Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger

Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN HƯƠNG GIANG

MỘT ƯỚC LƯỢNG VỀ SỐ CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG THEO CHUẨN SCHATTEN VÀ ÁP DỤNG

VÀO TOÁN TỬ SCHRÖDINGER

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS TẠ NGỌC TRÍ

HÀ NỘI, 2014

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Tạ Ngọc Trí, người đã giúp

đỡ tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trongquá trình học tập để hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 8 năm 2014

Nguyễn Hương Giang

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí, luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một ước lượng về sốcác giá trị riêng theo chuẩn Schatten và áp dụng vào toán tửSchr¨odinger” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 8 năm 2014

Nguyễn Hương Giang

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Không gian Banach 4

1.2 Không gian Hilbert 5

1.3 Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert 7

1.4 Toán tử tuyến tính bị chặn 7

1.5 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn 13

1.6 Toán tử tuyến tính không bị chặn 16

1.7 Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn 19

Chương 2 Toán tử Schr¨odinger 24

2.1 Định nghĩa và tính chất 24

2.1.1 Phép biển đổi Fourier 24

2.1.2 Toán tử Schr¨odinger tự do 28

2.2 Phổ của toán tử Schr¨odinger trong một số trường hợp 31

2.2.1 Toán tử Schr¨odinger dạng H0 + V 31

2.2.2 Toán tử Schr¨odinger dạng −∆ − λ |x| . 32

2.2.3 Toán tử Schr¨odinger dạng − N P j=1 ∆j + N P j<k Vj,k(xj − xk) 36

Schatten và áp dụng vào toán tử Schr¨odinger 46

3.1 Bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn vết trên nửa nhóm sai phân 47

3.2 Bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn Hilbert-Schmidt trên nửa nhóm sai phân 55

3.3 Áp dụng vào toán tử Schr¨odinger 60

Kết luận 69

Tài liệu tham khảo 70

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Nghiên cứu về phổ của toán tử Schr¨odinger đã và đang thu hút được sựquan tâm của nhiều nhà toán học Việc nghiên cứu này sử dụng nhiềukết quả khác nhau trong giải tích hàm và lý thuyết phổ

Luận văn này tìm hiểu bài toán như sau: Giả sử A là một toán tử tựliên hợp với phổ không âm, giả sử B là một toán tử tự liên hợp khác saocho hiệu của các Dt = etA− etB là các toán tử thuộc lớp vết Vấn đề ởđây là đi xác định cận trên của số các giá trị riêng âm của toán tử tựliên hợp B dưới dạng chuẩn Schatten của Dt Khi có được các ước lượngvới cận trên đó chúng ta có thể nghiên cứu trường hợp khi mà A = −∆

và B = −∆ + V hay nói cách khác cận trên của các ước lượng về số cácgiá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết phổ, đặc biệt là về bấtđẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn Schatten, cùng với sự giúp đỡtận tình của TS Tạ Ngọc Trí tôi đã chọn nghiên cứu đề tài:

“Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn Schatten và

áp dụng vào toán tử Schr¨odinger”

Nội dung của các nghiên cứu trên cũng là nội dung chính được trình bàytrong bài báo: [5] Michael Demuth and Guy Katriel (2008), “EigenvalueInequalities in Terms of Shatten Norm Bounds on Differences of Semi-groups, and Application to Schr¨odinger Operators”, Ann Henri Poincaré

Schat-3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Trình bày các định nghĩa, các ví dụ cụ thể về toán tử Schr¨odinger,phổ của toán tử Schr¨odinger

• Chỉ ra một số các kết quả liên quan đến phổ của toán tử Schr¨odinger

• Phát biểu và chứng minh các bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạngchuẩn Schatten

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Toán tử Schr¨odinger, phổ của toán tử Schr¨odinger

và các bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn Schatten

• Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo liên quan tới toán

tử Schr¨odinger, phổ của toán tử Schr¨odinger, một số bất đẳng thứcgiá trị riêng dưới dạng chuẩn Schatten

5 Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếpcận vấn đề

• Sử dụng các kiến thức trong lý thuyết phổ, lý thuyết toán tử, toán

tử tuyến tính bị chặn, toán tử trong không gian Hilbert; đại sốBanach

6 Dự kiến đóng góp

• Nêu các định nghĩa, ví dụ về toán tử Schr¨odinger và phổ của toán

tử Schr¨odinger

• Chỉ ra các kết quả liên quan đến phổ của toán tử Schr¨odinger

• Các bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn Schatten và ápdụng vào toán tử Schr¨odinger

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một không gian vectơ trên trường số K(K = R hoặc K = C) Một ánh xạ p : X → R được gọi là một chuẩntrên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

(i) p(x) ≥ 0 với mọi x ∈ X;

p(x) = 0 ⇔ x = θ (θ là kí hiệu phần tử không trong X);

(ii) p(λx) = |λ| p(x) với mọi số λ ∈ K và mọi x ∈ X;

(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ X

Số p(x) được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x, thông thường ta kíhiệu kxk thay cho p(x)

Không gian vectơ X cùng với chuẩn k·k trong nó được gọi là một khônggian định chuẩn, kí hiệu (X, k·k)

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử X là không gian định chuẩn Với mọi x, y ∈ X,đặt

ρ(x, y) = k(x − y)k Khi đó, ρ là một metric trên X

Định nghĩa 1.1.3 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi

là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach

1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2.1 Cho H là một không gian vectơ trên trường số C(gọi tắt là không gian vectơ phức)

Ánh xạ

H × H → C(x, y) 7→ hx, yiđược gọi là một tích vô hướng trên H nếu nó thỏa mãn các điều kiệnsau:

(i) hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈H;

hx, xi = 0 ⇔ x = θ ( θ là kí hiệu phần tử không trong H );

(ii) hy, xi = hx, yi với mọi x, y ∈ H;

(iii) hx + x0, yi = hx, yi + hx0, yi với mọi x, x0, y ∈ H;

(iv) hλx, yi = λ hx, yi với mọi x ∈ H, mọi số λ ∈ C

Các phần tử x, x0, y gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số hx, yi gọi

là tích vô hướng của hai nhân tử x và y

Định nghĩa 1.2.2 Cho H là một không gian vectơ trên trường số C.Ánh xạ B : H × H → C được gọi là một dạng tuyến tính rưỡi nếuB(x0, ·) là tuyến tính, B(·, y0) là liên hợp tuyến tính:

Cho H là không gian tiền Hilbert Với mỗi x ∈ H, ta đặt kxk = phx, xi.Khi đó, ta có bất đẳng thức (Cauchy–Schwarz)

|hx, yi| ≤ kxk kyk , ∀x, y ∈ H

Từ bất đẳng thức trên ta suy ra kết quả sau

Mệnh đề 1.2.4 Mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian địnhchuẩn, với chuẩn

Từ đây trở đi, H sẽ luôn hiểu là không gian Hilbert

1.3 Toán tử tự liên hợp trong không gian HilbertĐịnh nghĩa 1.3.1 Cho H và K là các không gian Hilbert trên K, kí hiệuB(H, K) là tập các toán tử bị chặn trên H và K, toán tử A ∈ B(H, K).Khi đó tồn tại duy nhất toán tử A∗ ∈ B(H, K) sao cho hAh, kiK =

với mọi x, y ∈ X và α, β ∈ K.

Ta nói rằng ánh xạ tuyến tính T là một toán tử tuyến tính bị chặn nếutồn tại hằng số C > 0 sao cho

kT xkY ≤ CkxkXvới mọi x ∈ X

Số C nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên được gọi là chuẩn của T ,

kí hiệu là kT k Do đó,

kT k = sup

kxkX=1

kT xkY.Khi X = Y thì T gọi là toán tử trên X Khi Y = K thì toán tử tuyếntính T được gọi là phiếm hàm tuyến tính

Mệnh đề 1.4.2 Cho T là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn

X vào không gian định chuẩn Y Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương(i) T bị chặn;

(ii) T liên tục;

(iii) T liên tục tại điểm gốc θ

Định nghĩa 1.4.3 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Ta kí hiệuL(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Xvào không gian Y Xét A, B là hai toán tử thuộc L(X, Y ), khi đó ta đưavào L(X, Y ) hai phép toán

• Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là một toán tử, kí hiệu là

A + B và được xác định bởi biểu thức

(A + B)(x) = Ax + Bx với mọi x ∈ X;

• Tích vô hướng của α ∈ C với toán tử A ∈ L(X, Y ) là một toán tử,

kí hiệu là αA và được xác định bởi biểu thức

(αA)(x) = α(Ax)

Dễ dàng kiểm tra được rằng A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và haiphép toán trên thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ Khi đó, tậpL(X, Y ) trở thành một không gian vectơ trên trường C Trong trườnghợp Y = C thì L(X, C) được gọi là không gian liên hợp của X, kí hiệu

là X∗ Nếu Y = X thì L(X, Y ) được kí hiệu gọn lại là L(X)

Chuẩn T trong L(X, Y ) được xác định bởi

kT k = sup

x6=θ

kT xkYkxkX , x ∈ X.

Không gian L(X, Y ) với chuẩn vừa nêu là một không gian định chuẩn

Từ định nghĩa trên dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất

(i) kT xk ≤ kT k kxk với mọi x ∈ X;

(ii) Với mọi ε > 0, tồn tại xε ∈ X : kT k − ε < kT xεk

Mệnh đề 1.4.4 Nếu Y là đầy đủ thì L(X, Y ) là không gian Banach

Từ mệnh đề trên suy ra X∗ luôn là không gian Banach (vì C là khônggian đầy đủ)

Định lý 1.4.5 ([9], Theorem VI.1, tr 184) Kí hiệu L(H) là tập cáctoán tử bị chặn trên không gian Hilbert H Cho Tn là một dãy các toán

tử bị chặn và giả sử (Tnx, y) hội tụ khi n → ∞ với mọi x, y ∈ H Khi

đó tồn tại T ∈ L(H) sao cho Tn

w

−→ T (hội tụ yếu)

Nếu một dãy các toán tử Tn trên không gian Hilbert có tính chất Tnxhội tụ với mọi x ∈H, khi đó tồn tại T ∈ L(H) sao cho Tn

s

−→ T (hội tụmạnh)

Cho T ∈ L(X, Y ) Tập các vectơ x ∈ X sao cho T x = 0 được gọi lànhân của T , kí hiệu là Ker(T ) = {x ∈ X| T x = 0} Tập các vectơ y ∈ Ysao cho y = T x với x ∈ X được gọi là miền giá trị của T , kí hiệu làRan(T ) = {y = T x| x ∈ X} Ta có Ker(T ) và Ran(T ) là các không giancon

Định nghĩa 1.4.6 Cho X và Y là hai không gian Banach, T là toán

tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y Toán tử liên hợp (trong không gianBanach) của T , kí hiệu là T0, là toán tử tuyến tính bị chặn từ Y∗ tới X∗được cho bởi công thức

(T0`)(x) = `(T x)với ∀` ∈ Y∗, x ∈ X

Định lý 1.4.7 ([9], Theorem VI.2, tr 186) Cho X, Y là hai không gianBanach Ánh xạ T → T0 là một phép đẳng cấu đẳng cự của L(X, Y ) vàoL(Y∗, X∗)

Đặc biệt, T là phép biến đổi tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert Hvào chính nó Khi đó liên hợp không gian Banach của T là ánh xạ từ H∗

tới H∗ Cho C : H → H∗ là ánh xạ ứng với mỗi y ∈ H, là phiếm hàmtuyến tính bị chặn (y, ·) trong H∗ Xét C là một phép đẳng cự tuyếntính liên hợp và toàn ánh Ta định nghĩa ánh xạ T∗ : H → H bởi côngthức

T∗ = C−1T0C

Khi đó T∗ thỏa mãn

(x, T y) = (Cx)(T y) = (T0Cx)(y) = (C−1T0Cx, y) = (T∗x, y)

T∗ được gọi là liên hợp (trong không gian Hilbert) của T nhưng chúng

ta thường gọi là liên hợp và kí hiệu là T∗ để phân biệt với T0 Chú ýrằng ánh xạ T → T∗ là tuyến tính liên hợp nghĩa là αT → αT∗, do C làtuyến tính liên hợp

Định lý 1.4.8 ([9], Theorem VI.3, tr 186) Cho L(H) là tập tất cả cáctoán tử tuyến tính bị chặn trên H Với mọi T, S ∈ L(H) ta có

(a) T → T∗ là phép đẳng cấu đẳng cự tuyến tính liên hợp từ L(H) lênL(H);

(b) (T S)∗ = S∗T∗;

(c) (T∗)∗ = T ;

(d) Nếu T có toán tử ngược bị chặn T−1 thì T∗ có toán tử ngược bị chặn

và (T∗)−1 = (T−1)∗;

(e) Ánh xạ T → T∗ luôn liên tục trong tôpô toán tử yếu và đều nhưng

nó chỉ liên tục trong tôpô toán tử mạnh nếu H là hữu hạn chiều;(f) kT∗T k = kT k2

Định nghĩa 1.4.9 Toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert đượcgọi là tự liên hợp nếu T = T∗

Định nghĩa 1.4.10 Nếu P ∈ L(H) và P2 = P thì P được gọi là mộtphép chiếu Nếu thêm điều kiện P = P∗ thì P được gọi là phép chiếutrực giao

Định nghĩa 1.4.11 Cho X là không gian Banach, L(X) tà tập cáctoán tử tuyến tính bị chặn trên X Toán tử A ∈ L(X) được gọi là khảnghịch nếu tồn tại toán tử B ∈ L(X) sao cho AB = BA = 1 (1 là toán

tử đơn vị trong X) Khi đó, toán tử B được gọi là toán tử ngược của A

kA − Bk < 1

kA−1kthì toán tử B khả nghịch

Định nghĩa 1.4.15 Toán tử T được gọi là compact nếu nó liên tục vàbiến mỗi tập bị chặn thành tập compact tương đối, nghĩa là: Nếu M làtập bị chặn thì T (M ) là compact tương đối (T (M ) compact)

Định nghĩa 1.4.16 Toán tử Hilbert–Schmidt T là toán tử trên H thỏamãn tính chất

∞

X

n=1

kT enk2 < ∞,với {e1, , en, } là một cơ sở trực chuẩn của H

Toán tử Hilbert–Schmidt không chỉ là toán tử bị chặn mà còn compact

1.5 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn

Định nghĩa 1.5.1 Cho X là không gian Banach trên trường số C,L(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X, toán tử T ∈ L(X).Toán tử T được gọi là khả nghịch nếu tồn tại toán tử T0 ∈ L(X) sao cho

T T0 = T0T = 1 Tập các toán tử khả nghịch của L(X) được ký hiệu làL(X)−1

Phổ của toán tử T kí hiệu là σ(T ) là tập tất cả các số phức λ sao cho(T − λ1) /∈ L(X)−1

, trong đó 1 là toán tử đơn vị trong X

Định nghĩa 1.5.2 Cho T ∈ L(H) Tập hợp giải được của T xác địnhbởi

ρ(T ) =

n

λ ∈ C| (T − λ1)−1 ∈ L(H)o (1.1)Chính xác hơn, số phức λ ∈ ρ(T ) khi và chỉ khi (T − λ1) là song ánh vớitoán tử ngược bị chặn Phần bù của tập giải được chính là phổ Tức là

Đặc biệt, λ ∈ σ(T ) nếu (T − λ1) có hạt nhân không tầm thường Mộtvectơ ψ ∈ Ker(T − λ1) được gọi là vectơ riêng và λ được gọi là giá trịriêng trong trường hợp đó

Hàm

RT : ρ(T ) → L(H)

λ 7→ (T − λ1)−1được gọi là giải được của T tại λ Ta có công thức sau

RT(λ)∗ = ((T − λ1)−1)∗ = ((T − λ1)∗)−1 = (T∗ − λ∗)−1 = RA∗(λ∗)

Đặc biệt,

ρ(T∗) = ρ(T )∗.Định nghĩa 1.5.3 Cho T ∈ L(X)

(a) x 6= θ, x ∈ X thỏa mãn T x = λx với λ ∈ C được gọi là vectơ riêngcủa T , λ tương ứng được gọi là giá trị riêng Nếu λ là một giá trịriêng thì T − λ1 không là đơn ánh do đó λ thuộc phổ của T Tậpcác giá trị riêng được gọi là phổ điểm của T , kí hiệu là σp(T );(b) Nếu λ không là giá trị riêng và nếu Ran(T − λ1) không trù mật thì

λ thuộc phổ dư;

(c) Phổ rời rạc, kí hiệu σd(T ) là tập các giá trị riêng bị cô lập với sốbội hữu hạn Khi T là toán tử liên hợp thì

σd(T ) =  λ ∈ σp(T )| rank(PT(λ − ε, λ + ε)) < ∞ với mỗi ε > 0 ;

(d) Phổ thiết yếu σess(T ) = σ(T )\σd(T ), khi T là toán tử tự liên hợpthì

σess(T ) =  λ ∈ R| rank(PT(λ − ε, λ + ε)) = ∞ với mỗi ε > 0

Định lý 1.5.4 ([13], Theorem 2.14, tr 70) Tập giải được ρ(T ) là tập

mở và RT : ρ(T ) → L(H) là hàm giải tích, nghĩa là có khai triển chuỗilũy thừa hội tụ tuyệt đối quanh điểm λ0 ∈ ρ(T ) Thêm vào đó

kRT(λ)k ≥ disk(λ, σ(T ))−1

và nếu T bị chặn thì ta có {λ ∈ C| |λ| > kT k} ⊆ ρ(T )

Bổ đề 1.5.5 ([13], Lemma 2.15, tr 71) Ta có λ ∈ σ(T ) nếu tồn tại dãy(ψn) ∈ D(T ) thỏa mãn kϕnk = 1 và k(T − λ)ψnk → 0 Nếu λ là điểmbiên của ρ(T ) thì điều ngược lại vẫn đúng Dãy (ψn) có tính chất nhưtrên được gọi là dãy Weyl.

Một số kết quả về ánh xạ phổ

Bổ đề 1.5.6 ([13], Lemma 2.16, tr 71) Giả sử T là đơn ánh Khi đó

σ(T−1)\ {0} = (σ(T )\ {0})−1.Ngoài ra ta có T ψ = λψ khi và chỉ khi T−1ψ = λ−1ψ, λ 6= 0

Định lý 1.5.7 ([13], Theorem 2.17, tr 71) Cho T là toán tử đối xứng.Khi đó T là toán tử tự liên hợp khi và chỉ khi σ(T ) ⊆ R và (T − X) ≥ 0,

X ∈ R khi và chỉ khi σ(T ) ⊆ [X, ∞] Hơn nữa kRT(λ)k ≤ |Im(λ)|−1 nếu(T − E) > 0; kRT(λ)k ≤ |λ − X|−1 nếu λ < X

Định lý 1.5.8 ([13], Theorem 2.18, tr 72) Cho T là toán tử tự liênhợp Khi đó

inf σ(T ) = inf

ψ∈D(T ),kψk=1hψ, T ψivà

sup σ(T ) = sup

ψ∈D(T ),kψk=1

hψ, T ψi Định lý 1.5.9 ([13], Theorem 2.19, tr 72) Cho T là toán tử đối xứng.Khi đó tất cả các giá trị riêng là thực và các vectơ riêng tương ứng vớicác giá trị riêng này trực giao

Định lý 1.5.10 ([13], Theorem 2.20, tr 72) Giả sử T là toán tử đốixứng có cơ sở trực chuẩn của các hàm riêng {ϕj} Khi đó T là toán tử

tự liên hợp thiết yếu Đặc biệt, nó tự liên hợp thiết yếu trên span(ϕj)

1.6 Toán tử tuyến tính không bị chặn

Không phải tất cả toán tử trong vật lí toán học đều bị chặn Những toán

tử không bị chặn không thể xác định khắp nơi trên toàn bộ không gian.Định lý 1.6.1 (Hellinger–Toeplitz, [9], tr 84) Cho T là toán tử tuyếntính xác định khắp nơi trên không gian Hilbert H thỏa mãn hϕ, T ψi =

hT ϕ, ψi, với mọi ϕ, ψ ∈ H Khi đó T bị chặn

Như vậy, kết quả trên cho thấy rằng toán tử tuyến tính không bị chặn

T sẽ chỉ xác định trên một tập con tuyến tính trù mật của không gianHilbert H Do đó, một toán tử trên không gian Hilbert H là ánh xạtuyến tính từ miền của nó (một không gian con tuyến tính của H) vào

H Trừ khi ta chỉ định nếu không, ta sẽ luôn giả thiết rằng miền đó làtrù mật Không gian con đó được kí hiệu là D (T ), gọi là miền của toán

Toán tử T0 là một mở rộng của T (tức là T ⊂ T0) nếu D(T ) ⊆ D(T0)

và T x = T0x với mọi x ∈ D(T ) Hơn nữa, ta nói T là đóng được nếu T

có một mở rộng đóng Khi đó, mỗi toán tử đóng được có một mở rộngđóng nhỏ nhất, được gọi là bao đóng của nó và kí hiệu là T Nếu toán

tử T đóng được, lõi của T là tập con của D(T ) sao cho bao đóng của Thạn chế trên tập này chính là T

Định nghĩa 1.6.3 Cho T là toán tử không bị chặn xác định trên D(T )của không gian Hilbert H Kí hiệu D(T∗) là tập các phần tử y ∈ H màtồn tại phần tử z ∈H sao cho với mọi x ∈ D(T ) ta có

hT x, yi = hx, zi Với mỗi y ∈ D(T∗), ta đặt T∗y = z và toán tử T∗ này được gọi là toán

Định nghĩa 1.6.5 Toán tử không bị chặn T được gọi là đối xứng nếu

T ⊂ T∗, nghĩa là nếu D(T ) ⊂ D(T∗) và T ϕ = T∗ϕ với mọi ϕ ∈ D(T ).Tương đương, T là đối xứng khi và chỉ khi hT ϕ, ψi = hϕ, T ψi với mọi

ϕ, ψ ∈ D(T )

Định nghĩa 1.6.6 T được gọi là tự liên hợp nếu T đối xứng và D(T ) =D(T∗).

Một toán tử đối xứng luôn luôn đóng được, vì D(T∗) ⊃ D(T ) là trù mậttrong H Nếu T đối xứng, T∗ mở rộng đóng của T , vậy thì toán tử nhỏnhất mở rộng đóng T∗∗ của T phải chứa trong T∗ Do đó, với toán tửđối xứng ta có

T ⊂ T∗∗ ⊂ T∗với toán tử đóng đối xứng

Hệ quả 1.6.9 ([9], Corollary, tr 257) Cho T là toán tử đối xứng trênkhông gian Hilbert Khi đó các điều sau tương đương

(a) T là tự liên hợp thiết yếu;

(b) Ker(T∗ ± i) = {0};

(c) Ran(T ± i) trù mật

Định lý 1.6.10 (Kato–Rellich, [14], Theorem 1.11.2, tr 21) Giả sử T1

tự liên hợp, T2 đối xứng với D(T1) ⊆ D(T2) Giả sử tồn tại a, b với a < 1thỏa mãn

kT2xk ≤ a kT1xk + b kxk ,với mọi x ∈ D(T1) Khi đó, toán tử T1+ T2 tự liên hợp trên D(T1) và tựliên hợp thiết yếu trên miền lõi bất kỳ của T1

Toán tử T2 trong định lý Kato–Rellich có thể được coi như toán tử nhiễucủa T1

1.7 Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn

Định nghĩa 1.7.1 Cho T là toán tử không bị chặn trong H Ta nóimột số phức ρ là một phần tử của tập hợp giải được của T nếu T − ρ1

là song ánh từ D(T ) lên H với phép biến đổi ngược bị chặn, 1 là toán

tử đơn vị

Định nghĩa 1.7.2 Phổ của toán tử T , kí hiệu bởi σ(T ) là tập các sốphức không thuộc vào tập giải được của T Mỗi giá trị riêng của T đềuthuộc σ(T ) Phổ rời rạc của T , kí hiệu bởi σd(T ) là tập các giá trị riêng

bị cô lập với số bội hữu hạn Phổ thiết yếu của T , kí hiệu bởi σess(T ) làtập σ(T )\σd(T ).

Như ta đã biết tập phổ của một toán tử bị chặn là bị chặn Tuy nhiênđiều này không đúng trong trường hợp toán tử không bị chặn (xem chitiết, [4])

Có một phương pháp khác để xác định toán tử tự liên hợp mở rộng củamột số loại toán tử không bị chặn Đó là thông qua dạng toàn phương.Định nghĩa 1.7.3 Dạng toàn phương là một ánh xạ q : Q(q) × Q(q) →

C, trong đó Q(q) là tập con tuyến tính trù mật của H, được gọi là miềnhình thức, sao cho q(x, ·) tuyến tính và q(·, y) liên hợp tuyến tính vớimọi x, y ∈ Q(q)

Ta tóm lược cách làm thế nào để liên kết một dạng toàn phương và mộttoán tử không bị chặn Trước hết ta chú ý tới định nghĩa toán tử dương

mở rộng tới toán tử không bị chặn Ta nói rằng toán tử T dương, kí hiệu

T ≥ 0, nếu T đối xứng và hT x, xi ≥ 0 với mọi x ∈ D(T ) Với mỗi toán

tử dương T ta có thể xác định một tích vô hướng hx, yiT trên D(T ) bởi

hx, yiT = hT x, yi + hx, yi Nếu ta kí hiệu Q(T ) là mở rộng của D(T ) ứng với chuẩn k·kT cảm sinhbởi tích vô hướng trên thì D(T ) ⊆ Q(T ) ⊂ H Thật vậy, ta thấy rằngnếu {xj} là dãy Cauchy trong D(T ) thì nó cũng là dãy Cauchy trong H

do kxk ≤ kxkT Từ đó, ta có thể đồng nhất giới hạn trong Q(T ) với giớihạn trong H Do đó dạng toàn phương liên hợp với T kí hiệu bởi qT có

thể mở rộng tới mọi x ∈ Q(T ) bằng cách đặt

qT(x) = kx, xkT − kxk2

Ta gọi Q(T ) là miền của T Vậy ta có thể nói rằng việc xét dạng toànphương dẫn đến cách hữu ích để xác định toán tử tự liên hợp nếu ta bắtđầu với toán tử đối xứng nửa bị chặn được cho bởi kết quả sau

Định lý 1.7.4 (Mở rộng Friedrichs, [14], Theorem 1.11.3, tr 22) Cho

T là toán tử đối xứng nửa bị chặn, tức là giả sử tồn tại γ ∈ R sao cho

qT(x) = hT x, xi ≥ γkxk2 với mọi x ∈ D(T )

Khi đó tồn tại một mở rộng tự liên hợp T0 của T bị chặn dưới bởi γ vàthỏa mãn D(T0) ⊆ Q(T ) Hơn nữa, T0 là mở rộng tự liên hợp duy nhấtcủa T với miền chứa trong Q(T )

Điều ngược lại của kết quả này cũng rất quan trọng: Cho dạng toànphương q, câu hỏi đặt ra là liệu có một toán tử tương ứng T sao cho

q = qT không? Câu trả lời là có (xem chi tiết, [9])

Bây giờ, ta xét một dạng toàn phương của định lý Kato–Rellich được gọi

là định lý KLMN được đưa ra bởi Kato, Lions, Lax, Milgram và Nelson.Định lý này cho phép ta xét dạng tổng của các toán tử

Định lý 1.7.5 ([14], Theorem 1.11.4, tr 22) Cho T1 là toán tử tự liênhợp dương và qT2 là dạng toàn phương liên hợp với toán tử đối xứng T2,được xác định trên Q(T1) Nếu có các số thực a < 1 và b thỏa mãn

|qT2(x)| ≤ aqT1(x) + b hx, xi với mọi x ∈ Q(T1),

khi đó tồn tại duy nhất toán tử tự liên hợp T với Q(T ) = Q(T1) sao cho

T liên hợp với hình thức qT1 + qT2

Trong trường hợp này ta cũng gọi T2 là toán tử nhiễu của T1

Giả sử T1 tự liên hợp Ta nói T2 compact tương đối ứng với T1 nếuD(T1) ⊆ D(T2) và toán tử T2(T1 + i)−1 compact Thực tế ta có thể thay

i bởi một số phức bất kì nằm trong tập giải được của T1 Ta có thể chứng

tỏ rằng T2 compact tương ứng với T1 nếu với mỗi dãy {xj} ⊂ D(T1) ⊆D(T2) thỏa mãn kT1xjk + kxjk ≤ c với c ≥ 0 thì ta có thể chọn dãy con{xjk} sao cho {T2xjk} hội tụ

Ta cũng có các kết quả sau: Nếu T1 tự liên hợp và T2 compact tương đốiứng với T1 thì toán tử tổng T1+ T2 xác định trên D(T1) đóng Hơn nữatoán tử tổng có cùng phổ thiết yếu với T1 Nếu ta cần T2 đối xứng thìtoán tử tổng tự liên hợp

Định lý 1.7.6 ([13], Theorem 4.12, tr 113) Giả sử A là toán tử tự liênhợp và {ψj}kj=1 là hệ độc lập tuyến tính của H Cho λ ∈ R, ψj ∈ D(A).Nếu

hψ, Aψi < λkψk2với mỗi tổ hợp tuyến tính khác không ψ =

k

P

j=1

cjψj thìdim Ran PA((−∞, λ)) ≥ k

Bổ đề 1.7.7 ([13], Lemma 6.23, tr 142) Giả sử A là toán tử tự liên hợp,

B là toán tử đối xứng và A bị chặn với cận nhỏ hơn một Nếu Kcompacttương đối với A thì nó cũng compact tương đối với A + B

Bổ đề 1.7.8 ([13], Lemma 0.13, tr 10) Cho X là không gian metriccompact địa phương Giả sử K là một tập compact và {Oj}nj=1 là mộtphủ mở Khi đó tồn tại một phân hoạch đơn vị của K phụ thuộc vào phủ

mở này, nghĩa là có các hàm số liên tục hj : X → [0, 1] sao cho hj cógiá compact chứa trong Oj và

n

P

j=1

hj(x) ≤ 1dấu bằng xảy ra khi x ∈ K

Chương 2 Toán tử Schr¨ odinger

Trong chương này, ta đề cập đến ba dạng toán tử Schr¨odinger đó là

và một số tính chất của phép biển đổi Fourier và toán tử Schr¨odinger tự

do thông qua toán tử Laplace ∆ =

2.1.1 Phép biển đổi Fourier

Cho C∞(Rn) là tập tất cả các hàm số giá trị phức có đạo hàm riêng bậcbất kì Với f ∈ C∞(Rn) và α ∈ Nn0 ta đặt

Một phần tử α ∈ Nn0 được gọi là một đa chỉ số và |α| là bậc của nó Tanhắc lại rằng không gian Schwartz

là phép biến đổi Fourier của hàm f

Bổ đề 2.1.1 ([13], Lemma 7.1, tr 155) Phép biến đổi Fourier ánh xạkhông gian Schwartz vào chính nó, F : S(Rn) → S(Rn) Hơn nữa, vớimỗi đa chỉ số α ∈ Nn0 và mỗi f ∈ S (Rn) ta có

(∂αf )∧(p) = (ip)αf (p),ˆ (xαf (x))∧(p) = i|α|∂αf (p).ˆ (2.2)Chứng minh Theo công thức tích phân từng phần ta có

Tương tự công thức thứ hai suy ra bằng quy nạp, sử dụng

Bổ đề 2.1.2 ([13], Lemma 7.2, tr 156) Cho f ∈ S(Rn) Khi đó

Z

Rn

φε(p)eipxf (p)dˆ np

sử dụng Fubini và Bổ đề 2.1.2 ta tiếp tục có

= lim

ε→0

1(2π)n/2

Z

Rn

φ1(z)f (x +√

εz)dnz = f (x)

Ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 2.1.4 ([13], Lemma 7.11, tr 163) Cho g(x) là toán tử nhân bởi g

và f (p) là toán tử được cho bởi f (p)ψ(x) = F−1



f (p) ˆψ(p)

(x) Kí hiệu

L∞∞(Rn) là các hàm Borel bị chặn, triệt tiêu tại vô cùng Khi đó f (p)g(x)

và g(x)f (p) là các toán tử compact nếu f, g ∈ L∞∞(Rn) và là các toán tửHilbert–Schmidt mở rộng nếu f, g ∈ L2(Rn)

Chứng minh Theo tính đối xứng, ta chỉ cần xét g(x)f (p) Cho f, g ∈ L2,khi đó

Hilbert-Nếu f, g bị chặn thì các hàm fR(p) = χ{p|p2 ≤R }(p)f (p) và gR(x) =

χ{x|x2 ≤R }(x)g(x) nằm trong L2 Vậy gR(x)fR(p) compact

Do

kg(x)f (p) − gR(x)fR(p)k ≤ kgk∞kf − fRk∞+ kg − gRk∞kfRk∞tiến đến g(x)f (p) theo chuẩn, từ đó f, g triệt tiêu tại vô cùng

Đặc biệt, từ bổ đề này dẫn đến χΩ(H0 + i)−1 là compact nếu Ω là tập bịchặn trong Rn Do đó lim

t→∞|χΩe−itH0ψ|2 = 0 với mỗi hàm ψ ∈ L2(Rn) và

Ω bị chặn trong Rn Mặt khác, chất điểm cuối cùng sẽ di chuyển đến vôcùng từ đó có thể tìm được chất điểm trong mỗi tập bị chặn tiến đến 0

Bổ đề 2.1.5 (Riemann–Lebesgue, [13], Lemma 7.6, tr 158) Kí hiệu

C∞(Rn) là không gian Banach của tất cả các hàm số liên tục f : Rn → Ctriệt tiêu tại vô cùng được trang bị chuẩn sup Khi đó, phép biến đổiFourier là một đơn ánh bị chặn ánh xạ từ L1(Rn) vào C∞(Rn) thỏa mãn

k ˆf k∞ ≤ (2π)−n/2kf k1 (2.6)Chứng minh Rõ ràng ta có ˆf ∈ C∞(Rn) nếu f ∈ S(Rn) Hơn nữa, từđánh giá

f = 0 Theo định lí Fubini ta có

0 =Z

2.1.2 Toán tử Schr¨odinger tự do

Định nghĩa 2.1.6 Toán tử Schr¨odinger tự do là toán tử có dạng

H0 = −∆, D(H0) = H2(Rn), (2.7)

trong đó ∆ là toán tử Laplace

H0 tự liên hợp và phổ của nó được cho bởi

R

1

r2 − zd˜µψ(r),trong đó

Dùng phép đổi trục tọa độ ta được

dλ,định lí được chứng minh

Cuối cùng ta lưu ý rằng các hàm trơn giá compact là miền lõi của H0

Bổ đề 2.1.8 ([13], Lemma 7.9, tr 161) Tập

Cc∞(Rn) = {f ∈ S(Rn)| supp(f ) compact} là miền lõi của H0

Chứng minh Dễ thấy S(Rn) là miền lõi nên điều kiện đủ là chứng minhbao đóng của H0|C∞

c (R n ) chứa H0|S(Rn ).Lấy hàm ϕ(x) ∈ Cc∞(Rn) sao cho hàm ϕ(x) = 1 với |x| ≤ 1 và triệt tiêuvới |x| ≥ 2 Đặt ϕn(x) = ϕ 1

nx

, khi đó ψn(x) = ϕn(x)ψ(x) nằm trong

Cc∞(Rn) với mỗi ψ ∈ S(Rn) và ψn → ψ tương ứng với ∆ψn → ∆ψ

Ta lưu ý rằng dạng toàn phương của H0 được cho bởi

là toán tử Schr¨odinger hoặc toán tử Hamilton

Về miền xác định của toán tử H và tính liên hợp của nó được khẳngđịnh qua định lý Kato–Rellich, với H0 là toán tử tự liên hợp và giả sử V

là một toán tử đối xứng với D(H0) ⊂ D(V ) sao cho có a < 1 và số b để

kV (φ)k ≤ a kH0φk + b kφkvới mọi φ ∈ D(H0) Khi đó H0+V xác định trên D(H0)∩D(V ) ≡ D(H0)

là tự liên hợp

Toán tử H0 thường được gọi là toán tử động năng, hàm số V thườngđược gọi là toán tử thế năng

2.2 Phổ của toán tử Schr¨ odinger trong một số trường

Bổ đề 2.2.1 ([13], Lemma 10.1, tr 209) Giả sử n ≤ 3 và ψ ∈ H2(R).Khi đó ψ ∈ C∞(Rn) và với mỗi a > 0 tồn tại b > 0 thỏa mãn

kψk∞ ≤ a kH0ψk + b kψk (2.10)Chứng minh Ta thấy (p2 + γ2)−1 ∈ L2

(Rn) nếu n ≤ 3 Vì thế từ(p2 + γ2) ˆψ ∈ L2(Rn),

theo bất đẳng thức Cauchy–Schwartz ta có

k ˆψk1 = (p2 + γ2)−1(p2 + γ2) ˆψ(p)

1

≤ (p2 + γ2)−1 (p2 + γ2) ˆψ(p) Chứng tỏ ˆψ ∈ L1(Rn) Theo bổ đề Riemann–Lebesgue 2.1.5, ta có

kψk∞ ≤ (2π)−n/2 (p2 + γ2)−1 p2ψ(p)ˆ + γ2 ψ(p)ˆ



= (γ/2π)n/2 (p2 + 1)−1 γ−2kH0ψk + kψk

Bổ đề được chứng minh.

Định lý 2.2.2 ([13], Theorem 10.2, tr 210) Cho hàm V có giá trị thực,

V ∈ L∞∞(Rn) nếu n > 3 và V ∈ L∞∞(Rn) + L2(Rn) nếu n ≤ 3 Khi đó Vcompact tương đối ứng với H0 Đặc biệt,

H = H0 + V, D(H) = H2(Rn) (2.11)

tự liên hợp, bị chặn dưới và

Hơn nữa, Cc∞(Rn) là miền lõi của H

Chứng minh Theo bổ đề nêu ở trên chứng tỏ D(H0) ⊆ D(V ) Hơnnữa, từ Bổ đề 2.1.1 với f (p) = (p2 − z)−1 và g(x) = V (x) (lưu ý rằng

f ∈ L∞∞(Rn) ∩ L2(Rn) với n ≤ 3) chứng tỏ V compact tương đối Do đó

từ Bổ đề 2.1.8, ta có Cc∞(Rn) là miền lõi của H0, điều này cũng đúngvới H theo định lý Kato–Rellich

Từ trên thấy, do Cc∞(Rn) ⊆ D(H0) nên phải có V ∈ L2loc(Rn) nếuD(V ) ⊆ D(H0)

2.2.2 Toán tử Schr¨odinger dạng −∆ − λ

|x|

Ta bắt đầu với mô hình đơn giản của một electron tự do trong R3 dichuyển trong trường thế mở rộng V sinh ra bởi một hạt nhân (được giảthiết là cố định tại điểm gốc) Nếu trong tính toán ta chỉ lấy lực tĩnhđiện thì khi đó V được cho bởi trường thế Coulomb và phương trìnhHamilton tương ứng cho bởi

H(1) = −∆ − λ

|x|, D(H

(1)) = H2(R3) (2.13)

Nếu trường điện thế là hấp dẫn, nghĩa là γ > 0 khi đó nó mô tả nguyên

tử Hiđro và có thể đây là một mô hình nổi tiếng nhất trong cơ học lượngtử

Chọn miền D(H(1)) = D(H0) ∩ D 1

|x|



= D(H0) và sử dụng Định lý2.2.2, ta rút ra H(1) tự liên hợp Hơn nữa cũng theo Định lý 2.2.2, ta có

σess(H(1)) = [0, ∞) (2.14)

và H(1) bị chặn dưới

E0 = inf σ(H(1)) > −∞ (2.15)Nếu γ ≤ 0, ta có H(1) ≥ 0 và do vậy E0 = 0, còn nếu γ > 0 thì ta có

E0 < 0 và có một số giá trị riêng rời rạc dưới phổ thiết yếu

Để nói về các giá trị riêng của H(1) ta sử dụng cả H0 và V(1) = −γ/|x|

có biểu diễn đơn giản theo tỉ xích Xét nhóm giãn