Nguyên lý bất biến gauge mở rộng và cơ chế khối lượng (LV01225)

Lý do chọn đề tài Nguyên lý bất biến gauge là một trong những nguyên lý nền tảng của động lực học các tương tác cơ bản và có ý nghĩa đặc biệt trong việc xây dựng các mô hình lý thuyết Đ

NGUYỄN THỊ NHUNG

NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN GAUGE MỞ RỘNG

VÀ CƠ CHẾ KHỐI LƯỢNG

Chuyên ngành : Vật lí lí thuyết và Vật lí toán

Mã số : 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH ĐÀO VỌNG ĐỨC

HÀ NỘI, 2014

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2

Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới GS-TSKH Đào Vọng Đức Thầy đã hướng dẫn tận tình, đầy hiệu quả, thường xuyên dành cho chúng em sự chỉ bảo, giúp đỡ và động viên cả về vật chất và tinh thần trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài

Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Khoa Vật lý, Phòng Sau Đại Học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành chương trình cao học và luận văn tốt nghiệp

Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các anh, chị học viên lớp K16-Vật lý lý thuyết và vật lý toán- Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, các anh em, bạn bè gần xa và người thân trong gia đình đã động viên, tạo mọi điều kiện để luận văn được hoàn thành

Hà Nội, tháng 06 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Nhung

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của GS-TSKH Đào Vọng Đức Luận văn không hề trùng lặp với những đề tài khác

Hà Nội, tháng 06 năm 2014

Nguyễn Thị Nhung

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

5 Giả thuyết khoa học 1

6 Phương pháp nghiên cứu 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN GAUGE 3

1.1 Bất biến gauge U(1) và phi Abel 3

1.2 Các trường Gauge 6

1.3 Lagrangian tương tác Gauge 9

1.4 Toán tử tải nilpotent BRST 12

CHƯƠNG 2: BIẾN ĐỔI GAUGE PHIẾM HÀM TRƯỜNG DÂY 17

2.1 Các trạng thái kích thích Dây 17

2.2 Phiếm hàm trường Dây 20

2.3 Các trường vong Dây 23

2.4 Biến đổi gauge phiếm hàm trường Dây 26

CHƯƠNG 3: KHỐI LƯỢNG CÁC TRƯỜNG GAUGE 29

3.1 Biến đổi gauge khái quát 29

3.2 Hằng số liên kết 33

3.3 Khối lượng các meson vector 36

KẾT LUẬN 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nguyên lý bất biến gauge là một trong những nguyên lý nền tảng của động lực học các tương tác cơ bản và có ý nghĩa đặc biệt trong việc xây dựng các mô hình lý thuyết Đại thống nhất các tương tác

Mục đích của luận văn là tìm hiểu- nghiên cứu về một cách mở rộng lý thuyết bất biến gauge và cơ chế khối lượng của trường gauge Ý tưởng chủ đạo là đưa một hàm phụ thuộc không- thời gian vào phép biến đổi gauge, và theo một nghĩa nào đó có thể gọi là phép biến đổi gauge biến dạng hoặc biến đổi gauge khái quát

Luận văn đặc biệt quan tâm đến cơ chế sinh khối lượng các hạt, ngoài

cơ chế Higgs Khối lượng là một đặc trưng quan trọng của các hạt cơ bản, có

ý nghĩa đặc biệt trong việc phân loại theo các mô hình đối xứng và trong việc

tìm hiểu- nghiên cứu động lực học của các tương tác

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu- nghiên cứu về một cách mở rộng lý thuyết bất biến gauge và

cơ chế khối lượng của trường gauge

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về một phương án mở rộng lý thuyết bất biến gauge và cơ chế khối lượng của trường gauge

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu nguyên lý bất biến gauge mở rộng và cơ chế khối lượng các trường gauge

5 Giả thuyết khoa học

- Triển khai một số tính toán chi tiết về bất biến BRST trong lý thuyết Siêu Dây

- Rút ra biểu thức khối lượng các trường gauge và hằng số tương tác gauge

6 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng các phương pháp:

- Lý thuyết trường lượng tử và hạt cơ bản

- Lý thuyết đối xứng

- Lý thuyết Dây

B NỘI DUNG CHƯƠNG 1: NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN GAUGE

1.1 Bất biến Gauge U(1) và phi Abel

Có nhiều cơ sở lý thuyết và thực nghiệm để có thể khẳng định rằng các thể loại tương tác giữa các hạt cơ bản- mạnh, yếu, điện từ (và có thể cả hấp dẫn) đều có cùng một bản chất bắt nguồn từ nguyên lý bất biến gauge

Trong mục này trình bày về phép biến đổi gauge đơn giản nhất- tương ứng với nhóm biến đổi gauge một thông số U(1), chẳng hạn phép biến đổi điện tích

Dưới tác dụng của phép biến đổi điện tích trường j ( )x ứng với hạt mang điện tích q biến đổi theo quy tắc:

( )x '( )x e i Qw ( )x e i Qw e iqw ( )x

j ® j = j - = - j (1.1) với w- thông số của phép biến đổi

Lagrangian của các trường tự do bất biến đối với biến đổi (1.1) khi w

không phụ thuộc vào x

Trong trường hợp w w = ( )x , ta có phép biến đổi:

( )x '( )x e iqw( )x ( )x

j ® j = - j (1.2) được gọi là U(1) gauge

Lúc này, các số hạng khối lượng trong Lagrangian (dạng j +( ) ( )x j x )

vẫn bất biến, nhưng các số hạng động năng (chứa đạo hàm theo x) không còn bất biến nữa Để khôi phục lại tính bất biến của Lagrangian người ta tiến hành như sau

Đưa vào trường vector Am( )x gọi là trường gauge, lập đạo hàm hiệp biến theo công thức:

( ) ( ) ( )

Dmj x º ¶ - Am iq m j x , (1.3)

và buộc Am( )x biến đổi theo quy luật:

Cho đến nay, các lý thuyết tương tác mạnh, yếu, điện từ dựa trên bất

biến Gauge Giả sử có nhóm đối xứng G bất kỳ với đại số gồm n vi tử Ta , a=1,2,…,n, tuân theo hệ thức giao hoán:

[T T =a, b] if abcTc (1.6) trong đó: f abclà hằng số cấu trúc của nhóm

Giả sử một đa tuyến r các trường ψi(x), i=1,2,…,r, thực hiện biểu diễn của nhóm G, biến đổi theo quy luật:

+ G=SU(n), ψi thực hiện biểu diễn cơ sở (r=n) lúc đó

2

a a

l

M = (la: các ma

trận Gell-Mann khái quát)

+ G=SU(m), ψi thực hiện biểu diễn chính quy ( 2 )

Ma thỏa mãn (1.6) bằng cách lưu ý đồng nhất thức Jacobi của f abc

e e

w w

Nếu w w ¹ ( )x : phép biến đổi global

w w = ( )x : phép biến đổi local

( )

0

L f : là Lagrangian tự do của một trường nào đó Trong đó nó có chứa số hạng động năng chứa đạo hàm theo không gian và thời gian của trường ¶mf

Nếu w w = ( )x → Lagrangian của các trường tự do không bất biến

Để khôi phục lại tính bất biến ta đưa vào n trường gauge Aµa(x),

a=1,2,…,n, lập đạo hàm hiệp biến theo công thức:

dưới tác dụng của nhóm biến đổi G:

Nếu Ama biến đổi theo quy luật:

Thay thế trong Lagrangian tự do ¶mj( )x bằng Dmj( )x Kết quả cho ta

Lagrangian tự do cho trường j( )x cùng với Lagrangian tương tác giữa trường

( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m m

2

L y A =m qyg ym Am (1.13) Như vậy, nguyên lý bất biến gauge cho phép xác định một cách đơn trị Lagrangian mô tả tương tác giữa trường vật chất mang điện và trường gauge

m

A (ở đây được đồng nhất với trường điện từ)

Tensor cường độ trường điện từ:

Fmu º ¶ A -¶ Am u u m

ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

é ù

ºå M =¶ A -¶ A - ëA A û (1.19)

Khai triển theo wa, các phương trình (1.14) và (1.18):

Xét biến đổi vô cùng bé w( )x » bé:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )

w

-

1.3 Lagrangian tương tác Gauge

Lagrangian tự do của trường vô hướng (nói chung là phức)

( ) 2

0

i i

Lagrangian đầy đủ mô tả hệ trường vật chất fi và trường gauge Am( )x

có dạng:

( , ) 0( ) 0( ) int( , ),

L f A =m L f +L A +m L f Am (1.21) trong đó:

0

1

4

= ç ÷

è ø hoặc

1 2 3

t

M = hoặc

2

a a

t =æç ö÷ t =æç - ö÷ t =æç ö÷

la là các ma trận 3 × 3 Gell-Mann (a=1,2,…,8),

i

i i

Tr F Fmu mu = åFmu Fmu (1.24) Trong trường hợp ψ cũng đồng thời là spinor Dirac ta có:

1.4 Toán tử tải nilpotent BRST

Lý thuyết trường dây lượng tử có thể trình bày một cách sáng sủa và bao quát hơn trên ngôn ngữ hình thức luận BRST ( Becchi- Rouet- Stora-Tyutin)

Trong hình thức luận này các trường vong Fadeev- Popov đóng vai trò chủ yếu Trước hết ta hãy nhắc lại vài điều cơ bản về hình thức luận BRST trong lý thuyết đối xứng gauge thông thường

Giả sử ta có nhóm đối xứng gauge với các vi tử Tn thỏa mãn các hệ thức giao hoán:

Ứng với mỗi vi tử Tn người ta đưa vào một cặp biến số vong cn và phản vong bn, thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán:

{ } { } { }

1 2

Với số hạng cuối ta khai triển phản giao hoán tử, áp dụng (1.27), và được như sau:

1

4 1 2

nmk lpq n m k l p q lpq

0 3

T%n bất biến BRST, tức là: éëQ, T = %nùû 0 Điều này có thể thấy ngay từ tính chất nilpotent của Q:

[n]=0 nếu n thuộc loại chỉ số “chẵn” và

[n]=1 nếu n thuộc loại chỉ số “lẻ”

Như vậy (n, m)= - 1 khi cả n và m đều thuộc loại “lẻ”, và (n, m)= + 1

Có thể dễ dàng chứng minh tính chất nilpotent của Q, Q2=0

Đồng nhất thức (1.41) suy trực tiếp từ đồng nhất thức Jacobi phân bậc viết cho các vi tử:

( ) [ ] ( )

)( ) [ ] ( ) (

CHƯƠNG2: BIẾN ĐỔI GAUGE PHIẾM HÀM TRƯỜNG DÂY

2.1 Các trạng thái kích thích Dây

Xét không gian Fock, các trạng thái được xây dựng bằng cách tác dụng các toán tử sinh anm+(n> 0) với dây mở ( và a %nm+ trong trường hợp dây đóng) lên trạng thái nền chân không 0

a + a a + + (n, m>0) Giá trị của các trạng thái này không phải tất cả đều >0 Ví dụ xét trạng thái:

m m

a a

a a

Î

- Với dây đóng:

m m

a a

a a

Î

-tức là trạng thái f có (khối lượng)2 <0, có nghĩa là khối lượng ảo → tốc độ

lớn hơn vận tốc ánh sáng c Các trạng thái như vậy gọi là trạng thái tachyon

Từ trạng thái không kích thích ta xây dựng “trạng thái kích thích bậc k”

Và là trạng thái riêng của toán tử M2 ứng với giá trị riêng 0

1

2

k i i

2

k

i i

2 2

k k k

a

a

m m

m m

¥ -

=

¥ -

q k

0

m = - 2a trong trường hợp dây mở và 2

0

m = - 8a trong trường hợp dây đóng Như vậy khi a0>0 ( chẳng hạn a0=1 với dây boson) thì các trạng thái này có m2<0 và các hạt tương ứng được gọi là tachyon Tìm một cơ chế để loại trừ các tachyon về mặt lý thuyết

là một trong những vấn đề trọng tâm được nhiều người quan tâm

2.2 Phiếm hàm trường Dây

Để có thể mô tả các quá trình tương tác giữa các dây, trong đó có thể có

sự chuyển hóa các dây ta phải xây dựng lý thuyết trường dây và có thể hiểu như là lượng tử hóa dây lần thứ hai, thực chất chuyển từ trạng thái dây mô tả

bởi hàm sóng dây f sang phiếm hàm trường dây F C éë (t s , )ùû Có thể hiểu phiếm hàm trường dây như một tổ hợp vô hạn các trạng thái kích thích khả dĩ Biểu thức khai triển của phiếm hàm trường dây boson mở:

i

x r

n n n

i

x r

(2.17) trong đó ký hiệu:

=

= >

Từ (2.18) suy ra:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m m mu

¶ ¶

W gọi là toán tử Dalembert

Các phương trình này cho thấy rằng f( )x là trường vô hướng có

Xét sang phương trình L nF = 0 trong (2.16)

2

k k k

từ Phương trình sau (2.22) chỉ sự liên hệ giữa trường vmvà trường lmu

Cũng tương tự các phương trình L2F = 0,L3F = 0, cho ta các điều kiện liên hệ giữa các trường tương ứng với các mode kích thích cấp cao hơn trong phiếm hàm trường dây F C éë (t s , )ùû

2.3 Các trường vong Dây

Để xây dựng lý thuyết trường dây lượng tử một cách thuận tiện và hữu hiệu, người ta dùng hình thức luận tương tự như hình thức luận BRST

( Becchi- Rouet- Stora- Tyutin) trong lý thuyết đối xứng gauge thông thường, với sự đưa vào các trường vong dây, sử dụng tải nilpotent Q, Q2 = 0, xây dựng

từ các trường vong đó Các trường vong dây bao gồm: trường vector trên lá thế ca(t s , ) và trường tensor hạng 2 trên lá thế, bab(t s , ), đối xứng và không vết,

bab =bba , habbab = 0. (2.23) Chúng thỏa mãn phương trình Klein- Gordon không khối lượng trên lá thế:

( )

( )

, 0 , 0

c b

l l

n z in n n in n n in n n

t t

{ } { } { }

,0

, , 0, , 0.

Trên đây nói về trường vong cho dây mở

Trong trường hợp dây đóng ta cần thêm các trường vong c%a(t s , )và

( , )

b%ab t s , và các dao động tử vong c%n, b% n để phân biệt các mode chuyển động

phải và trái Các dao động tử c%n, b% n cũng tuân theo hệ thức giao hoán như (2.27), ngoài ra:

m m

và xem trong trường hợp nào thì các vi tử mới Ln tạo thành đại số không có

số hạng dị thường Giá trị a0 trong (2.31) đáp ứng điều này tương ứng với thông số được gọi là đoạn cắt Regge

Đại số gồm các hệ thức giao hoán này được gọi là đại số Virasoro dị thường

Số hạng không chứa vi tử: ( ) ( 2 )

1 12

Chính do có khả năng tạo đại số Virasoro không dị thường (2.33) với các giá trị thông số a0=1 và số chiều không-thời gian D=26 mà ta có thể xây

dựng tải Q nilpotent, cụ thể là:

0

1 : : 2

(phiếm hàm trường dây trong trường hợp dây mở)

được viết gộp lại dưới dạng đơn giản là:

2.4 Biến đổi gauge phiếm hàm trường Dây

Các phép biến đổi gauge phiếm hàm trường dây được định nghĩa là các phép biến đổi như sau:

x r

i

x r

i

x r

và Am( )x trong biểu thức khai triển:

0

0 ,

n n n

1

2 1

2

n n n

( ) { ( ) 1 ( ) ( ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( ) ) }

d F C éë t s ùû= ¶ l a- + ¶ l - x a- + (2.47) Mặt khác, từ (2.44) ta có:

CHƯƠNG 3: KHỐI LƯỢNG CÁC TRƯỜNG GAUGE

3.1 Biến đổi gauge khái quát

Như đã trình bày trong chương 1 về nguyên lý bất biến gauge Khi thay thế trong Lagrange tự do ¶mj( )x bằng Dmj( )x Kết quả dẫn đến Lagrangian tương tác của U(1) gauge sau đây:

Với trường vô hướng tích điện f( )x :

Bây giờ, chúng ta nghiên cứu về một cách mở rộng lý thuyết bất biến gauge Ý tưởng chủ đạo là đưa một hàm phụ thuộc không- thời gian vào phép biến đổi gauge, và theo một nghĩa nào đó có thể gọi là phép biến đổi gauge biến dạng hoặc biến đổi gauge khái quát

Cụ thể, bất biến gauge U(1) biến dạng

Dưới tác dụng của phép biến đổi điện tích trường j( )x ứng với hạt mang điện tích q một thông số U(1) và biến đổi theo quy luật:

j( )x ® j '( )x =e-iqw( )xj( )x (3.1) với w( )x là thông số của phép biến đổi gauge

Lúc này, các số hạng khối lượng trong Lagrangian (dạng j +( ) ( )x j x ) vẫn bất biến, nhưng các số hạng động năng (chứa đạo hàm theo x) không còn

bất biến nữa Để khôi phục lại tính bất biến của Lagrangian người ta tiến hành

như sau

Đưa vào trường vector Am( )x gọi là trường gauge, lập đạo hàm hiệp

biến theo công thức:

Chú ý rằng khi g x( )= 0 thì ta trở về biến đổi gauge thông thường

Thay thế trong Lagrangian tự do ¶mj( )x bằng Dmj( )x Kết quả cho ta

Lagrangian tự do cho trường j( )x cùng với Lagrangian tương tác giữa trường

( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m m

2

Lint(y , A =m) qe g x( ) y ( )x g ym ( )x Am( )x (3.7)

Như vậy, biến đổi gauge khái quát cũng cho phép xác định một cách đơn trị Lagrangian mô tả tương tác giữa trường vật chất mang điện và trường gauge Am một cách mở rộng hơn

Kết quả thu được trên có thể được khái quát thẳng đối với trường hợp gauge phi Abel

Giả sử ji( )x là một đa tuyến trường biến đổi theo quy luật:

=

hay: