Các Quá trình Truyền khối : Phần khuếch tán

Truyền khối, công nghệ hóa học, máy bị, truyền khối Trịnh Văn Dũng, các quá trình hóa học, ĐH BK HCM, hấp phụ, chưng cất......Truyền khối, công nghệ hóa học, máy bị, truyền khối Trịnh Văn Dũng, các quá trình hóa học, ĐH BK HCM, hấp phụ, chưng cất

Trang 1

PGS TS Nguyễn Thống

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 2: Bài tốn khuếch tán

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng - BM KTTNN

Giảng viên: PGS TS NGUYỄN THỐNG

E-mail: nguyenthong@hcmut.edu.vn or nthong56@yahoo.fr

Web: http :// www4.hcmut.edu.vn/~nguyenthong/

Tél (08) 38 691 592- 098 99 66 719 PGS TS Nguyễn Thống

2

NỘI DUNG MƠN HỌC CHƯƠNG 1: Cơ sở pp Sai phân hữu hạn

CHƯƠNG 2: Bài tốn khuếch tán

CHƯƠNG 3: Bài tốn đối lưu - khuếch tán

CHƯƠNG 4: Bài tốn thấm

CHƯƠNG 5: Dịng khơng ổn định trong kênh hở

CHƯƠNG 6: Đàn hồi tĩm tắt & pp Phần tử hũu hạn

CHƯƠNG 7: Phần tử lị xo & thanh dàn

CHƯƠNG 8: Phần tử thanh chịu uốn

CHƯƠNG 9: Giới thiệu sơ lược về phần tử phẳng (biến

dạng phẳng, ứng suất phẳng, tấm vỏ chịu

3

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phương pháp số trong cơ học kết cấu PGS PTS

Nguyễn Mạnh Yên NXB KHKT 1999

2 Water Resources systems analysis Mohamad

Karamouz and all 2003

3 Phương pháp PTHH Hồ Anh Tuấn-Trần Bình NXB

KHKT 1978

4 Phương pháp PTHH thực hành trong cơ học

Nguyễn Văn Phái-Vũ văn Khiêm NXB GD 2001

5 Phương pháp PTHH Chu Quốc Thắng NXB KHKT

1997

6 The Finite Element Method in Engineering S S

RAO 1989

7 Bài giảng PP SỐ ỨNG DỤNG TS Lê đình Hồng PGS TS Nguyễn Thống

4

BÀI TỐN KHUẾCH TÁN

 Khuếch tán chất

 Khuếch tán nhiệt

5

NỘI DUNG

 Giới thiệu hiện tượng & cơ

sở lý thuyết

 Phương pháp giải SPHH

 Sơ đồ khối bài tốn

6

PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Quá trình vật lý  quan sát  mơ

tả thực nghiệm  biểu diễn bằng các phương trình tốn học  Kiểm tra tính hiệu lực về mặt vật

lý của nghiên cứu từ phương trình tốn học

Trang 2

7

PGS TS Nguyễn Thống PGS TS Nguyễn Thống

8

KHUẾCH TÁN NHIỆT X-Y

0 1 2 3 4 5 6 7

Chương 2: Bài toán khuếch tán

9

KHUẾCH TÁN NHIỆT X-Z

0 1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

10

CÁC HIỆN TƯỢNG KHUẾCH TÁN

CƠ BẢN

 Khuếch tán nhiệt  Định luật Fourier về truyền nhiệt (1822)

(không khí, nước, kim loại,….) khi có

sự khác biệt (chênh lệch) về nhiệt độ trong không gian  Hiện tượng khuếch tán nhiệt

11

ĐỊNH LUẬT FOURIER

“Flux nhiệt đi ngang qua một đơn vị

diện tích trong một đơn vị thời gian

theo phương cho trước thì tỷ lệ với

gradient của nhiệt theo phương

đó ” 

12

KHUẾCH TÁN

CHẤT

Trang 3

13

Hiện tượng khuếch tán chất  Định

luật Fick (1855)

Trong một môi trường lan truyền

chất (chất lỏng, không khí,….) khi

có sự khác biệt về nồng độ chất

trong không gian  Hiện tượng

khuếch tán chất

14

ĐỊNH LUẬT FICK VỀ QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN PHÂN TỬ “Khối lượng chất đi ngang qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian theo phương cho trước thì tỷ lệ với gradient của nồng độ chất theo phương đó ” 

15

Định luật Flick

(Khuếch tán 1D theo phương x)

q khối lượng chất đi qua 1 đvdt trong

1 đơn vị thời gian ( kg/m2/s)

C0

C1

X

x

C D q







Nồng

độ chất

C 0 > C 1

 Flux q

 x

16

C  nồng độ chất (khối lượng chất trong

1 đv thề tích (kg/m3, mg/l,…) D(m2/s)  hệ số tỷ lệ = hệ số khuếch tán

phân tử

Chú ý : Cần phân biệt với “hệ số khuếch tán” do các nguyên nhân khác gây nên như: khuếch tán số, khuếch tán rối, khuếch tán do vận tốc dòng chảy phân phối không đều trong mặt cắt ngang,…

17

NOTES

Giá trị hệ số khuếch tán (diffusion

coefficient):

D của các ions với nhiệt độ trong

phòng:

(0.6.10-9  2.0.10-9) m2/s

 D của các phân tử sinh học:

(10-11  10-10) m2/s

18

THIẾT LẬP PT KHUẾCH TÁN 1D Gọi C(x,t)  khối lượng chất trong 1 đv thể tích

Khảo sát thể tích kiểm soát vi phân sau:

X

 X

Thể tích kiểm soát

1 Đơn vị diện tích

A

B

C

D

E

F

G

H

Trang 4

19

Ta có:

Tổng khối lượng chất có trong thể tích

kiểm soát:

C(x,t)*  x*1

Tốc độ thay đổi chất trong thể tích

kiểm soát:

 x 1 (1) )

t / C (  

Volume

Tốc độ thay đổi tính

cho 1 đv thể tích

20

Xét trong 1 đv thời gian : Khối lượng chất đi qua m/p tại x:

q(x,t) Khối lượng chất đi qua m/p tại (x+  x):

x ).

x / q ( ) t , x (

21

Chênh lệch chất khi đi qua m/p tại x &

tại (x+  x) 

Điều kiện bảo toàn khối lượng vật

chất trong thể tích kiểm soát:

(1)=-(2) 

) 2 ( x ).

x / q (   

0 t

C x q

x ).

t / C ( x ).

x / q (























22

Áp dụng định luật Flick, q, vào pt 

 Phương trình mô tả chất được vận chuyển như thế nào bởi quá trình khuếch tán Flick (Flick’s second law)















x

C D x t

C

23

Giả thiết D là hằng số theo

phương x 

2

x

C D t

C







24

BÀI TOÁN KHUẾCH TÁN 2D & 3D

Ta định nghĩa:

Với qx, qy, qz  khối lượng chất đi qua

1 đv thể tích trong 1 đv thời gian

z

C D q

; y

C D q

; x

C D

































































2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

z

C y

C x

C D t

C D 3

y

C x

C D t

C D 2

Trang 5

25

BÀI TOÁN KHUẾCH TÁN 2D & 3D

Viết dưới dạng toán tử:

Với toán tử Nabla:

C D t

C  2



k z

j y

i x

.

















26

KHUẾCH TÁN

NHIỆT

27

THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH

KHUẾCH TÁN NHIỆT

 Về các bước giống như thiết lập

bài toán khuếch tán chất

 Dùng định luật Fourier cho

khuếch tán nhiệt (thay cho luật

Flick trong t/h khuếch tán chất)

28

Định luật Fourier

qx  flux nhiệt – Flux head (W/m2)

T  nhiệt độ

K  hệ số dẫn nhiệt) thermal conductivity W/(m-0C)

dx

dT K

q x  

29

Tương tự bài toán khuếch tán chất ta có:

Phương trình đạo hàm riêng dạng

Parabol

q  nội năng

T(x,y,z,t) nhiệt độ theo không gian & thời

gian

q z

T y

T x

T t

T

2

2 2

2































30

THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Trang 6

31

LỜI GIẢI GIẢI TÍCH BÀI TOÁN LAN

TRUYỀN CHẤT 1D

Xét bài toán 1D (trục x) & gọi C(x,t) là

nồng độ chất tại vị trí x ở thời điểm t

Tại x=0, duy trì một nồng độ chất

không đổi C(0)

Nồng độ chất tại một vị trí bất kỳ x và

thời điểm t là:















Dt 2

x erfc ).

0 ( C ) , x ( C

32

Với:

 chiều dài khuếch tán

(diffusion length)

PGS Dr Nguyễn Thống

Dt 2



0

t

dt e

2 ) x (









x

t

dt e

2 ) x ( erf 1 ) x (

33

HÀM erf(x)

34

ĐẶC TRƯNG TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH

KHUẾCH TÁN

x

T

0

t=n  t Miền tìm lời giải C?

Biên hở Phương giải bài toán theo t

Đ/k ban đầu Đ/k biên

 t

X0

35

Bước giải

 Biết C(x,0) - Điều kiện ban đầu – Và

C(0,  t), C(X0,  t) - Điều kiện biên 

Tìm C(x,  t)

 Dùng kết quả C(x,  t) & điều kiện biên

C(0,2  t), C(x,2  t)  Tìm C(x,2  t)

 Tiếp tục với 3  t, 4  t, …, n  t, , T (T

là thời gian cần mô phỏng hiện

tượng)

36

PHƯƠNG PHÁP

SPHH GIẢI BÀI TOÁN KHUẾCH TÁN 1D

Trang 7

37

Phương trình lý thuyết (kết

quả trước, bài toán 1D):

) 1

( x

C D t

C

2







38

SƠ ĐỒ SAI PHÂN

- Sơ đồ cơ bản

- Sai phân sơ đồ Richardson (nhảy cóc – Leapfrog)

- Sai phân sơ đồ Dufort – Frankel

39

SƠ ĐỒ SAI PHÂN HIỆN

40

SƠ ĐỒ SAI PHÂN HIỆN

Sai phân tiến theo thời gian

 Sai phân trung tâm theo không gian

41

Phương trình (1) dạng sai phân viết tại

điểm (j,t):

t 1 j

t j

t 1 j

t j 1

t

j

x

C C 2 C D t

C C













(t+1)

t

1

42

Đặt:

 Sơ đồ hiện  tính dựa trực tiếp từ các giá trị trong quá khứ của bản thân (j) & của các nút lân cận (j-1,j+1) !

 

t 1 j

t j

t 1 j

t j

t 1 j

t j 1 t j

2

C C ) 2 1 ( C

C C 2 C C

C

x / t D







































(không thứ nguyên)

1 t

C

Trang 8

43

TRÌNH TỰ GIẢI C(j,t)

Bước 1 : C(j,0) đã biết từ đ/k ban đầu với mọi j

Bước 2 : Với giá trị biên đã có C(1,1) & C(N,1) và

các giá trị Bước 1  Tính C(j,1) với j=2,(N-1)

Bước 3 : Với giá trị biên đã có C(1,2) & C(N,2) và

các giá trị Bước 2  Tính C(j,2) với j=2,(N-1)

-

Bước k : Với giá trị biên đã có C(1,k) & C(N,k) và

các giá trị Bước (k-1)  Tính C(j,k) với j=2,(N-1)

 Tiếp tục cho đến k=T thời gian cần mô phỏng

hiện tượng PGS TS Nguyễn Thống PGS TS Nguyễn Thống 44

PGS Dr Nguyễn Thống

45

ĐIỀU KIỆN ỔN ĐỊNH

 Sơ đồ nêu trên chỉ ổn

định khi :

t







46

PHÂN TÍCH

ỔN ĐỊNH SƠ ĐỒ SAI PHÂN HIỆN

47

 lời giải đúng tại điểm i,

thời điểm n+1

 lời giải thực tại điểm i,

thời điểm n+1 (do sai số

làm tròn)

1

n

i

T 

1 i

n i

n 1 i 1

n

T          

1

n

i

t 

1 i n i n

1 i 1 n

2 x

t with









48

Đặt:



Sai số ở nút i vào thời điểm n viết dưới dạng:

Với G là hàm phức chứa thời gian,

j số phức với j2=-1 và  =  x







   n  1

i 1 n i 1 n

i T t

1 i

n i

n 1 i 1 n

i     1  2     



 



n n i

i G e

Trang 9

49



 























1 i n i

n

1 i n ji

1

n

e G e

G 2

1

e G e

G





2 1 e

e e

G

e

2cos 

50



























2 sin 4 1 e G

cos 1 2 1 e G e

G

2 ji

n

ji n ji

1 n

















2 sin 4 1 G G

n

1 n

51

Các sai số sẽ bị chận nếu abs(G)

<=1, với mọi  



















2 sin 4 1 G G

n

1 n n

1

n

1 2

sin 4 1















52

vế trái (1) luôn luôn thoả, vế phải chỉ thoả khi:































2

1 2

2 sin 4

2 sin 4 1 1

2

53

Kết luận: Sơ đồ sai phân hiện chỉ

ổn định khi:























2

x t

2

1 x

t 2

1

2 2

Điều kiện Courant –

Féderich – Lévy  CFL

54

XỬ LÝ ĐIỀU KIỆN BIÊN

TRONG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

 Loại Dirichlet

 Loại Neumann

Trang 10

55

BIÊN DẠNG DIRICHLET

 Đó là dạng C(N,t) =giá trị

đã biết với mọi thời điểm t

tại vị trí biên N

 Áp dụng trực tiếp vào

phương trình sai phân

56

BIÊN DẠNG NEUMANN

 Tại vị trí biên, phương trình của C có dạng :

 Có thể xử lý như sau:

] 1 [ ) know (

f x

C 



57

Cách 1: Tính C(N,t+1)

Sai phân lùi theo không gian hàm

[1] với giả thiết giá trị f đã biết và

C(N-1,t+1) đã biết:

C(N,t+1)

58

Cách 2: Tính C(N,t+1)

Sử dụng thêm nút ảo (N+1) nằm ngoài miền tính toán Sai phân trung tâm theo không gian hàm [1] với giả thiết giá trị f đã biết tại t

 Tính C(N+1,t)

Tính C(N,t+1) theo p/t sai phân

f x

2

C

CtN 1 tN 1







59

Tại thời điểm t  tính C(N+1,t)

theo C(N,t) & C(N-1,t) theo sơ đồ

trung tâm không gian 

(t+1)

t

(N-1)  x

1

Nút ảo

C(N,t+1)

60

Bài tập : Xét bài toán lan truyền chất 1D

Dùng phương trình sai phân theo sơ

đồ hiện Xác định lời giải C(x,n  t) tại các thời điểm t=  t, 2  t, 3  t, 4  t, 5  t với

2 t/hợp:  = 1/4 & 1/2 Giá trị biên của C tại x=0 & x=4 là C=0

Giá trị của hàm C tại thời điểm t=0, tại các vị trí x=0, x=1, x=2, x=3, x=4 như đồ thị sau :

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	1,29 MB