Toán tử giả lõm trong không gian các hàm số khả tích

TS.Nguyễn Phụ Hy tôi đã nghiêncứu đề tài : “Toán tử giả lõm trong không gian các hàm số khảtích”.2.. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu toán tử lõm, toán tử giả lõm và điểm b

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2014

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học sư phạm Hà Nội

2, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy Qua đâytôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong Trường, đặc biệt

là PGS TS Nguyễn Phụ Hy, người luôn quan tam động viên, giúp đỡtôi trong quá trình làm luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2,Phòng Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trìnhhọc tập và nghiên cứu vừa qua

Hà Nội, tháng 7 - 2014Học viên

Lê Thị Duân

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sựhướng dẫn khoa học của PGS TS Nguyễn Phụ Hy Các kết quả trongluận văn được trích dẫn rõ ràng, trung thực và luận văn không trùnglặp với những luận văn khác

Hà Nội, tháng 7 - 2014Học viên

Lê Thị Duân

Banach thực nửa sắp thứ tự 331.3 Nón trong không gian tích 371.4 Quan hệ thứ tự trên không gian tích 391.5 Bình phương Descartes không gian các hàm số khả tích 431.5.1 Không gian định chuẩn thực L[a,b] 431.5.2 L[a,b] là không gian Banach thực 461.5.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự L[a,b] 491.5.4 Không gian Eu0 và tập K(u0) 51

1.5.5 Không gian L2[a,b] = L[a,b]× L[a,b] 52

2 Toán tử giả lõm trong không gian L2 53 2.1 Toán tử lõm 53

2.1.1 Các định nghĩa 53

2.1.2 Một số tính chất 54

2.2 Toán tử giả lõm 56

2.2.1 Các định nghĩa 56

2.2.2 Định lý về sự tồn tại điểm bất động của toán tử giả lõm 57

2.3 Ví dụ về toán tử lõm và toán tử giả lõm 60

2.3.1 Toán tử u0 - lõm 60

2.3.2 Toán tử w0 - giả lõm 62

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ sựgiúp đỡ, hướng dẫn tận tình của PGS TS.Nguyễn Phụ Hy tôi đã nghiêncứu đề tài : “Toán tử giả lõm trong không gian các hàm số khảtích”.

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu toán tử lõm, toán tử giả lõm và điểm bấtđộng của toán tử này trong không gian các hàm số khả tích

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

- Tìm hiểu về tích Descartes hai không gian Banach thực, nón trongkhông gian tích và quan hệ thứ tự trên không gian tích Descartes haikhông gian Banach thực

- Tìm hiểu về toán tử lõm và toán tử giả lõm

- Tìm hiểu về sự tồn tại điểm bất động của toán tử giả lõm trong khônggian L và không gian L2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả củatoán tử giả lõm, điểm bất động của toán tử giả lõm trong không giancác hàm số khả tích

Phạm vi nghiên cứu: các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước cóliên quan đến toán tử lõm, toán tử giả lõm trong không gian các hàm sốkhả tích

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập tài liệu và các bài báo về toán tử lõm, toán tử giả lõm vàđiểm bất động về toán tử giả lõm trong không gian các hàm số khả tích

- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm tính chất liên quan đếntoán tử giả lõm

- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

1 ∀x ∈ E, k x k≥ 0, k x k= 0 ⇔ x = θ, (θ là kí hiệu phần tử khôngcủa không gian E);

2 ∀x ∈ E, ∀α ∈ R, k αx k=| α |k x k;

3 ∀x, y ∈ E, k x + y k≤k x k + k y k

Không gian tuyến tính thực E cùng với một chuẩn trên đó được gọi làmột không gian định chuẩn thực, kí hiệu (E, k k)hay đơn giản là E.Định nghĩa 1.1.1.2 Cho không gian định chuẩn E Dãy điểm {xn}∞n=1 ⊂

E gọi là dãy hội tụ tới điểm x ∈ E, nếu

Định nghĩa 1.1.1.3 Cho không gian định chuẩn E Dãy điểm {xn}∞n=1 ⊂

E gọi là dãy cơ bản trong không gian E nếu

lim

n,m→∞ k xn− xm k= 0hay (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N∗) sao cho (∀n, m ≥ n0) ta có k xn− xm k< ε.Định nghĩa 1.1.1.4 Không gian định chuẩn E gọi là không gian Ba-nach nếu mọi dãy cơ bản trong E đều hội tụ

Hơn nữa k x k= 0 ⇔ pPni=1x2i = 0 ⇔ xi = 0, ∀i = 1, , n ⇔ x = θ,trong đó θ = (0, , 0) là vectơ không trong không gian Rn.

c2) ∀x ∈ Rn, ∀α ∈ R ta có

k αx k=

vuut

Ngược lại, giả sử dãy điểm x(m) = (x(m)1 , x(m)2 , , x(m)n ), m = 1, 2, hội

tụ theo tọa độ tới điểm x = (x1, x2, , xn) trong Rn Theo định nghĩa,

∀ε > 0, với mỗi i = 1, 2, , n, ∃mi ∈ N∗

(∀m ≥ mi), |x(m)i − xi| < √ε

n.Đặt m0 = max(m1, m2, , mn) thì ∀m ≥ m0,

Do đó dãy điểm đã cho hội tụ theo chuẩn của không gian Rn

3) Không gian Rn (n ≥ 2) là không gian Banach với chuẩn của phần tử

x = (x1, x2, , xn) cho bởi công thức (1.1)

Thật vậy, giả sử {x(m)}∞m=1 = {x(m)1 , x(m)2 , , x(m)n }∞m=1 là một dãy cơbản tùy ý trong không gian Rn Khi đó, theo định nghĩa dãy cơ bản(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀m, p ≥ n0) ta có

k x(m)− x(p) k< ε hay

vuut

Đặt x = (x1, , xn) ta nhận được dãy {x(m)}∞m=1 đã cho hội tụ theo tọa

độ tới x Nhưng sự hội tụ trong không gian Rn tương đương với sự hội

tụ theo tọa độ, nên dãy đã cho hội tụ tới x trong không gian Rn Vậy

Rn là không gian Banach

Ví dụ 1.1.1.2 Xét không gian tuyến tính thực

C[a,b] = {x = x(t) : x(t) là hàm số liên tục tại mọi t ∈ [a, b]}

với hai phép toán thông thường

(x + y)(t) = x(t) + y(t), ∀t ∈ [a, b],(αx)(t) = αx(t), ∀t ∈ [a, b]

trong đó α ∈ R, x = x(t), y = y(t) là các hàm thuộc C[a,b]

1) C[a,b] là một không gian định chuẩn với chuẩn của phần tử x = x(t)cho bởi

k x k= max

a≤t≤b | x(t) | (1.4)Thật vậy vế phải của (1.4) xác định Vì x(t) là hàm số liên tục trên [a, b]nên

c2) ∀x ∈ C[a,b], ∀α ∈ R ta có

k αx k= max

a≤t≤b | αx(t) |= |α| max

a≤t≤b | x(t) |= α| k x k

2) Sự hội tụ trong không gian C[a,b] tương đương với sự hội tụ đều củadãy hàm liên tục trên [a, b].

Thật vậy, giả sử dãy hàm {xn}∞n=1 ⊂ C[a,b] hội tụ tới x(t) trong khônggian C[a,b] Ta có

lim

n→∞k xn − x k= 0,hay

(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀n ≥ n0) :k xn − x k< ε

a≤t≤b | xn(t) − x(t) |< ε, ∀n ≥ n0

⇒ | xn(t) − x(t) |< ε, ∀n ≥ n0, ∀t ∈ [a, b]

⇒ xn(t) hội tụ đều đến x(t) trên [a, b]

Ngược lại, giả sử dãy hàm {xn}∞n=1 ⊂ C[a,b] hội tụ đều về x Khi đó

x ∈ C[a,b] Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm: (∀ε > 0) (∃n0 ∈

k xn− x k< ε, ∀n ≥ n0

Vậy (xn(t)) hội tụ về x(t) trong không gian C[a,b].

3) Không gian C[a,b]là không gian Banach với chuẩn của phần tử x = x(t)cho bởi công thức (1.4)

Thật vậy, giả sử {xn}∞n=1 = {xn(t)}∞n=1 là một dãy cơ bản tùy ý trong

C[a,b] Theo định nghĩa dãy cơ bản

lim

n→∞xn(t) = x(t), t ∈ [a, b]

Ta nhận được hàm x(t) xác định trên [a, b] Vì biểu thức (1.5) đúng vớimọi t nên cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức đó khi m → ∞ tanhận được

| xn(t) − x(t) |< ε

2 < ε, ∀n ≥ n0, ∀t ∈ [a, b].

Do đó dãy hàm {xn(t)}∞n=1 hội tụ đều tới hàm số x(t) trên [a, b] nên

x ∈ C[a,b] Nhưng sự hội tụ trong C[a,b] tương đương với sự hội tụ đềucủa dãy hàm trên [a, b], nên dãy đã cho hội tụ tới x trong không gian

C[a,b] Vậy C[a,b] là không gian Banach

1.1.2 Khái niệm nón trong không gian Banach thực

1.1.2.1 Các định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.1.2.1 Giả sử E là không gian định chuẩn thực Tập

K ⊂ E, K 6= ∅ được gọi là một nón, nếu tập K thỏa mãn các điều kiệnsau:

C1) K là tập đóng trong không gian E;

∃δ > 0, ∀e1, e2 ∈ K :k e1 kE=k e2 kE= 1đều có

k e1 + e2 kE≥ δ

Định lý 1.1.2.4 Giả sử K là một nón trong không gian Banach thực

E Khi đó K là nón chuẩn tắc khi và chỉ khi

(∃N > 0) (∀x, y ∈ K : y − x ∈ K) k x k≤ N k y k (1.6)Chứng minh

Điều kiện cần Giả sử K là nón chuẩn tắc nhưng điều kiện (1.6) khôngxảy ra, nghĩa là

(∀n ∈ N∗) (∃xn, yn ∈ K : yn− xn ∈ K) k xn k> n k yn k (1.7)

k xn k

n k yn k = 1 + cn,

n k yn k

k xn k = 1 − dn,trong đó cn > 0, 0 < dn < 1, n = 1, 2,

xn

k xn k

= 1 − 1

n > 0, ∀n ≥ 2nên gn 6= θ, hn 6= θ, ∀n ≥ 2

k gn k ≤