Ứng dụng của phương trình vi phân trong một số bài toán mạch điện

Nguyễn Văn Hùng, luậnvăn Thạc sĩ chuyên ngàng Toán giải tích với đề tài: “ứng dụng của phương trình vi phân trong một số bài toán mạch điện” đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, l

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

sư PHẠM HÀ NỘI 2

• • • •

NGHIÊM THỊ BÌNH

ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyền ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2014

LỜI CẢM ƠNTôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất tới phòng sau Đại học,các thầy cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, đã tận tìnhgiúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và tốt nghiệp.

ngưòi đã định hướng cho tôi chọn về tài này, và tận tình giúp đỡ, hướng dẫntôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tói sự giúp đỡ của gia đình, bạn

bè và các đồng nghiệp trong thời gian qua

Mặc dù đã cố gắng, xong do điều kiện về thời gian và kinh nghiệm thực

tế còn nhiều hạn chế nên trong luận văn không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy,tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cũng như của cácbạn bè, đồng nghiệp

Tôi xỉn chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tá c g iả l uậ n v ăn

Nghiêm Thị Bình

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng, luận

văn Thạc sĩ chuyên ngàng Toán giải tích với đề tài: “ứng dụng của phương

trình vi phân trong một số bài toán mạch điện” đây là công trình nghiên

cứu của riêng tôi, luận văn này không giống hoàn toàn bất cứ luận văn hoặccác công trình đã có trước đó

Tôi cũng xin cam đoan rằng các nội dung tham khảo, thông tin trích dẫntrong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tá c g iả l uậ n v ăn

Nghiêm Thị Bình

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Phương trình vi phân 3

1.1.1 Phương trình vi phân cấp một 3

1.1.2 Phương trình vi phân cấp cao 4

1.1.3 Phương trình vi phân hai 6

1.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 6

1.1.5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số 8

1.1.6 Nguyên lý chồng chất nghiệm 10

1.2 Mạch điện và mô hình mạch điện 11

1.2.1 Định nghĩa mạch điện: 11

1.2.2 Cấu trúc của mạch điện 11

1.2.3 Các hiện tượng điện tò 12

1.2.4 Mô hình mạch điện 12

1.2.5 Các khái niệm cơ bản trong mạch điện 13

1.3 Các định luật cơ bản trong mạch điện 15

1.3.1 Định nghĩa dòng điện một chiều 15

1.3.2 Định luật omh 15

1.3.4 Định luật Kirchhoff: 16

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHẦN CẤP MỘT VÀO BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN 17

2.1 Điều kiện đầu và điều kiện cuối của mạch điện 17

2.1.1 Điều kiện đàu của mạch điện 17

2.1.2 Điều kiện cuối của mạch điện 18

2.2 Phương trình vi phân thuần nhất với mạch điện không chứa nguồn ngoài 19

2.2.1 Mạch RC không chứa nguồn ngoài 20

2.2.2 Mạch RL không chứa nguồn ngoài 24

2.3 Một số bài toán khác 29

Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI VÀO BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN 30

3.1 Điều kiện đầu và điều kiện cuối của mạch điện 30

3.2 Đáp ứng, tính chất và ý nghĩa vật lý của các đáp ứng của mạch điện 32

3.2.1 Đáp ứng tự nhiên của mạch điện 32

3.2.2 Đáp ứng ép của mạch điện 33

3.3 Phương trình vi phân cấp hai - mạch điện với hai phần tử tích trữ năng lượng 34

3.3.1 Phương trình vi phân cấp hai đối với các đáp ứng 34

3.3.2 Đáp ứng tự nhiên của mạch điện 35

3.3.3 Đáp ứng ép của mạch điện bậc 2 39

3.3.4 Đáp ứng đầy đủ của mạch điện bậc 2 41

3.3.5 Phương trình vi phân cấp 2 với Mạch RLC khi đóng vào nguồn điện áp không đổi 43

3.4 ứng dụng Matlab vào bài toán mạch điện 46

KẾT LUẬN 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

Người ta thấy rằng hầu hết các quy luật của khoa học tự nhiên, của kinh

tế, hay của kỹ thuật đều được phát biểu dưới dạng các phương trình vi phân

Từ những năm 60 của thế kỷ 20, nhiều nhà nghiên cứu nước ngoài đã bắt tayvào nghiên cứu các tính chất định tính các mô hình điều khiển kỹ thuật mộtcách mạnh mẽ Đặc biệt những kiến thức về phương trình vi phân đã đượcứng dụng vào ngành kỹ thuật điện

Thật vậy, cuộc sống con người hiện nay đã gắn liền với ánh sáng củađiện, Câu hỏi đặt ra là những nguồn ánh sáng đó xuất hiện từ đâu? Cơ chế xâydựng và hoạt động của nó như thế nào? Một phần được giải thích nhờ nhữngkiến thức của phương trình vi phân

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các cơ chế hoạt động của dòng điệnnhờ phương trình vi phân, nhờ sự gợi ý, giúp đỡ và hướng dẫn của Thầy giáo,

của phương trình vỉ phân trong một sổ bài toán mạch điện”.

2 Mục đích nghiền cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày một số bài toán về mạch điện nhờphương trình vi phân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về một số bài toán về mạch điện một chiều hay xoay chiều,

và cụ thể là quá trình quá độ xảy ra trong mạch điện

Sử dụng phương trình vi phân để xây dựng và giải một số bài toán vềmạch điện

4 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: ứng dụng của phương trình vi phân vào các mạchđiện

Phạm vi nghiên cứu: Phương trình vi phân, và ứng dụng của phương trình vi phân vào các bài toán mạch điện

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của phương trình vi phân

Phương pháp nghiên cứu của kỹ thuật điện

Nếu trong miền D, từ phương trình (1.1) ta có thể giải được y'

Bài toán Cauchy: Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 là

vô số, cho nên người ta thường quan tâm đến nghiệm thỏa mãn

những điều kiện nào đấy Chẳng hạn tìm nghiệm của phương

trình (1.1) hoặc (1.2) thỏa mãn điều

kiện:

y (x 0 ) = y 0

trong đó X Ữ , y0 là các số cho trước Điều kiện (1.3) được gọi là

điều kiện ban đầu Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.1)

hoặc phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.3) được

gọi là bài toán Cauchy

Điều kiện Lỉpschỉzz: Trong miền D hàm F ( X , Y ) thỏa mãn điều

kiện Lipschizz biến y nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho:

f(x,y 1 )-f(x,y 2 )\<L\ỵ 1 -y 2

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Giả sử hàm /(X, >■) thỏa

mãn điều kiện

i, Hàm F ( X , y) liên tục trong miền D

trong D

Khi đó ứng với mỗi điểm (jc0,_y0) gD tồn tại duy nhất nghiệmỴ

= _y(jc) của

là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) ừong miền G nếu:

định từ (1.6) Nghiệm riêng: Nghiệm của (1.2) mà tại mỗi

điểm của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được

đảm bảo, được gọi là nghiệm riêng Nghiệm kì dị: Nghiệm

của phương trình (1.2) mà tại mỗi điểm tính duy nhất nghiệm

của bài toán Cauchy bị phá vỡ, được gọi là nghiệm kì dị

1.1.2 Phương trình vỉ phân cấp cao

Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát là:

Hàm F được xác định trong miền G nào đấy của không

các biến X, y, y', y ^ n ^

nhưng Ý nhât thiêt phải có mặt.

Nếu từ (1.7) ta giải ra được đạo hàm cấp cao nhất, tức là

phương trình (1.7) có dạng:

ra đối vói đạo hàm cấp cao nhất

trình (1.7) hoặc (1.8) thỏa mãn điều kiện ban đầu:

trong đó JC0, , J 0 y 0 ( n _ 1 ) là các giá trị cho trước

Nghiệm tổng quát: Ta giả thiết rằng miền G là miền thỏa mãn

định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình

(1.8), tức là nghiệm bài toán Cauchy tồn tại và duy nhất đối

^2 =¥2( X 0 , Y 0 , Y 0 >->yo( *) ^

c»° =Wn (*0 '>•••> y 0(n_1))

trình (1.8) ứng

với mỗi hệ số c°,c°, ,c° được xác định tò (1.10) khi

JC 0 , J 0 ,y 0 ( " _ 1 ) biến thiên trong G

Nghiệm riêng: Nghiệm của phương trình (1.8) mà tại mỗi

điểm của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được

đảm bảo gọi là nghiệm riêng của phương trình (1.8)

Nghiệm kì dị: Nghiệm của phương trình (1.8) mà tại mỗi

điểm của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị phá

vỡ được gọi là nghiệm kì dị của phương trình (1.8)

Bài toán Cauchy: Là bài toán tìm nghiệm của phương trình

(1.11) hoặc (1.12) thỏa mãn điều kiện ban đầu:

trong đó X 0 , , y0' là các giá trị cho trước

điều kiện Lipschizz biến Y , Y ' nếu tồn tại hằng số L > 0 sao

cho:

\f (x, y i ,y ì )- f(x , y 2 ,y 2 )\ ^ L (|ji -y 2 \ + \y i Vl)

Với V(x, Y LT Y ,') <= G ; V(JC, Y V Y2) G G

Định lý về sự tồn tại nghiệm và duy nhất nghiệm.

Định lý 1.1 Giả sử hàm /(X, Y , Y') thỏa mãn điều kiện

i, Hàm /(X, Y , y') liên tục trong miền G

ii,Hàm F ( X , Y , Y ') thỏa mãn điều kiện Lipschizz theo

y trong G Khi đó ứng với mỗi điểm (jc0 , Y 0 , Y 0 ') e G tồn tại

duy nhất nghiệm của phương trình (1.12) thỏa mãn điều kiện

ban đàu _y(jc0) = _y0 , _y'(jc0) = _y0'

1.1.4 Phưong trình vỉ phân tuyến tính cấp 2.

Định nghĩa: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương

trình có dạng: Y "+ P ( X ) Y '+ Q ( X ) Y = F ( X)

(1.13)trong đó P ( X) , Q ( X ), F ( X ) là những hàm số liên tục.

Neu F ( X ) = 0 thì (1.13) còn được gọi là phương trình vi

phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất

phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất

Và đặc biệt khi P ( X) , Q ( X ) là những hằng số thì (1.13)

còn được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ

số là hằng số

Phương pháp giải:

1 Giải phương trình có dạng: Y " + P ( X ) Ỵ ' + Q ( X) Ỵ = 0

(1-14) Cấu trúc nghiệm của phương trình phân tuyến tínhcấp 2 thuần nhất

Định lý 1.2 Nếu j 2 (jc) là hai nghiệm nào đó của phương trình

của phương trình (1.14)

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính

độc lập tuyến tính của phương trình (1.14) thì nghiệm tổng

Định lý 1.4 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến

tính cấp 2 không thuần nhất (1.13) bằng nghiệm tổng quát của

trình (1.13)

Dựa vào phương pháp biến thiên hằng số Lagrange ta xác

định được nghiệm riêng:

1.1.5 Phương trình vỉ phân tuyến tính cấp 2 hệ sổ hằng sổ.

Định nghĩa: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

số là phương trình có dạng:

ừong đó: P , Q là các hằng số, /(*) là hàm liên tục

Nếu F ( X ) = 0 thì (1.15) còn được gọi là phương trình vi

phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số thuần nhất

Nếu F ( X ) ^ 0 thì (1.15) còn được gọi là phương trình vi

phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số không thuần nhất

Phương pháp giải:

(1-16)

Bước 1 Giải phương trình đặc trưng K 2 + PK + Q = 0, tìm

Trường họp 2 Nếu , K 2 G R và = K 2 lúc đó ta có hai nghiệm

riêng độc lập tuyến tính là K ^ X ) = E K ' X , K 2 ( X ) = XE K ' X Khi đó

phương trình có nghiệm tổng quát:

Y = (Cj +C 2 x)e k l X

Trường họp 3 Nếu K X , K 2 &R là hai số phức liên hợp K Í = A + I /

3, K 2 = A - I Ị3

lúc đó các nghiệm riêng Y L ( X ) = E AX COS FIX ;

Y 2 ( X )= E AX sin P X Khi đó ta có nghiệm tổng quát của

phương trình (1.16) là:

Y = e * X (C 1 co s fix+C 2 s in Ịìx)

2 Giải phương trình: Y "+ PY '+ QY = F ( X ) ( P , Q là hằng số)Như ta đã biết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

Trong đó Y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, Y là một nghiệm riêng của phương trình (1.15) Nếu F ( X )

đặc trưng ( A ^ K L , K 2 ), lúc đó ta sẽ tìm được nghiệm riêng Y dướidạng Y = Q N ( X ) E AX Trong đó Q N ( X) là đa ứiức cùng bậc n với

P N ( X )

Để xác định hệ số của đa tìiức Q N ( X ) ta đạo hàm Y '; Y " thay

vào phương trình (1.15) ta được:

nghiệm riêng được tìm dưới dạng: y = [Q[ Ọc)cosj3x + /? ;

(jc)sin/?jc]e ax

Trong đó Qị (x) , Rị (x) ( / = max ịm, n} ) là đa thức bậc l.

Neu A ± IJ 3 là nghiệm của phương trình đặc trung thì nghiệm

riêng được tìm dưới dạng Y = \Q L Ọ C)cos F 3 X + R T (x)sinỊ3 X \

Neu Y 1 (jc) là một nghiệm riêng của phương trình Y "+

PY '+ QY = F Xộc) Nếu Y 2(jc) là một nghiệm riêng của phương trình Y"+ P Y'+ Q Y = F 2 ( X ) Thì Y = j,(jc) + J2(x) là một nghiệm riêng của phương trình (1.18)

1.2 Mach điên và mô hình mach điên

Hình 1.1Nguồn điện: Là nguồn dùng để cung cấp năng lượng điệnhoặc tín hiệu điện cho mạch, nguồn được biến đổi từ các dạngnăng lượng khác sang điện năng

Ví dụ máy phát điện (biến đổi cơ năng thành điện năng),

ắc quy (biến đổi hóa năng sang điện năng)

Phụ tải: Là thiết bị nhận năng lượng điện hay tín hiệuđiện Phụ tải biến đổi năng lượng điện sang các dạng nănglượng khác

Dây dẫn: Là thiết bị làm nhiệm vụ truyền tải năng lượngđiện từ nguồn đến nơi tiêu thụ

Ngoài ra còn có các phần tử khác như: Phàn tử làm thayđổi áp và dòng điện trong các phần khác của mạch (như máybiến áp, máy biến dòng), phần tử làm giảm hoặc tăng cườngcác thành phần nào đó của tín hiệu (các bộ lọc, bộ khuếchđại),

Nguồn gr' ^T|

1.2.2 Cấu trúc của mạch điện

Nhánh: Là tập họp gồm nhiều phần tử ghép nối tiếp trong

đó mạch điện được ghép có cùng một dòng điện

Nút: Là điểm nối của ba nhánh trở lên

Vòng: Là tập hợp nhiều nhánh tạo thành vòng kín, vòng có tính chất lànếu bỏ đi một nhánh thì không tạo thành vòng kín nữa.

Mắc lưới: Là vòng mà bên trong nó không còn vòng nào khác

1.2.3 Các hiện tượng điện từ

Các hiện tượng điện tò gồm hai hiện tượng là hiện tượng biến đổi nănglượng và hiện tượng tích phóng năng lượng điện từ

Hiện tượng biến đổi năng lượng: Gồm hiện tượng nguồn và hiện tượngtiêu tán

Hiện tượng nguồn: Là hiện tượng biến đổi năng lượng từ các dạngnăng lượng (như cơ năng, hóa năng, nhiệt năng ) thành năng lượng điệntừ

Hiện tượng tiêu tán: Là hiện tượng biến đổi năng lượng điện từ thànhcác dạng năng lượng khác như nhiệt, cơ, quang, hóa năng tiêu tán đikhông hoàn trở lại ừong mạch nữa

Hiện tượng tích phóng năng lượng gồm hiện tượng tích phóng nănglượng trong trường điện và ừong trường từ

1.2.4 Mô hình mach điên

Hình 1 2 Kí hiệu điện trởPhần tử điện cảm: Là phần tử đặc trưng cho hiện tượng tích phóngnăng lượng trường từ, quan hệ giữa dòng điện và điện áp ừên hai cực phần

tử điện

ị L

Hình 1 3 Kí hiệu cuộn cảm

Phần tử điện dung: Là phần tử đặc trưng cho hiện tượng tích phóngnăng lượng điện trường, quan hệ giữa dòng điện và điện áp trên hai cực tụđiện

Ỉ = C —, là thông số cơ bản của mach điên, đăc trưng cho quá trình tích DT

phóng năng lượng điện trường (Hình 1.4 )

0^\\ -o

Hình 1.4 Kí hiệu tụ điệnPhàn tử nguồn: Là phần tử đặc trưng cho hiện tượng nguồn, phần tửnguồn gồm phần tử nguồn áp và phần tử nguồn dòng

Phàn tử thực: Phần tử thực của mạch điện có thể được mô tả gần đúngbởi một hay nhiều phàn tử lý tưởng được ghép với nhau theo một cách nàođó

1.2.5 Các khái niệm cơ bản trong mạch điện Dòng điện và quy ước chiều dòng điện

Dòng điện là dòng chuyển dời có hướng của các điện tích Cường độdòng điện (gọi tắt là dòng điện) là lượng điện tích chuyển qua một bề mặtnào đó (tiết diện ngang của dây dẫn, nếu là dòng điện chảy trong dây dẫn)ừong một đơn vị thời gian

Dòng điện ký hiệu là: I (Ampe)

17Điện áp giữa hai điểm A và B là công cần thiết để làm dịch chuyểnmột đơn vị điện tích (1 culong) tò A đến B.

Điện áp ký hiệu là: u (vôn)

Công suất

dòng điện /, Công suất tức thời được đưa vào mạch điện (được hấp thụ bởimạch điện): P(í) = í/-I

Đơn vị công suất là watt (w)

nào đó Nếu p > 0 thì tại thời điểm T đó phần tử thực sự hấp thụ năng lượngvới công suất là P còn nếu p < 0 thì tại thời điểm T đó phần tử thực sự phát

ra năng lượng (tác năng lượng được đưa từ phàn tử mạch ra ngoài) với côngsuất là |p|

Nguồn sức điện động ghép nối tiếp

Là nguồn tương đương với một nguồn sức điện động duy nhất có giá

Ký hiệu: u(í)

Nguồn áp còn biểu diễn bằng sức điện động e(f)

ì

A B

18e(í): Chiều đi từ điểm có hiệu điện thế thấp đến điểm có hiệu điện thế

cao u (0: Chiều đi tò điểm có hiệu điện thế cao đến điểm có hiệu điện thế thấp

Nguồn dòng điện ghép song song

Là nguồn dòng điện mắc song song tương ứng với một nguồn dòng duy nhất có giá trị bằng tổng đại số các các giá trị của nguồn dòng đó

-Hình 1.7 Nguồn dòng điện ghép song song Nguồn dòng

dòng điện cung cấp cho mạch ngoài

1.3 Các định luật cơ bản trong mạch điện.

1.3.1 Định nghĩa dòng điện một chiều

Dòng điện một chiều là dòng điện có chiều và độ lớn không đổi theo thờigian

1.3.2 Định luật Omh

Cường độ dòng điện ừong một đoạn mạch tỷ lệ thuận với hiệu điện thế

ở hai đàu đoạn mạch, và tỷ lệ nghịch với điện trở của đoạn mạch

'

V

u

Hình 1 8 Định luật Omh

19

1.3.3 Đỉnh luât Kirchhoff:

Định luật Kirchhoff I và II là hai định luật cơ bản để nghiên cứu vàtính toán trong mạch điện

Định luật Kirchhoff I: Là định luật nói lên mối quan hệ giữa các dòng điện

tại một nút Tổng đại số các dòng điện tại một nút thì bằng không

hoặc - Ị + I 2 + ỉ3 = 0Trong đó nếu ta quy ước các dòng điện đi tới nút mang dấu dương thìcác dòng điện rời khỏi nút mang dấu âm và ngược lại

Định luật Kirchhoíĩ II: Là định luật chỉ rõ các mối liên hệ giữa điện áp

trong một vòng kín, đi theo một vòng kín với chiều tùy ý, tổng đại số điện

trong vòng

m

ỵ ±u t =ỵ ± e i

Định luật Kỉrchhoíĩ II phát biểu lại như sau:

Các điện áp đi theo một vòng kín với chiều tùy ý, và tổng đại số cácđiện áp rơi trên các nhánh bằng tổng đại số các suất điện động có trongvòng, trong đó các suất điện động và dòng điện nào có chiều trùng vớichiều đi của vòng sẽ mang dấu dương, ngược lại (Hình 1.10)

n

12

Hình 1 9 Định luật Kữchhoff I

Hình 1 10

21

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT VÀO BÀI

TOÁN MẠCH ĐIỆN

2.1 Điều kiện đầu và điều kiện cuối của mạch điện

2.1.1 Điều kiên đầu của mach điên

Trong khi tìm lời giải cho một mạch điện, ta thấy cần phải tìm mộthằng số tích phân dựa vào trạng thái ban đầu của mạch mà trạng thái nàyphụ thuộc vào các đại lượng ban đầu của các phần tử tích trữ năng lượng.Dựa vào tính chất:

Hiệu điện thế ngang qua tụ điện và dòng điện chạy qua cuộn dâykhông thay đổi tức thời là:

VC(0+) = VC(0-) *1,(0+) =H (0~)

Nếu mạch không tích trữ năng lượng ban đầu thì vc(0+) = vc(0_} =0, tụđiện tương đương mạch nối tắt thì ỉ'i(0+) = ỉi(0_} =0, cuộn dây tương đươngmạch hở

Nếu mạch tích trữ năng lượng ban đầu: Hiệu điện thế ngang qua tụ tại í =

0-là V0 =— thì ở T = 0+ giá trị đó cũng là V 0 ta thay bằng một nguồn

c*

hiệu điện thế Dòng điện chạy qua cuộn dây tại T = 0- là /0 thì ở í = 0 + giá

Các kết quả ừên được tóm tắt lại trong bảng như sau:

Phân tử vói điêu kiên đâu

■ Mạch tương đương Gỉá tri đâu ■

Đáp ứng của mạch đối với nguồn DC gồm đáp ứng tự nhiên dàn tới 0

di,

i L = C TE —> U L = L— = 0 (mach nối tắt) DT

Do đó, ở trạng thái thường trực DC, tụ điện được thay bằng một

mạch hở và cuộn dây được thay bằng một mạch nối tắt

Kết luận: Đối với các mạch có sự thay đổi trạng thái do tác động của một khóa K, trạng thái cuối của mạch này có thể là trạng thái đầu của mạch

kia Bài toán 2.1: Xác định hiệu điện thế v(í) trong mạch (Hình 2.la) Biết

rằng mạch đạt ừạng thái thường trực trước khi mở khóa K

10(Q)

= 40(V)

24

(c)

Hình 2.1

(Hình 2.1b) là mạch tương đương của (Hình 2.la) ở thời điểm í = 0-, tức mạch(Hình 2.la) đạt trạng thái thường trực, tụ điện tương đương với mạch hở vàđiện trở tương đương của phàn mạch nhìn từ tụ về bên trái:

R T = 8+ 3(2+ 4) =10(Q)3+ (2 + 4)

10

v(0-) =

100.-10 + 15

mạch RC không chứa nguồn ngoài

v(t)=V 0 e T

vói T = RC = 10.1 = 10 (í) và v0= v(0+) = v(O-) = 40 (V)

Suy ra: v(0 = 40.e10 (V)

quá trình tụ xả điện, sau khi đấu điện trở song song với nguồn tụ sẽ xả điện,thời gian càng lâu thì điện áp hai đầu tụ sẽ xả về bằng 0

■aaX— -• -VSA^ - 1 VSA, -o VO—

(b)

1 K R

25

2.2 Phương trình vỉ phân thuần nhất vói mạch điện không chứa nguồn ngoàỉ.

2.2.1 Mạch RC không chứa nguần ngoài.

Xét mạch (Hình 2.2a).

Khóa K ở vị trí 1 để nguồn V ữ nạp điện cho tụ Lúc tụ đã nạp đầy (hiệu điện thế hai đầu tụ là V ồ ) dòng nạp triệt tiêu i (0-) = 0 (Giai đoạn này ứng với thời gian t = -00 đến t = 0- )

Bật K sang vị trí 2, ta xem thời đỉểm này là t = 0 Khi t > 0 , ừong mạch phát sinh dòng ỉ(t) do tụ c phóng điện qua R (Hình 2.2b).

Xác định dòng i (t) này (tưcmg ứng với thời gian t > 0).

+

:v ữ =m

Hình 2.2 Gọi v(í) là hiệu điện thế hai đầu tụ lúc t > 0, Áp dụng định luật KirchhoíT

I cho mạch (Hình 2.2 b)

c^ = 0 hay —-+-^—V=0 đt R

dt RC

là hệ số tích phân, xác định bởi điều kiện đầu của mạch.

Khi t = 0, v(0)=V 0 = Ae ữ suy ra A =V ữ

Vậy: v(t) = V 0 e RC khi t > 0

Dòng điện iịt) xác định bởi: i(t) = —— = — c RC khi t > 0 , ỉ’(0+) = —

27Kết luận:

Dòng điện qua tụ с đã thay đổi đột ngột tò giá trị 0 ở thời điểm T 0

Ta thấy, ừong thực tế các thiết bị có tụ điện đang làm việc khi ta ngắtđiện thì đèn báo sẽ sáng thêm một khoảng thời gian sau đó mới tắt hẳn Điều

không được phép tháo, hoặc chạm vào tụ ngay sẽ gây mất an toàn điện Lúc

đó ta sẽ đấu tải vào hai đầu tụ thì quá trình xả điện trong tụ được nhanh hơn.Neu ta chập hai đầu tụ thì quá trình xả tụ nhanh, nhưng làm chập tụ, tụ nhanh

Hệ số tẳt:

Điện áp tự do ừên điện dung có biểu thức là:

u C t d (t) = ke p l =ke p t =ke T =ke R C =ke 100t

28hỏng Ví dụ việc sửa mạch điện trong quạt,

-(t-tọ)

v(í) viết lại: V ( T )=V 0 E RC khi T > T 0 Bài toán

2.2:

Một tụ điện có điện dung C = L O( J L I F) được ghép nối tiếp với điện ừở R

= L ( K £ Ĩ ) và được đóng vào nguồn điện áp không đổi U ( T ) = U =100(V) tạithời điểm T = 0 Tính điện áp quá độ U C ( T ) và dòng điện quá độ I ( T ) Tính

giá tri của U C ( T ) và I ( T ) với T = T , 2 T , 3T , 5 T , lOr, trong đó T là hằng số thờigian của mạch Vẽ đường cong của U C ( T ) và I ( T ).

Khi đó nghiệm của phương trình đặc trưng là:

3

29

= -CU

100 0

30Điện áp xác lập trên điện dung là: U C T = U = 100(V)

Điện áp quá độ trên điện dung:

Các giá tn của uc(í) và I C ( T) tại các thời điểm T = 0 , T = T , 2 T ,3 T ,5 T , 10T

được xác định theo bảng sau:

Hình2.4.a,hàm

I ( T )

cógiátrịbiến

0.08 0.06 0,04 0,02

8 0 60 40

2 0

n T

tuântheohàmmũ

i(t)

=0,le

100'(A)

=100

e100'(raA),ứiờigia

n t

càngtăn

i(t)

càng

tiệ m cậ n gi á trị I

= O

A

Hình2.4.b,hàmu(t)cũngcógiátrịbiế

n T

theohàmmũ

wc(í) =100(l-e100t)(V),thờigiancàngtăng

U (

T )

càngtiệmcậngiátrịbằng10

0 V

Kếtluận:Kh

i tanạp