Ứng dụng của phương trình vi phân trong một số bài toán mạch điện (LV01209)

Nguyễn Văn Hùng, luận văn Thạc sĩ chuyên ngàng Toán giải tích với đề tài: “Ứng dụng của phương trình vi phân trong một số bài toán mạch điện” đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất tới phòng sau Đại học,

các thầy cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, đã tận tình

giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và tốt nghiệp

Tôi đặc biệt muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Văn Hùng,

người đã định hướng cho tôi chọn về tài này, và tận tình giúp đỡ, hướng dẫn

tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới sự giúp đỡ của gia đình, bạn

bè và các đồng nghiệp trong thời gian qua

Mặc dù đã cố gắng, xong do điều kiện về thời gian và kinh nghiệm thực

tế còn nhiều hạn chế nên trong luận văn không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy,

tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cũng như của các

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng, luận

văn Thạc sĩ chuyên ngàng Toán giải tích với đề tài: “Ứng dụng của phương trình vi phân trong một số bài toán mạch điện” đây là công trình nghiên

cứu của riêng tôi, luận văn này không giống hoàn toàn bất cứ luận văn hoặc các công trình đã có trước đó

Tôi cũng xin cam đoan rằng các nội dung tham khảo, thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả luận văn

Nghiêm Thị Bình

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Phương trình vi phân 3

1.1.1 Phương trình vi phân cấp một 3

1.1.2 Phương trình vi phân cấp cao 4

1.1.3 Phương trình vi phân hai 6

1.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 6

1.1.5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số 8

1.1.6 Nguyên lý chồng chất nghiệm 10

1.2 Mạch điện và mô hình mạch điện 11

1.2.1 Định nghĩa mạch điện: 11

1.2.2 Cấu trúc của mạch điện 11

1.2.3 Các hiện tượng điện từ 12

1.2.4 Mô hình mạch điện 12

1.2.5 Các khái niệm cơ bản trong mạch điện 13

1.3 Các định luật cơ bản trong mạch điện 15

1.3.1 Định nghĩa dòng điện một chiều 15

1.3.2 Định luật omh 15

1.3.4 Định luật Kirchhoff: 16

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT VÀO BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN 17

2.1 Điều kiện đầu và điều kiện cuối của mạch điện 17

2.1.1 Điều kiện đầu của mạch điện 17

2.1.2 Điều kiện cuối của mạch điện 18

2.2 Phương trình vi phân thuần nhất với mạch điện không chứa

nguồn ngoài 19

2.2.1 Mạch RC không chứa nguồn ngoài 20

2.2.2 Mạch RL không chứa nguồn ngoài 24

2.3 Một số bài toán khác 29

Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI VÀO BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN 30

3.1 Điều kiện đầu và điều kiện cuối của mạch điện 30

3.2 Đáp ứng, tính chất và ý nghĩa vật lý của các đáp ứng của mạch điện 32

3.2.1 Đáp ứng tự nhiên của mạch điện 32

3.2.2 Đáp ứng ép của mạch điện 33

3.3 Phương trình vi phân cấp hai – mạch điện với hai phần tử tích trữ năng lượng 34

3.3.1 Phương trình vi phân cấp hai đối với các đáp ứng 34

3.3.2 Đáp ứng tự nhiên của mạch điện 35

3.3.3 Đáp ứng ép của mạch điện bậc 2 39

3.3.4 Đáp ứng đầy đủ của mạch điện bậc 2 41

3.3.5 Phương trình vi phân cấp 2 với Mạch RLC khi đóng vào nguồn điện áp không đổi……… 43

3.4 Ứng dụng Matlab vào bài toán mạch điện 46

KẾT LUẬN 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong việc nghiên cứu các vấn đề của toán học, lĩnh vực phương trình vi phân không còn là vấn đề mới mẻ, nhưng chúng luôn thu hút được sự quan tâm mạnh mẽ của các nhà toán học, các nhà ứng dụng học, chúng được khai thác rất sâu và rộng

Người ta thấy rằng hầu hết các quy luật của khoa học tự nhiên, của kinh

tế, hay của kỹ thuật đều được phát biểu dưới dạng các phương trình vi phân

Từ những năm 60 của thế kỷ 20, nhiều nhà nghiên cứu nước ngoài đã bắt tay vào nghiên cứu các tính chất định tính các mô hình điều khiển kỹ thuật một cách mạnh mẽ Đặc biệt những kiến thức về phương trình vi phân đã được ứng dụng vào ngành kỹ thuật điện

Thật vậy, cuộc sống con người hiện nay đã gắn liền với ánh sáng của điện, Câu hỏi đặt ra là những nguồn ánh sáng đó xuất hiện từ đâu? Cơ chế xây dựng và hoạt động của nó như thế nào? Một phần được giải thích nhờ những kiến thức của phương trình vi phân

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các cơ chế hoạt động của dòng điện nhờ phương trình vi phân, nhờ sự gợi ý, giúp đỡ và hướng dẫn của Thầy giáo,

T.S Nguyễn Văn Hùng tôi đã quyết định chọn nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng của phương trình vi phân trong một số bài toán mạch điện”

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày một số bài toán về mạch điện nhờ phương trình vi phân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về một số bài toán về mạch điện một chiều hay xoay chiều,

và cụ thể là quá trình quá độ xảy ra trong mạch điện

Sử dụng phương trình vi phân để xây dựng và giải một số bài toán về

mạch điện

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng của phương trình vi phân vào các mạch

điện

Phạm vi nghiên cứu: Phương trình vi phân, và ứng dụng của phương

trình vi phân vào các bài toán mạch điện

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của phương trình vi phân

Phương pháp nghiên cứu của kỹ thuật điện

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phương trình vi phân

thì ta được phương trình vi phân cấp 1 đã giải ra đạo hàm

Hàm y( )x xác định và khả vi trên khoảng I ( , )a b được gọi là nghiệm của phương trình (1.2) nếu:

1 ( , ( ), '( ))x x  x D với mọi xD

2 ( , ( ), '( ))F x  x  x 0 trên I

Bài toán Cauchy: Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 là vô số, cho nên

người ta thường quan tâm đến nghiệm thỏa mãn những điều kiện nào đấy Chẳng hạn tìm nghiệm của phương trình (1.1) hoặc (1.2) thỏa mãn điều kiện:

Điều kiện Lipschizz: Trong miền D hàm f x y( , ) thỏa mãn điều kiện Lipschizz biến y nếu tồn tại hằng số L0 sao cho:

( , ) ( , )

f x y  f x y L y  y Với ( ,x y1)D;( ,x y2)D

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Giả sử hàm ( , )f x y thỏa mãn điều kiện

i, Hàm ( , )f x y liên tục trong miền D

ii, Hàm ( , )f x y thỏa mãn điều kiện Lipschizz theo y trong D

Khi đó ứng với mỗi điểm (x y0, 0)D tồn tại duy nhất nghiệmy y x( ) của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu y x( )0  y0

Nghiệm tổng quát: Ta nói rằng hàm y( , )x C (1.4)

là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) trong miền G nếu:

ta có thể giải ra được: C(x y0, 0) với x y0, 0G (1.6)

Hệ thức (1.4) là nghiệm của (1.2) với mỗi hằng số C được xác định từ (1.6)

Nghiệm riêng: Nghiệm của (1.2) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất

nghiệm của bài toán Cauchy được đảm bảo, được gọi là nghiệm riêng

Nghiệm kì dị: Nghiệm của phương trình (1.2) mà tại mỗi điểm tính duy nhất

nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ, được gọi là nghiệm kì dị

1.1.2 Phương trình vi phân cấp cao

Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát là:

Bài toán Cauchy: Là bài toán tìm nghiệm y y x( ) của phương trình (1.7) hoặc (1.8) thỏa mãn điều kiện ban đầu:

Nghiệm tổng quát: Ta giả thiết rằng miền G là miền thỏa mãn định lý về sự

tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình (1.8), tức là nghiệm bài toán Cauchy tồn tại và duy nhất đối với mỗi điểm ( 1)

(x y y, , ', , y n ) Hàm y( ,x C C1, 2, ,C n) có các đạo hàm riêng theo x liên tục đến

cấp n được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.8) trong miền G nếu

Nghiệm riêng: Nghiệm của phương trình (1.8) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được đảm bảo gọi là nghiệm riêng của phương trình (1.8)

Nghiệm kì dị: Nghiệm của phương trình (1.8) mà tại mỗi điểm của nó

tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kì dị

Bài toán Cauchy : Là bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.11) hoặc

(1.12) thỏa mãn điều kiện ban đầu:

y x  y y x  y (1.9) trong đó x y y0, 0, 0' là các giá trị cho trước

Điều kiện Lipschizz: Trong miền G hàm ( , , ')f x y y thỏa mãn điều kiện

Lipschizz biến , 'y y nếu tồn tại hằng số L0 sao cho:

f x y  f x y L y y  y y Với ( , , y ')x y1 1 G;( ,x y2, y ')2 G

Định lý về sự tồn tại nghiệm và duy nhất nghiệm

Định lý 1.1 Giả sử hàm ( , , ')f x y y thỏa mãn điều kiện

i, Hàm ( , , ')f x y y liên tục trong miền G

ii, Hàm ( , , ')f x y y thỏa mãn điều kiện Lipschizz theo y trong G

Khi đó ứng với mỗi điểm (x y0, 0, y ')0 G tồn tại duy nhất nghiệm của phương

trình (1.12) thỏa mãn điều kiện ban đầu y x( )0  y0 , y x'( )0  y0'

1.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

Định nghĩa: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng:

''y  p x y( ) 'q x y( )  f x( ) (1.13)

Định lý 1.2 Nếu y x y x là hai nghiệm nào đó của phương trình (1.14), 1( ), 2( )thì (trong đó C C là hằng số tùy ý ), cũng là nghiệm của phương trình (1.14) 1, 2Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất

Định lý 1.3 Nếu y x y x là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương 1( ), 2( )trình (1.14) thì nghiệm tổng quát Y phương trình (1.14) là:

Định lý 1.4 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

không thuần nhất (1.13) bằng nghiệm tổng quát của phương trình (1.14) cộng với một nghiệm riêng y của phương trình (1.13)

Dựa vào phương pháp biến thiên hằng số Lagrange ta xác định được nghiệm riêng:

1( ) ( )1 2( ) 2( )

yC x y x C x y x

với C x1( ) ,C x2( )là những hàm của

Vậy nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất

là:

y  Y y

1.1.5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số

Định nghĩa: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số là phương

trình có dạng:

y  p y q y f x (1.15) trong đó: ,p q là các hằng số, f x( )là hàm liên tục

Nếu f x( )0 thì (1.15) còn được gọi là phương trình vi phân tuyến tính

0

k  p k q , tìm được nghiệm k k 1, 2Bước 2 Xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1 Nếu k k1, 2R và k1 k2 lúc đó phương trình có hai nghiệm

1( ) k x, 2( ) k x

k x e k x xe Khi đó phương trình có nghiệm tổng quát:

lúc đó các nghiệm riêng y x1( )excosx ; y ( )2 x exsinx

Khi đó ta có nghiệm tổng quát của phương trình (1.16) là:

Trong đó Y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, y là một

nghiệm riêng của phương trình (1.15) Nếu f x( ) là một hàm liên tục thì cách

tìm nghiệm riêng y vẫn phải dùng phương pháp biến thiên hằng số

Trong chương trình này ta chỉ xét ( )f x ở hai trường hợp sau đây:

( ) (x)

x n

Trường hợp 1: Nếu  không trùng với nghiệm phương trình đặc trưng

( k k1, 2), lúc đó ta sẽ tìm được nghiệm riêng y dưới dạng y Q x n( )ex

Trong đó Q x n( ) là đa thức cùng bậc n với P x n( )

Để xác định hệ số của đa thức Q x n( ) ta đạo hàm y' ; ''y thay vào

phương trình (1.15) ta được:

2''( ) (2 ) '( ) ( p q)Q ( ) ( ) x

Trong đó Q x l( ), R x l( ) ( l max m n, ) là đa thức bậc l

Nếu  i là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng được tìm dưới dạng yQ x l( )cosxR x l( )sin x e x

1.2 Mạch điện và mô hình mạch điện

1.2.1 Định nghĩa mạch điện:

Mạch điện là một tập hợp các thiết bị điện, điện tử trong đó có sự biến đổi năng lượng điện sang các dạng năng lượng khác Cấu tạo mạch điện gồm nguồn điện, phụ tải, dây dẫn ngoài ra còn có các phần tử phụ trợ khác

Nguồn điện: Là nguồn dùng để cung cấp năng lượng điện hoặc tín hiệu điện cho mạch, nguồn được biến đổi từ các dạng năng lượng khác sang điện năng

Ví dụ máy phát điện (biến đổi cơ năng thành điện năng), ắc quy (biến đổi

hóa năng sang điện năng)

Phụ tải: Là thiết bị nhận năng lượng điện hay tín hiệu điện Phụ tải biến đổi năng lượng điện sang các dạng năng lượng khác

Dây dẫn: Là thiết bị làm nhiệm vụ truyền tải năng lượng điện từ nguồn đến nơi tiêu thụ

Ngoài ra còn có các phần tử khác như: Phần tử làm thay đổi áp và dòng

điện trong các phần khác của mạch (như máy biến áp, máy biến dòng), phần

tử làm giảm hoặc tăng cường các thành phần nào đó của tín hiệu (các bộ lọc,

bộ khuếch đại),…

1.2.2 Cấu trúc của mạch điện

Nhánh: Là tập hợp gồm nhiều phần tử ghép nối tiếp trong đó mạch điện được ghép có cùng một dòng điện

Nút: Là điểm nối của ba nhánh trở lên

Vòng: Là tập hợp nhiều nhánh tạo thành vòng kín, vòng có tính chất là nếu bỏ đi một nhánh thì không tạo thành vòng kín nữa

Mắc lưới : Là vòng mà bên trong nó không còn vòng nào khác

hoàn trở lại trong mạch nữa

Hiện tượng tích phóng năng lượng gồm hiện tượng tích phóng năng lượng trong trường điện và trong trường từ

Phần tử điện cảm: Là phần tử đặc trưng cho hiện tượng tích phóng năng lượng trường từ, quan hệ giữa dòng điện và điện áp trên hai cực phần tử điện

cảm: U L di

dt

 (Hình 1.3 )

R i→

Hình 1 2 Kí hiệu điện trở

Phần tử điện dung: Là phần tử đặc trưng cho hiện tượng tích phóng năng lượng điện trường, quan hệ giữa dòng điện và điện áp trên hai cực tụ điện

Phần tử nguồn: Là phần tử đặc trưng cho hiện tượng nguồn phần tử

nguồn gồm phần tử nguồn áp và phần tử nguồn dòng

Phần tử thực: Phần tử thực của mạch điện có thể được mô tả gần đúng bởi một hay nhiều phần tử lý tưởng được ghép với nhau theo một cách nào

đó

1.2.5 Các khái niệm cơ bản trong mạch điện

Dòng điện và quy ước chiều dòng điện

Dòng điện là dòng chuyển dời có hướng của các điện tích Cường độ dòng điện (gọi tắt là dòng điện) là lượng điện tích chuyển qua một bề mặt nào

đó (tiết diện ngang của dây dẫn, nếu là dòng điện chảy trong dây dẫn) trong một đơn vị thời gian

Dòng điện ký hiệu là: I ( Ampe)

Quy ước chiều dòng điện từ cực dương sang cực âm của nguồn (i0), ngược lại (i0)

Xét mạch điện chịu tác động ở hai đầu một điện áp U , qua đó sẽ có dòng

điện I , Công suất tức thời được đưa vào mạch điện (được hấp thụ bởi mạch điện): P( )t U.I

Đơn vị công suất là watt (w)

P( )t là một đại lượng đại số nên có thể âm hoặc dương tại thời điểm t

nào đó Nếu P 0 thì tại thời điểm t đó phần tử thực sự hấp thụ năng lượng

với công suất là P, còn nếu P0 thì tại thời điểm t đó phần tử thực sự phát

ra năng lượng (tức năng lượng được đưa từ phần tử mạch ra ngoài) với công suất là P

Nguồn sức điện động ghép nối tiếp

Là nguồn tương đương với một nguồn sức điện động duy nhất có giá trị bằng tổng các giá trị sức điện động đó

Nguồn áp còn biểu diễn bằng sức điện động e( )t

Hình 1.6 Nguồn sức điện động mắc nối tiếp

e( )t : Chiều đi từ điểm có hiệu điện thế thấp đến điểm có hiệu điện thế cao

u ( )t : Chiều đi từ điểm có hiệu điện thế cao đến điểm có hiệu điện thế thấp Nguồn dòng điện ghép song song

Là nguồn dòng điện mắc song song tương ứng với một nguồn dòng duy nhất có giá trị bằng tổng đại số các các giá trị của nguồn dòng đó

Nguồn dòng điện ( )j t đặc trưng cho khả năng của nguồn điện tạo nên

và duy trì một dòng điện cung cấp cho mạch ngoài

1.3 Các định luật cơ bản trong mạch điện

1.3.1 Định nghĩa dòng điện một chiều

Dòng điện một chiều là dòng điện có chiều và độ lớn không đổi theo thời gian

Hình 1 8 Định luật Omh

1.3.3 Định luật Kirchhoff:

Định luật Kirchhoff I và II là hai định luật cơ bản để nghiên cứu và tính toán trong mạch điện

Định luật Kirchhoff I: Là định luật nói lên mối quan hệ giữa các dòng điện

tại một nút Tổng đại số các dòng điện tại một nút thì bằng không

1

0

n

k k

Trong đó nếu ta quy ước các dòng điện đi tới nút mang dấu dương thì

các dòng điện rời khỏi nút mang dấu âm và ngược lại

Định luật Kirchhoff II: Là định luật chỉ rõ các mối liên hệ giữa điện áp trong

một vòng kín, đi theo một vòng kín với chiều tùy ý, tổng đại số điện áp rơi trên các phần tử bằng tổng đại số các suất điện động có trong vòng

Định luật Kirchhoff II phát biểu lại như sau:

Các điện áp đi theo một vòng kín với chiều tùy ý, và tổng đại số các điện

áp rơi trên các nhánh bằng tổng đại số các suất điện động có trong vòng trong

đó các suất điện động và dòng điện nào có chiều trùng với chiều đi của vòng

sẽ mang dấu dương, ngược lại (Hình 1.10)

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

VÀO BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN

2.1 Điều kiện đầu và điều kiện cuối của mạch điện

2.1.1 Điều kiện đầu của mạch điện

Trong khi tìm lời giải cho một mạch điện, ta thấy cần phải tìm một hằng

số tích phân dựa vào trạng thái ban đầu của mạch mà trạng thái này phụ thuộc vào các đại lượng ban đầu của các phần tử tích trữ năng lượng

Nếu mạch tích trữ năng lượng ban đầu: Hiệu điện thế ngang qua tụ tại

0

t  là 0

0

q V

C

 thì ở t 0 giá trị đó cũng là V0 ta thay bằng một nguồn hiệu điện thế Dòng điện chạy qua cuộn dây tại t 0 là I0 thì ở t 0 giá trị đó cũng là I0 ta thay bằng một nguồn dòng điện

Các kết quả trên được tóm tắt lại trong bảng như sau:

Phần tử với điều kiện đầu Mạch tương đương Giá trị đầu

L Mạch hở I L(0 ) I (0 ) 0  L  

C Mạch nối tắt V C(0 ) V C(0 ) 0 

0(0 ) I (0 )

I    I

+Vo - V C(0 ) V C(0 ) V0

2.1.2 Điều kiện cuối của mạch điện

Đáp ứng của mạch đối với nguồn DC gồm đáp ứng tự nhiên dần tới 0 khi

t   và đáp ứng ép là các dòng điện hoặc hiệu điện thế có giá trị không đổi Mặt khác, đạo hàm của hằng số bằng 0 nên:

Do đó, ở trạng thái thường trực DC, tụ điện được thay bằng một mạch hở

và cuộn dây được thay bằng một mạch nối tắt

Kết luận: Đối với các mạch có sự thay đổi trạng thái do tác động của một khóa K, trạng thái cuối của mạch này có thể là trạng thái đầu của mạch kia

Bài toán 2.1: Xác định hiệu điện thế ( )v t trong mạch (Hình 2.1a) Biết rằng

mạch đạt trạng thái thường trực trước khi mở khóa K

Kết luận: Hàm ( )v t giảm dần theo thời gian, đây chính là đặc trƣng của

quá trình tụ xả điện, sau khi đấu điện trở song song với nguồn tụ sẽ xả điện, thời gian càng lâu thì điện áp hai đầu tụ sẽ xả về bằng 0

-

100

K 15()

2.2 Phương trình vi phân thuần nhất với mạch điện không chứa nguồn ngoài

2.2.1 Mạch RC không chứa nguồn ngoài

Xét mạch (Hình 2.2a)

Khóa K ở vị trí 1 để nguồn V nạp điện cho tụ Lúc tụ đã nạp đầy (hiệu 0

điện thế hai đầu tụ là V ) dòng nạp triệt tiêu (0 )0 i   0 (Giai đoạn này ứng với thời gian t  đến t  0 )

Bật K sang vị trí 2, ta xem thời điểm này là t 0 Khi t 0 , trong mạch phát sinh dòng (t)i do tụ C phóng điện qua R (Hình 2.2b)

Xác định dòng (t)i này (tương ứng với thời gian t0)

(a) (b)

Gọi ( )v t là hiệu điện thế hai đầu tụ lúc t0, Áp dụng định luật Kirchhoff I cho mạch (Hình 2.2 b)

0

d V V C

d t  R hay d V 1 V 0

d t  RC  Đây là phương trình vi phân cấp 1 thuần nhất và có nghiệm là: ( )

t RC

Kết luận:

Dòng điện qua tụ C đã thay đổi đột ngột từ giá trị 0 ở thời điểm t 0

đến giá trị V0

R ở thời điểm t  0

Hiệu điện thế hai đầu tụ không đổi trong khoảng thời gian chuyển tiếp

từ thời điểm t  0 đến thời điểm t  0 Khi đó v C(0 ) v C(0 ) V0

Đây là một tính chất đặc biệt của tụ điện và được phát biểu như sau: Hiệu điện thế hai đầu của một tụ điện không thay đổi tức thời

Dạng sóng của ( )v t (tương tự cho i( ) t ) được vẽ ở (Hình 2.3)

(Hình 2.3b) tương ứng với V và C không đổi, điện trở có giá trị R và 2R 0

Ta thấy, trong thực tế các thiết bị có tụ điện đang làm việc khi ta ngắt điện thì đèn báo sẽ sáng thêm một khoảng thời gian sau đó mới tắt hẳn Điều này là một hiện tượng tụ C xả điện, vì vậy khi ngắt các thiết bị có tụ điện ta không được phép tháo, hoặc chạm vào tụ ngay sẽ gây mất an toàn điện Lúc

đó ta sẽ đấu tải vào hai đầu tụ thì quá trình xả điện trong tụ được nhanh hơn Nếu ta chập hai đầu tụ thì quá trình xả tụ nhanh, nhưng làm chập tụ, tụ nhanh

2R

hỏng Ví dụ việc sửa mạch điện trong quạt,…

Chú ý: Nếu thời điểm đầu (lúc chuyển khóa K) là t thay vì 0, kết quả 0

( )

v t viết lại:

0

(t t ) 0

k e k e

Điện áp xác lập trên điện dung là: u C xl  U 100( )V

Điện áp quá độ trên điện dung:

Từ bảng số liệu và Hình 2.4.a và Hình 2.4.b ta thấy:

Hình 2.4.a, hàm i t( ) có giá trị biến đổi theo thời gian t tuân theo hàm mũ

2.2.2 Mạch RL không chứa nguồn ngoài.

0.06 0.08 0.1

0,04

0,02 0,02

Khóa K ở vị trí 1, dòng qua mạch đã tích trữ trong cuộn dây một năng lượng từ trường Khi mạch đạt trạng thái ổn định, hiệu thế hai đầu cuộn dây

di

(2.2) Nghiệm của phương trình (2.2) là:

( )

R t L

i t I e , khi t0

0

R t L L

v t  Ri t  R I e , khi t0

Hình 2.6a, tương ứng với V và 0 R không đổi, cuộn dây có trị L và 2L

Hình 2.6b, tương ứng với V và 0 L không đổi, điện trở có trị R và 2R Kết luận:

Hiệu thế hai đầu cuộn dây đã thay đổi đột ngột đổi từ (0 ) 0v L   đến

0

(0 )

L

v   RI Dòng qua cuộn dây không đổi trong khoảng thời gian chuyển tiếp từ thời điểm t  0 đến thời điểm t  0 ; 0

0(0 ) (0 ) I

Dòng điện qua một cuộn dây không thay đổi tức thời

Dạng sóng của ( )v t (tương tự cho ( ) i t ) được vẽ ở Hình 2.6b

Đặc biệt: Nếu giá trị R càng lớn thì thời gian để dòng điện giảm về 0 sẽ nhanh, đây là hiện tượng thường thấy trong các thiết bị điện, khi ta ngắt điện các thiết bị thì sau một khoảng thời gian đèn báo hiệu mới tắt Chẳng hạn việc sửa chữa máy biến áp, để kiểm tra máy biến áp đã xả hết điện chưa ta thay điện trở bằng các bóng đèn, nếu số lượng đèn nhiều thì thời gian xả nhanh, khi nào bóng đèn tắt hết (điện xả hết), lúc đó với an toàn cho sửa chữa

Hình 2.6

Bài Toán 2.3 Một cuộn dây có điện trở R10( ) và điện cảm L0,1(H) được đóng vào nguồn điện một chiều U 10( )V Tính dòng điện quá độ ( ),

i t điện áp quá độ u t trên điện cảm Giả thiết L( ) i t L( )0 Tính giá trị của ( )

i t và u t tại các thời điểm L( ) t    , 2 , 3 , 5 ,10 với  là hằng số thời gian của mạch Vẽ đường cong của i t( )và ( )u t L

Giải

Phương trình vi phân của mạch viết cho dòng điện i t( ):

( )( ) d i t

Dòng điện tự do có dạng: ( )

R t

t L

Hình 2.7

R

i