Luận văn bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng

1.4 Một số định lý về điếm bất động và ánh xạ KKM 2 Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tống quát và ứng dụng Kết luận Tài liệu tham khảo 1.1.3 Không gian Hilbert 1.1.4 Không gian tồpồ tuyền t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN HUY MẠNH

BÀI TOÁN TựA CÂN BẰNG HỗN Hộp TổNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Người hướng dẫn khoa học

GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TAN

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn củaGS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Thầy đã hướng dẫn và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm quý báutrong học tập cũng như trong nghiên cứu khoa học Thầy luôn quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt quátrình hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy

Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, phòng Sau đại học, các thầy, các cô trường Đại học sưphạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trìnhđào tạo Cao học, hoàn thiện luận văn bảo vệ tốt nghiệp Tác giả xin cảm ơn Ban lãnh đạo tỉnh Lào Cai,Ban giám đốc Sở GD &; ĐT Lào Cai, Ban giám hiệu trường THPT số 2 Huyện Bảo Yên đã tạo mọi điềukiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt khóa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới giađình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên tinh thần để tác giả hoàn thiện khóa học và hoàn thành luận vănnày

H à N ộ i , t h á n g 1 2 n ă m 2 0 Ỉ Ậ Tác giả

Trần Huy Mạnh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoahọc với sự trân trọng và biết ơn Các kết quả trích dẫn trong luận văn này đã đượcchỉ rõ nguồn gốc

H à N ộ i , t h á n g 1 2 n ă m

2 0 1 Ậ Tác giả

Trần Huy Mạnh

1.3.1 Tính liên tục của ánh xạ đa trị

1.3.2 Tính lỗi của ánh xạ đa trị

1.4 Một số định lý về điếm bất động và ánh xạ KKM

2 Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tống quát và ứng dụng

Kết luận

Tài liệu tham khảo

1.1.3 Không gian Hilbert

1.1.4 Không gian tồpồ tuyền tính lỗi địa phương Hausdorff

Ta biết rằng các bài toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu vô hướng baogồm:

1) Bài toán tối ưu: Cho hàm số / : -D -> R Tìm X e D sao cho /(ãQ <

f ( x ) y với mọi X thuộc D

2) Bài toán bất đẳng thức biến phân: Gọi X * là không gian đối ngẫu của

X Cho ánh xạ T : D -» X * Tìm X e D sao cho { T ( x ) , x — x ) > 0, với mọi X

thuộc D

3) Bài toán cân bằng (Blum-Oettli đưa ra năm 1994): Cho / : D X D -»

R Tìm X e D sao cho f ( x , x ) > 0 với m ọ i X e D

Bài toán điểm cân bằng được biết đến từ các công trình của Debreu, Nash Nó là sự mở rộng của các bài toán như bất đẳng thức biến phân, tối

Arrow-ưu vô hướng đồng thời nó cũng bao gồm các bài toán điểm bất động, bài toán bù,bất đẳng thức minimax như những trường hợp đặc biệt

Do nhu cầu phát triển của bản thân toán học và các lĩnh vực khoa họckhác, bài toán cân bằng và các bài toán tối ưu kể trên cũng được phát triển và mở

rộng cho trường hợp véctơ và đa trị như: Bài toán tựa cân bằng với biến rằng buộcphụ thuộc vào tham số, tựa biến phân hoặc bao hàm thức tựa biến phân của nhiềuánh xạ đa trị Với mong muốn hiểu biết thêm về bài toán tựa cân bằng đa trị nên tôi

chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “ B à i t o á n t ự a c â n b ằ n g h ỗ n h ợ p

t ổ n g q u á t v à ứ n g d ụ n g ”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu sự mở rộng của bài toán cân bằng đối với ánh xạ đơn trị sang

các bài toán tựa cân bằng loại I , tựa cân bằng loại II và bài toán tựa cân bằng hỗn

hợp tổng quát đối với ánh xạ đa trị

Mục đích của luận văn là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựacân bằng hỗn hợp tổng quát cũng như một số ứng dụng của nó trong lý thuyết tối ưu

đa trị

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đọc các tài liệu liên quan tới các bài toán trong lý thuyết tối ưu véctơ vàviết luận văn về sự tồn tại nghiệm, một số ứng dụng của bài toán tựa cân bằng hỗnhợp và mối liên quan giữa những bài toán quen biết trong lý thuyết tối ưu

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Các dạng khác nhau của những loại bài toán tựa cân bằng, một số bài toánliên quan khác trong lý thuyết tối ưu véctơ liên quan tới ánh xạ đa trị và một số ứngdụng của chúng

5 Những đóng góp mới của đề tài

Một cái nhìn cụ thể về bài toán tựa cân bằng, điều kiện để bài toán tựacân bằng tổng quát có nghiệm và các bài toán liên quan trong lý thuyết tối ưu đa trịcũng như một số ứng dụng của nó

6 Phương pháp nghiên cứu

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổngquát, chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu chính là các định lý điểm bất độngcủa Ky Fan, Fan-Browder và các định lý dạng KKM

Chương 1 Kiến thức

chuẩn bị

Trong cuộc sống con người hay trong các lĩnh vực khoa học, toán học, bất kìmột bài toán nào cũng phải được đặt ra trong một hoàn cảnh cụ thể, một không giannhất định nào đó Để nghiên cứu các bài toán ấy, trước hết ta phải nghiên cứu cáckhông gian và các khái niệm có liên quan Ta bắt đầu bằng việc nhắc lại một sốkhông gian mà ta thường đặt ra các bài toán trong lý thuyết tối ưu véctơ đa trị Kháiniệm về nón, ánh xạ đa trị và một số tính chất của ánh xạ đa trị; Một số định lý vềđiểm bất động và KKM

1.1 Một số không gian thường dùng

Cuối Thế kỷ 17, đầu Thế kỷ 18 lý thuyết tập hợp ra đời, thay đổi cơ bảnmục đích, động cơ nghiên cứu và ứng dụng của toán học, người ta quan tâm tới kháiniệm khoảng cách giữa hai phần tử trong một tập hợp Để nghiên cứu sâu hơn bảnchất các vấn đề đó, ta nhắc lại khái niệm không gian metric

Định nghĩa 1.1.1.1 Một tập X (mà các phần tử có thể là các đối tượng bất kỳ) được gọi là một k h ô n g g i a n m e t r i c nếu:

a) Với mỗi cặp phần tử x , y của X đều có xác định, theo một quy tắc nào đó, một số thực p ( x , y ) , gọi là “khoảng cách giữa X và ?/”;

b) Quy tắc nói trên thỏa mãn các điều kiện (tiên đề) sau đây:

1) p ( x , y ) > 0 nếu X Ỷ y; p { x , y ) = 0 nếu X = y \

2) p ( x , y ) — p ( y , x ) với mọi X , y (tính đối xứng);

giác)

Hàm số p { x , y ) gọi là metric của không gian Các phần tử của X , dù là những

đối tượng gì, cũng thường gọi là điểm của không gian theo cách nói của hình học

với T nào đó.

Định nghĩa 1.1.1.4

1) Một tập con A bất kỳ của không gian metric X được gọi là tập mở nếu với

X là điểm bất kỳ thuộc tập A , luôn có một lân cận của X nằm trọn trong A

2) Một tập con A bất kỳ của không gian metric X được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó là tập mở trong X

Định nghĩa 1.1.1.5 Dãy { x n } c X được gọi là h ộ i t ụ tới X € X nếu

lim p { x n , X ) = 0.71—»00

Ví dụ 1.1.1.6 Trong không gian Rfc, dãy {x”}, với x n = (z”, x£) hội tụ tới

X — ( x \ , X 2 , X ỵ ) nghĩa là X " -» X ị , ( i — 1 , 2 k h i (n -> oo) đó là sựhội tụ

Một không gian metric X trong đó mọi dãy cơbản đều hội tụ (tới một phần

tử của X) được gọi là một k h ô n g g i a n m e t r i c đ ủ

Ví dụ 1.1.1.8 Khoảng (0,1) trong không gian các số thực R cùng với metric t h ô n g

dãy Cauchy vì với Ve > 0, 3N > sao cho với moi n , m > N , I- — — I < 1-1 + I —I

< £■)

5 e J ■ 5 — 5 I n m l I n l l r a l /

Nhận xét Bốn khái niệm lân cận, tập đóng, tập mở, sự hội tụ tạo ra trên X cùng một

cấu trúc Người ta gọi cấu trúc này là cấu trúc tôpô Từ đó, người ta đưa ra kháiniệm về không gian tôpô một cách tổng quát hơn

Khái niệm tập bị chặn trên đường thẳng được mở rộng trong không gian metric

1) Tập con M ç X gọi là t ậ p c o m p a c t nếu với v{z„} ç M đều chứa một dãy

con hội tụ tới một điểm thuộc M;

2) M c o m p a c t t ư ơ n g đ ố i nếu M là tập compact;

3) Không gian metric X được gọi là k h ô n g g i a n c o m p a c t nếu X là tập

compact trong chính nó

Định nghĩa 1.1.1.11 Ánh xạ / được gọi là l i ê n t ụ c tại điểm Xo e X nếu với m ọ i £

< £

Ánh xạ / được gọi là đồng phôi nếu / là ánh xạ 1 - 1 từ X lên

Y và các

ánh xạ /, / 1 đều liên tục Khi đó hai không gian X và Y được gọi là hai không gian

đồng phôi với nhau

Không gian định chuẩn được xây dựng trên cơ sở của không gian tuyến tính:Một tập hợp trên đó có một cấu trúc đại số gồm hai phép tính, phép cộng giữa haiphần tử và phép nhân một số với một phần tử Ta có:

Định nghĩa 1.1.2.1 Một tập X (mà các phần tử là các đối tượng bất kỳ) được gọi là một k h ô n g g i a n v é c t ơ (hay k h ô n g g i a n t u y ế n t í n h ) , nếu:

a) ứng với mỗi cặp phần tử X , y của X ta có, theo một qui tắc nào đó, một

phần tử của X gọi là tổng của X với y và ký hiệu X + y , ứng với mỗi phần tử X của X và mỗi số thực a ta có, theo một quy tắc nào đó, một phần tử của X gọi

là tích của X với a và được ký hiệu a x

b) Các quy tắc nói trên thỏa mãn 8 điều kiện (tiên đề) sau đây:

trên tạo ra trên X một cấu trúc Người ta gọi đó là cấu trúc đại số.

Ví dụ 1.1.2.2 Tập R" với phép cộng và nhân thông thường là một không gian véctơ

Trong một không gian véctơ tùy ý, tập lồi và hàm lồi có những tính chất đặc biệt, tanhắc lại định nghĩa như sau

g i a n đ ị n h c h u ẩ n ) là một không gian véctơ X , trong đó ứng với mỗi phần tử X € X , t ã

c ó một s ố | | a ; | | , gọi l à chuẩn của nó, sao cho với mọi x , y € X và mọi s ố a các điều kiện sau

được thỏa mãn:

1) ||a;|| > 0 nếu X Ỷ 0; IMI = 0 nếu X = 0;

2) ||aa:|| = MIMI (tính thuần nhất của chuẩn);

3) ||x + y \ \ < ||x + z II + Ilz + y|| (bất đẳng thức tam giác).

Nhận xét Nếu trong không gian X ta đặt p ( x , y ) = ||x — Ị/|| thì (x , p ) là không gian metric Như vậy trong không gian X có hai cấu trúc tôpô và đại số Hai cấu trúc này

phù hợp

Định nghĩa 1.1.2.5 Cho không gian tuyến tính X Hai chuẩn xác định trên X , llzllj, ||x| |

2 gọi là t ư ơ n g đ ư ơ n g nếu tồn tại hai số dương a , b sao cho

< ||z|li < -\/TZIIa:II2, Va; e K”.

1 < i < n Như vậy, K h ô n g g i a n đ ị n h c h u ẩ n (X, ||.||) là không gian metric với khoảng cách

p ( x , y ) = ||a: - y \ \ , x , y £ X

Một không gian mà ở đó có khái niệm tích vô hướng, với những tính chất c ủ a

Định nghĩa 1.1.3.1 Một không gian véctơ thực X được gọi là k h ô n g g i a n t i ề n

H i ỉ b e r t , nếu trong đó có xác định một hàm hai biến ( x , y ) thỏa mãn các tính chất sau:

1) ( x , y ) = ( y , x ) ' ,

2){x + y,z) = {x,z) + {y,z );

3) ( a x , y ) = a { x , y ) với mọi số thực a;

4) { x , x ) > 0 với Va:; {x, x) = 0 nếu X = 0.

( x , y ) gọi là t í c h v ô h ư ớ n g của hai phần tử x , y

Định nghĩa 1.1.3.2 Không gian tiền Hilbert X cùng với chuẩn ||a:|| = ý / ( x , x ) là không gian định chuẩn đủ được gọi là k h ô n g g i a n H i l b e r t

Nhận xét Trong không gian tiền Hilbert X , tích vô hướng thỏa mãn một số tính chất

đặc biệt sau:

1) Hệ thức ||z|| = y / ( x , x ) xác định một chuẩn trong X , vì vậy k h ô n g g i a n

t i ề n H i l b e r t l à m ộ t k h ô n g g i a n đ ị n h c h u ẩ n , do đó nó cũng là không gian

metric

Một không gian tiền Hilbert đủ được gọi là k h ô n g g i a n H i l b e r t ;

2) B ấ t đ ẳ n g t h ứ c S c h w a r z : |(x,y)| < ||z|| Hy II ,Vx,y e X ;

3) ( x , y ) là một hàm liên tục đối với X và y

Ví dụ 1.1.3.3 Không gian Rn,C" với tích vô hướng (x , y ) = Ỵ 2 x i ỹ l là các

i — 1

không gian Hilbert

Trong mục này, ta sẽ xét lớp không gian mà không cần metric nhưng vẫn có thể nói tới khoảng cách giữa các điểm và từ đó nói tới sự hội tụ, sự liên tục, đó là lớp không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Các khái niệm giới hạn, lân cận,tập đóng, tập mở đều sinh ra một cấu trúc tôpô

Định nghĩa 1.1.4.1

1) Cho tập hợp X bất kì Một họ Q những tập con của X được gọi là là m ộ t

t ô p ô t r ê n X n ế u :

(i) Hai tập 0,x đều thuộc họ Q \

(ii)Q kín đối với phép giao hữu hạn, tức là giao của một số hữu hạn tập thuộc

họ Q thì cũng thuộc họ Q \

(iii) Q kín đối với phép hợp bất kì, tức là hợp của một số hữu hạn hay vô h ạ n

t ậ p t h u ộ c h ọ Q t h ì c ũ n g t h u ộ c h ọ Q

2) Tập X cùng với tôpô Q trên X , được gọi là k h ô n g g i a n t ô p ô (X , Q ) (hay

k h ô n g g i a n t ô p ô X ) ;

3) Các tập thuộc họ Q được gọi là t ậ p m ở ;

4) Khi có hai tôpô Q , Q 'trên X , nếu Q c Q ' , ta nói tôpô Q y ế u hơn ( t h ô hơn) tôpô Q ' hay tôpô Q ' m ạ n h hơn ( m ị n hơn) tôpô Q Trường hợp không có

quan hệ đó, ta nói hai tôpô không so sánh được

Ví dụ 1.1.4.2

1) Trên X xét họ Q T chỉ gồm hai tập con của X đó là 0,x Rõ ràng Q T là một tôpô (gọi là tôpô thô hay tôpô tầm thường) trên X Cặp (X , QT) gọi là không gian tôpôthô Đối với không gian tôpô thô, các tập 0,x vừa là tập đóng, vừa là tập mở

2) Trên X , họ Q d gồm tất cả các tập con của X cũng là một tôpô (gọi là

tôpô rời rạc) trên X Rõ ràng, trong không gian tôpô rời rạc (X , Q D ) , mọi tập con của

X đều là tập mở Đối với không gian tôpô rời rạc, mọi tập con của X đồng thời vừa là

X, tôpô rời rạc mạnh nhất, tôpô thô là yếu nhất.

3) Trong không gian metric (x,d), họ T các tập mở trong X cũng là một tôpô trên

X , ta gọi nó là tôpô metric phù hợp với metric d , điều đó có nghĩa là, mọi không gian

metric (bao gồm cả không gian định chuẩn và Hilbert), đều là không gian tôpô

Trong không gian tôpô các khái niệm về lần cận, giới hạn, phần trong, bao đóng, được định nghĩa khái quát hơn so với không gian metric

Định nghĩa 1.1.4.3 Cho không gian tôpô (X , Q ) , A c X Tập con u của không gian X gọi là l â n c ậ n của Ả nếu u bao hàm một tập mở chứa Ả ; Lân cận của p h ầ n t ử X

e X l à l â n c ậ n c ủ a t ậ p c o n { a : } ; H ọ t ấ t c ả c á c l â n c ậ n c ủ a

Định nghĩa 1.1.4.4 Trong không gian định chuẩn X Dãy { x n } c X hội tụ tới X € X

n ế u v à c h ỉ n ế u \ \ x n — x | | - > ■ 0 - , k h i n - » 00.

Định nghĩa 1.1.4.5 Cho X , Y là hai không gian tôpô

mỗi lân cận u của f ( x ) trong Y , đều tồn tại lân cận V của X trong X thỏa mãn

/00 Ç и ;

2) Ánh xạ / gọi là liên tục trên không gian tôpô X nếu / liên tục tại mọi điểm thuộc X

Từ một cơ sở tôpô ta có thể xác định các tôpô khác của không gian

Định nghĩa 1.1.4 6 Cho không gian tôpô (X , Q ):

1) Cho X e X, họ vx nào đó gồm các lân cận của điểm X được gọi là một cơ sở địa

phương của tôpô Q tại điểm X (hay cơ sở lân cận tại X), nếu với bất kì lân cận u của

điểm X luôn tồn tại tập V e v x sao cho X £ V Ç [/;

2) Họ con V các phần tử của Q được gọi là một c ơ s ở của tôpô G trên X nếu mọi phần tử của Q đều là hợp nào đó các phần tử thuộc V;

3) H ọ c o n M c á c p h ầ n t ử c ủ a G g ọ i l à

hữu hạn có thể có các tập con thuộc M là một cơ sở của tôpô

Q

Ví dụ 1.1.4.7 Trong không gian tôpô rời rạc ( X , QD), họ tất cả các tập con có một

phần tử là một cơ sở của Q d , họ các tập con hai phần tử là một tiền cơ sở của G d ■ Với X £ X bất kì, tập {x} chính là một cơ sở địa phương tại X

Định nghĩa 1.1.4 8 Không gian tôpô (X , Q ) được gọi là k h ô n g g i a n H a u s d o r f f nếu đối với hai điểm khác nhau tùy ý x , y £ X luôn tồn tại các lân cận и của X , V

c ủ a у s a o c h o и п V = 0

Một không gian véctơ có thể đồng thời được trang bị một cấu trúc tôpô, một cấutrúc đại số, nếu hai cấu trúc tôpô và đại số ấy có mối liên hệ nhất định sẽ làm nảysinh nhiều tính chất mới trong không gian

Định nghĩa 1.1.4.9

1) Cho X là một không gian véctơ trên trường K, một tôpô T trên X gọi là

t ư ơ n g t h í c h với cấu trúc đại số của X nếu các ánh xạ

+ : X X X ->■ X , ( x , y ) I-» X + У ]

: K X X X ( Л ,

X ) ! - > X x ,

liên tục;

2) M ộ t k h ô n g g i a n v é c t ơ t ô p ô X t r ê n

gian véctơ trên trường K, còn T là một tôpô tương thích với cấu trúc đại số (hay tôpô véctơ) của X ;

3) Mọi lân cận của gốc OẽI gọi là 0 — l â n c ậ n hay vắn tắtlà lân cận

Mệnh đề 1.1.4.10 С ác phép tịnh tiến f ( x ) = X + a , a cố địnhtùy ý cho trước

v à c á c p h é p v ị t ự g ( x ) = a x , a t ù y ý c h o t r ư ớ c , l à n h ữ n g

một lân cận của а ; V là 0—lân cận thì Va Ỷ a V là một 0—lân cận

Dưới đây ta đưa ra các điều kiện đặc trưng cho một cơ sở lân cận của một không gian véctơ tôpô

Định nghĩa 1.1.4.11 Trong mỗi không gian véctơ tôpô X bao giờ cũng có một cơ sở lân cận В của gốc, sao cho:

4) Mỗi cặpV i , V 2 E В tồn tại w £ в sao cho w Q V \ n V2

Ngược lại, nếu trong không gian véctơ X lấy một họ В ( ф 0) các tập con của X thỏa mãn các điều kiện trên thì có một tôpô duy nhất trên X tương hợp với cấu trúc đại

số, nhận в làm cơ sở lân cận của gốc.

Chú ý: Nếu ổ là một cơ sở lân cận có các tính chất 1) - 4) thì các bao đóng các phần tử

của В cũng làm thành một cơ sở lân cận có các tính chất đó.

V í d ụ 1 1 4 1 2 K h ô n g g i a n đ ị n h c h u ẩ n l à k h ô n g g i a n véctơ

bởi chuẩn) Gọi в là họ các hình cầu mở, B ' là họ các hình cầu đóng có tâm tại gốc, khi đó B , B ' đều là cơ sở lân cận của gốc (chúng thỏa mãn bốn điều kiện đã nêu trong

Định nghĩa 1 1 4 1 4 Một k h ô n g gian véctơ tôpô X gọi là k h ô n g g i a n v é c t ơ

t ô p ô l ồ i đ ị a p h ư ơ n g (và tôpô của nó là tôpô lồi địa phương) nếu trong X có một cơ

sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi

V í d ụ 1 1 4 1 5 M ọ i k h ô n g g i a n đ ị n h c h u ẩ n đ ề u l à k h ô n g

cầu tâm tại gốc

Ta biết, tôpô của một không gian định chuẩn xác định bởi chuẩn II a: II Ta sẽ thấyrằng, tôpô của một không gian lồi địa phương được xác định bởi một họ

sơ chuẩn

Định nghĩa 1.1.4.16 Một s ơ c h u ẩ n là một hàm số thực hữu hạn p ( x ) xác định trên một không gian tuyến tính X thỏa mãn hai điều kiện sau:

Định nghĩa 1.2.1 Cho Y là một không gian tuyến tính và c làmột tậpcon

của Y c được gọi là nón (hay nón có đỉnh tại gốc) trongYnếu vớimọi c e c,

mọi t > 0 thì í c Ẽ c

Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính và c là nón trong Y , ký hiệu c l C ,

i n t c , c o n v C theo thứ tự lần lượt là bao đóng, phần trong và bao lồi của nón c.

Ký hiệu l ( C ) = Cn — C :

Nếu c là tập lồi thì c được gọi là nón lồi.

Nếu c là tập đóng thì c được gọi là nón đóng.

Nếu l ( C ) = {0} thì c được gọi là nón nhọn.

Nếu clC là nón nhọn thì c được gọi là nón sắc.

Nếu c l C + C \ l ( C ) c c thì c gọi là nón đúng.

Cho Y là không gian tôpô tuyến tính, c là nón trong Y Ta định nghĩa quan hệ như

sau:

1) x,y e Y,x >zc y nếu X - y e c, ta có thể kí hiệu đơn giản X >z y.

2) Ký hiệu X y y nếu X — y e C \ Ỉ ( C ) vài>|/ nếu X — y € i n t c

Nếu c là nón lồi thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính và quan hệ đó là quan h ệ t h ứ

{0}-Định nghĩa 1.2.3 Cho c là một nón trong không gian tuyến tính Y , B c Y , B được gọi

là t ậ p s i n h của nón c, ký hiệu c = c o n e ( B ) nếu c = { t b \ b € B , t > 0} Nếu B không chứa gốc và với mọi c e C,c / ũ đều tồn tại b £ B sao cho c = t b , t > 0 thì B được gọi

là cơ sở của nón c Hơn nữa nếu B là tập hữu hạn phần tử thì tập c = c o n e ( c o n v B )

gọi là nón đa diện

Khi ta xây dựng một nón trên không gian tuyến tính tức là ta đã xây dựng một quan hệthứ tự trên nó, từ đó ta có các khái niệm về điểm hữu hiệu

Định nghĩa 1.2.4 Cho Y là một không gian tôpô tuyến tính, c là một nón trong Y và A

là một tập con của Y Khi đó:

(i) X e A được gọi là điểm hữu hiệu lí tưởng của tập A đối với nón c nếu y —

(iii) Giả sử i n t c 7Í | , I Ẽ Ẩ được gọi là điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón c

nếu không tồn tại y e Ả sao cho X - y £ i n t c Tập các điểm hữu hiệu yếu của A ký hiệu là w M i n ( A / C )

(iv) Điểm X e A được gọi là đ i ể m h ữ u h i ệ u t h ự c s ự của tập Ả đối với nón

c, n ế u t ồ n t ạ i n ó n l ồ i c k h á c t o à n k h ô n g g i a n v à c h ứ a C \ l ( C )

của tập A đối với nón c , ký hiệu là P r M i n ( A / C )

1.3 Ánh xạ đa trị

Như chúng ta đều biết, ánh xạ đơn trị cho ta với điểm cho trước tương ứng với duynhất một giá trị Nhưng trong thực tế nói chung và trong toán học nói riêng, với mỗiđiểm cho trước ta cần một tập hợp tương ứng, phép tương ứng đó là ánh xạ đa trị

Cho X là một tập hợp bất kỳ, ký hiệu 2 X là tập tất cả các tập con của X

Định nghĩa 1.3.1 Với X , Y là các tập hợp nào đó Một ánh xạ F từ X vào 2 y được gọi

là á n h x ạ đ a t r ị từ X vào Y Ký hiệu F : X -> 2 y

N h ư v ậ y m ỗ i X e X , F ( x ) l à m ộ t t ậ p t r o n g Y ( F ( x ) c ó t h ể

trong Y Khi đó ta sử dụng ký hiệu F : X Y thay cho F : X -» 2y

Với D c X , K c Y Miền định nghĩa, đồ thị và miền ảnh của ánh xạ đa trị F

Tích đề các của F : X 2y và G : w — > 2 Z là ánh xạ F X G : I X w —> 2 Y x Z cho bởi

công thức

( G X F ) ( x , y ) = G ( x ) X F ( y ) (ii) Khi Y là không gian tôpô tuyến tính Tổng đại số của hai ánh xạ F i , F 2 v à

p h é p n h â n m ộ t s ố v ớ i á n h x ạ F l à á n h x ạ đ a t r ị t ừ X v à o Y

( F , + F 2 ) ( x ) = F ^ x ) + F 2 ( x ) - (XF) (x) = XF(x)]

Định nghĩa 1.3.3 Cho Y là không gian tôpô tuyến tính, F : X -» 2 y là ánh xạ đa

trị, ký hiệu F , F ° theo thứ tự lần lượt là ánh xạ bao đóng, phần trong của ánh xạ F

Định nghĩa 1.3.4 Cho X , Y là các không gian tôpô, F : X -» 2 y là ánh xạ đa trị

(i) F g ọ i l à n ử a l i ê n t ụ c t r ê n t ạ i X € d o m F

tồn tại một lân cận и của X trong X sao cho F(x) с V v ớ i m ọ i X € u .

(ii) F gọi là n ử a l i ê n t ụ c d ư ớ i tại X e domí1 nếu mọi tập mở V chứa trong

Y thỏa mãn F ( x ) n v Ỷ 0 đều tồn tại một lân cận и của X trong X sao cho F ( x ) n V

F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng

Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới

Bổ đề 1.3.7 fz] Cho X , Y là các không gian tôpô, D chứa trong X , F : D ^ 2 Y là ánh

xạ đa trị Nếu F là nửa liên tục trên với giá trị đóng, thì F là ánh xạ đ ó n g N g ư ợ c

l ạ i n ế u F l à á n h x ạ đ ó n g v à Y l à c o m p a c t , t h ì F l à n ử a l i ê n

t ụ c trên

Mệnh đề 1.3.8

(i) | 6] C h o F : £ > - > ■ 2 y l à á n h x ạ đ a t r ị

bất kỳ y € F(x) và với bất kỳ dãy x a e D,x a -» X, tồn tại dãy {yß}ßeA,Vß € F( x ß) sao cho Uß -» y,

y € V

Thật vậy, lấy X e (—00, —b), khi đó b < —X Theo cách xác định điểm b ta suy ra

tồn tại những điểm у £ V sao cho b < у < — X suy ra X e (-0 0, - y ] Ç ỊJ

Định nghĩa 1.3.11 F là C - ỉ i ê n t ụ c t r ê n (hay C - l i ê n t ụ c d ư ớ i ) tại X e domí1 nếu với

bất kì lân cận V của gốc trong Y đều tồn tại lân cận и của X trong Y sao cho:

F ( x ) С F ( x ) + V + C ( x )

(tương ứng F(x) с F(x) + V - C(x)) với mọi X £ un domí1

Trong các phần sau, ta sử dụng khái niệm C-liên tục trên (dưới) với с là ánh x ạ n ó n ( á n h x ạ c ó t ậ p g i á t r ị l à n ó n )

Đ ị n h n g h ĩ a 1 3 1 2 C h o F : к X D X D - > 2 Y , c : к X D - > 2 y

l à á n h x ạ n ó n F được gọi là C - l i ê n t ụ c t r ê n (hoặc C - l i ê n t ụ c d ư ớ i ) tại ( ÿ , x , ~ z ) e domF nếu với bất kỳ lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân cận и của ( ỹ , x , z ) sao cho:

F ( y , x , z ) ç F ( y , x , z ) + V + C ( y , x ) , ( H a y F ( ÿ , x , z ) ç F ( y , x , z ) + V - C ( ỹ , x ) t ư ơ n g ứ n g

với mọi (y , x , z ) e U n dom.F

Các khái niệm C-liên tục tại điểm trên D cũng được định nghĩa như trường hợp С

(ii) Nếu F là ánh xạ compact và C- liên tục dưới tại (yo, Xo, Zo) Ễ domF thì với dãy tùy ý (y ß , X ß , Z ß ) -> ( y o , x 0 , z 0 ) , t 0 e F ( y 0 , x 0 , z 0 ) + C ( y 0 , x 0 ) đều tồn tại dãy { t ß } , t ß e F ( y ß , X ß , Z ß ) + C ( y ß , X ß ) , sao cho có dãy con { t ß i } , t ß i - t 0 - > ce

C ( y 0 , x 0 ) (nghĩa là tß 7 —> t(Ị + с G to + С (yũ, Xo)

Ngược lại, nếu F là ánh xạ compact và với dãy tùy ý (yß,Xß,Zß) -» (■yo,x 0 ,z 0 ),t 0 e F(y 0 ,x 0 ,z0) + C(y 0 ,xo), tồn tại dãy {tß},tß e F(y ß ,Xß,Zß) sao cho c ó d ã y c o n { t ß } , t ß — t o - > с е С ( у о , х о ) t h ì F l à С - l i ê n

Cho F : D -» 2 y là ánh xạ đa trị và с là nón trong Y Trongcác chương

sau của luận văn, ta cần tới các khái niệm sau:

trên D Từ đó ta suy ra : với mọi X i , X2£ D , а £ [о, 1], ta có

aF(xi) + (1 — a)F(x2) ç F(ax 1 + (1 — a)x2) — с

trên (dưới)) là như nhau và ta nói F là ơ-lồi (hoặc, ơ-giống tựa l ồ i )

Các khái niệm ánh xạ C-lồi trên (dưới) hay C-giống tựa lồi trên (dưới) là sự tổng quát

các khái niệm tương ứng đối với ánh xạ đơn trị Có thể thấy rằng,

ánh xạ ơ-lồi trên (dưới) không phải là ánh xạ ơ-giống tựa lồi trên (dưới) và n g ư ợ c

l ạ i

Ví dụ 1.3.16 Xét các ánh xạ F , G : R -» R2 xác định bởi

F ( x ) = ( x * , x ) v à G ( x ) = ( x , l — x )

V ớ i n ó n c = R + , t a d ễ d à n g c h ỉ r a đ ư ợ c r ằ n g , F l à á n h

không là C — giống như tựa lồi.

Định nghĩa 1.3.17 Cho F : D X D -> 2y là ánh xạ đa trị:

1) F được gọi là C - l ồ i t r ê n ( d ư ớ i ) t h e o đ ư ờ n g c h é o đối với biến thứ hai

n

( tương ứng, F(x,x) C ctjF(x, Xj) - C);

3 =1

2) F đ ư ợ c g ọ i l à C - g i ố n g t ự a l ồ i t r ê n

tập hữu hạn {xi,x n } C D,x e co{xi,x n }, X =

đ ư ờ n g c h é o đối với biến thứ hai.

Định nghĩa 1.3.19 Cho các ánh xạ đa trị F : к X D X D ->• 2 Y ,Q : ũ x D - > 2x C h o С

1) F được gọi là (Q,C)-giống như tựa lồi trên theo đường chéo đối với biến thứ ba

nếu với bất kì tập hữu hạn {xi, ,x n} Ç D,x £ co{xi,x n } tồn tại chỉ s ố j Ễ { 1, n }

1) Cho T Z là một quan hệ hai ngôi trên к X D Ta nói quan hệ 1 Z là q u a n h ệ

đ ó n g nếu với mọi lưới ( y a , x a ) hội tụ tới (y , x ) và И ( у а , Х а ) xảy ra với mọi а thì

i z ( y , x ) xảy ra;

2) Cho 1 Z là một quan hệ ba ngôi trên к X D X D Ta nói 1 Z là q u a n h ệ

Q - K K M nếu với mọi tập hữu hạn {íi, ,ín} с D và X e co{íi,tn } , tồn tại t j € sao

cho i z ( y , x , t j ) xảy ra, với mọi у € Q ( x , t j )

V í d ụ 1 3 2 1 C h o D l à t ậ p h ợ p c o n t r o n g

ngẫu X*,K là tập con của không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Z,Q : D X D —» к tùy ý.

T : к X D -> X* là ánh xạ đơn t r ị T a d ễ d à n g c h ỉ r a r ằ n g ,

X, t) = (T(y, x), X — t), X, t € D, у e K, là Q-KKM Hơn vậy, nếu ta định nghĩa quan hệ ba

ngôi 7 z ( y , X , t ) nếu và chỉ nếu 0 £ F ( y , X , t ) Ta chứng minh ngay được T L l à

q u a n h ệ Q - K K M

1.4 Một số định lý về điểm bất động và ánh xạ KKM

Mục này trình bày một số định lý về điểm bất động và ánh xa KKM, nó

là công cụ chính để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bàitoán tựa cânbằngchương 2

Định lý 1.4.1 ( K y F a n ) Щ] Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, К с

X là tập con lồi compact F : к — > 2 K là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với g i á t r ị

k h á c r ỗ n g l ồ i , đ ó n g K h i đ ó t ồ n t ạ i X e к s a o c h o X e F ( x )

Đ ị n h l í l A 2 ( F a n - B r o w d e r ) C h o X l à m ộ t

lồi, compact F : к -» 2 K là ánh xạ đa trị thỏa mãn các đ i ề u k i ệ n :

(i) Với mọi X € K,F(x) là tập lồi;

(ii) Với mọi y £ K , F ~ 1 ( y ) là tập mở trong K

Thì tồn tại điểm X € к sao cho X € F(x).

Định lý sau là dạng khác của định lí Fan-Browder

Định lí 1.4.3 Cho X là một không gian véctơ tôpô, к с X là một tập con khác rỗng lồi, compact F : к -> 2 K là ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện:

(i) Với mọi X € К, X ị F(x) và F(x) là tập lồi;

(ii) Với mọi y e K , F ~ 1 ( y ) là tập mở trong K

Thì tồn tại điểm X € к sao cho F ( x ) = 0.

Bổ đề 1.4.4 [5J Cho D , K lần lượt là các tập con khác rỗng, lồi,compact của

không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff X , Y Cho các ánh xạ đa trị s : D X

К - > 2 d , H : D X к - > 2 K , M : D - > 2 ° T a g i ả s ử r ằ n g :

(i) s là ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng, lồi và có nghịch ảnh mở;

(ii)H là ánh xạ nửa liên tục trên với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng và tập A = {(x,y)|a:

e S(x,y),y e H(x,y)} là tập khác rỗng, đóng;

(iii) M có phần dưới mở với mọi X € A , x ị c o M ( x )

Thì tồn tại ( x , ỹ ) e D x K sao cho X e S ( x , ỹ ) , ỹ e H ( x , ỹ ) và S ( x , ỹ)n M (X ) =

0

Định nghĩa 1.4.5

1) Cho X là một không gian véctơ, D ç X Một ánh xạ F : D — > 2 X được gọi là ánh xạ KKM Nếu với bất kỳ tập {íi, ,ín} с D luôn có c o { t i , , tn } Ç

3 =1

2) Cho X , z là các không gian tôpô D ç X , к ç z , F : к X D X D ^

2 X , Q : D X D -» 2 K là các ánh xạ đa trị F được gọi là Q-KKM nếu với bất kỳ tập hữu hạn {íi, ,í„} с D v a X £ co{íi,t n } , tồn tại j £ sao cho

0 e F ( y , x , t j ) với mọi у e Q ( x , t j ) Xem trong Ị3Ị.

Định nghĩa 1.4.6 Cho X , z , w là các không gian tôpô D с X , к ç z , E с w , F : К

suy rộng nếu với bất kỳ tập hữu hạn {íi, ,ín} с E tồn tại tập hữu h ạ n { z i , , x n }

ç D s a o c h o v ớ i b ấ t k ỳ X e c o { x ị i : , X ị k } , t ồ n t ạ i t ị e { í j 1 5 , t ị } thỏa mãn 0 e F ( y , x , t ị ) với mọi y e Q ( x , t ị )

Định lý 1.4.7 ( B ổ đ ề F a n - К К М ) ỊH] Cho X là một không gian véctơ tôpô, D с X là một con khác rỗng, lồi F : D -» 2 X là ánh xạ KKM Nếu với mỗi X e D , F ( x ) l à

trị Chương này ta sẽ nghiên cứu bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát, một số bàitoán liên quan đến bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát, định lí về sự tồn tạinghiệm và một số ứng dụng của nó Kết quả của chương này được trình bày trên cơ sở

bài báo |5]

2.1 Giới thiệu bài toán

Trong mục này ta giới thiệu về bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I, loại II vàbài toán tựa cân bằng hỗn hợp tống quát

Bài toán trên được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I

Bài toán này đã được T.T.T Dương và N.x Tấn nghiên cứu khá chi tiết trongbài báo 11] đăng trên tạp chí J.Global Optim

2.1.2 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II Cho X , Y , Z là các k h ô n g