* L L Lý ý ý thuy thuy thuyếếếết: t: 1 Đị Đị Định nh nh llllýýýý 1: 1: 1: Nếu hàm số y=fx luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến thì số nghiệm của phương trình fx=k không nhiều hơn một và
Trang 1* L L Lý ý ý thuy thuy thuyếếếết: t:
1) Đị Đị Định nh nh llllýýýý 1: 1: 1: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) thì số nghiệm
của phương trình f(x)=k không nhiều hơn một và f(x)=f(y) tương đương với x=y
2)Đị Định nh nh llllýýýý 2: 2: 2: Nếu hàm số y= f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và hàm số
y=g(x) luôn nghịch biến ( hoặc luôn đồng biến) trên tập xác định chung D thì số nghiệm trên D của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một
3)Đị Định nh nh llllýýýý 3: 3: 3: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n và phương trình f(k)(x)=0 có
m nghiệm thì khi đó phương trình f(k−1)(x)=0 có nhiều nhất (m+1) nghiệm
Trong bài viết này, mình sẽ trình bày một số bài tập mà sau khi phân tích được g(x) = h(x), ta viết lại thành f(p(x))= f(q(x)) và đây là hàm số đơn điệu Ngoài ra còn một ý tưởng nữa là sau khi ta nhẩm được m nghiệm của phương trình, ta sử dụng định lý 3 để chứng minh phương trình không còn nghiệm nào khác
Sau đây là một số dạng bài tập thường gặp có sử dụng phương pháp hàm số:
B
Bà à àiiii ttttậ ậ ập p p 1: 1: 1: Gi Gi Giả ả ảiiii h h hệệệệ ph ph phươ ươ ương ng ng tr tr trìììình: nh:
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
+
=
−
−
− +
−
2 1
0 1
1
y
x
x y
y
x
Ý
Ý ttttưở ưở ưởng: ng: ng: Nhìn vào đề bài, chắc hẳn nhiều người sẽ thấy rõ vai trò "đối xứng" giữa x và
(1-y), dẫn đến việc đặt x =a và 1−y =b để được hệ đối xứng loại 1 Nhưng ta thử xem hướng tiếp cận bằng hàm số sẽ mang lại điều gì thú vị
L
Lờ ờ ờiiii gi gi giả ả ải: i: i: Điều kiện: 0≤x,y≤1
Hệ đã cho tương đương với
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
+
−
−
=
−
−
) 2 ( 2
1
) 1 ( 1 1
y
x
y y
x
x
Dấu hiệu hàm số xuất hiện sau một bước biến đổi đơn giản "x theo x", "y theo y"
Xét hàm số f(t)= t− 1−t (0≤t≤1)
f'(t)=
t
t +2 1−
1 2
1
>0, 0< t < 1 Hàm số đồng biến trên (0,1) f(x)=f(y) ⇔ x=y
Thay vào phương trình (2), ta được
2
1− =
x
Đến đây có rất nhiều ý tưởng giải:
H
Hướ ướ ướng ng ng 1 1 1: Bình phương
Phương trình tương đương với:
2 ) 1 ( 2
)
1
x
Trang 21
0 )
1
2
(
4
1
)
1
(
2
1 )
1
(
2
=
⇔
=
−
⇔
=
−
⇔
=
−
⇔
x
x
x
x
x
x
(thoả điều kiện)
Suy ra x=y=
2
1
Vậy hệ đã cho có nghiệm (x,y)= ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 2
1
; 2 1
H
Hướ ướ ướng ng ng 2: 2: 2: dùng bất đẳng thức:
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz( Bunhiakovsky)
2 1
2 ) 1 )(
1 1 (
≤
−
+
⇔
=
− + +
≤
−
+
x
x
x x x
x
Dấu bằng xảy ra khi x=1-x
2
1
=
⇔x
Đến đây bạn đọc kết luận nghiệm tương tự như trên
B
Bà à àiiii ttttậ ậ ập p p ttttươ ươ ương ng ng ttttự ự ự::::
Giải hệ phương trình:
1)
⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
=
−
+
−
=
−
8 1
1
tan
tan
y x y
x y y x
2)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+ + +
= + +
+
+
=
−
1 ) 2 (
log 2 ) 6 (
log
3
1 1
2 2
2
2
2
2
2
2
y x y
x
y
x
e y x
3)
⎪
⎪
⎨
⎧
=
− +
=
−
−
− +
−
2 1
0 1
1
y x
x y
y
x
4)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
− +
=
+
+ +
=
+
+
y
x x y
x
y
y
x
x
2 2 3 4
9
1
1 1
1
2
2
2
2 2
5)
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
−
=
−
1
4 4
6
6
4 4
y
x
y y
x
x
6)
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
−
=
−
1
3 3
6
6
3 3
y
x
y y
x
x
Trang 3⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
−
=
−
1 2
1 1
2
xy
x
y x
y
x
8)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
−
=
−
1
2
1 1
3
x
y
y
y
x
x
9)
⎪
⎪
⎨
⎧
= +
+
+
− +
− +
−
= + + + +
+
80
5 3
1 5
3 1
2 2
y x
y
x
y y
y x
x x
\
10)
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
−
=
−
1
5 5
4
8
3 3
y
x
y y x
x
11)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
−
+
−
=
−
−
−
30
1
1 1
1 1 1
2
y
x
y x y
x
12)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= +
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ +
+ +
=
− + +
−
2 3
2
2 2
2
1 2
9
9 ln
6 ) 2 )(
(
y x
x
x x
y y y
xy x
y
x
13)
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
−
−
=
− +
+
0 4 4
1 )
1 ( )
1
(
3
3 3
xy
x
x y
x xy
B
Bà à àiiii ttttậ ậ ập p p 2: 2: 2: Gi Gi Giả ả ảiiii h h hệệệệ ph ph phươ ươ ương ng ng tr tr trìììình: nh:
⎪
⎪
⎨
⎧
=
− +
+
=
− +
+
4 4
3
2
4 4
3
2
x y
y x
Ý
Ý ttttưở ưở ưởng: ng: ng: Quan sát thì chắc ai cũng đều "mường tượng" đến"viễn cảnh" x=y là "kết thúc
có hậu" nhất Và quan trọng là bây giờ ta sẽ "hợp thức hoá" suy nghĩ này
L
Lờ ờ ờiiii gi gi giả ả ải: i: i: Điều kiện: , 4
2
3
≤
≤
−
y x
Hai phương trình của hệ cho ta:
y y
x x
x y
y x
−
− +
=
−
−
+
⇔
− + +
=
−
+
+
4 3 2 4
3
2
4 3 2 4
3
2
Rõ như ban ngày rồi Xét hàm số f(t)= 2t+3− 4−t , ∈⎢⎡ − ;4⎥⎤
2
3
t
f'(t)=
t
1 3
2
1
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
2
3
Từ đây ta được hàm f(t) là hàm đồng biến trên ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − 4
; 2 3 f(x) = f(y)⇔x= y
Trang 4Thay vào một trong hai phương trình của hệ đã cho, ta được:
4 4
3
2x+ + −x=
Giải phương trình này, xin nhường bạn đọc ( một số hướng giải là đặt ẩn phụ đưa về hệ, bình phương, )
Bài này có thể giải bằng phương pháp đánh giá, khi x>y thì 2x+3+ 4−y >
x
y+3+ 4−
2 , tương tự khi x<y thì 2x+3+ 4−y< 2y+3+ 4−x Vậy x=y
B
Bà à àiiii ttttậ ậ ập p p ttttươ ươ ương ng ng ttttự ự ự::::
1)
⎪
⎪
⎨
⎧
=
− +
+
=
− +
+
3 2
3
3 2
3
2
2
x y y
y x x
2)
⎪
⎪
⎨
⎧
= +
−
−
+
= +
−
−
+
2 2 3 ) (
3
2 2 3 ) (
3
3 3
3 3
x x
y
y
y y
x
x
3)
⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
=
+
+
−
=
+
2 2
2 2
1 21
1 21
x x y
y y x
4)
⎪
⎪
⎨
⎧
+
− +
=
+
− +
=
5 45
5 45
x x
y
y y
x
5)
⎪
⎪
⎨
⎧
+
= +
−
+
+
= +
−
+
−
−
1 3 2 2
1 3 2 2
1 2
1 2
x y
y y
y
x x
x
6)
⎪
⎪
⎨
⎧
= + +
+
= + +
+
x y
y
y
y x
x
x
) 1 2 ln(
3
) 1 2 ln(
3
2
2
7)
⎪
⎪
⎨
⎧
+
=
+
+
=
+
x y
y x
y
x
3
2
2
3
2
2
8)
⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
=
+
+
−
=
+
2 2
2 2
2 91
2 91
x x
y
y y
x
9)
⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
=
+
+
−
=
+
) (
2
1
) (
2
1
2 3
2 3
x y y y
y x x
x
Từ các ví dụ đã cho, chắc hẳn ta cũng đã thấy được dùng đơn điệu hàm số là một phương pháp tốt giúp ta giải quyết một lớp bài hệ phương trình Sau đây là một số ví dụ khác
B
Bà à àiiii ttttậ ậ ập p p 3: 3: 3: Gi Gi Giả ả ảiiii h h hệệệệ ph ph phươ ươ ương ng ng tr tr trìììình: nh:
⎪
⎪
⎨
⎧
=
− +
+
=
−
− +
+
7 4 3 2
4
0 2 5 ) 3 (
)
1
4
(
2
2
2
x y
x
y y
x
x
Câu hệ phương trình này đã từng xuất hiện trong đề thi đại học khối A, được đánh giá là " câu khó" trong đề thi năm ấy Giờ ta sẽ thử tìm hướng tiếp cận cho nó
Ý
Ý ttttưở ưở ưởng: ng: ng: Ta thấy phương trình đầu tuy có rắc rối hơn đôi chút so với phương trình sau,
tuy nhiên nó lại là mấu chốt giúp ta giải quyết vấn đề Rất dễ nhận thấy điều này nếu như
Trang 5đã được làm quen và rèn luyện trong thời gian dài.
Ta viết lại phương trình đầu( vẫn theo kiểu cũ " x theo x, y theo y")
y y
x
4
Nhận thấy căn thức khó nhìn, ta đặt 5− 2y = t và biểu diễn y theo biến mới, ta được:
2 2 )
1
4
(
2
5 3
)
1
4
(
3 2
2 2
t t x
x
t
t x
x
+
= +
⇔
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
−
=
+
Ta nhận thấy hàm số f(u) =
2 2
3
u u
+ là hàm đơn điệu, vấn đề giờ chỉ còn là liệu ta có thể biểu diễn (4x2+1)x thành hàm số như thế này không Và thật may mắn, ta có
2
2 2
) 2
(
)
1
4
(
3
x
Vậy là vấn đề coi như đã được giải quyết gần hết Qua bước đánh giá, ta nhận được 2x=t= 5 −2y Biểu diễn y theo x, ta được y=
2
4
5− x2
Thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:
7 4 3 2 2
4
5
4
2 2
2
=
− +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
x
Đến đây, ta nhẩm được một nghiệm là x=
2
1 Vấn đề là liệu còn nghiệm nào khác nữa
không Để biết điều này, ta xét hàm số g(x)= x x 2 3 4x
2
4 5 4
2 2 2
− +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
nên phương trình của ta chỉ có 1 nghiệm như đã nhẩm Thay vào, ta tìm được y, từ đó kết luận nghiệm
Nhận xét: Có những điều mà ta cần tìm hiểu kĩ Một là tại sao lại có được phân tích
2
2 2
) 2
(
)
1
4
(
3
x
Vì đây là bài dễ nên ta có thể nhanh chóng phân tích được như
thế, còn nếu với bài khó, ta có thể giả sử (4x2+1)x=( )
2
) ( 2
) (x 3 h x h
+ Vì (4x2+1)x có bậc cao nhất là 3 nên để có thể phân tích được, thì h(x) phải có bậc nhất nên ta có h(x) =
mx +n Thay vào, đồng nhất hệ số ta được m=2, n=0
Vấn đề thứ hai cần nhắc đến là việc nhẩm được nghiệm
2
1 , Đó là quan sát điều kiện của
là
4
3
0≤x≤ Ta sẽ chọn các số x thoả điều này, không những thế số ta chọn cần làm cho
biểu thức 3-4x trong căn là số chính phương ( vì đây là đề ĐẠI HỌC :v) Do
4
3
0≤x≤ nên 0≤3−4x≤3 Số chính phương bé hơn 3 chỉ có 0 và 1, và qua việc thế vào, ta
Trang 6được nghiệm x=
2
1 Sau đây là bài tập tương tự, hướng giải vẫn giống như trên
B
Bà à àiiii ttttậ ậ ập p p ttttươ ươ ương ng ng ttttự ự
1)
⎪
⎪
⎨
⎧
+ +
= + + +
+
+
=
−
− +
−
−
13 6 11
2 3 3 5
2
2
0 4
) 14 3 ( 5
)
3
17
(
2
x x y
x y
x
y y
x x
2)
⎪
⎪
⎨
⎧
−
−
= +
− +
+
−
= + +
−
y x y
x
y
x
y y
x x
3 6 4 ) 2
)(
(
3 1 )
1 2 ( 4
1
3
3)
⎪
⎪
⎨
⎧
= +
+
+ +
=
−
+
0 1
4 3 2
3
3
2 3 3
y
x
y y y x
x
4)
⎪
⎪
⎨
⎧
= +
−
+
− +
= +
−
−
2 1
9 3 22
9
3
2
2
2 3 2
3
y x
y
x
y y y x
x
x
5)
⎪
⎪
⎨
⎧
+ +
= + +
= +
+ +
1 )
1 4 2
2
(
6 ) 1 ( 2 )
1
4
(
2 2
2
2 2
3
x x y
y
x
x x
y
x
6)
⎪
⎪
⎨
⎧
+
=
−
+
= +
−
y y x
y y x
x
8 2
3
3 2
3
2
2 3 3
7)
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
= +
1 )
2
(
1 )
3
2
(
3
3
y
x
y
x
8)
⎪
⎪
⎨
⎧
−
= +
− +
−
−
+
−
− + +
−
− + +
= +
−
− +
2 1 1 4 4
) 2 2
(
log
) 1 ( 4 ) ( 1 ) ( 2 4 4 1 ) ( log ) 1
2
(
log
2 2
3
2 2
2 3
3
x x
y
x x y x y
x x
x y
x x
9)
⎪
⎪
⎨
⎧
= +
− + +
−
=
−
−
−
−
0 3 2 2
8
4
0 4 1
2 )
3
8
(
2 3 2
3
y y y x
x
y y x x
10)
⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
−
=
+
−
−
=
− +
−
1 2 3 14 2
2 3 ) 2 ( 2 1 4 4
2
4
3 2
3
y x
x
y y
x x
x
x
11)
⎪
⎪
⎨
⎧
= +
−
−
−
+
−
=
−
−
0 2 2
3 1
3 3 2
2 2
2
2 3
3
y y x
x
y x y
x
12)
⎪
⎪
⎨
⎧
= + +
−
−
=
−
−
− +
−
4 2 5 3
1 2 2 1 2 4
2 3
2 2
2
x y xy
y
e e y x
y
13)
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
−
−
−
= +
−
0 1 2 2 2
)
3
(
0 1 2
3
y y x x
y
x
Trang 7⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
+
= +
−
−
3 2
4 9
7
6 5 4
y x
x
y x
x
x
15)
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
− + + +
−
− +
+
=
−
− +
−
0 8 14 3 8 2 3 2 2
0 6
) 20 3 ( 7 )
3
23
(
2
x x y
x y
x
y y
y x
16) ⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+ +
=
+
−
−
=
− +
x xy x
y
y x x
x
y
1 2 2
1
1 3 1
2
2
2 3
17)
⎪
⎪
⎨
⎧
= +
+
=
−
− +
−
y x x
y y
x y
x
3
2
28 30
9 2 2 3
6
18)
⎪
⎪
⎨
⎧
= +
−
− +
= +
− + +
+
y x
x
x x
x x
y y
y
2 9 11
2
1 2 ) 1 2 ( 21 22 4
3
2
2 2
3
19)
⎪
⎪
⎨
⎧
+ +
= + +
−
=
− +
+
4 4
1
2
1 3 1
2 2
2
3
x y
y
x x
x y
y
20)
⎪
⎪
⎨
⎧
+
− +
=
−
− +
− +
=
− +
1 4 2 2
1 2
1 2 3 1 2
1
4
2 3 2 4 2
3
2 2
2
y y x x x x
y
x
x y
x x
y x
21)
⎪
⎪
⎨
⎧
= + +
+
+
−
=
−
−
2 2 5 2
3 4 5 3
x y
x
x y y y
x
22)
⎪
⎪
⎨
⎧
+ +
−
=
−
−
=
− +
x xy x
y
y x x
x
y
1 2 1 2
1 3 1
2
2
2
3
23)
⎪
⎪
⎨
⎧
=
− +
+
=
−
− + +
76 3 4 18 9
22
0 3
) 4 ( 10
(
2 2
2
x y
x
y y
x
x
24)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= +
−
+ +
= +
+
0 4 1
1 2 8 log
2
3 2
3
xy
y
y y y
x x
x
25)
⎪
⎪
⎨
⎧
= + +
+
+
− +
−
=
−
−
−
6 1 4 3
2
5 6 4 3
y x
y x x y y x
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= + +
−
=
−
+
+ +
2
7 2
3
2
2 3 4
2
2
2 2
)
(
2
1 8
1
y x
x y y
x
y x
Trang 8⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= +
− + +
−
+ + +
− +
−
=
+
0 3 6 2 ) 2 (
4
2
3 10 12 3 2 12
8 )
1
(
8
2
2 2
3 3
x
y x
y
x x y
y y x
Nâng cao thêm tí với ví dụ sau:
B
Bà à àiiii ttttậ ậ ập p p 4: 4: 4: Gi Gi Giả ả ảiiii h h hệệệệ ph ph phươ ươ ương ng ng tr tr trìììình: nh:
⎪
⎪
⎨
⎧
+ +
= +
−
= + + +
+
1 6 4 1 2
6
1 ) 1 )(
1
x xy xy
x
x
y y
x
x
Ý
Ý ttttưở ưở ưởng: ng: ng: Nhìn vào đề bài, rõ ràng ta sẽ có "thiện cảm" với phương trình thứ nhất hơn, và
quả thật phương trình thứ nhất sẽ giúp ta rất nhiều trong việc giải bài này
Điều kiện: 6x−2xy+1≥0
Nếu giải toán nhiều, chắc hẳn bạn đọc sẽ biết đến hằng đẳng thức
y y y
y
− +
=
+
+
2
1
1
Đến đây thì chắc bạn đọc đã nhận ra được điều gì rồi, đó là )
( ) ( 1
1+y2 −y= + −y 2 + −y Từ đây ta sẽ đưa đến được phương trình f(x) = f(-y), với
1 t
t+ + Ta có f'(t)=
2 2
1
1
t
t t
+
+ +
>0 vì 1+t2 +t> t +t≥0 Thay x=-y vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
5 2
1 6
2
4
25 4 1 2 6 2 2 1 6
2
1 6 4 1
2
6
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ + +
⇔
= + + +
− +
+
⇔
+ +
−
= +
+
x
x x
x
x
x x
x
x x
x
x x x
x
x
Đến đây nhường bạn đọc
B
Bà à àiiii ttttậ ậ ập p p ttttươ ươ ương ng ng ttttự ự ự::::
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
−
= + + +
−
+
0 2
8 1 1 4 4
1
2
3 2 2
2 2
x
y
x
y x y
x y x
x
B
Bà à àiiii ttttậ ậ ập p p 5: 5: 5: Gi Gi Giả ả ảiiii h h hệệệệ ph ph phươ ươ ương ng ng tr tr trìììình: nh:
⎪
⎪
⎨
⎧
= + +
+
+
=
+
6 8 5
6 10
4
5
y
x
y y
xy
x
Ý
Ý ttttưở ưở ưởng: ng: ng: Khi đã quen với phương pháp này thì khi quan sát hệ đã cho, ta thấy chỉ có thể
khai thác phương trình đầu Dễ thấy x= 2
y , ta sẽ tiến hành phân tích để ra nhân tử x- 2
y
Nhưng rõ ràng hằng đẳng thức hiệu hai luỹ thừa bậc 5 là khá rắc rối, vì vậy ta sẽ làm dùng phương pháp đơn điệu hàm số Xét y =0 không phải là nghiệm của phương trình Nếu y khác 0, chia cả 2 vế của phương trình đầu cho y , ta được:5
Trang 9y y
y
x
y
x
+
=
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
Ta sẽ xét hàm số f(t) = t +5 t
, rõ ràng hàm số này đồng biến, đến đây sau khi suy ra được x=y2
, thay vào phương trình thứ hai ta được phương trình đơn giản rồi
B
Bà à àiiii ttttậ ậ ập p p ttttươ ươ ương ng ng ttttự ự ự::::
1)
⎪
⎪
⎨
⎧
= + +
+
+
= +
6 8 5
4
) 1 ( )
(
2
2 4 2
2
y x
y y y
x
x
2)
⎪
⎪
⎨
⎧
− +
= +
+
+
=
+
4 4
12 22 10
11
) 1 3 3 ( 2 8 13
y y xy
x
3)
⎪
⎪
⎨
⎧
+
= +
+
+
= +
2
4 6 3
2
) 1 ( 1 )
2
(
2 2
x y
x
x x y
y
x
Sau đây là một số bài tập khó hơn:
1)
⎪
⎪
⎨
⎧
+
= + +
= +
x y
y
xy
y
x
51 12 ) 3 3
(
64 ) 55
3
(
2
3
2)
⎪
⎪
⎨
⎧
= + + + +
+
= + + +
+
12 4 4
5 1
2 2
3
xy y xy
x
y x y
x
3)
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
−
=
−
−
y
x
x y
x
4
3
)
1
(
8 1
4)
⎪
⎪
⎨
⎧
= + +
−
−
= +
−
+
0 4 9 12
1 2 1
2
2 2
y xy
x
y x y
x
5)
⎪
⎪
⎨
⎧
= + +
=
−
2 18 2
28 3 2
2
4
3
y xy
y
x
y
y
x
⎪
⎪
⎨
⎧
= + +
+
+
+
=
0 ) 2 ln(
1
4
2 1 5
4
1
2 3
1 2 2
1 2
x y x
y
y x y
x y
x
7)
⎪
⎪
⎨
⎧
= +
=
−
− +
+
30 3
2
0 6 15 6
10 36 18
8
2
2
2
2
y
x
xy y xy x xy y
x