Tìm hiểu quá trình hồi phục và áp dụng

Tìm hiểu quá trình hồi phục và áp dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Viện Công nghệ Thông tin và Truyền thông

BÀI TẬP LỚN IT3061 - QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG

Đề tài 8:

TÌM HIỀU QUÁ TRÌNH HỒI PHỤC VÀ ÁP DỤNG

Sinh viên thực hiện:

Mục lục

I KHÁI NIỆM VÀ Ý NGHĨA CỦA QUÁ TRÌNH HỒI PHỤC 4

1 Kh i ni m ề u tr nh h i h c 4

2 Ý ngh a c a u tr nh h i h c 4

3 C c t nh ch t c a u tr nh h i h c 5

II QUÁ TRÌNH HỒI PHỤC ỔN ĐỊNH 8

III QUÁ TRÌNH POISSON ĐỒNG NHẤT MỘT CHIỀU 13

IV MÔ PHỎNG QUÁ TRÌNH HỒI PHỤC VỚI PHẦN MỀM MATLAB 17

1 Mô hỏng u tr nh h i h c có hân hối đều 17

2 Mô hỏng u tr nh h i h c có hân hối tùy ý 19

3 Mô phỏng u tr nh đếm h i h c ổn định 21

V TÀI LIỆU THAM KHẢO 22

Phân công công việc

 Phần 1: Vũ Văn Ước, Nguyễn Văn Mạnh

 Phần 2: Phạm Văn Thịnh, Nguyễn Nam Tiến

 Phần 3: Trần Hải Sơn, Đỗ Tiến Lộc

 Phần 4: Phan Tự Quốc Thắng, Nguyễn Viết Thắng

 Tổng hợp viết báo cáo: Phan Tự Quốc Thắng

I KHÁI NIỆM VÀ Ý NGHĨA CỦA QUÁ TRÌNH HỒI PHỤC

1 Kh i ni m ề u tr nh h i h c

Đ t T n (n ≥ 1) là một dãy biến ngẫu nhiên h ng m, ộc l p và c c ng ph n

phối ược ác ịnh trên h ng gian ác u t

Ta t v n v ộ tin c y như au: Tại th i i m 0, hệ c t bắt ầu với 1 thành phần mới và au n bị h ng tại th i i m ngẫu nhiên t 1 Tại th i i m này, 1 thành phần mới hác l p t c c thay thế cho thành phần ầu tiên trong hệ,

au n cũng bị h ng tại th i i m t 2 và c tiếp t c uá tr nh như v y T t cả

các thành phần này u c ng loại

Ta g i t n (n ≥ 0) là các th i i m thay thế liên tiếp Tuổi th c a các thành

phần liên tiếp ược ưa vào hệ cho b i:

Quá tr nh h i ph c c ngh a uan tr ng hông ch v m t l thuyết toán h c

mà c n c ng d ng r t lớn trong các bài toán thực tế Ta t 2 v d au:

V : Ta t hệ thống hàng ợi c a một dịch v , hách hàng nào tới trước

ược ph c v trước Trong nhi u m h nh c a l thuyết hàng ợi, uá tr nh ến ược th a nh n là một uá tr nh h i ph c Trong trư ng hợp này, biến ngẫu

nhiên S n là th i gian ến c a hách hàng th n, hi hách hàng ố 0 ược

ph c v tại th i i m 0 và biến ngẫu nhiên T n m tả hoảng th i gian ến gi a

hách hàng th (n-1) và th n

V : Quá tr nh h i ph c cũng ược t trong l thuyết r i ro Ta t một

c ng ty bảo hi m bắt ầu tại th i i m 0 với ố vốn ban ầu ( ≥ 0) hách

hàng ng ph bảo hi m và c ng ty bảo hi m phải trả ti n b i thư ng hi hách

hàng ảy ra tai nạn Trong trư ng hợp này, biến ngẫu nhiên T n m tả yêu cầu b i

thư ng bảo hi m th n và c ng ty bắt ầu m t chi trả ti n b i thư ng với yêu cầu ầu tiên ược g i là yêu cầu b i thư ng 0, biến ngẫu nhiên T n là

hoảng th i gian ến gi a ự b i thư ng th (n – 1) và th n

Do :

Bây gi giả r ng P{T 1 = ∞ = 0 Th o ịnh ngh a c a N t , ta c S Nt ≤ < S Nt + 1

với m i ≥ 0 hia các vế cho N t ta ược:

Hàm h i h c: ch nh là v ng c a uá tr nh ếm h i ph c

Đ ng th c Wald: Cho Z 1 , Z 2 , Z 3 , là các biến ngẫu nhiên i.i.d với E(Z1) < ∞

Cho τ là i m d ng c a (Zn) với Eτ < ∞ hi :

Ch ng minh: ta c

h r ng

và τ là 1 i m d ng cho (Z n ) nên biến ngẫu nhiên Z i và I{ ≤ τ là ộc l p o ,

ta ược:

( pcm)

Thuyết h i h c cơ ản với µ € (0, ∞), th

Ch ng minh: h ng ta giả r ng µ < ∞ Đầu tiên ta ch ng minh :

Do

ch ph thuộc vào T 0 , , n Với mỗi ≥ 0 biến ngẫu nhiên N t là i m d ng

cho T k S d ng n ta ược:

Do

Trư ng hợp tổng uát, ta c :

Suy ra:

II QUÁ TRÌNH HỒI PHỤC ỔN ĐỊNH

Phần này trả l i cho c u h i khi nào thì quá trình h i ph c  Y t t0 ổn ịnh Theo

ín ấ M , i u kiện Y t = S Nt + 1 – t ( ≥ 0) ổn ịnh là L( Y t ) không

ph thuộc vào t Nếu(X n)n0 không tuần hoàn, tối giản và trả lại chuỗi Mar ov dương th :

với n ∞ cho m i x,y Є S, y π là phân phối ổn ịnh duy nh t c a (X n)n0

Chung quy là tìm quy lu t c a Y t = S Nt + 1 – t với t ∞ Đ t A :=t – t S N tlà tuổi

c a m t hàng trong th i gian s d ng t

Đ giải thích nh ng thiết l p trên, trước tiên chúng ta nhìn lại các chuỗi

h i ph c ổn ịnh Hãy xem xét quá trình bổ sung Y n,Z nn0, y Z n là tổng th i

gian t n tại c a m t hàng ược s d ng tại n.Th o Y n,Z nn0 là một chuỗi Markov trong không gian trạng thái

với ma tr n chuy n ổi

Lưu r ng chuỗi Y n,Z nn0 là tối giản vì

= z biến ngẫu nhiên U T 1

phân phối u trên t p {0,

, z−1} o :

Đ π là một ước lượng ổn ịnh, nó phải bảo ảm các phương tr nh sau c n b ng:

Nh n t :

M nh đề: Giả 0<μ <1 và cho L( T0) có m t ộ

i) Với m i n ≥ 2, L( S n ) c m t ộ

(1) ii)

Chú ý: M t ộ g (1) tương tự π * ( y gắn với giá trị riêng 1!)

E(N t+h - N t )=u(t+h) - u(t) =

kh ng ph thuộc vào t Hi n nhiên, t nh ch t này là c trưng cho t nh ch t ổn

ịnh

M nh đề Nếu L(T 0 ) c m t ộ g, thì (Y t ) t>=0 là một uá tr nh ổn ịnh

C n n h cần ch ra r ng L(Y t ) c m t ộ g với m i ≥0 Với mỗi y≥0:

Như ã n i trên m t ộ g inh ra t L(T1) b i một ố dạng ph n phối

ch thước Th o ch ng ta ưa ra ịnh ngh a chuẩn cho hái niệm này

Định ngh a Cho X là một biến ngẫu nhiên h ng m với 0<EX<∞ Biến ngẫu

Trong các trư ng hợp r i rạc cần ch ến c p uá tr nh (Y t , Z t ) ≥0 khi

là tổng ố lần d ng tại t Th o 2 ịnh l v ự hội t

dưới y h ng m u thuẫn với các thiết l p th i gian r i rạc

Định lý: Giả 0< <∞ và L(T 1 ) là non-lattice ( với m i

≥2) hi :

giảm dần hi t∞,với m i 0 ≤ y ≤ z <∞, z > 0

Định lý h i h c Blackwell: Giả 0 < u < ∞ và L(T 1 ) là non-lattice với m i

h ≥ 0 ta có:

III QUÁ TRÌNH POISSON ĐỒNG NHẤT MỘT CHIỀU

Quá trình Poisson, t th o tên nhà toán h c ngư i Pháp Siméon-Denis Poisson

(1781 - 1840) là một uá tr nh ngẫu nhiên ược ịnh ngh a th o ự u t hiện c a các biến cố

n n n n ấ 1 là uá tr nh h i ph c trong trư ng

hợp biến ngẫu nhiên T j ( ≥ 1) ph n phối theo hàm mũ, với tham ố hàm mũ

h ng ổi trong uốt uá tr nh và ch t trên 1 hoảng dương c a biến ngẫu nhiên

Định ngh a: Quá tr nh ngẫu nhiên ph n phối th o hàm mũ

Biến ngẫu nhiên T không âm ược g i là ph n phối theo hàm mũ với tham ố λ > 0 nếu:

Với T j , j ≥ 0 coi biến Exp (λ) là ộc l p ph n phối ngẫu nhiên Sau , thiết

l p ngẫu nhiên cho Φ := {Sn: n ≥ 1} ược g i là một quá trình Poisson n

n ấ trên R +

với tần u t λ

Các " ng nhất" c p ến quá trình (N t ) có ố gia λ không thay

ổi

Một uá tr nh ngẫu nhiên N(t) là một quá trình Poisson (th i gian-thuần

Tổng uát hơn, một quá trình Poisson là một uá tr nh gán cho mỗi

hoảng th i gian bị ch n hay mỗi v ng bị ch n trong một h ng gian nào

(chẳng hạn, một ặ ẳn E hay một không gian Euclid 3 chi u) một ố

ngẫu nhiên các biến cố, ao cho:

 ác ố lượng biến cố trong các hoảng th i gian (hay v ng h ng gian) h ng giao nhau là các biến ngẫu nhiên ộc l p

 Số biến cố trong mỗi hoảng th i gian hay v ng h ng gian là một biến ngẫu nhiên với ph n bố Poi on

h ng ta liệt ê các t nh ch t cơ bản c a ph n phối Poisson:

Định ngh a Quá tr nh Poi on ng nh t 1 chi u

Một uá tr nh Poi on một chi u trên hoảng t 0 ến ∞ c th ược m

là một hàm ngẫu nhiên h ng giảm với giá trị nguyên N(t), hàm này ếm ố lần

" u t hiện" trước th i i m t ũng như mỗi biến ngẫu nhiên Poi on ược c trưng b i một tham ố v hướng (scalar parameter) λ, mỗi uá tr nh Poi on ược c trưng b i một hàm t lệ λ(t), là ỳ v ng c a ố lần u t hiện hay

"biến cố" ảy ra trong mỗi ơn vị th i gian Nếu t lệ là h ng ố, th ố N(t) biến cố ảy ra trước th i i m t c một ph n bố Poi on với giá trị ỳ v ng λt

Cho X t là ố lần u t hiện trước th i i m t, T x là th i i m c a lần u t

hiện th x, với x = 1, 2, 3, (Ta d ng hiệu X lớn và T lớn cho các biến ngẫu nhiên, và x nh và t nh cho các giá trị h ng ngẫu nhiên.) Biến ngẫu nhiên X t có

một n x ấ ờ ạ - một ph n bố Poi on - và biến ngẫu nhiên T x có

bố ác u t c a các biến ngẫu nhiên liên t c này Trong trư ng hợp tỷ lệ, ngh a

là ỳ v ng c a ố lần u t hiện trong mỗi ơn vị th i gian, là h ng ố, c ng việc này há ơn giản th , t th i gian ợi cho tới lần u t hiện th nh t ễ

th y, th i gian lớn hơn t hi và ch hi ố lần u t hiện trước th i i m t là

b ng 0 Nếu tỷ lệ là λ lần u t hiện trong mỗi ơn vị th i gian, ta c

P(T1 > t) = P(Xt = 0) = e-λt

o , th i gian ợi cho ến lần u t hiện ầu tiên tu n th o một phân phối mũ Ph n phối mũ này c giá trị ỳ v ng 1/λ N i cách hác, nếu tỷ lệ b nh

u n c a các lần u t hiện là 6 lần mỗi ph t chẳng hạn, th th i gian ợi trung

b nh tới hi c lần u t hiện ầu tiên là 1/6 ph t Ph n phối mũ h ng c hả năng nhớ, ngh a là ta c :

P(T1 T1 > ) = P(T1 > s)

ng th c trên c ngh a là ác u t c i u iện cho việc "ta phải ợi lần

u t hiện ầu tiên thêm nhi u hơn, chẳng hạn, 10 gi y n a, biết r ng ta ã ợi 30

gi y r i mà chưa ược" h ng hác với ác u t c a việc "ta v a mới bắt ầu

ợi và ta phải ợi thêm t nh t 10 gi y n a" Sinh viên h c m n ác u t thư ng

g p phải nhầm lẫn Thực tế r ng P(T1 > 40 | T1 > 30) = P(T1 > 10) không có

ngh a r ng các biến cố T1 > 40 và T1 > 30 là ộc l p T m lại, t nh ch t h ng bộ nhớ c a ph n bố ác u t c a th i gian ch ợi T cho ến lần u t hiện tiếp th o

c ngh a là:

P(T1 > 40 | T1 > 30) = P(T1 > 10)

Nó không c ngh a là:

P(T1 > 40 | T1 > 30) = P(T1 > 40)

Định ngh a Cho N1: = | Φ ∩ [0, 1] | là ố i m c a Φ trong hoảng ơn vị

N1 là ph n phối Poisson với trung bình λ

Với N1 = n, biến ngẫu nhiên (S1, , Sn) ược ph n phối với thống ê là (U(1), , U (n)) c a n biến ộc l p , thống nh t, ngẫu nhiên U1 , Un

1 Mô hỏng u tr nh h i h c có hân hối đều

Đoạn cod matlab au tạo ra một ma tr n c a N uá tr nh ếm h i ph c ộc

l p có ph n phối u trên (0, 1) G m 3 bước:

- Tạo các i m h i ph c ược tổ ch c thành một ma tr n cột V ng

l p là cần thiết v ta h ng biết trước ố lượng i m h i ph c trong

oạn [0, tmax]

% thêm điểm hồi phục 0 để đồ thị đẹp hơn

rntimes = zeros(1, nproc);

% tạo các điểm hồi phục tổ chức thành ma trận cột

% có thể thay hàm rand() bằng một bộ tạo số ngẫu nhiên khác % từ một phân phối dương

i = 1;

while (min(rntimes(i, :))<=maxtime)

rntimes = [rntimes; rntimes(i, :)+rand(1, nproc)];

i = i+1;

end

- Loại b các i m h i ph c n m ngoài c a ổ v ng hi n thị

ex_i = find(rntimes>maxtime);

rntimes(ex_i) = maxtime;

- Tạo uá tr nh ếm

% tạo ra các bước nhảy của các quá trình đếm

% không lấy tổng vì ta không biết số điểm hồi phục

2 Mô hỏng u tr nh h i h c có hân hối tùy ý

Đ c uá tr nh h i ph c với ph n phối t y , ta cần a ổi oạn cod phần 1

b ng cách thay ổi bộ tạo ố ngẫu nhiên ác thay ổi như au:

- Thêm hai hàm l và hai mảng các vào phần m ầu

function [rntimes, rncount] = rencount(nproc, maxtime, distr1, ren1_par, distr2, ren2_par, b_verb)

- Tạo các i m h i ph c tổ ch c thành ma tr n cột

% tham số cho bộ tạo số ngẫu nhiên

rnd_par1 = {1 nproc ren1_par{:}};

rnd_par2 = {1 nproc ren2_par{:}};

% lần hồi phục đầu tiên

rntimes = [zeros(1, nproc); feval(distr1, rnd_par1{:})]; % tạo các quá trình hồi phục thành ma trận cột

i = 2;

while (min(rntimes(i, :))<=maxtime)

rntimes = [rntimes; rntimes(i, :)+ feval(distr2,

V TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Jochen Geiger, section 2: Renewal processes, Applied Stochastic

Processes, 2007

2 Athanasios Papoulis, chapter 10: General Concepts, Probability, Random

Variables, and Stochastic Processes, third edition, McGraw-Hill, Inc

3 Trần Quang hánh, Matlab n n , NXB hoa h c và ỹ thu t, Hà

Nội-2005

4 TS H Văn Sung, ự n xử ín n y ín PC

MATLAB, tái bản lần 2, NXB hoa h c và ỹ thu t, Hà Nội-2006

5 Hướng dẫn m ph ng uá tr nh ngẫu nhiên trên Matlab:

http://www2.math.uu.se/research/telecom/software/