Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính

Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính

—————— ? ——————

NGUYỄN THỊ THUỶ

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Hà Nội-2014

—————— ? ——————

NGUYỄN THỊ THUỶ

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn Quang Huy

Hà Nội-2014

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Quang Huy người đã địnhhướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóaluận này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học,các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làmluận văn

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình vàbạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quátrình học tập để tôi hoàn thành bản khóa luận này

Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Thủy

Dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Quang Huy luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Tính ổn định nghiệmtrong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính” được hoàn thành bởi chính sự nhậnthức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựucủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Thủy

tính 20

3 Đặc trưng tính giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm trong

3.1 Một số kết quả bổ trợ 313.2 Tính giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm 36

Tài liệu tham khảo 45

Bảng kí hiệu và viết tắt

h·, ·i : Tích vô hướng trong Rn.int(A) : Phần trong của tập A

cl(A) : Bao đóng của tập A

co(A) : Bao lồi của tập A

cone(A) : Bao nón lồi của tập A

∂f (x) : Dưới vi phân của hàm f tại x

R : Tập hợp các số thực

Rn : Không gian thực n chiều

domA : Miền xác định hữu hiệu của A.gphF : Đồ thị của ánh xạ F

k.kn : Chuẩn Euclid trong không gian Rn

MT : Ma trận chuyển vị của ma trận M

ở đó, k.kk là Euclid trong Rk với k ∈ N.

Cho P := L[Rn, Rm] × C[T, R], trong đó P được cho bởi chuẩnk.k = k.kL + k.k∞ Với mỗi p := (A, b) ∈ L[Rn, Rm] × C[T, R] ta xétbài toán tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính

(LSV O)p : min

Rm≥

A x , x ∈ C(p),

ở đó, C(p) = {x ∈ Rn | hB(t), xi ≤ b(t), t ∈ T }, B : T → Rn là ánh xạliên tục, Rm≥ = {x = (x1, xm) ∈ Rm | xk ≥ 0 ∀k = 1, , m} là orthantkhông âm của Rm và ký hiệu h., i là tích vô hướng trong Rn

Trong trường hợp T là tập hữu hạn phần tử, Naccache [24] đã thiếtlập các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới củaánh xạ nghiệm Pareto của bài toán tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tínhdưới nhiễu liên tục chỉ có ở vế phải của miền ràng buộc Dưới nhiễu tuyếntính của tập ràng buộc và hàm mục tiêu là hàm đồng nhất, Davidson[13] đã thiết lập điều kiện đủ cho tính liên tục Lipschitz của ánh xạ điểmcực biên tối ưu Pareto (giao của tập nghiệm Pareto và tập các điểm biêncủa miền ràng buộc) Trong [10], các tác giả đã thiết lập các điều kiện

đủ cho tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của bài toán tối ưuvectơ nửa vô hạn tổng quát dưới các nhiễu hàm của cả hàm mục tiêu vàmiền ràng buộc.

Gần đây, các điều kiện đủ cho tính giả Lipschitz của ánh xạ nghiệmPareto dưới nhiễu vế phải của các ràng buộc và nhiễu tuyến tính củahàm mục tiêu đã được trình bày trong [11] Một câu hỏi mở trong [11]

về điều kiện đặt trên hai vectơ vô hướng của một nghiệm vô hướng bởihai vectơ này dường như là không cần thiết Với mong muốn tìm đượccâu trả lời cho câu hỏi này và tìm hiểu về lý thuyết tối ưu vectơ tuyếntính nên tôi đã chọn đề tài: "Tính ổn định nghiệm trong tối ưu

đa mục tiêu tuyến tính" cho nghiên cứu của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về lý thuyết tối ưu vectơ tuyến tính, cụ thể là sự tồn tại,cấu trúc nghiệm, phương pháp đơn hình và tính ổn định của ánh xạnghiệm trong trường hợp đặc biệt tập T chỉ có hữu hạn phần tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về sự tồn tại, cấu trúc nghiệm, phương pháp đơn hình

và tính giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Lý thuyết tối ưu vectơ tuyến tính, tối ưu có tham số, sự tồn tạinghiệm, phương pháp giải và tính ổn định nghiệm

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu trong đại số tuyến tính, giảitích đa trị, giải tích lồi và lý thuyết tối ưu

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Trình bày tổng quan về tối ưu vectơ tuyến tính, cụ thể là sự tồntại nghiệm, phương pháp giải và tính ổn định nghiệm

Chương 1

Sự tồn tại và cấu trúc nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính

Trước tiên, ta định nghĩa một số tập con của Rn như sau

i) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu của A nếu @x ∈ A sao cho

x x

Tập các điểm hữu hiệu của A ký hiệu là E(A)

ii) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu yếu của A nếu @x ∈ A sao

⇔ A ∩ (x − Rn>) = ∅.

Cho X = {x ∈ Rn : Ax ≤ b} là một đa diện lồi mà ở đó A là ma trậncấp m × n, b ∈ Rm và hàm vectơ f : Rn → Rm, f (x) = (f1(x), , fm(x)).Xét bài toán:

Tập hợp các nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (P ) ký hiệu là SW(X, f ).Nhận xét 1.1.2

i) x ∈ S(X, f ) ⇔ f (x) ∈ E(f (X))

ii) x ∈ SW(X, f ) ⇔ f (x) ∈ EW(f (X))

Định nghĩa 1.2.1 Cho B ⊆ Rn, B 6= ∅, B được gọi là liên thôngđoạn nếu ∀a, b ∈ B, có hữu hạn điểm thuộc B: b0 = a, b1, , bl+1 = b

sao cho các đoạn [bi, bi+1], i = 0, l chứa trong B.

Xét bài toán (P ) mà ở đó f là hàm tuyến tính từ X vào Rm

Định lý 1.2.1 Cho X là đa diện lồi trong Rn Khi đó

i) Nếu ∃x0 ∈ Rn sao cho (x0 − Rn≥) ∩ X là tập compact khác rỗng thìE(X) 6= ∅ Do đó, EW(X) 6= ∅

ii) Nếu E(X) và EW(X) là các tập khác rỗng thì chúng là hợp của một

số mặt của X Do đó, E(X) và EW(X) là liên thông đoạn

Chứng minh

i) Ta đặt S = ( x0 − Rn

≥) ∩ X

Ta sẽ chứng minh E(S) ⊂ E(X) và E(S) 6= ∅ để dẫn đến E(X) 6= ∅

• Lấy x ∈ E(S), giả sử rằng x /∈ E(X) Khi đó, ∃x ∈ X sao cho

Phần hai của định lý có thể thu được từ khẳng định đầu tiên và từcác kết quả tính liên thông của phần tiếp theo liên quan tới các tập lồi.Cho X1, , Xk tương ứng là các mặt mở của X, đôi một không giao nhau

và hợp của chúng là E(X) Lấy ai ∈ Xi và xét các nón lồi đóng

nó thuộc E(X) Do đó, có i sao cho Xi ⊆ S(X, f )

Nghĩa là, f ∈ C∗(ai) Bây giờ, cho a, b ∈ E(X) mà a ∈ Xi, b ∈ Xjvới i , j ∈ { 1, , k} Ta phải biểu diễn rằng có b0, , bl+1 ∈ E(X) sao

[a, ai(1)] ⊆ S(X, f1) ⊆ E(X) (1.11)Tương tự,

[ai(l), b] ⊆ S(X, fl) ⊆ E(X) (1.12)Đặt b0 = a , br = ai(r), bl+1 = b , r = 1, l và sử dụng (1.10), (1.11), (1.12)

ta được (1.8) Dẫn tới E(X) liên thông đoạn

Với EW(X) chứng minh tương tự

X = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0}.

Xác định bởi ma trận ràng buộc A cấp m × n và vectơ b ∈ Rm Điểm

x ∈ X được gọi là nghiệm chấp nhận được (hay phương án chấp nhậnđược) Tập chấp nhận được trong không gian mục tiêu là

Y = CX = {Cx : x ∈ X}

Đặt

Xk = {ˆx ∈ X : cTkx ≤ cˆ Tkx, ∀x ∈ X}

là tập nghiệm tối ưu của LP với hàm mục tiêu thứ k.

Định lý 2.1.1 Cho ˆx ∈ X là nghiệm tối ưu của bài toán (2.2) Khi đó

x là nghiệm hữu hiệu yếu

2 Nếu λ > 0 thì ˆx là nghiệm hữu hiệu

2 Giả sử ˆx không là nghiệm hữu hiệu của M OLP (2.1) Khi đó, ∃x ∈ Xsao cho

Ta ký hiệu U := { u ∈ Rm : AT u ≤ c} là tập chấp nhận được của bàitoán đối ngẫu (2.4) Mối quan hệ giữa bài toán gốc (2.3) và bài toán đốingẫu (2.4) được phát biểu ở định lý 2.1.2.

Định lý 2.1.2

1 (Đối ngẫu yếu) Cho x ∈ X và u ∈ U là các phương án chấp nhậnđược của (2.3) và (2.4) Khi đó,

bT u ≤ cT x

2 Nếu (2.3) không bị chặn thì (2.4) không thực hiện được và ngược lại

3 Có thể cả hai bài toán (2.3) và (2.4) đều không thực hiện được

Chứng minh Cho (x, z) ∈ X × Rp≥ là một phương án chấp nhậnđược của (2.5) Khi đó, C x + I z = C x0 và do đó, z = C x0− C x ≥ 0

Nếu ˆx trong nghiệm tối ưu (ˆx, ˆz) là nghiệm hữu hiệu thì @x ∈ X saocho C x C ˆx nên phải có ˆz = 0 Mặt khác, nếu ˆx không là hữu hiệuthì phải có x ∈ X sao cho: Cx Cx0.

Nhưng khi đó tồn tại z mà có zk > 0 (do z = Cx0

thuẫn với tính tối ưu của (ˆx, 0)

Bổ đề 2.1.2 Phương án chấp nhận được x0 ∈ X là nghiệm hữu hiệunếu và chỉ nếu bài toán tuyến tính

có một nghiệm tối ưu (ˆu, ˆω) với ˆuTb + ˆωT C x0 = 0

Chứng minh Chú ý rằng (2.6) là đối ngẫu của (2.5) Do đó (ˆx, ˆz) làmột nghiệm tối ưu của LP (2.5) nếu và chỉ nếu LP (2.6) có nghiệm tối

ưu (ˆu, ˆω) sao cho

eT z = ˆˆ uTb + ˆωT C x0 = 0

Với bổ đề 2.1.2 ta có thể chứng minh rằng tất cả các nghiệm hữuhiệu của M OLP (2.1) có thể tìm được bằng việc giải LP tổng trọng(2.2) Trong chứng minh, ta xét một nghiệm hữu hiệu x0 và xây dựngmột vectơ trọng thích hợp λ ∈ Rp> sao cho x0 là một nghiệm hữu hiệucủa bài toán tổng trọng LP (λ)(2.2)

Định lý 2.1.3 <Isermann (1974)>

Một phương án chấp nhận được x0 ∈ X là một nghiệm hữu hiệu của(2.1) nếu và chỉ nếu tồn tại λ ∈ Rp> để

mà x0 là một nghiệm tối ưu của (2.10) Ta chú ý rằng (2.10) là tươngđương với

Mệnh đề 2.1.4 Cho x0 ∈ X Khi đó, (2.5) là thực hiện được và cócác phát biểu sau

1 Nếu (ˆx, ˆz) là một nghiệm tối ưu của (2.5) thì ˆx là một nghiệm hữuhiệu của (2.1)

về bài toán tuyến tính như [14]

Xét bài toán tối ưu tuyến tính đơn trị

min {cT x : A x = b , x ≥ 0} (2.11)

ở đó, c ∈ Rn và A là ma trận cấp m × n Ta giả thiết rank A = m và

b ≥ 0

Ma trận con AB cấp m × m của A được gọi là ma trận cơ sở, ở đó B

là tập các chỉ số cột của A xác định AB, B được gọi là một cơ sở Cho

N : = {1, , n} \ B là tập các chỉ số cột phi cơ sở Biến xi và chỉ số iđược gọi là biến cơ sở và chỉ số cơ sở nếu i ∈ B, ngược lại là phi cơ sở.Với khái niệm cơ sở, có thể tách A, c và x thành các phần cơ sở vàphi cơ sở, sử dụng B và N là tập các chỉ số, nghĩa là, A = (AB, AN);

cT = (cTB, cTN) và x = (xTB, xTN) Ta viết A x = b dưới dạng

(AB, AN) (xTB, xTN)T = b

Do AB khả nghịch nên

xB = A−1B ( b − AN xN) (2.12)

Cho xN = 0 trong (2.12) ta được xB = A−1B b ; (xB, 0) được gọi lànghiệm cơ sở của LP (2.11) Nếu xB ≥ 0 thì nó được gọi là một nghiệm

cơ sở chấp nhận được (ký hiệu BF S) Cơ sở B cũng được gọi là cơ sởchấp nhận được

Ta có thể tính hàm mục tiêu như sau

cTB, cTN
xTB, xTN
T = cTBxB + cTNxN

= cTBA−1B b + cTN − cT

BA−1B AN
xN (2.13)Vectơ cT = cT − cT

BA−1B A được gọi là vectơ giá thu gọn Chú ý rằng

c = (cB, cN) thì cB = 0

Cho (xB, 0) là nghiệm cơ sở chấp nhận được Từ (2.13) thấy rằng có

s ∈ N sao cho cs < 0 thì giá trị của cT x giảm khi xs tăng từ 0 Đặt

B0 = (B \ {r}) ∪ { s } Xác định nghiệm cơ sở, chấp nhận được (xB0, 0)với giá trị mục tiêu tốt hơn (xB, 0) miễn là ˜bj > 0 mà ta sẽ giả thiếtcho bây giờ

Mặt khác, nếu ˜br = 0, nghĩa là xr = 0, cơ sở mới sẽ có xs = 0.Thực tế, tất cả các cơ sở xác định cùng một BF S Các cơ sở chứa mộtbiến có giá trị 0 được gọi là suy biến Ở đó, thuật toán đơn hình lặp lạigiữa một dãy các cơ sở suy biến mà không chấm dứt Quy luật để tránh

điều này có thể tham khảo ở các sách viết về bài toán tuyến tính Từbây giờ ta sẽ giả sử rằng LP mà ta xét là không suy biến.

Bổ đề 2.2.1 Cho LP không suy biến và cho B là một cơ sở tối ưu Khi

đó, ¯cN ≥ 0

Dưới đây ta sử dụng bảng ký hiệu cho thuật toán đơn hình Một bảngđơn hình tổng hợp các thông tin trong bất kỳ bước lặp nào của thuậttoán

BxB

Một bước lặp bao gồm sự xác định của biến vào và biến ra, xs và

xr và sự cập nhật của ˜A và ˜b Đây được gọi là một bước trục và đượclàm bởi sự khử Gauss để chuyển đổi cột s của ˜A thành cột đơn vị với

LP (2.16) luôn luôn thực hiện được và (x, z) = (0, b) là một nghiệm cơ

sở chấp nhận được, bởi vì b ≥ 0 theo giả thiết tổng quát

Mệnh đề 2.2.2 LP (2.11) là thực hiện được (nghĩa là, X 6= ∅) nếu vàchỉ nếu LP phụ (2.16) có một nghiệm tối ưu (ˆx, ˆz) với ˆz = 0

2.3 Phương pháp đơn hình cho bài toán đa mục

Ta ký hiệu C = C − CBA−1B A là ma trận thu gọn đối với cơ sở B và

R := ¯CN là phần phi cơ sở của ma trận thu gọn Chú ý rằng ¯CB = 0.Các kết quả ở phần này tương tự như các kết quả đã biết về bài toántuyến tính hoặc mở rộng để giải quyết sự phức tạp của bài toán đa mụctiêu so với bài toán tuyến tính đơn trị

Bổ đề 2.3.1 Nếu S(X , C x) 6= ∅ thì Xcó nghiệm cơ sở chấp nhận được

là nghiệm hữu hiệu

Chứng minh Do Định lý 2.1.3, tồn tại λ ∈ Rp> sao cho min

x ∈ X λT C x

có một nghiệm tối ưu Từ Định lý 2.2.1, LP (λ) : min

x ∈ X λT C x có mộtnghiệm cơ sở chấp nhận được là nghiệm tối ưu, cũng chính là nghiệmhữu hiệu của M OLP (2.17) do Định lý 2.1.1

Định nghĩa 2.3.1 Một cơ sở chấp nhận được B được gọi là cơ sở hữuhiệu nếu B là một cơ sở tối ưu của LP (λ) với λ ∈ Rp>

Ta nói rằng một trục là trục chấp nhận được nếu nghiệm thu đượcsau bước trục là chấp nhận được, ngay cả khi phần tử trục ˜Ars < 0.Định nghĩa 2.3.2 Hai cơ sở B và ˆB được gọi là liên kết nếu cái nàythu được từ cái kia bởi một bước trục riêng lẻ

Định nghĩa 2.3.3.

1 Cho B là một cơ sở hữu hiệu Biến xj, j ∈ N được gọi là biến phi

cơ sở hữu hiệu tại cơ sở B nếu tồn tại λ ∈ Rp> sao cho λT R ≥ 0 và

λT rj = 0, ở đó rj là cột của R tương ứng với biến xj

2 Cho B là một cơ sở hữu hiệu và cho xj là một biến phi cơ sở hữuhiệu Khi đó, một trục chấp nhận được từ B với xj vào cơ sở được gọi

là một trục hữu hiệu đối với B và xj Hệ λT R ≥ 0, λT rj = 0 là dạngtổng quát của các phương trình mà ta sử dụng để tính λ trong bài toántuyến tính tham số

Mệnh đề 2.3.1 Cho B là một cơ sở hữu hiệu Ở đó, tồn tại một biếnphi cơ sở hữu hiệu tại cơ sở B

Chứng minh Do B là cơ sở hữu hiệu nên ∃ λ > 0 sao cho λT R ≥ 0

Do đó, ta có

L := { λ > 0 : λT R ≥ 0} 6= ∅

Ta phải chỉ ra rằng tồn tại λ ∈ L và j ∈ N sao cho λT rj = 0

Trước tiên, ta nhận thấy rằng không có cột r của R sao cho r 0.Phải có ít nhất một cột với các phần tử dương và âm do giả thiết tổngquát ∩p

k=1Xk = ∅ Cho λ∗ ∈ L Trong trường hợp riêng, λ∗T ≥ 0 Cho

λ0 ∈ Rp> sao cho I := { i ∈ N : λ0Trj < 0} 6= ∅ Do R chứa ít nhấtmột cột có phần tử âm nên λ0 phải tồn tại

với t∗ := max{ ti : i ∈ I} ta có φi(t∗) ≥ 0 và φi(t∗) = 0 với mỗi

i ∈ I Do đó

ˆ

λ := t.λ∗ + (1 − t).λ0 ∈ LĐịnh lý đã được chứng minh

Bổ đề 2.3.2 Cho B là một cơ sở hữu hiệu và xj là một biến phi cơ sởhữu hiệu Khi đó, bất kì một bước trục hữu hiệu nào từ cơ sở B đều dẫnđến một cơ sở hữu hiệu liên kết ˆB

Chứng minh Cho xj là biến vào ở cơ sở B Do xj là một biến phi cơ sởhữu hiệu, ta có λ ∈ Rp> mà λT R ≥ 0 và λT rj = 0 Do đó, xj là mộtbiến phi cơ sở hữu hiệu với giá thu gọn 0 trong LP (λ) Nghĩa là, cácvectơ giá thu gọn của LP (λ) không thay đổi sau một bước trục với biếnvào xj Cho ˆB là cơ sở thu được với bước trục chấp nhận được và biếnvào xj Khi đó, λT R ≥ 0 và λT rj = 0 ở cơ sở ˆB, nghĩa là, ˆB là một

cơ sở tối ưu của LP (λ) và do đó, ˆB là một cơ sở hữu hiệu liên kết củaB

Ta cần kiểm tra một biến phi cơ sở ở một cơ sở hữu hiệu là hữuhiệu Điều này có thể được làm nhờ việc thực hiện một bước kiểm tratrong giải một LP

Định lý 2.3.2 <Evans và Steuer (1973)>

Cho B là một cơ sở hữu hiệu và cho xj là một biến phi cơ sở Biến

xj là một biến phi cơ sở hữu hiệu nếu và chỉ nếu LP :

Chứng minh Do định nghĩa 2.3.3, xj là một biến phi cơ sở hữu hiệu nên

(

R z − rjδ + Iv = 0

z , δ, v ≥ 0

mà là (2.19)

Chú ý rằng (2.19) luôn luôn thực hiện được do (z, δ, v) = 0 có thểđược chọn Chứng minh ở định lý 2.3.2 cũng dẫn đến (2.19) có nghiệmtối ưu với v = 0 (giá trị mục tiêu của (2.20) là 0) hoặc không bị chặn.

để xác định tất cả các cơ sở hữu hiệu, nghĩa là, ta muốn di chuyển từ

cơ sở hữu hiệu này đến cơ sở hữu hiệu khác Do đó, ta phải chứng minhrằng việc di chuyển thực sự có thể dẫn tới các cơ sở hữu hiệu liên kết.Định nghĩa 2.3.4 Hai cơ sở hữu hiệu B và ˆB được gọi là liên kết nếucái này có được từ cái kia bởi việc thực hiện các bước trục hữu hiệu

Ta chứng minh rằng tất cả các cơ sở hữu hiệu đều liên kết bởi việc

sử dụng bài toán tham số

Định lý 2.3.3 <Steuer (1985)>

Tất cả các cơ sở hữu hiệu đều liên kết với nhau

Chứng minh Cho B và ˆB là hai cơ sở hữu hiệu Cho λ, ˆλ ∈ Rp> là cácvectơ trọng dương với B và ˆB là các cơ sở tối ưu của LP (λ) và LP (ˆλ)

Ta xét LP tham số với hàm mục tiêu

C(Φ) = ΦˆλTC + (1 − Φ) λTC (2.23)với Φ ∈ [0, 1]

Cho ˆB là cơ sở đầu tiên (với Φ = 1) Sau một số bài toán tham số vàcác trục tối ưu, ta nhận được một cơ sở ˜B mà là cơ sở tối ưu của LP (λ)

là tập nghiệm tối ưu LP với hàm mục tiêu thứ k.

Định lý 2.1.1 Cho ˆx ∈ X nghiệm tối ưu tốn (2.2) Khi

x nghiệm hữu hiệu yếu

2 Nếu λ > ˆx nghiệm hữu hiệu