Luận văn sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO • • • TRƯỜNG ĐAI HQC sư PHAM HẢ NÔI 2ĐÀM THỊ THẢO Sự KẾT HỢP GIỮA PHƯƠNG PHAP SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON-RAPHSON GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN HÀ NỘI, 2

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO • • • TRƯỜNG ĐAI HQC sư PHAM HẢ NÔI 2

ĐÀM THỊ THẢO

Sự KẾT HỢP GIỮA PHƯƠNG PHAP SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP

NEWTON-RAPHSON GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN

HÀ NỘI, 2014Lời cảm ơn

Tồi Л.1Г1 bày tỏ lòng; biết ƠI1 í>âu sắc; tới PGS, TS, Khuất Văn Ninh, người đã đuih hướng chựii đề tàL và tậu tình, hướng dẩn để tôi thể hoàn thành Luận văn này,

Tôi cũng' xiu bày tỏ lòng biết ơu điâu thành, tới các thầy cô phòng Sci.lL đại hạc, cùng các thầy cô giÁo dạy cao hạc; diuyêu ugàuh Toán gi-ải tích., trường Đại hục Sư phạm hLà Nậi 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hạc; tập.

Nhâu dịp uày tỡi cũng X.LU đượt; gửi LỜL üäui ƠI1 điâu thành tới gia đình, bạn bè và đòng, nghiệp đa luôn động, viên, v ố vũ, tại> II1ỌL điều kiệu thuận Lợi cho tôi trang suốt quá trình, hục tập và hoàn thành Luận văn,

Hà Nội, tháíiy 12 năm 201 ị Táo giả

Dàm Thị Thảo

Lời cam đoan

l'ôi x.i.11 earn đoan., dưới í>ự hưởng dẫn cua PGS, TS, Khuất Văn Ninh, luận văn Thạc í>ỉ

điuyêii Iigàiih Toán giài tích với đề tài “SỰ HẾT HỢP GIỮA PHƯƠNG PHÁP SAI

PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON - HAPHSƠN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂRI PHI TUYẾN 77 được Iioàii thành bởi báu thâu

tát; giá,

Trwig quá trình ughiẽu cứu thực hiệu luận văii7 tác gi-ả đã kế thừa, những thành, tựu cua cát; nhà khoa hực; với sự trân trạng; và bi.ết ƠIL

Hà Nội- tháng 12 năm 20lị Tác; yiả

Dầm Thi Thảo

Mục lục

Khâĩig; В.Ш1 Hilbert, không gLa.il L ( X , Y )

Khoug gian Hilbert

Tài Liệu tham kh.át>

Chương 2, Một í>6 phương pháp giải

phương trĩnh vi phân phi tuyến 22

21 Phương pháp y-cA-ĩ

phân

22

22 Phương pháp Nevvtaii 25 2:ở' Phương pháp Nevvtou - Ra.ph.sou 2e>

Chương ‘Ầr Sự kết h.Ợp giữa phương pháp

sai phân và phương pháp

Newtou - RcLphson trong giai

phương trình vi phau phi tuyến

7 0

Mở đầu

lr Lý ck> chạn đề tài

Phương pháp sai ph.ân Là Iiiột phương, ph-áp vơ bản trưng gLảĩ một số phương, trình, vl ph.ẫ.11 thường cũng; Iiliư phương trình, đạo hàm riêng, Sau khi rời rạc; hóa, phương trình, vi phân điuyểii thành hệ phương trình, đại b>6, Trong trường hợp hệ phương trình, đại ì>6 là mật hệ phi tuyếii tlii gi-ái hệ phương' trình đ6 Là một bài toán kh.6, L>ể khắc phục khó ktLăn trên ta cờ th-ế áp dụng; phương pháp

Newton - Raphsan, Với mong Iiiuốn tìm hiểu sâu về hai phương pháp 116L

“SỰ KẾT HỢP GIỮA PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON - HAPHSON GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN’ 7

2 Mục; đídi nghiên ctfu

Luận văii sẽ nghiên t.'-ứu sự kết hợp íịiũu phương ph.áp i>cũ phân và phương; ph.áp Newton - Ra.ph.ijon giải phương trinh vl phân phi tuyến,

3, Nhiêrn vu nghiên cứu

Nghiêu cứu sự kết hợp giữa, phương pháp Scũ ph.au và phương pháp Newton - Ra.phí>on giai phương trình vi ph.ân phi tuyến

4, Đồi tượng và phạm vi ughìen c;úTu

phương trinh, vi ph.ân phi tuyến,

6

!x Phương pháp nghiên cứu

hàm, GLẳi tích số và Lập trình, máy tính,

Đóng góp của đề tài

Raph.ï>ou và sự kết hợp của h.cũ phương pháp trêu gi-ái phương trình vl phân phi tuyếu,

GLài số một số phương trình vi ph.au phL tuyếu trêu phầri Iiiềni M&pLe,

7

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

♦

Định, nghĩa 1,1, Ta gại là không' gian nietrlc một tập h-Ợp X khác rỗng; cùng với một ánh xạ D đi từ tích Desoartes X X X vào tập hợp số th-ực M thoa, mãn CẤC

tiêu đề í>au đây;

i) (VX, Y € X) D (X,Y) > 0, D (X, Ỳ) = 0 <=> X = Y, (tiên đề đòng nhất)

Li) (Va;, Y e X) D(X,Y) = D(Y,X), (tiên đề đối xứng;)

LLi) (Vx, Y, Z ẽ X) D(X,Y) < D(X, Z) + D (Z, Y), (tiêu đề tam giác)

và Y R CẤC phần, tử cua X gọi Là các điếm, uác ti.ẽi.1 đề L), Li.), LLi) gạl Là h-ệ

tiêu đề uietrLc;,

Không gian inetric; được kỹ hiệu là M = (X, D)R

Ví dụ 1,1, VỚL hai ph.au tử bất kỳ X , y e M ta đặt;

d ( x , y ) = \ x - y I.

Dựa* vào cát; tính, chất của giá trị tuyệt đối trong' tập số thực; M dê dàng; kiếm tra

(1.

V í d ụ lr2r K ý h i ệ u c ™ 6 ] l à t ậ p t ấ t c à c á c h à i i i b - 6 g i á t r ị

t h ự i ; x á i ; đ ị n h , và cố đạo hiuii LLên tục đến uấp M (M £ N,M > 1) trên

m

Đ (*, У) = У2 г<4 w - w

ĐỊNH, NGHĨA lr2r CHX> KHÔNG GIAN METRIC м = (x,d)r MỘT TẬP COU BẤT kỳ X 0 Ỷ 0 tập X t;ùiig với metric D trên X lập thành niột không gian

gian metric; đã cha,

VỚL hang, $0 A < 1 và niọi X, Y e X Khi đó tồn tại duy nhất

bởi X k+ 1 = TX K ,\/K e N Là hội tụ đến X*, đồng- thời ta uó ướt; Lượng;

Ước lượng (1,3) điứng tỏ dãy {^nlneN là day Cauđiy, da X là không giau

nietrLc; đu uêu tồn tạL duy nhất X* & X sao cha lim x n = X*,

n — ¥ 00

Cho p —> oo trong bất đẳng; thức (Ịõk ta thu được ước Lượng (|L2[} cần

Là đlểni mà TX* = X*.

GLả sử ngoài, ra còn uó X cũng có tính chất TX = X, khi đó ta có;

D (X* : X) = D (TX*,TX) < AD (X* : X), với A < 1

Từ đó suy ra X* — X, vậy X* Là duy nhất.

(1,2

(1,3

□

ĐỊNH, NGHĨA l,4r (Không gian địiih điuẩu) Một không gi.au địiih ctLuẩn (lmy

không gian tuyến tính, đinh cliuẩii) là không; gian tuyến tính X trên

trường P [P = R hoặc P = C) uùug VỚL một ánh xạl^K, được; gựĩ- Làdiuấn và kỹ

L) (Væ e X ) ||x|| > 0, ||x|| = 0 < = ï X = в ;

Li.) (\/X e X) (Va e P) ||а;ж|| = \OT\ ■ ||x||;

LLi) (Va:,y g X ) ||ж + y \ \ < ||æ|| + ỊỊyỊỊ,

56 ||ж|| gọi là điuấu của vectơ XR Га cũng kỷhiệu không, gian địiih ctLuần

Là X , Cát; tiên đề L), Li), LLL) gọi Là hệ tiêu đề điuẩib

Định nghĩa lrĩ, (Không gian Bcuicuil) Kliorig еДа.11 định điuấ.ii X được gọi là

không gia.il Ba.ua.di, uếu UIỰL dãy cơ bàu trong' X đều hội tụ,

(Ve > 0) {3M <E N*) (Vm, N > M) :

Suy ra (với môi j € N t;c> đuih), (Ve > 0) (3MJ e N*) (Vm, N > MJ) :

\\ x n,j ~ •^m,j II < £•

(Ve > 0) (Vj = 1,2,Jfe) (3Mj- € N*) (Vn > MJ) : ||znij - Zj|| < £

y/n

ĐìllLi Lighĩci 1,8, Cha X là mọt không gian tuyến tính, Ánh xạ -0 : I x I ^ M

thoa mãn các điều kiệu;

đượi; gựi- Là một tíu-h vô hướng trêu X , uàn ĩ p { x , y ) đượi; gựĩ- l-à tídi vô hướng của h.ai ph.an tử X , y và thường- được kỷ hiệu là ( x , y )

Nhậu xét 1,1, Giá isử X lầ một khỡug' giun tuyến tính trêu đó có xấc định một tích vô hướug (.), Khi đó ấuh xụ II.II : X —^ R xáv địuh bởi ||:rỊỊ = y/(X, X) lầ một

vhuầii trêu X vầ X vùng với vhuấu đó lầ một không gĩau tuyến tính định chu ấli,

ChuẩR xấư định uhư trêu đượv gợi lầ chuấR cấm biuh bởi tích vô hưởugr Cho liêu ấuh xạ d : X X X —> R xắc định bởi;

d ( x , y ) = \ \ x - y II = y / { x - y , x - y )

ỉầ một hầm khoáng' cếich trên X vầ (X, d) là một không■ giun Metricr Khưảug cắch d vừâ xác định đượv gại lầ khoắng vách cẩm mil1 bởi tích vô hướng.

(.) được; gọi- 1-à một không gian Hilbert

Ví dụ 1 AR Xét X = R\ với

X = ( x u x 2 , , x k ) e R k , y = (</1,2/2, ,2/fc) e R k

k ^

định như trêu Là một không gian tỉilbert,

nào đấy là khâng gian Hilbert, nếu tập H thoa, mân CẤC điều kiện;

s

L) H Là không, gmu tuyến tính, trêu trường; P\

LL) H đượi; trang bị mọt tíđi vô hướng'

ui) H là không gia.il Bcmadi với diuẩn ||x|| = \ J(X , X), X e H r

Dê dàng; thấy hệ thức (|L4| thỏa mãn h.ệ tiên đề tích vô h.ướug,\ Chuẩn

sinh ra- bởi tích vô hướng; (1,4)

lr’òr2r Không gian L(X,Y)

Uh.0 h.ai không gian đuih diuẩu X và y, Ta kỷ hiệu L (X, Y) Là tập hợp tất cả các

toán tử tuyến tính, liêu tục từ X vào Y,

IU trang; bị c;h.o L (X, Y) hcũ phép toán ì>ciu;

b) Tí dl ша vô h.ướiig a e p [ p = R hx>ặo p = c) V Ớ L toán tử A

e L ( X , Y ) Là toán tử, kỷ hiệu a A , xếu; định bằng; hệ th-úTc: ( a A ) (X ) = a ( A x ) , У х £ X

Dể dàng kLểni tra А 4- в G L (X, y), a A e L (X, y) va ha-i phép toán trêu thòa niãii

hệ tiêu đề tuyếii tính Da vậy L (X, Y) cùng' với hai phép toán trên Là Iiiột không gicUl veutơ trên trường, P.

Với toán tử bất k ỳ A e L (X , y) ta đặt:

DS thấy công thức; (L5> thoa niãn hệ tiên đề điuẩiL Như vậy L { X , Y )

là một khỡiig gla.il đuih diuấu,

Sự hội tụ trang; không gian định chuẩn L {X,Y) gựi là h.ộl tụ đều cua dãy toán tử bị

chặn,

n — ¥ 00

Đinh, lý 1,1, N ế u Y l ầ không gicui Bäüädi 7 thì L (X, Y) cũng lầ không' gian Bcimich.

định, lighia,

(Ve > 0) ( 3 n ữ e N*) (Vn, m > n 0 ) IIA n - A mII < e (1,6) T ừ đ ó V Ớ L

n i ạ i X e X t a œ

IIA n x - A m x II = II(Лп - A m ) x II < II A n - i4m|| \ \ x \ \ < £ ||

l í )

Xừ(|rg và ( Ị l T Ị ) s u y ra dãy điểm ( A n x ) c Y Là dày c ơ b ả n trong' Y r Mà theo giả thiết Y Là không gìa.11 Bcưiadi, I10I1 tồn tại giới hạn

n—>00

Dặt Y — AXR Nh-Ờ tính, diất ứia ph-ép diuyếu qua giới hạn, ta Iiliậri được toán

tử tuyến tính A từ khang- gian định, điuẩu X vào khôĩig gian

Ba.ua.di Y Chx> qua g,Lớĩ hạn M —> +00 trong; hệ thứt; (1,7) và kết h-Ợp

Bây giờ ta già sử I = y, nghĩa Là ta X.ÉT không gLd.il L (X,X) các toán tử tuyếu tính LLên tụt; trong XR K.h.1 ấy ta cố thể định nghĩa, phép uhâii hai toán tữ như í>au; Tíđi t;ua hai toán tử A , B trong X là toán tử A B tiwg

X ^h.0 { A B ) X = A ( B x ), Va: <E X.

1

Dê thấy A B сшш, Là toán tử tuyếu tíulb Mặt

khác;, ta œ

\ \ ( A B ) x \ \ = \ \ A ( B x ) \ \ < \ \ A \ \ \ \ B x \ \ < \ \ A \ \ \ \ B \ \ и,

suy га A B cũng bị điặu [tức; Là liêu tục) và

\ \ A B \ \ < \ \ A \ \ \ \ B \ \

Như vậy trang không gian L (X, X) có XẤC địĩih phép uộug và phép uhâu hcũ

ph.au tử L>§ klein tra Lại rằng, ph-ép ũộug và phép nhâiL này thỏa, Iiiãn các;

tiên đề cua mật vành., Da vậy ta cố L (X, X) Là:

L) Một vành;

Li.) Một không gian địiih ciiuẩii;

LLi) Thòa niãu điều kiệu II AB II < Il A II \ \ B II ;

Lv) C6 ph.ầu tử đơn vị Là toán tử đầiig nhất I với \ \ I \ \ = L

đương iihiêii ró thể nối đến uác; Lũ-У thừa cửa Iiiột toán tử

A ° = I , A n = Ả n ~ x A ( n = 1,2, ).

1.4, Một í>6 không gian hàm

LARLR Không gian Rn

LARLRLR R N là không gian vectơ,

j

= 1

\ 3

= 1

(1.

Thật vậy,

1 < (ữi

=1

= Ê Ê ^

-2 Ẻ Ê ^ A + Ê Ê ^

i=l j=l i= 1 j

= li=l

j = l

Từ đố i>uy ra bất đẳng, thức;

(L^>r

Với ba vectơ bất

•••) ^п)

< d

2

(ж,

z) +

2 D

(X,

Z

)

D ( z , Y

) +d

2

( z , Y )

= [ d ( x ,

z ) +

d ( z ,

y ) ] 2

l ' S

d ( x , y )

<

d ( x , z ) +

d ( z , y )

Do đố hệ thức (|L^ th.6a mau tiêu đề 3)

về

mêtric;

Vì vậy

h-ệ thức (L9)

XẤJC

định, một Iiiêtrĩc trên không

r

Không; gian mêtric;

thường gọi là không gian EudicL Mêtric (Lí^) gụi- là mêtric Eu.di.cL

1.4.2 Khong gian ơ[ flj6]

a < t < b

l A r 2 2 , Không gian C ị a 6] Là không- gian định, chuẩn

||a;|| = ma-x \X (í)|.

a < t < b

LAR'2R'ÒR Không gian C[ AB ]là không gian Baiiadi,

gian tách, được,

CJơ sở đếm được lân cậu, lồi

B = { S n , n £ N * }

2.5, Một số khái niệm, và tính chất của sai phân

I r b r l r Khái riiẹm í>cù phan

Định nghía 1,11, Giá sử / : M —¥ Ш là một hàm số cho trước; và H Là niột hằng

i>6 khác; 0, IU gọi

A 1 f ( x ) — f ( x + h ) — f (X ) Là sai phân cấp inột ша h.àrii s ố y = f ( x )

А 2 ĩ (ж) = A (A 1 / (ж)) = А/ ( x + h ) - A/ (ж) = f ( x + 2 h ) - 2 f ( x + h ) + f

{ x )

Là sai phân cấp hai cửa hàni SỐ Y = F (X).

dương;, □

TÍNH CHẤT 2: Sai phân ĩĩiụL c;ấp của h-àưi í>6 Là mạt tuáu tữ tuyến tính, Chứng minh., la pliảĩ điứiig' líiLiili;

Chứng' minh., Thei> tính, chất 2, sai phân mại Gấp Là toán tữ tuyến tính, uêu ta chi

2) K.h.1 K = M, theo diứug inLuh trêu ta (X>;

1,6 Dạo hàrn và vi phân Fréchet

Cha X, Y Là hai không gian Bauađi và toán tỬ F : X -> Y (không'

3

Định, nghĩa 1,12, (Dạo hàm Préđiet) (Jhx> XỮ Là ruột điểm cố định, trang không gian

vó đạo hầiu thì đạo hầm đó lầ duy Lihcit.

Định lý- lAr Chí> hịịi tưấu tử tuyếu tính f : и —>• Y vầ д : и -> Y với X,Y là cắc

khõug gitui B'divdchj и lầ một tập von U1Ở của khõỉig giiui BäUävh X - Giắ bử /,

д đều khẳ vi Frévlmt tại x 0 G и - Khi đóг

( 1 ) ư + 9Ï M = ỉ' (ж0) + g' (ж0),

(k f Ỵ (x0) = k f ' ( ж0) , v ớ i m ọ i f e e l

-2

Chương 2 Một số phương pháp giải

phương trình vi phân phi tuyến.

2rlr Phương pháp sai phân

Xét bài toán

L [ y ] = y " - q { x ) y = f { x )

duy nhất nghiệm, Gia

sử Q (X) > 0 và / (X) lLêu tục trên [a, b]r Chia [a, TÍỊ thành N phần bằng'

nhau bởi (.-át,- điểm ch-La,

Khi đó bài taáu (gg tương đương với

{ 2 /(a?i+i) - 2j/ (a?i) + y (gj-i)

Trong h.ệ [22) uếu dmug ta b6 TỊ thi nhậu đượt; Lượt; đồ Scũ ph.au h.tfu h.ạ.11

L N V I = - Ẹ -Q (V I ) Y (Si) = / (Si); I = 1, n - 1

9 Ohựu bướu h = 0, lr Kill đó có 4 nút bêu

22172.

trinh (РЩ) ta thu được nghiệm

(2,

У г +

0 , 2

У

6 1,89956835

5

У о V i

У 2

35 2,2, Phương pháp Newton

36 Xét phương trinh

38 Phương; ph-áp Newton áp dụng; để giải phương; trinh f ( x ) = 0, trong; đó / Là hàm khả vi liêu tục cấp hai

trêu đoạn [a, 6], ỉ ' (æ) và /" ( x ) không'

41 Chạn xấp xí đầu tiên x 0 G [ a , b ] : f (x0) / " (a: 0 ) > 0 (a: 0 đượt; gụi Là điếm fc\>uri.er), các x ấ p

x ỉ tiếp theo được x.ây dựiig theo công thức

(2^)

cong y = f (x) tạL điểm (x n ; f (x n )) VỚL trục h.aàiih r

44 Gia í>ử X * Là nghiệm cua- phương' trình { 2 3 ) Nếu f ( x ) có đạo h.àni cấp

50 Định, lý 2,1, Nếu h ầ m / k h ả v i liêu tục vấp hai trêu s = {æ : \x — x 0 |

< r} vầ thoa mẫrii cấu điều kiệu Sẽtur

51 ( 1 ) f ' ( x 0 ) Ỷ 0,'

<

53 K,Vx e S;

2 ( x u x 2 , ,

4

70 IU x é t I l i a , t r ậ n JcUA>bi.êui cua h ệ c;ếu; h à m FI (X) (I = 1, RÌ)

71

73 £ (p) = _ J -1 f £ x (p)j 5

LLên tiếp được tìiu theo công thức;

Thuật taán Newton - Raph-sou cẳl biêu có dạng;;

77 V p +1 = v p - [ f Ю ] " 1 / ( v p ) , p = 0 , 1 , V o = x ữ

78 Định Lỹ 2r2r Nếu vấv hầưL ÿô fi (X) (г = 1,77,) , \xi — ж°| < г (г = 1, n) h'áĩ lầu khảr vi HẽiL tục thươ tất vấ cắc biếu số vầ thỏa uiãrR cấc điều kiêu nau đẫy; 1) Dịuh thứV D vủâ ПШ trận -Jacobi khấv к ho LI g ;

2

[-976

5,00

48 1,98

72 4,00 63

шу

ra.168169170171172173174175176

Пш ng hi ệ

m X

177178

^1,

2 0,60,4^

180

0,9 1,4 0,3

\°/

ж

/л л „ л /_од\

0,2 у-0,3 у

( ° )

2

0,

\-4 0,

2 1 ,еу

182 DetJ (æ 1 ) =

3,848 /

183-1

0,19230 О 0,57692 /

4865

0,067365204

\-0,34865

0,04491

1,492

= X 2 - [ J ( x 2 ) ] \ f (ж 2 )

^ 0,71024 0,26519 -0,1779(Л -0,39778 0,59407 0,06611

0,02224

-0,17781

V 0,24474

^ 0,18151 0,04499 0,62602

у / и =

— 3,27- 10“ 3 у

У w

Tìm nghiệm x 4

238 Ví dụ 2AR Giải, hệ phương trình, Ï>CU1

249250251

252253