Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón

Hà Nội,tháng 8 - 2014 Học viên Vũ Thị Hồng Nhung Lời cam đoan Luận văn tốt nghiệp: “Điểm bất động của toán tử h - cực trị tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón” được hoàn thà

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

Lời cảm ơn

Để hoàn thành luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầyhướng dẫn PGS.TS, GVCC Nguyễn Phụ Hy - người thầy đã trực tiếp hướngdẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô phòng Sau đại học Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2; các thầy, cô giáo dạy chuyên ngành toán giải tích đã tậntình giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và người thân vì đã luônủng hộ, động viên và tạo điều kiện cho em học tập, nghiên cứu, hoàn thànhluận văn

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội,tháng 8 - 2014

Học viên Vũ Thị Hồng Nhung

Lời cam đoan

Luận văn tốt nghiệp: “Điểm bất động của toán tử h - cực trị tác dụng

trong không gian Banach thực với hai nón” được hoàn thành dưới sự hướng

dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy giáo PGS.TS, GVCC Nguyễn Phụ Hy.Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không trùng vớibất kỳ kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác

Hà Nội,tháng 8 - 2014

Học viên Vũ Thị Hồng Nhung

Mục lục

1.1 Không gian Banach thực 8

1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 12

1.2.1 Định nghĩa nón và các tính chất 12

1.2.2 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực 18 1.2.3 Phần tử u0 - đo được và không gian EUữ 19

1.2.4 Phần tử thông ước và tập KUo 26

1.3 Không gian Lp(p > 1) nửa sắp thứ tự 28

1.3.1 Không gian tuyến tính thực Lp 28

1.3.2 Không gian Banach Lp 31

1.3.3 Quan hệ thứ tự trong không gian Lp 34

1.3.4 Phần tử u0 - đo được và không gian EUo trong không gian Lp 36

1.3.5 Phần tử thông ước và tập K(uq) trong không gian Lp 37

2 Toán tử h - cực trị trong không giãn Banach thực nửa sắp thứ tự với hai nón 38 2.1 Toán tử (К, Uq) - Lõm chính qui 38

2.1.1 Định nghĩa và tính chất đơn giản 38

2.1.2 Toán tử (К, Mo) - Lõm chính qui trong không gian Lp với hai nón 42

2.2 Toán tử h - cực trị 46

2.2.1 Định nghĩa và tính chất đơn giản 462.2.2 Toán tử h cực trị trong không gian Lp (p > 1) với

hai nón 50

52

3.1 Định lý 523.2 Ví dụ áp dụng 57

Năm 1956 nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnoxelxki đã nghiên cứu lớptoán tử phi tuyến: Toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực với mộtnón cố định Năm 1962 ông mở rộng cho toán tử lõm tác dụng trong khônggian Banach thực với hai nón cố định, trong đó một nón là tập con của nón kia[9]

Sau đó GS-TSKH I.A.Bkhatin đã mở rộng các kết quả trong công trình [9]

cho lớp toán tử phi tuyến (K , Mo) - lõm lần lượt tác dụng trong không gian

Banach thực với một nón cố định và trong không gian Banach thực với hai nón

cố định giao nhau khác rỗng [10]

Các lớp toán tử được các nhà bác học Kraxnoxelxki và Bakhtin nghiên cứu

đều có tính chất u 0 - đo được

mở rộng các kết quả đối với lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới:

được và toán tử tác dụng trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với mộtnón cố định [1,2,5,6]

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ sự giúp

đỡ, hướng dẫn tận tình của Thầy giáo, PGS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy, tôi đã

mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "Điểm bất động của toán tử h - cực trị tác

dụng trong không gian Banach thực với hai nón", trong đó toán tử được xét

vừa có tính chất (K , u 0 ) - lõm chính qui vừa có tính chất h - cực trị, còn trong

[7] toán tử được xét có tính chất lõm chính qui và h - cực trị tác dụng trong

không gian với một nón cố định

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về điểm bất động của toán tử h - cực

trị tác dụng trong không gian Banach với hai nón cố định, trong đó không yêu

cầu toán tử có tính chất Щ - đo được.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu về không gian Banach nửa sắp thứ tự.

- Tìm hiểu về toán tử h - cực trị trong không gian Banach nửa sắp thứ tự với

hai nón

- Tìm hiểu về sự tồn tại điểm bất động của toán tử h - cực trị trong không

gian Banach nửa sắp thứ tự với hai nón

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán tử

h - cực trị, điểm bất động của toán tử h - cực trị trong không gian Banach với

hai nón

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong nước và nước ngoài liên

quan đến điểm bất động của toán tử h - cực trị trong không gian Banach thực

với hai nón

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập tài liệu và các bài báo liên quan đến điểm bất động của toán tử h

-cực trị trong không gian Banach thực với hai nón

- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.

- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.

6 Những đóng góp của đề tài

Trình bày một hệ thống những kiến thức về không gian Banach nửa sắp thứ

tự, một số tính chất về điểm bất động và sự tồn tại điểm bất động của toán tử h

- cực trị trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với hai nón, các kết quả

thu được có thể mở rộng một số lớp toán tử khác Áp dụng các kết quả đạt

được trong không gian Banach thực tổng quát vào không gian Banach thực Lp

(p > 1) Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu cho những vấn đề toán học

tương tự khác

Chương 1

Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

Định nghĩa 1.1.1

các tiên đề sau:

C i : V x Ễ E , I I X Ị Ị > 0 , Ị Ị X 1 1 = 0 < = > X = 9

(9 là kí hiệu phần tử không của không gian E)\

C2 : Vx Ễ E, Va; € R, II ax 11= |a;| ỊỊ X II; c3:Vx , y e E,

Với bất kỳ X = ( x i , x 2 , x n ) £ Rn ta

đặt

=HI £ + y ||<|| £ II + II y II Va: = (x ị, x 2 , , x n ) e Rn, Vy = { y i, V 2 ,

•••,2/n) e R"

Vậy, công thức (1.1) là một chuẩn trên X.

Chuẩn (1.1) còn được gọi là chuẩn Eukleides, nên không gian tuyến tính

thực Rn cùng với chuẩn (1.1) thường được gọi là không gian Eukleides thực

Cho không gian định chuẩn E Dãy điểm {a;n}^°=1 c E gọi là dãy

cơ bản trong không gian E, nếu

Không gian Eukleides Rn, n > 2 là không gian Banach (đối với chuẩn

+) Trước hết, ta sẽ chứng minh sự hội tụ của một dãy điểm trong khônggian R tương đương với sự hội tụ theo tọa độ

Thật vậy, giả sử điểm X íci71^), ra = 1,2, hội tụ

tụ theo tọa độ tới điểm X = (X i , X 2 ,

■ ■ ■ , x n ) trong Rn Theo định nghĩa,

ỉ

=1,2,n

Do đó dãy điểm đã cho hội tụ theo chuẩn

của không gian Rn

Bây giờ ta sẽ chứng minh không gian

Rn là không gian Banach Thật vậy, giả

tỏ vớimỗi г

= 1,2, ,7Ìdãy(жг )

là dãysố

thựccơ

bản,nên

hông gian Bana

ch

thực nửa sắp thứ tự

1.2.1 Đ ịnh

nghĩa nón

và các tính chất Định nghĩa 1.2.1

G

iả sử

khônggianBanac

h thực,

tập

E.

Tậpcon к

đượcgọi lànón,nếutập к

thỏamãncácđiệukiệnsau

N ị' К

là tậpđóngtrongkhônggian

E\

N

2 :

Với

x , y

€

К

ta

có

£

K , a

G

R

+

t a

с

ổ a x

1 2 1

К

là

một

tập

lồi

C h ứ n g

m i n h

С

R có

—

t)y

£

K

Thật vậy bất đẳng thức thứ hai trong (1.2) nhận được từ tính bị chặn của F

Bất đẳng thức thứ nhất sẽ chứng minh như sau

Lấy một dãy bất kỳ {ип}£°=1 с к (F) sao cho

lim u n = и trong không gian E.

n—>OQ

2 3

1 „ „ 3 „ „

2 II ^ Ill'll 11 tji 11 |Ị< - Il w 11,nên từ (1.2) ta nhận được

Với mọi и, V thuộc K (F), a, ß £ R+ bất kỳ Giả sử и = t i Z i , v — t 2 z 2 , với

0 hoặc một trong hai số a, ß bằng 0 thì hiển nhiên

Giả sử tồn tại Щ G К (F) sao cho щ ф в và —Щ G к (F).

Khi đó щ = t\ z[ , trong đó t \ > 0, z [ € F và — u 0 = t’ 2 z ’ 2 , với t ’ 2 > 0,

z ’ 2 e F Do

в = и 0 + (-Mo) = t\ z[ + t’ 2 z ’ 2 = (* } z[ + ^ z ’ 2 ){t [ + v 2 ) <E К

(F).

trái với giả thiết F không chứa phần tử không.

Vậy K (F ) thỏa mãn điều kiện 4) về nón và ta có K (F ) là một nón trong E.\J

Ta sẽ chứng tỏ X e K Vì sự hội tụ trong không gian Rn tương dương với

Mặt khác —X = { —Xi )ị = 1 : trong đó —Xk < 0, nên —X ị K

Vậy từ các điều kiện đã chỉ ra ở trên ta kết luận K là một nón.n Định

nghĩa 1.2.2

Cho không gian Banach thực E với nón K Nón K gọi là nón đặc nếu

K chứa điểm trong.

Định nghĩa 1.2.3

Cho không gian Banach thực E với nón K Nón K gọi là nón chuẩn

tắc nếu 3Ố > 0 sao cho với ei, e2 ẽ K , II ei 11 = 11 e2 II = 1 thì II ei + e2

Tiếp theo ta chứng minh K là nón chuẩn tắc.

Vei,e2 € K , e 1 = { Xi )ị = 1 , e 2 = { y i )ị = i :|| ei 11 = 11 e2 11= 1

Khi đó

Ta CÓ

Vậy nón К là một nón chuẩn tắc.

1.2.2 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực

Giả sử E là không gian Banach thực, к là một nón trong không gian E Với

hai phần tử X , у e E ta viết X < y, nếu у — X G к.

Không gian Banach thực E cùng với quan hệ "<" gọi là một không

1.2.3 Phần tử Щ - đo được và không gian E U o

Định nghĩa 1.2.5

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón к с E, Щ là

nếu tồn tại hai số thực không âm t ị, t 2 sao cho — t ị U 0 < X < t 2 u 0 Định

Do К là tập đóng trong không gian E nên / 1 { K ) là tập đóng trong không gian

R Vì ta chỉ xét t > 0 nên 3 inf f ~ l { K ) = a và f ~ l { K ) đóng ^ а & Г \ К )

+) Với mọi X, y e E U o ta chứng minh X + y & E U ữ Do x , y

—tị U 0 < X < t 2 u 0 và — t 3 u ữ < y < Î4W0, (1-4)

từ đó ta có — (íi + t s ) u Q < X + y < ( Ỉ 2 + t ^ U Q

Vì vậy X + y <E E U o

+)Với Væ e E U ữ ,y A Ẽ Eta chứng minh Xx € E U ữ Do X e E U ữ nên tồn tại các

số thực dương ti , t 2 sao cho

— ( —X ) t i U 0 < ( — Ằ ) x < ( — X ) t 2 u 0 -ФФ- — (—X ) t 2 u 0 < Лж < (—X ) t i U ữ

Ta có:

inf(—Aí2) = —Ainfí2 = —

Từ inf(íi + í3) < t i + t 3 =>■ inf(íi + í3) < infil + infó3

Tương tự ta có: inf(í2 + tị ) < infỈ 2 + inftị

Đi ề u k i ện c ần : Giả sử K là nón chuẩn tắc, nhưng bất đẳng thức (1.6)

không xảy ra, nghĩa là (Vn £ N *) (3y n £ A'\{ớ}) (zhn € Ey ), sao cho

Điều này mâu thuẫn (1.8)

Vì vậy, nếu K là nón chuẩn tắc thì II X I IB< M II X llyll y IIE

35

Như thế tồn tại ỏ = — > 0 để Wx : y € :ỊỊ X 11 = 11 y 11= 1 thì II X + y ||> ổ.

Vậy K là một nón chuẩn.□

Định lý 1.2.9

Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự với nón K Nón K là nón

chuẩn tắc khi và chỉ khi chuẩn trên không gian E là nửa đơn điệu Chứng

Giả sử dãy (xn) là dãy cơ bản tùy ý trong không gian E U o theo u 0 - chuẩn,

nghĩa là với số dương c tùy ý tìm được số tự nhiên n ữ sao cho với Vn, m > n ữ

Do tính chất tùy ý của số dương c, dãy (xn) là dãy cơ bản trong không gian

Banach E , nên tồn tại phần tử X e E sao cho

lim II x n - X ||E = 0.

n—>00 Cho qua giới hạn trong hệ thức — cu 0 < x n — x m < c u 0 khi m —> oo ta

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K c E, x , y e E.

Phần tử X gọi là thông ước với phần tử y , nếu 3 a = a ( x ) > 0,

Điều đó chứng tỏ у thông ước với X □

+) Hai phần tử cùng thông ước với phần tử thứ ba thì thông ước với nhau

Thật vậy, giả sử X, y G E thông ước với z G E : Elcc, ß > о, Зсс’, ß’ > о sao cho

Vậy X thông ước với y □

Ký hiệu K (uữ) là tập tất cả các phần tử thuộc к thông ước với phần tử Щ G

7(y ) > 0, 3 ịi = n { y ) > 0 sao cho 7^0 < у < ựu ữ

1.3 Không gian Lp ( p > 1) nửa sắp thứ tự

1.3.1 Không gian tuyến tính thực Lp

í I—>■( — x ) ( t ) = — x ị t ) h.k.n trên [а;&],],

X =

X

-ò

x + y \ \ =

cùng với hai phép toán: cộng hai hàm số và nhân một số thực với một hàm

số là không gian tuyến tính thực

1.3.2 Không gian Banach Lp

ậy (1.10) thỏa mãn hệ tiên đề chuẩn Do đó (1.10) là một chuẩn Định lý