Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính

Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp newton raphson giải phương trình vi phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐÀM THỊ THẢO

SỰ KẾT HỢP GIỮA PHƯƠNG PHAP SAI PHÂN

VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON-RAPHSON GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2014

Líi c£m ìn

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi PGS TS Khu§t V«n Ninh,ng÷íi ¢ ành h÷îng chån · t i v  tªn t¼nh h÷îng d¨n º tæi câ thº

ho n th nh luªn v«n n y

Tæi công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi c¡c th¦y cæ phángSau ¤i håc, còng c¡c th¦y cæ gi¡o d¤y cao håc chuy¶n ng nh To¡n gi£it½ch, tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ gióp ï tæi trong suèt qu¡tr¼nh håc tªp

Nh¥n dàp n y tæi công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia

¼nh, b¤n b± v  çng nghi»p ¢ luæn ëng vi¶n, cê vô, t¤o måi i·u ki»nthuªn lñi cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nh luªn v«n

H  Nëi, th¡ng 12 n«m 2014

T¡c gi£

 m Thà Th£o

Líi cam oan

Tæi xin cam oan, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS TS Khu§t V«n Ninh,luªn v«n Th¤c s¾ chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch vîi · t i Sü k¸t hñpgiúa ph÷ìng ph¡p sai ph¥n v  ph÷ìng ph¡p Newton - Raphsongi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n ÷ñc ho n th nh bði b£n th¥nt¡c gi£

Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu thüc hi»n luªn v«n, t¡c gi£ ¢ k¸ thøanhúng th nh tüu cõa c¡c nh  khoa håc vîi sü tr¥n trång v  bi¸t ìn

H  Nëi, th¡ng 12 n«m 2014

T¡c gi£

 m Thà Th£o

Möc löc

Mð ¦u 1

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 3

1.1 Khæng gian metric v  nguy¶n lþ ¡nh x¤ co 3

1.1.1 Khæng gian Metric 3

1.1.2 Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co 4

1.2 Khæng gian ành chu©n, khæng gian Banach 5

1.3 Khæng gian Hilbert, khæng gian L (X, Y ) 7

1.3.1 Khæng gian Hilbert 7

1.3.2 Khæng gian L (X, Y ) 9

1.4 Mët sè khæng gian h m 12

1.4.1 Khæng gian Rn 12

1.4.2 Khæng gian C[a, b] 15

1.4.3 Khæng gian Cn [a,b] 15

1.5 Mët sè kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cõa sai ph¥n 16

1.5.1 Kh¡i ni»m sai ph¥n 16

1.5.2 Mët sè t½nh ch§t 16

1.6 ¤o h m v  vi ph¥n Fr²chet 19

Ch÷ìng 2 Mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i

ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n 22

2.1 Ph÷ìng ph¡p sai ph¥n 22

2.2 Ph÷ìng ph¡p Newton 25

2.3 Ph÷ìng ph¡p Newton - Raphson 26

Ch÷ìng 3 Sü k¸t hñp giúa ph÷ìng ph¡p sai ph¥n v  ph÷ìng ph¡p Newton - Raphson trong gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n 39

K¸t luªn 70

T i li»u tham kh£o 71

Mð ¦u

1 Lþ do chån · t i

Ph÷ìng ph¡p sai ph¥n l  mët ph÷ìng ph¡p cì b£n trong gi£i mët sèph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng công nh÷ ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng Saukhi ríi r¤c hâa, ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n chuyºn th nh h» ph÷ìng tr¼nh ¤i

sè Trong tr÷íng hñp h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè l  mët h» phi tuy¸n th¼ gi£ih» ph÷ìng tr¼nh â l  mët b i to¡n khâ º kh­c phöc khâ kh«n tr¶n

ta câ thº ¡p döng ph÷ìng ph¡p Newton - Raphson Vîi mong muèn t¼mhiºu s¥u v· hai ph÷ìng ph¡p nâi tr¶n v  ÷ñc sü h÷îng d¨n cõa PGS

TS Khu§t V«n Ninh tæi ¢ chån · t i: Sü k¸t hñp giúa ph÷ìngph¡p sai ph¥n v  ph÷ìng ph¡p Newton - Raphson gi£i ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

Luªn v«n s³ nghi¶n cùu sü k¸t hñp giúa ph÷ìng ph¡p sai ph¥n v ph÷ìng ph¡p Newton - Raphson gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n

3 Nhi»m vö nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu sü k¸t hñp giúa ph÷ìng ph¡p sai ph¥n v  ph÷ìng ph¡pNewton - Raphson gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n

4 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

- S÷u t¦m, nghi¶n cùu c¡c t i li»u li¶n quan

6 âng gâp cõa · t i

- H» thèng hâa v§n · nghi¶n cùu: ph÷ìng ph¡p sai ph¥n, ph÷ìngph¡p Newton - Raphson v  sü k¸t hñp cõa hai ph÷ìng ph¡p tr¶n gi£iph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n

- p döng gi£i mët sè ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n cö thº

- Gi£i sè mët sè ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n tr¶n ph¦n m·mMaple

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà

1.1 Khæng gian metric v  nguy¶n lþ ¡nh x¤ co

iii) (∀x, y, z ∈ X) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , (ti¶n · tam gi¡c)

nh x¤ d gåi l  metric tr¶n X, sè d (x, y) gåi l  kho£ng c¡ch giúa haiph¦n tû x v  y C¡c ph¦n tû cõa X gåi l  c¡c iºm; c¡c ti¶n · i), ii),iii) gåi l  h» ti¶n · metric

Khæng gian metric ÷ñc kþ hi»u l  M = (X, d)

V½ dö 1.1 Vîi hai ph¦n tû b§t ký x, y ∈ R ta °t:

Düa v o c¡c t½nh ch§t cõa gi¡ trà tuy»t èi trong tªp sè thüc R d¹ d ngkiºm tra h» thùc (1.1) x¡c ành mët metric tr¶n R Khæng gian t÷ìngùng ÷ñc kþ hi»u l  R1 Ta s³ gåi metric (1.1) l  metric tü nhi¶n tr¶n R

x(k)(t) − y(k)(t)

D¹ th§y d l  mët metric tr¶n Cm

[a,b]

ành ngh¾a 1.2 Cho khæng gian metric M = (X, d) Mët tªp con b§t

ký X0 6= ∅ cõa tªp X còng vîi metric d tr¶n X lªp th nh mët khænggian metric Khæng gian metric M = (X0, d) gåi l  khæng gian metriccon cõa khæng gian metric ¢ cho

ành ngh¾a 1.3 Cho khæng gian metric M = (X, d) D¢y iºm {xn} ⊂

X gåi l  d¢y cì b£n trong M, n¸u :

(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀m, n ≥ n0) , d (xn, xm) < ε

limn,m→+∞d (xn, xm) = 0

D¹ th§y måi d¢y iºm {xn} ⊂ X hëi tö trong M ·u l  d¢y cì b£n

1.1.2 Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co

Gi£ sû X l  khæng gian metric õ v  ¡nh x¤ T : X → X thäa m¢n

i·u ki»n:

d (T x, T y) ≤ αd (x, y)vîi h¬ng sè α < 1 v  måi x, y ∈ X Khi â tçn t¤i duy nh§t ph¦n tû

x∗ ∈ X sao cho x∗ = T x∗, hìn núa vîi x0 ∈ X th¼ d¢y {xn}n∈N x¡c ành

bði xk+1 = T xk, ∀k ∈ N l  hëi tö ¸n x∗, çng thíi ta câ ÷îc l÷ñng:

d (xn, x∗) ≤ α

n

1 − αd (x1, x0) (1.2)Chùng minh D¹ th§y

x∗ l  iºm m  T x∗ = x∗

Gi£ sû ngo i ra cán câ ¯x công câ t½nh ch§t T ¯x = ¯x, khi â ta câ:

d (x∗, ¯x) = d (T x∗, T ¯x) ≤ αd (x∗, ¯x) , vîi α < 1

Tø â suy ra x∗ = ¯x, vªy x∗ l  duy nh§t 

1.2 Khæng gian ành chu©n, khæng gian Banach

ành ngh¾a 1.4 (Khæng gian ành chu©n) Mët khæng gian ành chu©n(hay khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n) l  khæng gian tuy¸n t½nh X tr¶n

tr÷íng P (P = R ho°c P = C) còng vîi mët ¡nh x¤ X → R, ÷ñc gåi

l  chu©n v  kþ hi»u l  k.k thäa m¢n c¡c ti¶n · sau:

i) (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ;

ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) kαxk = |α| kxk;

iii) (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk

Sè kxk gåi l  chu©n cõa vectì x Ta công kþ hi»u khæng gian ành chu©n

l  X C¡c ti¶n · i), ii), iii) gåi l  h» ti¶n · chu©n

ành ngh¾a 1.5 (Sü hëi tö trong khæng gian ành chu©n) D¢y iºm{xn} cõa khæng gian ành chu©n X ÷ñc gåi l  hëi tö tîi iºm x ∈ Xn¸u lim

skPi=1

|xi|2 Khi â Rk l  khænggian Banach

Thªt vªy, d¹ d ng kiºm tra ÷ñc Rk l  khæng gian ành chu©n L§y {xn}

l  mët d¢y cì b£n Rk Ta câ lim

m,n→∞kxn− xmk = 0, ngh¾a l :(∀ε > 0) (∃M ∈ N∗) (∀m, n ≥ M ) :

kxn− xmk < ε ⇔

nXj=1

|xn,j − xm,j|2 < ε2

Suy ra (vîi méi j ∈ N cè ành), (∀ε > 0) (∃Mj ∈ N∗) (∀m, n ≥ Mj) :

⇒

kXj=1

|xn,j − xj|2 < ε2 ⇒

vuut

kXj=1

|xn,j − xj|2 < ε

Vªy {xn} hëi tö ¸n x

1.3 Khæng gian Hilbert, khæng gian L (X, Y )

1.3.1 Khæng gian Hilbert

ành ngh¾a 1.8 Cho X l  mët khæng gian tuy¸n t½nh nh x¤ ψ :

X × X → R thäa m¢n c¡c i·u ki»n:

1) ψ (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ X;

2) ψ (x, x) = 0 ⇒ x = θ;

3) ψ (x, y) = ψ (y, x) , ∀x, y ∈ X;

4) ψ (αx1 + βx2, y) = αψ (x1, y) + βψ (x2, y) ; ∀x1, x2, y ∈ X; ∀α, β ∈ R,

÷ñc gåi l  mët t½ch væ h÷îng tr¶n X, cán ψ (x, y) ÷ñc gåi l  t½ch væh÷îng cõa hai ph¦n tû x, y v  th÷íng ÷ñc kþ hi»u l  (x, y)

Nhªn x²t 1.1 Gi£ sû X l  mët khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n â câ x¡c

ành mët t½ch væ h÷îng (.) Khi â ¡nh x¤ k.k : X → R x¡c ành bðikxk = p(x, x) l  mët chu©n tr¶n X v  X còng vîi chu©n â l  mëtkhæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n

Chu©n x¡c ành nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l  chu©n c£m sinh bði t½ch væ h÷îng.Cho n¶n ¡nh x¤ d : X × X → R x¡c ành bði:

i) H l  khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n tr÷íng P ;

ii) H ÷ñc trang bà mët t½ch væ h÷îng (., );

iii) H l  khæng gian Banach vîi chu©n kxk = p(x, x), x ∈ H

Ta gåi måi khæng gian tuy¸n t½nh con âng cõa khæng gian Hilbert H

l  khæng gian Hilbert con cõa khæng gian H

V½ dö 1.5 Kþ hi»u Rk l  khæng gian vectì thüc k chi·u Vîi måi x =(xj) ∈ Rk, y = (yj) ∈ Rk ta °t:

(x, y) =

kXj=1

kXj=1

x2

j, x = (xj) ∈ Rktròng vîi chu©n kxk =

skPj=1

|xj|2 ¢ bi¸t tr¶n khæng gian Rk, n¶n khænggian vectì thüc Rk còng vîi t½ch væ h÷îng (1.4) l  mët khæng gianHilbert

1.3.2 Khæng gian L (X, Y )

Cho hai khæng gian ành chu©n X v  Y Ta kþ hi»u L (X, Y ) l  tªphñp t§t c£ c¡c to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc tø X v o Y

Ta trang bà cho L (X, Y ) hai ph²p to¡n sau:

a) Têng cõa hai to¡n tû A, B ∈ L (X, Y ) l  to¡n tû, kþ hi»u A + B,x¡c ành b¬ng h» thùc:

(A + B) (x) = Ax + Bx, ∀x ∈ X

b) T½ch cõa væ h÷îng α ∈ P (P = R ho°c P = C) vîi to¡n tû

A ∈ L (X, Y ) l  to¡n tû, kþ hi»u αA, x¡c ành b¬ng h» thùc:

(αA) (x) = α (Ax) , ∀x ∈ X

D¹ d ng kiºm tra A + B ∈ L (X, Y ), αA ∈ L (X, Y ) v  hai ph²p to¡ntr¶n thäa m¢n h» ti¶n · tuy¸n t½nh Do vªy L (X, Y ) còng vîi hai ph²pto¡n tr¶n l  mët khæng gian vectì tr¶n tr÷íng P

D¢y to¡n tû (An) ⊂ L (X, Y ) gåi l  hëi tö tøng iºm tîi to¡n tû A ∈

L (X, Y ) n¸u vîi méi x ∈ X, lim

n→∞kAnx − Axk = 0 trong khæng gian Y Mët d¢y to¡n tû (An) ⊂ L (X, Y ) hëi tö ·u tîi to¡n tû A ∈ L (X, Y )th¼ d¢y (An) hëi tö tøng iºm tîi to¡n tû A trong khæng gian Y

ành lþ 1.1 N¸u Y l  khæng gian Banach, th¼ L (X, Y ) công l  khænggian Banach

Chùng minh L§y mët d¢y cì b£n b§t ký (An) ⊂ L (X, Y ) Theo ànhngh¾a,

(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀n, m ≥ n0) kAn− Amk < ε (1.6)

Tø â vîi måi x ∈ X ta câ

kAnx − Amxk = k(An− Am) xk ≤ kAn − Amk kxk < ε kxk (1.7)

Tø (1.6) v  (1.7) suy ra d¢y iºm (Anx) ⊂ Y l  d¢y cì b£n trong Y M theo gi£ thi¸t Y l  khæng gian Banach, n¶n tçn t¤i giîi h¤n

limn→∞Anx = y ∈ Y

°t y = Ax Nhí t½nh ch§t cõa ph²p chuyºn qua giîi h¤n, ta nhªn

÷ñc to¡n tû tuy¸n t½nh A tø khæng gian ành chu©n X v o khæng gianBanach Y Cho qua giîi h¤n m → +∞ trong h» thùc (1.7) v  k¸t hñpvîi h» thùc (1.6) ta ÷ñc

kAnx − Axk ≤ ε kxk , ∀n ≥ n0, ∀x ∈ X,hay

T½ch cõa hai to¡n tû A, B trong X l  to¡n tû AB trong X sao cho

(AB) x = A (Bx) , ∀x ∈ X

D¹ th§y AB công l  to¡n tû tuy¸n t½nh.

M°t kh¡c, ta câ

k(AB) xk = kA (Bx)k ≤ kAk kBxk ≤ kAk kBk kxk ,

suy ra AB công bà ch°n (tùc l  li¶n töc) v 

kABk ≤ kAk kBk

Nh÷ vªy trong khæng gian L (X, X) câ x¡c ành ph²p cëng v  ph²p nh¥nhai ph¦n tû D¹ kiºm tra l¤i r¬ng ph²p cëng v  ph²p nh¥n n y thäa m¢nc¡c ti¶n · cõa mët v nh Do vªy ta câ L (X, X) l :

i) Mët v nh;

ii) Mët khæng gian ành chu©n;

iii) Thäa m¢n i·u ki»n kABk ≤ kAk kBk ;

iv) Câ ph¦n tû ìn và l  to¡n tû çng nh§t I vîi kIk = 1

Ng÷íi ta nâi L (X, X) l  mët v nh ành chu©n Trong v nh L (X, X),

÷ìng nhi¶n câ thº nâi ¸n c¡c lôy thøa cõa mët to¡n tû

ta °t:

d (x, y) =

vuut

nXj=1(xj − yj)2 (1.8)

D¹ d ng kiºm tra h» thùc (1.8) thäa m¢n c¡c ti¶n · 1) v  2) v· m¶tric

º kiºm tra h» thùc (1.8) thäa m¢n ti¶n · 3) v· m¶tric, tr÷îc h¸t

ta chùng minh b§t ¯ng thùc Cauchy-Bunhiacopski: vîi 2n sè thüc

aj, bj(j = 1, 2, , n) ta câ:

... 1, 2, (2.9)vợi x(0) cho trữợc Cổng thực (2.9) gồi l thuªt to¡n Newton - Raphson. Thuªt to¡n Newton - Raphson c£i biản cõ dÔng:

1) nh thực D cừa ma Jacobi kh¡c khæng;

2)... nhúng khỉng gian Banach thüc N¸u g :

X Y l khÊ vi Frchet tÔi x ∈ X v  f : Y → Z kh£ vi Frchet tÔi

y = g (x) Y thẳ = f.g cụng khÊ vi Frchet tÔi x v