Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r)

Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Đào Thị Kiều Vân

SỰ GIÃN NỞ NHANH CỦA VŨ TRỤ THỜI KÌ ĐẦUTRONG LÝ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT MỞ

RỘNG f(R)

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 60 44 01 03Người hướng dẫn: TS Đỗ Thị Hương

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Hà Nội - 2014

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Đỗ Thị Hương.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Đỗ Thị Hương, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luậnvăn này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhàtrường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Vật lý lý thuyết

và Vật lí toán đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và nghiên cứu

Nhân dịp này tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè

đã luôn động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trìnhhọc tập và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Đào Thị Kiều Vân

Tôi xin cam đoan luận văn là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sựhướng dẫn của TS Đỗ Thị Hương.

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Các thôngtin trích dẫn và tài liệu tham khảo đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Đào Thị Kiều Vân

Mục lục

1 Lý thuyết tương đối tổng quát và mô hình vũ trụ chuẩn 81.1 Lý thuyết tương đối tổng quát 81.1.1 Mối tương quan giữa tính chất của hình học Rie-

mann và metric 81.1.2 Phương trình Einstein 141.2 Mô hình vũ trụ chuẩn 181.2.1 Các giả thuyết khoa học về không thời gian mô tả

vũ trụ và metric Robertson Walker 181.2.2 Lời giải về sự tiến hóa của vũ trụ 21

2 Lý thuyết hấp dẫn dựa trên Lagrangian L = f(R) 352.1 Các điều kiện biên 352.2 Hình thức luận của lý thuyết hấp dẫn f(R) 352.3 Phương trình trường hấp dẫn dựa trên lý thuyết L = f(R) 362.4 Động học của quá trình lạm phát dựa trên lý thuyết f(R) 44

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết tương đối tổng quát mô tả mối liên hệ tính chất hình họccủa không gian và vật chất Mối liên hệ này được thể hiện thông quaphương trình Einstein Robertson và Walker đã áp dụng phương trìnhEinstein và tìm ra được lời giải của metric mô tả tính chất hình học củakhông gian là đồng nhất và đẳng hướng, giãn nở đồng đều Dựa trênmetric Robertson Walker, Friedmann đã tính toán tensor độ cong củakhông gian và tìm ra được lời giải mô tả sự tiến hóa của Vũ trụ Môhình vũ trụ dựa trên các điều kiện của không thời gian như trên đượcgọi là mô hình Vũ trụ chuẩn Các tiên đoán của mô hình là hoàn toànphù hợp với các thời kỳ mà mật độ vật chất và mật độ bức xạ chiếm

ưu thế Tuy nhiên, mô hình Vũ trụ chuẩn còn gặp phải các vấn đề khókhăn khi giải quyết các vấn đề:

- Vũ trụ phẳng

- Vấn đề đường chân trời

- Vấn đề đơn cực từ

Để giải quyết được vấn đề này, chúng ta phải giả thiết là Vũ trụ giãn

nở nhanh ở thời kỳ đầu, trước thời kỳ bức xạ Người ta gọi thời kì này

là thời kì lạm phát của Vũ trụ Dựa trên kịch bản lạm phát của Vũ trụ,chúng ta không chỉ giải quyết được các khó khăn trên mà chúng ta còn

có thể tiên đoán được các hiện tượng mới như bức xạ nền của Vũ trụ đãđược quan sát bằng thực nghiệm hiện nay Chính vì lý do trên, chúng

ta cần phải mở rộng mô hình Vũ trụ học chuẩn Chúng tôi sẽ tiếp cậncách mở rộng mô hình dựa trên cách mở rộng Lagrangian của trườnghấp dẫn Tức là phương trình Einstien sẽ thay đổi Lý thuyết này gọi là

lý thuyết f(R)

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm lời giải của Vũ trụ giãn nở theo quy luật hàm mũ của thời giandựa trên lý thuyết hấp dẫn f(R)

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu lý thuyết tương đối rộng của Einstein

- Tìm hiểu hình thức luận f(R)

- Giải quyết bài toán lạm phát trên lý thuyết f(R)

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Tính chất hình học của không thời gian và hấp dẫn ảnh hưởng đến

sự tiến hóa của Vũ trụ

5 Phương pháp nghiên cứu

Hình thức luận metric của lý thuyết tương đối tổng quát

6 Giả thuyết khoa học

Trong lý thuyết tương đối rộng, Lagrangian mô tả hấp dẫn là hàmbậc nhất của độ cong vô hướng Dựa trên nguyên lý tác dụng tối thiểu,chúng ta thu được phương trình Einstein Tuy nhiên, trong luận văn này,chúng tôi dựa trên giả thiết Lagrangian mô tả hấp dẫn là hàm bất kỳcủa độ cong vô hướng và từ đó chúng tôi sẽ nghiên cứu dạng tổng quátcủa phương trình trường hấp dẫn Chúng tôi sẽ nghiên cứu động học củathời kỳ lạm phát trong Vũ trụ dựa trên giả thiết này

Luận văn được trình bày gồm 3 chương nội dung:

• Trong chương 1, tôi sẽ trình bày về hình thức luận của lý thuyết

GR Dựa trên lý thuyết GR, tôi sẽ tìm kiếm metric thỏa mãn điềukiện vũ trụ là đồng nhất, đẳng hướng và đang giãn nở Các lời giải

về sự giãn nở của Vũ trụ trong mô hình Vũ trụ chuẩn học sẽ đượctrình bày

• Trong chương 2, tôi sẽ nghiên cứu phương trình hấp dẫn dựa trênhình thức luận metric Tôi sẽ nghiên cứu các điều kiện biên để rút

ra phương trình trường hấp dẫn trong lý thuyết f(R) tổng quát.Dựa trên Lagrangian L = R + λR2, tôi chứng minh lời giải của vũtrụ biến đổi thỏa mãn điều kiện giãn nở và tăng tốc

• Chương cuối cùng là các kết luận của luận văn

Chương 1

Lý thuyết tương đối tổng quát và

mô hình vũ trụ chuẩn

1.1 Lý thuyết tương đối tổng quát

1.1.1 Mối tương quan giữa tính chất của hình học Riemann

và metric

a Sự khác nhau giữa thuyết tương đối rộng và thuyết tương đối hẹp

Theo lý thuyết tương đối hẹp, tất cả các hiện tượng vật lí đều diễn

ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính Hay, các phương trình

mô tả các hiện tượng vật lí đều bất biến dưới phép biến đổi Lorentz

Lý thuyết tương đối rộng cho rằng, mọi hiện tượng là diễn ra như nhautrong mọi hệ quy chiếu Tức là, các phương trình mô tả các quá trìnhVật lí là bất biến dưới phép biến đổi tổng quát

Lý thuyết tương đối hẹp đưa ra các phương trình về chuyển động củacác vật thể chuyển động khác nhau trên cơ sở hằng số là tốc độ ánhsáng, đó là một bất biến trong các hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều

tương đối với nhau Hệ quả của điều này là vật lí không thể tách rờikhông gian và thời gian khỏi nhau mà phải xét chúng như một hệ không

- thời gian bốn chiều, phụ thuộc vào chuyển động của người quan sát

Lý thuyết tương đối rộng bổ sung thêm là không thời gian cục bộ cóthể bị bẻ cong do khối lượng của vật chất trong đó Do đó, đường thẳngtrong không - thời gian có thể được chúng ta cảm nhận là đường congtrong không gian mà chúng ta trải nghiệm

b Mối liên hệ giữa hình học Riemann và thuyết tương đối rộng

Như ta đã biết, trường hấp dẫn trên thực tế là không đồng đều, cànggần các ngôi sao và các hành tinh thì trường hấp dẫn càng mạnh Do đókhông gian mô tả trường hấp dẫn là không gian cong Tuy nhiên, trongkhông gian cong mô tả hấp dẫn luôn phải thỏa mãn tính chất: Khi vùngkhông gian khảo sát rất gần nhau thì không gian lại được coi là khônggian phẳng Hình học mô tả tốt tính chất không gian cong của trườnghấp dẫn là hình học Riemann Chính vì vậy, lý thuyết tương đối rộngcủa Einstein chủ yếu sử dụng hình học Riemann để mô tả không gian.Tính chất của không thời gian hấp dẫn thể hiện qua metric gµν

Tuy nhiên, trong không gian cong thì điều này không đúng Cụ thể khigiải tích vector, ta đã chứng minh được đạo hàm thông thường theo thờigian bốn chiều của vector bốn chiều biến thiên theo quy luật:

Để tìm hiểu điều này chúng ta xét hai vector Aµ(x) và Aµ(x + dx) =

Aµ(x) + dAµ(x) lần lượt là các vector định xứ tại hai vị trí xµ, xµ+ dxµ

Vì hai vector định xứ tại hai điểm khác nhau nên biến đổi của hai vectortại hai điểm khác nhau sẽ khác nhau Nghĩa là dAµ(x) không phải làvector Tuy nhiên dAµ(x) có thể viết dưới dạng:

dAµ(x) = ∂Aµ

Vì dxµ là vector và dAµ cũng phải là vector nên ∂A µ

∂x ν không phải là tensor.Như vậy, đại lượng đặc trưng cho sự khác nhau của một vector định xứtại hai điểm khác nhau không phải là tensor hạng hai

Chính vì vậy, trong không gian cong, người ta mong muốn tìm một đạilượng đặc trưng cho sự thay đổi của một vector tại hai điểm mà biến đổinhư một tensor

Như ta đã biết, khi tính đạo hàm của một vector thì ta phải quy về cùngmột tọa độ không gian Tuy nhiên, trong không gian phẳng, khi chúng

ta dịch chuyển song song một vector về cùng một điểm thì vector không

bị thay đổi, nhưng trong không gian cong, khi chúng ta dịch chuyểnsong song một vector từ điểm này sang điểm kia thì vector sau khi dịchchuyển sẽ bị thay đổi Đây chính là lí do để đưa ra khái niệm về dịchchuyển song song.

Có rất nhiều cách tiếp cận để đưa ra dịch chuyển song song, trong luậnvăn này, tôi không đi sâu vào các cách tiếp cận đó mà tôi công nhận kếtquả và từ đó tìm hiểu ý nghĩa của hình học và hấp dẫn Cụ thể, khi dịchchuyển song song vector dọc theo đường cong thì vector trước khi dịchchuyển và vector sau khi dịch chuyển khác biệt nhau một đại lượng:

Đây chính là đạo hàm hiệp biến

Chúng ta dịch chuyển vector từ vị trí x đến vị trí x + dx có thể theonhiều con đường khác nhau và kết quả đạo hàm hiệp biến lấy theo haihướng khác nhau là hoàn toàn khác nhau

Cụ thể, chúng ta khảo sát sự khác nhau của đạo hàm hiệp biến lấy theohai hướng khác nhau Xét hệ thức giao hoán của đạo hàm hiệp biến[Dµ, Dν]:

• Tính chất đối xứng và phản đối xứng của Rρλνµ

Rσλνµ = gρσRρλνµ

⇒ Rρλνµ = gρσRσλνµ (1.9)– Tính chất đối xứng:

có thể được tính qua các chỉ số liên kết không thời gian và ngược lại,đồng thời tensor metric thỏa mãn điều kiện gµν ;α = 0 Hình học thỏa

mãn điều kiện này được gọi là hình học Riemann.

Như vậy, tensor metric gµν quyết định tính chất hình học của không thờigian Tuy nhiên, yếu tố nào gây nên sự cong của không gian? Điều này

sẽ được trình bày trong phần tiếp theo

• Tính δRµν:

δRµν = δRσµνσ

= δ(∂νΓσσµ − ∂σΓσνµ) (1.16)

= ∂ν(δΓσσµ) − ∂σ(δΓσνµ)Mặt khác, từ định nghĩa:

Γλµν = 1

2g

λα

(∂µgαν + ∂νgαµ− ∂αgµν)lấy biến phân hai vế:

Z

d4x√

bộ không gian là bằng không.

là tensor năng xung lượng trường hấp dẫn thì:

−1

2gµνR + Rµν + 8πGTµν = 0

⇒ 1

2gµνR − Rµν = 8πGTµν (1.29)Đây chính là phương trình Einstein cho trường hấp dẫn Phương trìnhnày mô tả mối tương quan giữa hình học và vật chất Vế trái của phươngtrình là sự mô tả hình học và vế phải của phương trình là mô tả vật chất(Vật chất quyết định độ cong của không gian hay độ cong của khônggian mô tả vật chất)

1.2 Mô hình vũ trụ chuẩn

1.2.1 Các giả thuyết khoa học về không thời gian mô tả vũ

trụ và metric Robertson Walker

Để mô tả thế giới thực, ta đưa ra các tiên đề: Vũ trụ là đồng nhất,đẳng hướng và giãn nở ra theo thời gian Bỏ qua sự khác biệt ở khoảngcách nhỏ, ta coi vũ trụ ở khoảng cách lớn như là chất lỏng với mật độkhối lượng không đổi ở mọi nơi

Trong hệ tọa độ đồng chuyển động, ta có khoảng không thời gian giữahai thiên hà bất kì luôn không đổi và sự nở của vũ trụ kết quả là sự thayđổi của metric không thời gian

Với tọa độ thời gian x0, ta sử dụng thời gian riêng đo bởi đồng hồ gắnvới thiên hà, với giả thiết rằng các đồng hồ này chạy như nhau và đồngbộ

Metric không thời gian có dạng:

ds2 = dt2 + gijdxidxjVới: dl2 =(3) gijdxidxj và gij = −gij

Để xác định hình học của không gian, trước hết ta xác định hình họccủa không gian ba chiều đồng nhất và đẳng hướng Tại điểm cho trước,

ta đưa vào tọa độ trắc địa, khi đó metric trở thành:

với phép quay nên tensor cong phải là hàm của tổ hợp các tensor đơnvị:

(3)Rmnsk = K((3)gms(3)gnk −(3)gmk(3)gns) (1.31)Đồng nhất (1.30) và (1.31) ta suy ra được K là hằng số

Bây giờ ta trở lại bài toán không gian đối xứng cầu, từ lời giải Schwarzschild,metric được viết dưới dạng:

Thay (3)R11, (3)g11 vào (1.34) ta được:

e−L(r)(r

2∂1L(r) − 1) + 1 = −2Kr2(−kr2 − C)(r2 −2Kr

dσ2 = dr

2

1 − Kr2 + r2dθ2+ r2sin2θdϕ2Như vậy:

ds2 = dt2 − a(t)( dr

2

1 − Kr2 + r2dθ2 + r2sin2θdϕ2) (1.37)Đây chính là metric Robertson Walker

1.2.2 Lời giải về sự tiến hóa của vũ trụ

Trường hợp hằng số vũ trụ rất nhỏ hoặc bằng không

Xét siêu bề mặt 4 chiều:

(x1)2 + (x2)2 + (x3)2 + (x4)2 = a2Trong đó a là bán kính hình cầu Khoảng cách giữa hai điểm liền kề trên

bề mặt là:

dl2 = (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2 + (dx4)2với:

r2d2r = (x1dx1 + x2dx2 + x3dx3)2 (1.39)Thay vào metric trên ta có:

Do đó, khoảng bất biến giữa hai sự kiện bây giờ là:

ds2 = dt2 + 1

1 + ar22

d2r + r2sin2θd2ϕ (1.42)Đồng nhất (1.37) với (1.42) ta được:

K = 1

a2

• Độ cong dương ứng với K > 0

Tìm sự phụ thuộc của bán kính cong vào thời gian:

dt = adη

ds2 = a2(η)dη2 − a2(η)(dχ2 + sin2χdθ2 + sin2χ sin2θdϕ2)

= a2(η)(dη2 − dχ2 − sin2χdθ2 − sin2χ sin2θdϕ2)

⇒ gµν = diag(a2, −a2, −a2sin2χ, −a2sin2χ sin2θ)

ρ(t) = M

2π2a3 ⇒ T00 = M

2π2a3

4 + Aa − a2) + A

2

4 dη1

aHtLa*

Hình 1.1: Bán kính với độ cong dương, Λ = 0

• Độ cong âm

Trường hợp này ứng với K = −1

a 2 Biểu thức khoảng cách không

dl2 = a2(dχ2 + sinh2χdθ2 + sinh2χ sin2θdϕ2)

⇒ ds2 = dt2 − a2(dχ2 + sinh2χdθ2 + sinh2χ sin2θdϕ2)(1.56)Tương tự như phần trước, ta đặt dt = adη, khi đó:

ds2 = a2(dη2 − dχ2 − sinh2χdθ2 − sinh2χ sin2θ)

⇒ gµν = diag(a2, −a2, −a2sinh2χ, −aasinh2χ sin2θ)

gµν = diag( 1

a2, −a12, − 1

a2sinh2χ, − 1

aasinh2χ sin2θ)(1.57)Hoàn toàn tương tự như phần lời giải với độ cong dương, ta tínhđược các chỉ số Christoffel, tensor Ricci và độ cong vô hướng, từ đóthay vào phương trình Einstein cho thành phần 0 - 0, ta thu được:

√

Aa + a2da = dηda

q(A2 + a)2 − A42

Chọn C = 0 ⇒ −b = η ⇒ cosh b = cosh(−b) = cosh η thì:

Với χ là tọa độ không thứ nguyên, ta có:

3

a4 ˙a2 = 8πGρ(da

dη)

3π(da

dt)

3πaa(t) = (3GM

Hình 1.3: Bán kính với độ cong bằng không, Λ = 0

Trường hợp hằng số vũ trụ khác không

Để đơn giản ta coi hằng số vũ trụ Λ rất lớn so với 8πGT0

0.Trong các trường hợp với độ cong dương, độ cong âm, độ cong bằngkhông, ta sử dụng các metric đã tính ở trên, do đó ta cũng sử dụng lạicác kết quả của tensor Ricci và độ cong vô hướng

Điều khác biệt ở đây là phương trình Einstein cho thành phần 0 - 0 códạng:

1 2 3 4 5 t 3  L10

20 30 40 50 60 70 aHtL 3  L

Hình 1.4: Bán kính với độ cong dương, Λ > 0

Ta có hình 1.5

100 200 300 400 500 aHtL 3  L

Hình 1.5: Bán kính với độ cong âm, Λ 6= 0

• Độ cong bằng không

− 3

a4 ˙a2 = −Λ(da

dη)

4

3(da

aHtLa0

Hình 1.6: Bán kính với độ cong bằng không, Λ > 0

Từ các kết quả ở trên ta thấy, lời giải vũ trụ với độ cong dương thì vũtrụ giãn nở và co lại theo chu kì nhất định Người ta đã tính được rằngchu kì này nhỏ hơn rất nhiều so với tuổi của vũ trụ ngày nay Tuy nhiên,

vũ trụ của chúng ta chưa bao giờ co lại Do đó, lời giải đúng phải ứngvới độ cong âm hoặc bằng không

Từ những bằng chứng thực nghiệm, các nhà khoa học đã chứng minhrằng vũ trụ của chúng ta ứng với độ cong âm

Nhận xét: Mô hình chuẩn của vũ trụ sớm làm việc rất thành công với

sự phát triển của vũ trụ từ tuổi 10−5s trở đi, như vậy mô hình cho tađánh giá về lịch sử của vũ trụ trong khoảng thời gian 1023s Thành công

ấn tượng của nó nằm trong tính toán dư thừa Helium và các yếu tố nhẹkhác

Tuy nhiên, khi xác định cho thời gian sớm hơn, ta gặp ba vấn đề sau:

• Vấn đề về sự phẳng: Đây là vấn đề về sự không phù hợp giữa quansát thực nghiệm với lý thuyết là các tham số trong Metric Friedmann

- Robertson-Walker Trong phương trình Friedmann, nếu hằng số

vũ trụ bằng không thì khi đó người ta tính được mật độ giới hạn

ρc là:

ρc = 3H

2

8πGTrong đó ρ là mật độ quan sát được Độ cong có giá trị âm khi

ρ < ρc, dương khi ρ > ρc và bằng không khi ρ = ρc, trường hợp thứ

ba tương ứng với không gian phẳng Tham số mật độ được địnhnghĩa bằng:

Ω = ρ

ρc

Không gian phẳng ứng với tham số mật độ bằng hoặc xấp xỉ bằng

1 Vấn đề ở đây là bất cứ một nhiễu loạn nhỏ nào cũng sẽ làm chotham số mật độ lệch khỏi giá trị mà ở đó vũ trụ gần như là phẳng,

và sự lệch này có thể xuất hiện từ thời điểm 10−43s, thế nhưng trongthực tế, vũ trụ của chúng ta không tuân theo một trong hai kịch