tìm hiểu về random walk (bước ngẫu nhiên) và ứng dụng

tìm hiểu về random walk (bước ngẫu nhiên) và ứng dụng

Bài t p l n quá trình ng u nhiên ập lớn quá trình ngẫu nhiên ớn quá trình ngẫu nhiên ẫu nhiên

Đ 9: tìm hi u v Random Walk (b ề 9: tìm hiểu về Random Walk (bước ngẫu nhiên) và ứng ểu về Random Walk (bước ngẫu nhiên) và ứng ề 9: tìm hiểu về Random Walk (bước ngẫu nhiên) và ứng ướn quá trình ngẫu nhiên c ng u nhiên) và ng ẫu nhiên ứng

d ng ụng

m c l c ụng ụng

1 Random Walk (Nguy n Trí Quân) ễn Trí Quân)

2 Chuy n đ ng Brown ểu về Random Walk (bước ngẫu nhiên) và ứng ộng Brown

a) Brown motion (Nguy n Anh Tu n) ễn Trí Quân) ấn)

b) Quá trình Winer (Phí Bá Thành)

3 nhi u nhi t ễn Trí Quân) ệt

a) t ng quan ( Vi t Hà ) ổng quan ( Việt Hà ) ệt

b) Đ nh lý NYQUYT (Nguy n Ti n Đông) ịnh lý NYQUYT (Nguyễn Tiến Đông) ễn Trí Quân) ến Đông)

1 Random Walk, Brownian motion,Thermal noise

a) Đ nh nghĩa ịnh lý NYQUYT (Nguyễn Tiến Đông)

Ta tung m t đ ng xu cân đ i sau m i T giây và sau m i l n tungột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ỗi T giây và sau mỗi lần tung ỗi T giây và sau mỗi lần tung ần tung chúng ta ngay l p t c đập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c m t bột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ước của đường cần vẽ trên đồ thị, ủa đường cần vẽ trên đồ thị,c c a đường cần vẽ trên đồ thị,ng c n vẽ trên đ th ,ần tung ồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ị, lên trên n u tung đếu tung được mặt ngửa ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c m t ng aặt ngửa ửa (h)), đi xu ng n u đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ếu tung được mặt ngửa ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c m tặt ngửa

s p(t) Quá trình b t đ u t t = 0 và v trí c a chúng ta th i đi m tắt đầu từ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t ần tung ừ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t ị, ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ở thời điểm t ờng cần vẽ trên đồ thị, ểm t

là m t hàm b c thang v i các đi m gián đo n th i đi m t = nT.ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ểm t ạn ở thời điểm t = nT ở thời điểm t ờng cần vẽ trên đồ thị, ểm t (Figure 11.1)

Do đó chúng ta đã t o đạn ở thời điểm t = nT ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c m t quá trình ng u nhiên r i r c ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ẫu nhiên rời rạc ờng cần vẽ trên đồ thị, ạn ở thời điểm t = nT x(t) mà

có các m u x(t, ) ph thu c vào trình t c th c a m t s p vàẫu nhiên rời rạc ζ ) phụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ự cụ thể của mặt sấp và ụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ểm t ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ặt ngửa

ng a Quá trình này đửa ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ọi là c g i là random walk(B ước ngẫu nhiên) c ng u nhiên) ẫu nhiên).

Đ nh nghĩa: B ước ngẫu nhiên) c ng u nhiên là quá trình ng u nhiên r i r c mà có ẫu nhiên) ẫu nhiên) ời rạc mà có ạc mà có các m u đ c l p v i nhau ẫu nhiên) ộc lập với nhau ập với nhau ớc ngẫu nhiên).

Gi s r ng n l n tung đ u tiên chúng ta quan sát đả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ửa ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ở thời điểm t ần tung ần tung ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c k

m t ng a và n-k m t s p Trong trặt ngửa ửa ặt ngửa ường cần vẽ trên đồ thị,ng h p này, bợc một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ước của đường cần vẽ trên đồ thị,c đi c a chúngủa đường cần vẽ trên đồ thị,

ta bao g m k bồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ước của đường cần vẽ trên đồ thị,c lên trên và n-k bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c xu ng dối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ước của đường cần vẽ trên đồ thị,i Do đó v trí c aị, ủa đường cần vẽ trên đồ thị, chúng ta th i đi m t = nT là :ở thời điểm t ờng cần vẽ trên đồ thị, ểm t

x(nT) = ks – (n-k)s = ms m= 2k –n

Do đó x(nT) là m t RV (Radom Variable) tamg giá tr ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ị, ms, v i m = n, n-ớc của đường cần vẽ trên đồ thị,

2, …, -n H n th n a:ơn thế nữa: ếu tung được mặt ngửa ữa:

Đó là xác su t c a k m t heads trong n l n tung.ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ặt ngửa ần tung

Chúng ta đ ý r ng x(nT) có th đểm t ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ểm t ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c vi t l i nh là m tếu tung được mặt ngửa ạn ở thời điểm t = nT ư ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung

t ng:ổng:

x(nT) = x1 + … + xn trong đó xi là kích thước của đường cần vẽ trên đồ thị, ở thời điểm t ước của đường cần vẽ trên đồ thị,c b c th i Do đó bi n ng u nhiên xức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ếu tung được mặt ngửa ẫu nhiên rời rạc i là không ph thu c vào vi c mang giá tr +- s và E(xụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ệc mang giá trị +- s và E(x ị, i2) = s2 T đó ta có:ừ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t

E{x(nT)} = 0 E{x2(nT)} = ns2 (11-2)

Large t Nh chúng ta bi t, n u n l n và k n m trong kho ng và lânư ếu tung được mặt ngửa ếu tung được mặt ngửa ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k

c n np,ta có:ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,

T đi u này và (11-1) ch ra r ng v i p = q = 0.5 và m= 2k-n thì ừ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t ều này và (11-1) chỉ ra rằng với p = q = 0.5 và m= 2k-n thì ỉ ra rằng với p = q = 0.5 và m= 2k-n thì ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ớc của đường cần vẽ trên đồ thị,

Do đó ta có:

Trong đó G(x) là m t phân ph i chu n N(0,1)ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ẩn N(0,1)

Chú ý r ng n u ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ếu tung được mặt ngửa thì các gia s x(nối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung 4T) – x(n3T) và x(n2T) – x(n1T) là đ c l pột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,

b) Quá trình Winner:

Chúng ta se xét gi i h n c a bớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ạn ở thời điểm t = nT ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ước của đường cần vẽ trên đồ thị,c ng u nhiên khi n ti n t i vô cùngẫu nhiên rời rạc ếu tung được mặt ngửa ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, hay tươn thế nữa:ng đươn thế nữa:ng v i T-> 0 Nh chúng ta đã bi t:ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ư ếu tung được mặt ngửa

Do đó đ k t qu có nghĩa chúng ta gi s s h i t v 0 tểm t ếu tung được mặt ngửa ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ửa ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ều này và (11-1) chỉ ra rằng với p = q = 0.5 và m= 2k-n thì ươn thế nữa:ng đươn thế nữa:ng

v i ớc của đường cần vẽ trên đồ thị,

Gi i h n c a hàm x(t) khi T-> 0 là m t quá trình liên t c (Fig 11.1 b)ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ạn ở thời điểm t = nT ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và

được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ọi là c g i là quá trình Winner.

Chúng ta sẽ ch ra r ng hàm m t đ f(w, t) c a w (t) là thôngỉ ra rằng với p = q = 0.5 và m= 2k-n thì ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ủa đường cần vẽ trên đồ thị,

thường cần vẽ trên đồ thị,ng v i nghĩa 0 và không đúng ớc của đường cần vẽ trên đồ thị,

(11-4)

c)T ng quát v b ổng quan ( Việt Hà ) ề 9: tìm hiểu về Random Walk (bước ngẫu nhiên) và ứng ướn quá trình ngẫu nhiên c ng u nhiên: ẫu nhiên

Bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c ng u nhiên có th vi t thành m t t ng:ẫu nhiên rời rạc ểm t ếu tung được mặt ngửa ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ổng:

Trong đó bi n ng u nhiên mang giá tr s ho c –s v i xác su t nhếu tung được mặt ngửa ẫu nhiên rời rạc ị, ặt ngửa ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ư nhau Trong trường cần vẽ trên đồ thị,ng h p t ng quát thì bi n ng u nhiên cợc một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ổng: ếu tung được mặt ngửa ẫu nhiên rời rạc k nh n giáập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,

tr s ho c –s v i xác su t tị, ặt ngửa ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ươn thế nữa:ng ng là p và q Trong trức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ường cần vẽ trên đồ thị,ng h p nàyợc một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, thì:

T đó ta có:ừ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t

V i n l n và quá trình x(t) là không thông thớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ường cần vẽ trên đồ thị,ng v i ớc của đường cần vẽ trên đồ thị,

2 Chuy n đ ng Brown ểu về Random Walk (bước ngẫu nhiên) và ứng ộng Brown

Thu t ng “Brownian motion” đập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ữa: ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c dùng đ mô t chuy n đ ng c aểm t ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ểm t ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ủa đường cần vẽ trên đồ thị,

1 h t trong 1 ch t l ng, đ i tạn ở thời điểm t = nT ỏng, đối tượng đến va chạm với những lực khác ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,ng đ n va ch m v i nh ng l c khác.ếu tung được mặt ngửa ạn ở thời điểm t = nT ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ữa: ự cụ thể của mặt sấp và Trong vĩ mô, v trí ị, x(t) c a h t có th mô hình hóa nh 1 quá trìnhủa đường cần vẽ trên đồ thị, ạn ở thời điểm t = nT ểm t ư

ng u nhiên th a mãn 1 phẫu nhiên rời rạc ỏng, đối tượng đến va chạm với những lực khác ươn thế nữa:ng trình vi phân b c 2:ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,

mx t"( ) fx t'( )cx t( )F t( ) c 0 (11.9)

F(t) là l c va ch m (tác đ ng), m là kh i lự cụ thể của mặt sấp và ạn ở thời điểm t = nT ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,ng c a h t, f là h s maủa đường cần vẽ trên đồ thị, ạn ở thời điểm t = nT ệc mang giá trị +- s và E(x ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung

sát, cx(t) là l c bên ngoài mà ta gi s t l v i ự cụ thể của mặt sấp và ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ửa ỉ ra rằng với p = q = 0.5 và m= 2k-n thì ệc mang giá trị +- s và E(x ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, x(t) Trên mô hình vĩ

mô, quá trình F(t) có th nhìn nh 1 quá trình nhi u tr ng chu n v iểm t ư ễu trắng chuẩn với ắt đầu từ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t ẩn N(0,1) ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, trung bình = 0 và ph công su tổng:

Trong đó T là nhi t đ tuy t đ i c a môi trệc mang giá trị +- s và E(x ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ệc mang giá trị +- s và E(x ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ường cần vẽ trên đồ thị,ng và k =1.37∗10−23(J /T )

là h ng s BoltZman Chúng ta sẽ xác đ nh các thu c tính th ng kêằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ị, ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung

c a x(t) trong các trủa đường cần vẽ trên đồ thị, ường cần vẽ trên đồ thị,ng h p khác nhau.ợc một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,

a) Chuy n đ ng ràng bu c (bound motion): ểu về Random Walk (bước ngẫu nhiên) và ứng ộng Brown ộng Brown

đ u tiên ta gi s l c ph c h i ần tung ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ửa ự cụ thể của mặt sấp và ụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung cx(t) ≠ 0 V i t đ l n, v trí x(t) c aớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ị, ủa đường cần vẽ trên đồ thị,

h t ti n v 1 tr ng thái tĩnh v i trung bình =0 và ph công su t:ạn ở thời điểm t = nT ếu tung được mặt ngửa ều này và (11-1) chỉ ra rằng với p = q = 0.5 và m= 2k-n thì ạn ở thời điểm t = nT ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ổng:

Đ xác đ nh các thu c tính th ng kê c a x(t), nó cũng đ đ tìm hàmểm t ị, ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ểm t

t tự cụ thể của mặt sấp và ươn thế nữa:ng quan c a nó Chúng ta sẽ làm nh v y theo gi đ nh r ngủa đường cần vẽ trên đồ thị, ư ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ị, ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k nghi m c a phệc mang giá trị +- s và E(x ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ươn thế nữa:ng trình m s2+fs+c=0 là ph c:ức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,

s1,2=−α ± jββ α= f

2 m α

2

+β2

m

Ta đã bi t l i gi i cho phếu tung được mặt ngửa ờng cần vẽ trên đồ thị, ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ươn thế nữa:ng trình: y ' '(t )+b y '(t )+cy (t)=x(t) có d ng: ạn ở thời điểm t = nT

R YY (τ )= q

2 bc e

−α|τ|

(cos βτ+ α

β sin β|τ|)

V i ớn quá trình ngẫu nhiên α= b

2;α

2

+β2=c ; E{y2(t )}= q

2 bc

thay b, c và q l n lần tung ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được kt b ng f /m, c /m và 2 kTf /m2

R x(τ )= kT

c e

−α|τ|

Nh v y v i 1 t c th , x(t) là m t bi n ng u nhiên chu n v i trungư ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ểm t ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ếu tung được mặt ngửa ẫu nhiên rời rạc ẩn N(0,1) ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, bình =0 và phươn thế nữa:ng sai R x(τ )= kT

c Do đó hàm m t đ làập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung :

f x(x )=√ c

2 πkTkT e

−c x2

Hàm m t đ có đi u ki n c a x(t) gi s ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ều này và (11-1) chỉ ra rằng với p = q = 0.5 và m= 2k-n thì ệc mang giá trị +- s và E(x ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ửa x t 0=x0 là 1 đường cần vẽ trên đồ thị,ng cong v iớc của đường cần vẽ trên đồ thị, trung bình là a x0 và phươn thế nữa:ng sai P, v iớc của đường cần vẽ trên đồ thị, :

a= R x(τ )

R x(0)P=R x(0)(1−a2)τ=t−t0

b) Chuy n đ ng t do: ểu về Random Walk (bước ngẫu nhiên) và ứng ộng Brown ự do:

ta nói 1 h t chuy n d ng t do n u nh l c tác đ ng vào nó b ng 0.ạn ở thời điểm t = nT ểm t ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ự cụ thể của mặt sấp và ếu tung được mặt ngửa ư ự cụ thể của mặt sấp và ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k Trong trường cần vẽ trên đồ thị,ng h p này thì phợc một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ươn thế nữa:ng trình trong 11.9 có d ngạn ở thời điểm t = nT

m x ' '(t )+f x '

(t)=F (t) (11.14)

Gi i pháp cho phả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ươn thế nữa:ng trình này không ph i là 1 quá trình tĩnh.ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k Chúng ta sẽ di n t no trong thu t ng c a v n tôc v(t) c a h t V iễu trắng chuẩn với ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ữa: ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ạn ở thời điểm t = nT ớc của đường cần vẽ trên đồ thị,

v (t )=x '(t) ta có :

m v '(t )+fv (t)=F (t ) (11.15)

L i gi i c a phờng cần vẽ trên đồ thị, ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ươn thế nữa:ng trình này là 1 quá trình ng u nhiên v iẫu nhiên rời rạc ớc của đường cần vẽ trên đồ thị,

S v (ω )= 2 kTf

m2ω2+f2R v (τ )=

kT

m e

−f ∨τ∨¿

T đó v(t) là 1 quá trình chu n v i trung bình b ng 0 và phừ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t ẩn N(0,1) ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ươn thế nữa:ng sai

kT

m, hàm m t đ làập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung :

f v(v )=√2 πkTkT m e

−m v2

Hàm m t đ có đi u ki n c a v(t) gi s ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ều này và (11-1) chỉ ra rằng với p = q = 0.5 và m= 2k-n thì ệc mang giá trị +- s và E(x ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ửa v (0 )=v0 là chu n v i trungẩn N(0,1) ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, bình av0 và phươn thế nữa:ng sai P th a mãnỏng, đối tượng đến va chạm với những lực khác :

a= R v(t )

R v(0)=e

−ft / m P= kT

m (1−a

2

)=kT

m (1−e

−2 ft /m

)

Trong v t lí (11.15) đập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c g i là đ nh lí Langevin, l i gi i c a nó làọi là ị, ờng cần vẽ trên đồ thị, ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ủa đường cần vẽ trên đồ thị, quá trình Ornstein-Uhlenbeck, và ph c a nó là Lorenzian.ổng: ủa đường cần vẽ trên đồ thị,

V trí x(t) c a h t là tích phân v n t c c a nóị, ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ạn ở thời điểm t = nT ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ủa đường cần vẽ trên đồ thị, :

x (t )=∫

0

t

v (α) dαα (11.18)

T đó ta tính đừ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, :c

E{x2(t )}=∫

0

t

∫

0

t

R v (α −β )dαα dαβ= kT

m∫

0

t

∫

0

t

e−f|α− β| /m dαα dαβ

Do đó :

E{x2(t )}=2 kT

f (t−

m

f +

m

f e

−ft /m

Nh v y v trí c a 1 h t trong chuyên đ ng t do là 1 quá trìnhư ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ị, ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ạn ở thời điểm t = nT ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ự cụ thể của mặt sấp và chu n nh ng không tĩnh v i trung bình b ng 0 và phẩn N(0,1) ư ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ươn thế nữa:ng sai là vếu tung được mặt ngửa

ph i c a 11.19ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ủa đường cần vẽ trên đồ thị,

V i t >> m/f, 11.19 tr thànhớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ở thời điểm t :

E{x2(t )}≅ 2 kT

f t=2 D

2

t D2≡ kT

Tham s D là h ng s khu ch tán.ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ếu tung được mặt ngửa

c) Qúa trình Wiener :

Bây gi chúng ta gi thi t r ng đ i lờng cần vẽ trên đồ thị, ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ếu tung được mặt ngửa ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ạn ở thời điểm t = nT ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,ng mx''(t) c a m t h tủa đường cần vẽ trên đồ thị, ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ạn ở thời điểm t = nT chuy n đ ng t do là nh so v i đ i lểm t ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ự cụ thể của mặt sấp và ỏng, đối tượng đến va chạm với những lực khác ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ạn ở thời điểm t = nT ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,ng ma sát fx'(t), n u f>>m/t.ếu tung được mặt ngửa

B qua đ i lỏng, đối tượng đến va chạm với những lực khác ạn ở thời điểm t = nT ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,ng mx'' (t) m c (11-14), ta k t lu n r ngở thời điểm t ụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ếu tung được mặt ngửa ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k :

Vì F(t) là nhi u tr ng v i ph là 2kTf, t (10-36) cùng v i v(t) = F(t)/ễu trắng chuẩn với ắt đầu từ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ổng: ừ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t ớc của đường cần vẽ trên đồ thị,

f và q(t)=2kT/f ta có:

Do đó, x(t) là m t qúa trình chu n tĩnh v i m t đ :ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ẩn N(0,1) ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung

Chúng ta th y r ng đó là m t quá trình v i gia t c đ c l p.Nó là quáằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, trình tiêu chu n,là quá trình v i gia t c tr c giao:ẩn N(0,1) ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ự cụ thể của mặt sấp và

(11-21)

v i ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, t1 t2 t3 t4 Th c t là x(ti) – x(tj) ch ph thu c vào giá tr c aự cụ thể của mặt sấp và ếu tung được mặt ngửa ỉ ra rằng với p = q = 0.5 và m= 2k-n thì ụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ị, ủa đường cần vẽ trên đồ thị, F(t) trong kho ng ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ( , )t t i j và F(t) là nhi u tr ng S d ng nó ta th yễu trắng chuẩn với ắt đầu từ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t ửa ụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và

r ng: ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k

R t t x( , )1 2 min( , )t t1 2 (11-22)

T (11-22), n u ừ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t ếu tung được mặt ngửa t1 t2 thì:

Do đó v trí c a m t h t chuy n đ ng v i gia t c không đáng k cóị, ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ạn ở thời điểm t = nT ểm t ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ểm t các thu c tính sau đây:ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung

+ Nó là quá trình chu n v i trung bình b ng 0, phẩn N(0,1) ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ươn thế nữa:ng sai t và tự cụ thể của mặt sấp và

tươn thế nữa:ng quan min( , )t t1 2 Đó là m t quá trình v i gia s đ c l p.ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,

+ M t quá trình v i các đ c tính nh v y g i là quá trình Wiener.ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ặt ngửa ư ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ọi là

Nh v y, nó là m u gi i h n v trí c a m t h t trong chuy n đ ng tư ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ẫu nhiên rời rạc ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ạn ở thời điểm t = nT ị, ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ạn ở thời điểm t = nT ểm t ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ự cụ thể của mặt sấp và

do khi t  ,và là m u gi i h n c a quá trình chuy n đ ng ng uẫu nhiên rời rạc ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ạn ở thời điểm t = nT ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ểm t ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ẫu nhiên rời rạc nhiên khi n  

+ Cu i cùng, chú ý r ng m t đ có đi u ki n c a x(t) ,gi đ nh x(t)=ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ều này và (11-1) chỉ ra rằng với p = q = 0.5 và m= 2k-n thì ệc mang giá trị +- s và E(x ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ị, x(t0), là chu n t c v i ẩn N(0,1) ắt đầu từ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ax 0 và phươn thế nữa:ng sai P ( 8-11):ở thời điểm t

Do đó:

Ph ương trình khuếch tán ng trình khu ch tán ến Đông) :

V ph i c a công th cếu tung được mặt ngửa ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, (11-23) là m t hàm ph thu c vào 4 bi n x,ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ếu tung được mặt ngửa x0, t và t0 Bi u th hàm này b i (x,xểm t ị, ở thời điểm t π(x,x 0; t,t0) ta rút ra được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c b ng cáchằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k

l y vi phân liên ti p c a:ếu tung được mặt ngửa ủa đường cần vẽ trên đồ thị,

∂ πkT

∂ t = D2 ∂ 2 πkT

∂ x❑2 ∂ πkT ∂ t

0 = -D2 ∂ 2 πkT

∂ x02 (11-24)

t i Dạn ở thời điểm t = nT 2 = /2.α/2

Phươn thế nữa:ng trình này được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ọi là c g i là ph ương trình khuếch tán ng trình khu ch tán ến Đông)

Nó được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c thi t l p l i Sec 16-4 trong ph m vi quá trình Markoff.ếu tung được mặt ngửa ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ạn ở thời điểm t = nT ở thời điểm t ạn ở thời điểm t = nT

3 nhi u nhi t (Thermals noise) ễn Trí Quân) ệt

a) t ng quan ổng quan ( Việt Hà )

nhi u nhi t là lo i nhi u gây ra b i hi n tễu trắng chuẩn với ệc mang giá trị +- s và E(x ạn ở thời điểm t = nT ễu trắng chuẩn với ở thời điểm t ệc mang giá trị +- s và E(x ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,ng chuy n đ ng c a cácểm t ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ủa đường cần vẽ trên đồ thị, electron do nhi t đ trong v t d n Lo i nhi u này có trong m iệc mang giá trị +- s và E(x ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ẫu nhiên rời rạc ạn ở thời điểm t = nT ễu trắng chuẩn với ọi là thi t b đi n t và các môi trếu tung được mặt ngửa ị, ệc mang giá trị +- s và E(x ửa ường cần vẽ trên đồ thị,ng truy n d n Nó là m t hàm c aều này và (11-1) chỉ ra rằng với p = q = 0.5 và m= 2k-n thì ẫu nhiên rời rạc ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ủa đường cần vẽ trên đồ thị, nhi t đ Nhi u nhi t đệc mang giá trị +- s và E(x ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ễu trắng chuẩn với ệc mang giá trị +- s và E(x ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c phân b m t cách đ ng đ u trên toàn bối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ều này và (11-1) chỉ ra rằng với p = q = 0.5 và m= 2k-n thì ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung

tr i ph t n s và do đó ngả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ổng: ần tung ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ường cần vẽ trên đồ thị,i ta g i nó là “nhi u tr ng” (whiteọi là ễu trắng chuẩn với ắt đầu từ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t noise)

Không th nào lo i tr hay h n ch đểm t ạn ở thời điểm t = nT ừ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t ạn ở thời điểm t = nT ếu tung được mặt ngửa ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c lo i nhi u này và do đó nóạn ở thời điểm t = nT ễu trắng chuẩn với

n m phía ngoài biên c a hi u năng c a các h th ng truy n thông.ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ệc mang giá trị +- s và E(x ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ệc mang giá trị +- s và E(x ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ều này và (11-1) chỉ ra rằng với p = q = 0.5 và m= 2k-n thì

Lược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,ng nhi u nhi t có trong 1 Hz d i thông c a b t kỳ m t v t d nễu trắng chuẩn với ệc mang giá trị +- s và E(x ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ẫu nhiên rời rạc nào đ u đều này và (11-1) chỉ ra rằng với p = q = 0.5 và m= 2k-n thì ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c tính theo công th c: N0 = kTức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,

Trong đó:

N0 là đ đo cột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ường cần vẽ trên đồ thị,ng đ nhi u, đ n v : watts/hertz.ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ễu trắng chuẩn với ơn thế nữa: ị,

k là h ng s Boltzmann = 1.3803 x 10-23 J/0Kằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung

T là nhi t đ , tính b ng đ đo Kelvin.ệc mang giá trị +- s và E(x ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung

Theo công th c trên, ta th y nhi u nhi t ph thu c vào t n s Doức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ễu trắng chuẩn với ệc mang giá trị +- s và E(x ụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ần tung ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung

đó, đ i v i m t tín hi u có d i thông là W (Hz) thì cối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ệc mang giá trị +- s và E(x ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ường cần vẽ trên đồ thị,ng đ nhi uột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ễu trắng chuẩn với nhi t tác đ ng vào tín hi u sẽ là:ệc mang giá trị +- s và E(x ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ệc mang giá trị +- s và E(x

N=k T W (watts/Hz)

N u tính theo đ n v decibel-watts thì:ếu tung được mặt ngửa ơn thế nữa: ị,

N = 10log k +10logT +10logW = −228.6 dBW+10logT +10logW

Ti p theo ta th o lu n v các đ c tính th ng kê c a nhi u nhi t bếu tung được mặt ngửa ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ều này và (11-1) chỉ ra rằng với p = q = 0.5 và m= 2k-n thì ặt ngửa ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ễu trắng chuẩn với ệc mang giá trị +- s và E(x ỏng, đối tượng đến va chạm với những lực khác qua các tính ch t v t lý c b n Phân tích đập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ơn thế nữa: ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c d a trên m t môự cụ thể của mặt sấp và ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung hình bao g m các ph n t ph n kháng không có nhi u và các đi nồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ần tung ửa ả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ễu trắng chuẩn với ệc mang giá trị +- s và E(x

tr có nhi u ở thời điểm t ễu trắng chuẩn với

M t đi n tr có nhi u đột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ệc mang giá trị +- s và E(x ở thời điểm t ễu trắng chuẩn với ược một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c mô hình hóa b i m t dãy đi n tr khôngở thời điểm t ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ệc mang giá trị +- s và E(x ở thời điểm t nhi u R m c n i ti p v i m t ngu n đi n áp ễu trắng chuẩn với ắt đầu từ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ếu tung được mặt ngửa ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ệc mang giá trị +- s và E(x n e (t) ho c m c songặt ngửa ắt đầu từ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t song v i ngu n hi n t i ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ệc mang giá trị +- s và E(x ạn ở thời điểm t = nT n i (t)=n e (t)/R nh trong hình 11-2 Nóư

được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c gi đ nh r ng nả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ị, ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k e(t) là m t quá trình bình thột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ường cần vẽ trên đồ thị,ng không đ nhị, nghĩa và ph d t(không đ i).ổng: ẹt(không đổi) ổng:

Sne(ω)=2kTR Sni(ω¿ = ¿ Sne(ω)/R2 =2kTG (11-25)

V i k là h ng s Botlzmann( k = 1,38(24).10ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung -23 J/K = 8,617(15).10-5

eV/K) T là nhi t đ tuy t đ i c a đi n tr và G=1/R là đ d n c aệc mang giá trị +- s và E(x ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ệc mang giá trị +- s và E(x ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ệc mang giá trị +- s và E(x ở thời điểm t ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ẫu nhiên rời rạc ủa đường cần vẽ trên đồ thị, nhi t c a nó H n n a, ngu n nhi u c a các m ng lệc mang giá trị +- s và E(x ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ơn thế nữa: ữa: ồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ễu trắng chuẩn với ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ạn ở thời điểm t = nT ước của đường cần vẽ trên đồ thị,i đi n trệc mang giá trị +- s và E(x ở thời điểm t khác nhau là nh ng quá trình đ c l p v i nhau L u ý s gi ng nhauữa: ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ư ự cụ thể của mặt sấp và ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung

gi a ph ữa: ổng: (11-25) c a nhi u nhi t và ph ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ễu trắng chuẩn với ệc mang giá trị +- s và E(x ổng: (11-10) c a các l c vaủa đường cần vẽ trên đồ thị, ự cụ thể của mặt sấp và

ch m trong chuy n đ ng Brown.ạn ở thời điểm t = nT ểm t ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung

S d ng nh ng đi u trên và các thu c tính c a h th ng tuy n tính,ửa ụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ữa: ều này và (11-1) chỉ ra rằng với p = q = 0.5 và m= 2k-n thì ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ệc mang giá trị +- s và E(x ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ếu tung được mặt ngửa chúng ta sẽ l y được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c ph các thu c tính c a đáp ng h th ng b tổng: ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, ệc mang giá trị +- s và E(x ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ắt đầu từ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t

đ u v i m t ví dần tung ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và

Ví d : ụng M ch đi n trong hình dạn ở thời điểm t = nT ệc mang giá trị +- s và E(x ước của đường cần vẽ trên đồ thị,i đây bao g m m t đi n tr và m tồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ệc mang giá trị +- s và E(x ở thời điểm t ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung

t đi n Chúng ta sẽ quan tâm đ n ph c a đi n áp ụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ệc mang giá trị +- s và E(x ếu tung được mặt ngửa ổng: ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ệc mang giá trị +- s và E(x v(t) trên t đi nụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ệc mang giá trị +- s và E(x gây b i nhi u nhi t Đi n áp ở thời điểm t ễu trắng chuẩn với ệc mang giá trị +- s và E(x ệc mang giá trị +- s và E(x v(t) được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,c xem nh đ u ra c a m t hư ần tung ủa đường cần vẽ trên đồ thị, ột đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ệc mang giá trị +- s và E(x

th ng v i đ u vào là đi n áp nhi u ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung ớc của đường cần vẽ trên đồ thị, ần tung ệc mang giá trị +- s và E(x ễu trắng chuẩn với n e (t) và hàm h th ng: ệc mang giá trị +- s và E(x ối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung

H(s)= 1+RCs1

Áp d ng công th c (10-136) ta cóụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị,

Sv( ω)=Sn

e( ω)|H (ω)|2= 2 kTR

1+ω2 R2T2

Rv( τ )= KT

C e

−|τ|/RC

(11-26)