theo giả thiết {b n (ж)} là dãy đơn điệu gảm và b n =4 0 Khi đó

với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương n0 = n0 (e) sao cho

với mọi n > Щ và với mọi X € A Từ bất đẳng thức này kết hợp với giả

C O S

nx n 2 + X 2

£

71=1

hội tụ đều trên A.

Định lý 1.18 (Dấu hiệu Abel) Cho hai d ã y hàm

(гг) Dãy hàm {b n (x)} đơn điệu với mọi X

£ A và bị chặn đều có nghĩa là với mọi i G Ấ ,

dãy hàm {b n (ж)} là dãy đơn điệu và tồn tại số

nguyên dương Щ — n ữ { e ) để với mọi n > n0, ta có

(1.15)

(trường hợp đơn điệu giảm được chứng minh tương

tự) Khi đó, với mọi n > n ữ ta có

Từ các tính chất về sự hội tụ đều của dãy hàm, ta dễ

dàng nhận được các tính chất sau về sự hội tụ đều của

3 2

Định lý 1.19 Cho А С К mà thông thường A = [a, b] hoặc A = (а, Ъ).

1.3.1 Khái niệm về chuỗi lũy thừa

3 3

00

71=0

trong đó a0, d ị, a 2 , là các hằng số được gọi là chuỗi lũy thừa Điểm x ữ được

gọi là tâm của chuỗi lũy thừa

Nhận xét

1) Chuỗi lũy thừa luôn hội tụ tại điểm X Q

2) Nếu ta đặt y = (x — xữ) thì ta có thể đưa chuỗi lũy thừa về dạng

1.3.2 Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa Định lý 1.22 ( Định lý Abel )

(1.19)

t ại đi ể m Xo Ỷ 0 t hì nó h ội tụ t uy ệ t đ ối tạ i mọi đ iể m X mà |ж| < |

3 4

Bởi vì, chuỗi lũy thừa (1.18) luôn có ít nhất một điểm hội tụ X = 0 nên theo

R = sup <

bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa, còn khoảng (-R, R ) được gọi là khoảng hội tụ

của chuỗi lũy thừa

lim 'ỷ/lan| ị x n ị = lim |a;| = p\ x\

3 5

E

71=0

0,

phân kỳ với mọi X mà |a;| > — Vì vậy, ta có R = —.

p p 7 1 + 1 được chứng minh tương tự

xét miền hội tụ của chuỗi này, ta kiểm tra tại hai đầu mút của khoảng hội tụ

3 6

íp{x)

nên R = 0, tức là chuỗi hội tụ tại điểm duy nhất X = 0.

1.3.3 Chuỗi Taylor của hàm số

Định nghĩa 1.11 Giả sử / : (a, b ) —>• M là hàm khả vi mọi cấp tại x 0 G (a, 6).Khi đó, người ta gọi

s (x ) = f (x ữ ) + ^ y (X - Xq ) + + f - Xq Ỵ + (1.20)

là chuỗi Taylor của hàm f { x ) tại x 0

Trường hợp khi x ữ = 0 thì chuỗi (1.19) được gọi là chuỗi Maclaurin của hàm

f (x ).

Chú ý Chuỗi (1.19) hoàn toàn được xác định bởi các đạo hàm của hàm f ( x ) tại

X q Như vậy, khi hàm f ( x ) có đạo hàm mọi cấp tại điểm X q thì ta có thể thiết lập

được chuỗi Taylor của nó Nhưng chưa hẳn, chuỗi Taylor của hàm f (x ) hội tụ về hàm f (x ) Điều đó được minh họa qua ví dụ dưới đây