BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TÀOĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN ĐỨC THỊNH CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO NHỮNG BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 60 46 0
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TÀO
ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN ĐỨC THỊNH
CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI
CHO NHỮNG BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC
Chuyên ngành: Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học PGS-TS PHAN NHẬT TĨNH
HUẾ 2014
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứucủa riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiêncứu ghi trong luận văn là trung thực, được cácđồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từngđược công bố trong bất kì một công trình nàokhác
Trần Đức Thịnh
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của luận văn này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáohướng dẫn của mình, PGS-TS Phan Nhật Tĩnh Thầy đã chọn đề tài, cung cấptài liệu và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành luận văn này.Nhân đây em xin gửi lời cám ơn của mình tời toàn bộ các thầy cô giáo trongkhoa Toán học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tậptại khoa
Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn, các anh chị trong lớp Giải Tích K21,khoa Toán đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp cũng nhưquá trình soạn thảo luận văn này
Trân trọng và chân thành cảm ơn!
Huế, 2014Trần Đức Thịnh
Trang 4MỤC LỤC
1.1 Bài toán tối ưu và các khái niệm cực tiểu 5
1.1.1 Bài toán tối ưu 5
1.1.2 Các khái niệm cực tiểu 6
1.2 Hàm thực khả vi và định lý giá trị trung bình 7
1.3 Gradient suy rộng trong không gian Banach 7
1.3.1 Đạo hàm theo hướng suy rộng 7
1.3.2 Gradient suy rộng 8
1.4 Jacobi suy rộng trên Rn 8
1.5 Đạo hàm theo hướng 9
1.5.1 Đạo hàm theo hướng Dini 9
1.5.2 Đạo hàm theo hướng Hardamard 10
1.6 Hàm tựa lồi, hàm giả lồi 11
1.6.1 Hàm tựa lồi 11
1.6.2 Hàm giả lồi 12
1.6.3 Một số ví dụ 13
1.7 Một số khái niệm và tính chất cơ bản khác 14
Trang 5Chương 2 Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán với ràng buộc bất đẳng thức trong trường hợp khả vi liên tục 15
2.1 Điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục 15
2.2 Điều kiện cần cho cực tiểu địa phương 22
2.2.1 Một số khái niệm và tính chất liên quan 22
2.2.2 Điều kiện cần cơ bản cấp 2 23
2.2.3 Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2 25
2.2.4 Trường hợp nhân tử Lagrange không phụ thuộc vào hướng 26
2.3 Điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2 33
2.3.1 Điều kiện đủ đối ngẫu cấp 2 35
2.3.2 Điều kiện đủ cơ bản cấp 2 37
2.4 Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương parabol 41
2.4.1 Cực tiểu địa phương parabol 41
2.4.2 Cực tiểu địa phương parabol cô lập cấp 2 42
Chương 3 Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán với ràng buộc bất đẳng thức trong trường hợp Lipschitz địa phương 45 3.1 Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương 45
3.1.1 Điều kiện cần cơ bản cấp 2 45
3.1.2 Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2 48
3.2 Điều kiện tối ưu cho cực tiểu toàn cục 49
3.3 Điều kiện cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2 51
3.3.1 Điều kiện đủ đối ngẫu cấp 2 51
3.3.2 Ví dụ 53
3.3.3 Điều kiện đủ cơ bản cấp 2 53
3.3.4 Điều kiện cần cơ bản cấp 2 55
Trang 6LỜI NÓI ĐẦU
Tối ưu hóa là một ngành toán học ứng dụng đã và đang được nhiều ngườiquan tâm, nghiên cứu, tìm hiểu và ứng dụng vào thực tiễn Bài toán tối ưu là kếtquả của việc mô hình hóa những vấn đề nảy sinh từ thực tế, chúng có thể đượcdiễn đạt dưới dạng toán học là tìm biến số thỏa mãn những điều kiện nhất địnhđồng thời làm cho một hàm số cho trước đạt giá trị cực tiểu (hay cực đại) Năm
1965, A Ya Dubovitskii và A A Mylyutin đã đưa ra lý thuyết các điều kiệntối ưu dưới ngôn ngữ giải tích hàm và cho ta phương pháp giải tích hàm hiệuquả để nghiên cứu các bài toán tối ưu và điều khiển Công trình nổi tiếng củaDubovitskii- Mylyutin đánh dấu một bước phát triển quan trọng của lý thuyếttối ưu hóa Do nhu cầu của kinh tế và kĩ thuật, lý thuyết tối ưu hóa phát triểnngày càng mạnh mẽ và thu được nhiều kết quả quan trọng
Người ta thường quan tâm nghiên cứu các điều kiện tối ưu cấp 1, cấp 2, vàcấp cao hơn Nếu các điều kiện cần cấp 1 được dùng cho việc tìm ra tập tất cảcác điểm dừng thì các điều kiện cần cấp 2 lại rất hiệu quả trong việc loại bỏ cácđiểm dừng không tối ưu Chúng giúp ta xác định được điểm đã cho là một cựctiểu (hay là một cực đại) Cuối cùng nhờ vào điều kiện đủ ta tìm được nghiệmcủa bài toán tối ưu Do đó điều kiện tối ưu cấp 2 tỏ ra rất hữu ích trong việctìm nghiệm của bài toán tối ưu Sau các điều kiện tối ưu cấp 2 kiểu Fritz John
và Kuhn-Tucker thì lý thuyết các điều kiện tối ưu cấp 2 được mở rộng ra rấtnhiều hướng khác nhau đặc biệt là các bài toán với ràng buộc bất đẳng thức vàràng buộc tập hợp
Với mong muốn được tìm hiểu, nghiên cứu thêm về các điều kiện tối ưu vàđược sự gợi ý, hướng dẫn của PGS.TS Phan Nhật Tĩnh, tôi chọn đề tài: Cácđiều kiện tối ưu cấp 2 cho những bài toán với ràng buộc bất đẳng thức làm đềtài nghiên cứu cho luận văn
Về mặt cấu trúc, luận văn được chia làm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này tác giả trích dẫn một số khái niệm, định lý, tính chất tổnghợp lại từ các tài liệu tham khảo [1], [4], [6], [7], [8], [9], [10], [11] Tất cả đều là
Trang 7những kiến thức bổ trợ cho chương 2 và chương 3 Cụ thể chương này trình bàynhững nội dung sau.
1.1: Bài toán tối ưu và các khái niệm cực tiểu
1.2: Hàm số khả vi và định lý giá trị trung bình
1.3: Garadient suy rộng trong không gian Banach
1.4: Jacobi suy rộng trên Rn
1.5: Đạo hàm theo hướng
1.6: Hàm tựa lồi, hàm giả lồi
1.7: Một số khái niệm và tính chất cơ bản khác
Chương 2: Điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán với ràng buộc bấtđẳng thức trong trường hợp khả vi liên tục
Trong chương này, dựa trên cơ sở các tài liệu tham khảo [2], [4], [5], [6], [7], [9],[10], tác giả nghiên cứu những nội dung cụ thể sau
2.1: Điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục
2.2: Điều kiện cần cho cực tiểu địa phương
2.3: Điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2
2.4: Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương parabol
Chương 3: Điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán với ràng buộc bấtđẳng thức trong trường hợp Lipschitz địa phương
Những nội dung được nghiên cứu trong chương này chủ yếu dựa trên cơ sở cáctài liệu tham khảo [12], [3] cụ thể nghiên cứu những vấn đề sau
3.1: Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương
3.2: Điều kiện tối ưu cho cực tiểu toàn cục
3.3: Điều kiện cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn
đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi cónhững sai sót trong cách trình bày Mong được sự góp ý xây dựng của thầy cô
và các bạn Em xin chân thành cảm ơn!
Trang 8Chương 1.
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
1.1 Bài toán tối ưu và các khái niệm cực tiểu.
1.1.1 Bài toán tối ưu.
Xét bài toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức, đẳng thức và ràng buộc tậpsau
trong đó hàm f0: X → R được gọi là hàm mục tiêu, hàm fi: X → R, i =
1, 2, , m và hj: X → R, j = 1, 2, , q gọi là hàm ràng buộc "x ∈ X" gọi làràng buộc tập, "fi(x) ≤ 0, i = 1, 2, , m" gọi là ràng buộc bất đẳng thức, và
"h j (x) = 0, j = 1, 2, , q" gọi là ràng buộc đẳng thức Lúc này tập chấp nhậnđược là
Trang 9Trong trường hợp bài toán ( P) không có ràng buộc đẳng thức ta kí hiệu bàitoán là (P ).
Ta nói bộ x, λ1, λ2, , λm, µ1, µ2, , µq là một điểm dừng (kiểu Kuhn Tucker)của bài toán ( P) nếu thõa mãn điều kiện sau
1.1.2 Các khái niệm cực tiểu.
Xét bài toán ( P) và x ∈ C là điểm chấp nhận được Ta có các định nghĩa sauĐịnh nghĩa 1.1
a) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu địa phương của bài toán ( P)
nến tồn tại lân cận U của x sao cho f0(x) ≥ f0(x), ∀x ∈ C ∩ U
b) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu địa phương chặt của bài toán
( P) nến tồn tại lân cận U của x sao cho f0(x) > f0(x), ∀x 6= x, x ∈ C ∩ U.c) Điểm chấp nhận được xđược gọi là cực tiểu toàn cục của bài toán ( P) nếu
trong đó x + td + 0.5t2z là một điểm chấp nhận được
g) Điểm chấp nhận đượcx được gọi là cực tiểu địa phương parabol cô lập cấp
2 của bài toán ( P) nếu với mỗi d, z ∈Rn tồn tại số thực dương A = A(d, z)
và ε = ε(d, z) sao cho
f0(x + td + 0.5t2z) ≥ f0(x) + Aktd + 0.5t2zk2, ∀t ∈ [0, ε)
trong đó x + td + 0.5t2z là một điểm chấp nhận được
Trang 101.2 Hàm thực khả vi và định lý giá trị trung bình.
Định nghĩa 1.2 ([7] Tr 200) Cho X ⊂ Rn là tập mở và f là một hàm nhậngiá trị thực xác định trên X (tức là f : X →R, sau này để đơn giản ta nói f làhàm thực xác định trên X) Hàm f được gọi là khả vi tại x ∈ X nếu với mọi
f (y) − f (x) = h∇f (x + t(y − x)) , y − xi1.3 Gradient suy rộng trong không gian Banach.
1.3.1 Đạo hàm theo hướng suy rộng.
ChoX là không gian Banach trên trường số thực với chuẩn kí hiệu là k·k Ta cócác khái niệm và tính chất sau
Định nghĩa 1.3 Hàm f : X → R được gọi là Lipschitz địa phương tại x ∈ X
nếu tồn tại lân cận U của x và hằng số L > 0 sao cho
|f (x1) − f (x2)| ≤ Lkx1− x2k, ∀x1, x2∈ U (1.1)Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng với mọi phần tử của tập V ⊂ X và L độc lập vớibiến x thì ta nói f Lipschitz trên V
Định nghĩa 1.4 [3] Giả sử f : X → R là hàm Lipschitz địa phương tại x ∈ X
với hằng số K (lúc đó để đơn giản ta sẽ nói f Lipschitz gần x với hằng số K).Với mỗi v ∈ X, ta gọi đạo hàm theo hướng suy rộng của f tại x theo hướngv, kíhiệu f0(x, v), được định nghĩa như sau
Trang 11Mệnh đề 1.1 [1] Cho hàm f Lipschitz gần x với hằng số K, khi đó ta cóa) Hàm f0(x, ·) hữu hạn, lồi, thuần nhất dương trên X, hơn nữa,
f0(x, v) ≤ K kvk , ∀v ∈ X.
b) Hàm hai biến f0(·, ·) là nửa liên tục trên tại (x, v), hàm một biến f0(x, ·)
Lipschitz với chính hằng số K trên X
c) f0(x, −v) = (−f )0(x, v), ∀v ∈ X.
1.3.2 Gradient suy rộng.
Cho X là một tập mở trong không gian Bannach E và f : X → R Kí hiệu E∗
là không gian tôpô đối ngẫu của E, h·, ·i là tích vô hướng giữa E∗ và E, k · k∗ làchuẩn tôpô yếu∗, cụ thể
kξk∗= suphξ, vi v ∈ E, kvk ≤ 1 .
Định nghĩa 1.5 [3] Dưới vi phân Clarke (hay Gradient suy rộng Clarke), của
f tại x, kí hiệu ∂Cf (x), là một tập con của X∗ xác định bởi
∂Cf (x) =ξ ∈ X∗ f0(x, v) ≥ hξ, vi, ∀v ∈ X
Mệnh đề 1.2 ([3] Proposition 2.1.2) Nếu f Lipschitz gần x với hằng số K thìa) ∂Cf (x) khác rỗng, lồi, compact yếu∗ và kξk∗ ≤ K với mọi ξ ∈ ∂Cf (x).b) Với mọi v ∈ X ta có f0(x, v) = maxhξ, vi ... data-page="18">
Chương 2.
ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TRƯỜNG HỢP KHẢ VI
theo hướng Để có điều kiện tốt hơn, ta thừa nhận... ∂∗2< /sup>f (x) x.
2. 2 .2 Điều kiện cần cấp 2.
Định lý 2. 5 (Điều kiện cần cấp 2< /small>, [4] Theorem 5) Cho X ⊂... ∈Rn thỏa mãn hệ bất phươngtrình sau (2. 12) .
2. 2.3 Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2.
Định lý 2. 6 (Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2, [4]) Cho X tập mở khônggian Rn,
