Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số

Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VƯƠNG THÀNH NAM

SỰ KẾT HỢP CỦA PHƯƠNG PHÁP THÁC TRIỂN THEO THAM SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP EULER TRONG VIỆC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI

TUYẾN NHIỀU BIẾN SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học

PGS TS Khuất Văn Ninh

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoànthành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tao điều kiện cho tôi trong suốt quátrình học tập

Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường THPTThái Hòa- Lập Thạch- Vĩnh Phúc đã giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợinhất giúp tôi hoàn thành tốt khóa học này

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôitrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 7 năm 2014

Tác giả

Vương Thành Nam

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh,luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Sự kết hợp củaphương pháp thác triển theo tham số và phương pháp Euler trong việcgiải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số” được hoàn thành bởi nhậnthức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2014

Tác giả

Vương Thành Nam

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Không gian Banach 5

1.1.1 Không gian định chuẩn 5

1.1.2 Không gian Banach 6

1.1.3 Nguyên lí ánh xạ co Banach 7

1.2 Hệ phương trình phi tuyến 8

1.2.1 Hệ phương trình phi tuyến 8

1.2.2 Một số chuẩn trong không gian Rn 9

1.3 Một số kiến thức về phương trình, hệ phương trình vi phân thường 10

1.3.1 Phương trình vi phân thường 10

1.3.2 Hệ phương trình vi phân 18

1.4 Phương pháp Newton-Raphson 20

1.4.1 Đạo hàm Fréchet 20

1.4.2 Phương pháp Newton-Raphson 21

Chương 2 Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp Euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số 24

2.1 Phương pháp thác triển theo tham số 24

2.2 Phương pháp Euler và các phương pháp Euler cải tiến 29

2.2.1 Phương pháp Euler giải phương trình vi phân cấp một 29

1

2.2.2 Phương pháp Euler cải tiến thứ nhất 31

2.2.3 Phương pháp Euler cải tiến thứ hai 31

2.2.4 Phương pháp Euler cải tiến giải hệ phương trình vi phân cấp một 31

2.3 Một số ví dụ 32

Chương 3 Lập trình trên Maple để giải hệ phương trình phi tuyến 47

Kết luận 66

Tài liệu tham khảo 67

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Bài toán giải hệ phương trình phi tuyến là bài toán được dẫn tới từ nhiềubài toán: Giải phương trình toán tử tích phân phi tuyến theo phươngpháp cầu phương; giải phương trình vi phân tuyến tính bằng phươngpháp sai phân Vì vậy bài toán giải hệ phương trình phi tuyến được sựquan tâm của nhiều nhà toán học Nhiều công trình nghiên cứu về giảigần đúng hệ phương trình phi tuyến hệ đã được đề xuất như: Phươngpháp lặp đơn, Phương pháp Newton-Raphson, Phương pháp thác triểntheo tham số kết hợp với phương pháp Euler Với mong muốn tìm hiểusâu hơn vấn đề giải hệ phương trình phi tuyến nên tôi đã chọn nghiêncứu đề tài “Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham

số và phương pháp Euler trong việc giải hệ phương trình phituyến nhiều biến số”

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu cách giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến

số dựa trên hai phương pháp thác triển theo tham số và phương phápEuler

3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cách giải một số hệ phương trình phi tuyến nhiều biến sốdựa trên sự kết hợp hai phương pháp thác triển theo tham số và phươngpháp Euler

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Hệ phương trình phi tuyến n biến

Phương pháp thác triển theo tham số, phương pháp Euler

5 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan Áp dụng các phương phápcủa Giải tích cổ điển, Giải tích hàm, Giải tích số, Đại số tuyến tính,Phương trình vi phân

6 Đóng góp mới của luận văn

Hệ thống lại các nội dung của phương pháp thác triển theo tham số kếthợp phương pháp Euler và vận dụng vào giải những hệ phương trình phituyến cụ thể

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian Banach

1.1.1 Không gian định chuẩn

Giả sử X là không gian véc-tơ trên trường vô hướng K (thực hay phức).Hàm thực p trên X gọi là một chuẩn trên X nếu:

1.1.2 Không gian Banach

Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X,nếu

Khi đó ta có k·k là một chuẩn trên l2, l2 cùng với chuẩn đó là một khônggian Banach.

1.1.3 Nguyên lí ánh xạ co Banach

Định nghĩa 1.1 Cho hai không gian metric M1 = (X, d1), M2 = (Y, d2).Ánh xạ A : M1 → M2 được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số 0 ≤ α < 1sao cho

và với mọi x, y ∈ X Khi đó tồn tại duy nhất phần tử x∗ sao cho x∗ = Ax∗,hơn nữa với mọi x0 ∈ X thì dãy (xn) xác định bởi

1.2 Hệ phương trình phi tuyến

1.2.1 Hệ phương trình phi tuyến

Định nghĩa 1.2 Hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số là hệ có dạng

1.2.2 Một số chuẩn trong không gian Rn

1.3 Một số kiến thức về phương trình, hệ phương

trình vi phân thường

1.3.1 Phương trình vi phân thường

Định nghĩa 1.3 Phương trình vi phân thường là phương trình có dạng

trình vi phân ở dạng (1.3) chúng ta viết phương trình vi phân dưới dạng

y10 (x) = f1(x, y1, y2, , yN)

y20 (x) = f2(x, y1, y2, , yN)

yN0 (x) = fN (x, y1, y2, , yN)Bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân thườngBài toán

Tìm nghiệm y(x) của phương trình (1.3) thỏa mãn điều kiện ban đầu

Ở đây y = (y1, y2, , yN), f = (f1, f2, , fN), y0 = (y01, y02, , y0N) làcác hàm véc-tơ trong Rn

Phương trình vi phân (1.3) thỏa mãn điều kiên (1.4) được gọi là bài toángiá trị ban đầu của phương trình vi phân thường

Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

Giả sử f ∈ CΩ, RN (f xác định và liên tục trên Ω và nhận giá trịtrong Rn), ở đây Ω là một tập mở trong RN +1

Một nghiệm y = y(x) của bài toán (1.3), (1.4) là một hàm khả vi của xsao cho với một khoảng J chứa x0 ta có

y (x0) = y0(x, y(x)) ∈ Ω, y0(x) = f (x, y(x)) Nhận xét 1.3 Hàm khả vi y(x) là nghiệm của bài toán (1.3), (1.4) trên

J khi và chỉ khi nó là nghiệm của phương trình tích phân Volterra:

Các định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toángiá trị ban đầu

Định lý 1.3 (Định lí Picard-Lindel¨of) Giả sử f (x, y) liên tục trên B0 :

x0 ≤ x ≤ x0 + a, ky − y0k ≤ b, ở đây a, b là các số thực dương và thỏamãn điều kiện Lipschitz trên B0, nghĩa là tồn tại một hằng số dương Lsao cho, với 0 ≤ h ≤ h0 và với mọi (x, u), (x, v) ∈ B0 thì

Vì f (x, y (x)) liên tục trên đoạn [x0, x0 + α] nên các hàm số y0(x) ,

y1(x) , , yn(x) xác định và liên tục trên [x0, x0 + α] Hiển nhiên (x, y0(x)) ∈

B0 Vì vậy ta có:

ky1(x) − y0k ≤ M (x − x0) ≤ M α ≤ b

và hơn nữa (x, y1(x)) ∈ B0 Ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng

kyk(x) − y0k ≤ bvới (x, yk(x)) ∈ B0, k = 1, 2, , n

kzk(x)k ≤ M Lk−1(x − x0)

k

k! , k = 1, 2, , n. (1.6)Chứng minh điều này, giả sử với x ∈ [x0, x0 + α] thì:

= M Ln−1(x − x0)

n

n! .

Vậy (1.6) được chứng minh Xét chuỗi vô hạn dạng:

y0 + z1(x) + z2(x) + · · · + zn(x) + · · · (1.7)Tổng riêng thứ n của chuỗi này là

∞

X

k=1

(Lα)kk! . (1.9)

Lα− 1
do đó chuỗi (1.7) hội tụ đều trênđoạn [x0, x0 + α] , khi n → ∞ Gọi tổng của chuỗi (1.7) là y(x), khi đótheo (1.8) ta có

lim

n→∞yn(x) = y(x)

Từ tính hội tụ của yn(x) đến y(x) và tính liên tục của hàm f (x, y)trên B0 suy ra rằng f (x, yn(x)) hội tụ đều đến f (x, y(x)) trên đoạn[x0, x0 + α] , khi n → ∞ Do đó

Như vậy tồn tại nghiệm y(x) của phương trình (1.3), (1.4).

Ta sẽ chứng minh nghiệm này là duy nhất Thật vậy, giả sử y(x), z(x)

là hai nghiệm của (1.3), (1.4)

Hàm không âm ω(x) = ky(x) − z(x)k thỏa mãn điều kiện ω(x0) = 0 và

KLk(x − x0)k

k! , ∀x ∈ [x0, x0 + α] Biểu thức này có thể nhỏ tùy ý bởi chọn k đủ lớn Vì vậy

ω(x) → 0, ∀x ∈ [x0, x0 + α] Hay y(x) ≡ z(x) là nghiệm duy nhất của bài toán 

Nhận xét 1.4 Nếu y, z thỏa mãn (1.3) cùng với y(a) = y0, z(a) = z0thì

d

dxky(x) − z(x)k ≤ L ky(x) − z(x)k Nhân cả hai vế e−Lx và ta có

d

dx e

−Lxky(x) − z(x)k
≤ 0suy ra

ky(x) − z(x)k ≤ ky0 − z0k eL(x−a) (1.13)Định lý 1.4 (Định lí tồn tại Peano: Trường hợp véc-tơ)

Nghiệm xấp xỉ-ε

Cho f (x, y) là hàm liên tục nhận giá trị véc-tơ trên miền Ω

Định nghĩa 1.4 Một hàm β(t) gián đoạn đơn tại điểm x = x1 nếu giớihạn trái và giới hạn phải của β(t) tại điểm x = x1 tồn tại nhưng khôngbằng nhau

Định nghĩa 1.5 Một hàm y(x) xác định và liên tục trên đoạn J ⊂ Rđược gọi là nghiệm xấp xỉ-ε của phương trình

trên J nếu

i) (x, y(x)) ∈ Ω, x ∈ J ;

ii) y0(x) ∈ C1 trên J có thể trừ một tập S-hữu hạn các điểm trên

J, ở đây y0(x) có thể có các điểm gián đoạn đơn;

dx = fn(x, y1, y2, , yn)

(1.15)

ở đây x là biến số độc lập, y1 = y1(x), y2 = y2(x), , yn = yn(x) làcác hàm phải tìm Các hàm fi(i = 1, 2 , n) xác định trong miền G củakhông gian n + 1 chiều Rn+1

Hệ n hàm khả vi y1 = β1(x) , y2 = β2(x) , , yn = βn(x) xác định trênkhoảng (a, b) được gọi là nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.15) nếuvới mọi x ∈ (a, b) điểm (x, β1(x) , β2(x) , , βn(x)) ∈ G và khi thaychúng vào hệ (1.15) thì ta được n đồng nhất thức theo x trên (a, b) Tập hợp điểm

không gian pha suy rộng Đường cong tích phân chứa trong không gianpha suy rộng.

Bài toán Cauchy

Cho điểm x0, y01, y20, , yn0
∈ G Tìm nghiệm

y1(x), y2(x), , yn(x)của hệ phương trình vi phân (1.15) thỏa mãn điều kiện ban đầu

y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, , yn(x0) = y0nđược gọi là bài toán Cauchy

Định lý 1.8 (Định lí tồn tại duy nhất nghiệm) Xét hệ phương trình viphân

dyn

dx = fn(x, y1, y2, , yn)Giả sử:

i) Các hàm f1, f2, , fn liên tục trong miền

G = |x − x0| ≤ a; y1 − y01 ≤ b; y2 − y20 ≤ b; ; ... 2

Sự kết hợp phương pháp thác triển theo tham số phương pháp Euler việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số< /h3>

2.1 Phương pháp thác triển theo tham số< /h3>

Phương pháp. .. đượcnghiệm (ứng với tham số họ đó) sau cách tháctriển theo tham số ta tìm nghiệm phương trình xét Sauđây áp dụng Phương pháp thác triển theo tham số để giải h? ?phương trình phi tuyến nhiều biến có dạng...

Phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình tốn tử(method of extending by parameter ) số phương pháp khác nh? ?Phương pháp liên tục hóa (method of continuation ), Phương pháp thambiến bé