một số dạng toán cơ bản hàm số bậc nhất và bậc hai

MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤTBẬC HAI ĐỂ CÁC BẠN HỌC SINH THAM KHẢO VÀ RÈN LUYỆN. CÁC BẠN CÓ THỂ THAM KHẢO THÊM CÁC TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC KHÁC TRÊN TRANG FB: HOCMAINGUYENCHITHANH. CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG

1 Định nghĩa

 Cho D  R, D  Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x 

D với một và chỉ một số y  R

 x đgl biến số (đối số), y đgl giá trị của hàm số f tại x Kí hiệu: y = f(x)

 D đgl tập xác định của hàm số

 T = y f x x D ( )  đgl tập giá trị của hàm số

2 Cách cho hàm số

 Cho bằng bảng  Cho bằng biểu đồ  Cho bằng cơng thức y = f(x)

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x)

cĩ nghĩa

3 Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M x f x ; ( ) trên 

mặt phẳng toạ độ với mọi x  D

4 Sư biến thiên của hàm số

Cho hàm số f xác định trên K

 Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu x x 1 2, K x: 1x2 f x( )1  f x( )2

 Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x x 1 2, K x: 1x2 f x( )1  f x( )2

5 Tính chẵn lẻ của hàm số

Cho hàm số y = f(x) cĩ tập xác định D

 Hàm số f đgl hàm số chẵn nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = f(x)

 Hàm số f đgl hàm số lẻ nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = –f(x)

Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng

6 Tịnh tiến đồ thị hàm số:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (C) của hàm số y f x( ); p và q là hai số dương tùy ý Khi đĩ:

a Tịnh tiến (C) lên trên q đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x( )q

b Tịnh tiến (C) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x( )q

c Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x( p)

d Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x( p)

VẤN ĐỀ 1: Tìm tập xác định của hàm số

 Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho

biểu thức f(x) cĩ nghĩa: D = x R f x có nghĩa ( ) 

 Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp:

1 Tập xác định của hàm số y2n f x( ), (nZ)là D {x R f x| ( )0}

CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

I HÀM SỐ

2 Tập xác định của hàm số

2

1

( )

n

f x



  là D {x R f x| ( )0}

3 Nếu các hàm số y f x( ) và yg x( )cĩ các tập xác định là D f và D gthì tập xác định của hàm số y f x( )g x y( ),  f x g x( ) ( ) là DD f D g

4 Để tìm tập xác định D của hàm số y f x( )ta cĩ thể tìm tập K các giá trị của đối số

x để hàm số y f x( ) khơng xác định Khi đĩ tập xác định DR K\

- Tập xác định của hàm số 1

( )

y

f x

 là DR\{xR f x| ( )0}

- Tập xác định của hàm số ( )

( )

f x y

g x

 là D(D f D g) \{xR g x| ( )0}

Chú ý: + Đơi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau

+ Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A  D

+ A.B  0  A

B 00

 

 



Bài 1 Tình giá trị của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) f x( ) 5x Tính f(0), f(2), f(–2), f(3)

x2 x

1 ( )





  Tính f(2), f(0), f(3), f(–2)

c) f x( ) 2 x 1 3x 2 Tính f(2), f(–2), f(0), f(1)

d)

khi x x

x2 khi x

1





 





Tính f(–2), f(0), f(1), f(2) f(3)

e)

khi x

f x khi x

khi x





Tính f(–2), f(–1), f(0), f(2), f(5)

Bài 2 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y x

x





x y

x

3

5 2





4 4





x2 3x 2



x y

x2 x

1





  f)

x y

x2 x

3 1



  g) y x

x3

1 1





x y





   i) y x4 x2

1



Bài 3 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y 2x3 b) y 2x3 c) y 4 x x1

d) y x

x

1 1

3

  

1



  f) y x 3 2 x2

5 2





x

1

3

x2

1 3

4

  



a) y x

x2 x a





   ; K = R ĐS: a > 11

x2 ax

3 1





  ; K = R ĐS: –2 < a < 2

c) y x a  2x a 1; K = (0; +) ĐS: a  1

x a

1



  ; K = (0; +) ĐS: 1 a 4

3

 

e) y x a

x a

2 1





  ; K = (–1; 0) ĐS: a  0 hoặc a  1

x a

e) y x a

x a

1

 ; K = (1; +) ĐS: –1  a  1

Bài 5: Tìm tập xác định của hàm số:

2

1 1

x

y

x x





  



 



Bài 6: Cho hàm số y (m1)x m  mx m 2 tìm m để hàm số xác định với  x 1

BTVN:

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số

a

2

1 ( 1)

y

x





b y 2 x 2x

1

1

  



2

1

4

y x x

x

y

4

x y

x x







Bài 2: Tìm các giá trị của m để hàm số sau xác định với mọi x > 0

1

x m

y x m

x m



 

Bài 3: Tìm m để hàm số sau xác định trên khoảng (-1; 0)

1

x m



VẤN ĐỀ 2: Xét sự biến thiên của hàm số

Cho hàm số f xác định trên K

 y = f(x) đồng biến trên K  x x 1 2, K x: 1x2 f x( )1  f x( )2

 x x K x x f x f x

x2 x 1

1 2 1 2

2 1



 y = f(x) nghịch biến trên K  x x 1 2, K x: 1x2 f x( )1  f x( )2

 x x K x x f x f x

x2 x 1

1 2 1 2

2 1



Phương pháp giải:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa

Cách 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Lấy mọi x x1, 2K với x1 x2 ta thiết lập tỷ số:

( ) ( )

f x f x A

x x







Bước 2: Khi đĩ

-Nếu A > 0 thì hàm số đồng biến trên K

-Nếu A < 0 thì hàm số nghịch biến trên K

Bảng biến thiên:

Bài 1 Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra:

a) y2x3; R b) y  x 5; R

c) yx24x; (–; 2), (2; +) d) y2x24x1; (–; 1), (1; +)

e) y

x

4

1



 ; (–; –1), (–1; +) f) y x

3 2



 ; (–; 2), (2; +)

Bài 2 Với giá trị nào của m thì các hàm số sau đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định

(hoặc trên từng khoảng xác định):

a) y(m2)x5 b) y(m1)x m 2

c) y m

x 2



m y x

1





BTVN:

Bài 1: Xét sự biến thiên của hàm số  



1 ( )

1

x

f x

x trên mỗi khoảng ;1 và 1;

x a b

y

Hàm số đồng biến trên (a;b)

x a b

y

Hàm số nghịch biến trên (a;b)

a) Chứng minh rằng hàm số h x( ) f x( )g x( ) cũng đồng biến trên K

b) Giả thiết thêm rằng cả hai hàm số y f x ( ) và y g x ( ) là dương trên K, nghĩa là:

 x K f x, ( ) 0 và g x( ) 0 Chứng minh rằng hàm số k x( ) f x g x( ) ( ) cũng đồng biến trến K

c) Giả thiết thêm rằng cả hai hàm số y f x ( ) và y g x ( ) là âm trên K, nghĩa là:

 x K f x, ( ) 0 và g x( ) 0 Chứng minh rằng hàm số k x( ) f x g x( ) ( ) nghịch biến trến K

Bài 3 Xét sự biến thiên của hàm số y x 1

x trên mỗi khoảng sau:

a) ; 1 b) 1;0 c)  0;1 d) 1;

VẤN ĐỀ 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số

Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau:

 Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D cĩ là tập đối xứng hay khơng

 Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D)

+ Nếu f(–x) = f(x), x  D thì f là hàm số chẵn

+ Nếu f(–x) = –f(x), x  D thì f là hàm số lẻ

Chú ý: + Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với x  D thì –x  D

+ Nếu x  D mà f(–x)   f(x) thì f là hàm số khơng chẵn khơng lẻ

Bài 1 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) yx44x22 b) y 2x33x c) y x   2 x 2

d) y 2x 1 2x1 e) y(x1)2 f) yx2x

g) y x

x

2

4

4



x x

  



   i) y2x2 x

Bài 2 Cho hai hàm số y f x ( ) và y g x ( ) cĩ cùng tập xác định D Hàm số y h x ( ) với

( ) ( ) ( )

h x f x g x với mọi x D gọi là tổng của hai hàm số đã cho Chứng minh rằng:  a) Tổng của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn

b) Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số lẻ

Bài 3 Cho hai hàm số y f x ( ) và y g x ( ) cĩ cùng tập xác định D Hàm số y h x ( ) với



( ) ( ) ( )

h x f x g x với mọi x D gọi là tích của hai hàm số đã cho Chứng minh rằng: 

a) Tích của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn

b) Tích của hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn

c) Tích của một hàm số lẻ và một hàm số chẵn là một hàm số lẻ

1 Hàm số bậc nhất y = ax + b (a  0)

II HÀM SỐ BẬC NHẤT

 Tập xác định: D = R

 Sự biến thiên: + Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R

+ Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R

 Đồ thị là đường thẳng cĩ hệ số gĩc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b)

Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d): y = ax + b:

+ (d) song song với (d)  a = a và b  b

+ (d) trùng với (d)  a = a và b = b

+ (d) cắt (d)  a  a

2 Hàm số y ax b  (a  0)

b

ax b khi x

a

ax b khi x

a





   



Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số y ax b  ta cĩ thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và

y = –ax – b, rồi xố đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hồnh

Bài 1 Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y2x7 b) y  3x 5 c) y x 3

2



 d) y 5 x

3





Bài 2 Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau:

a) y3x2; y2x3 b) y  3x 2; y4(x3)

c) y2 ;x y  x 3 d) y x 3; y 5 x

Bài 3 Trong mỗi trường hợp sau, tìm giá trị k để đồ thị của hàm số y  2x k x( 1):

a) Đi qua gốc tọa độ O b) Đi qua điểm M(–2 ; 3)

c) Song song với đường thẳng y 2.x

Bài 4 Xác định a và b để đồ thị của hàm số y ax b  :

a) Đi qua hai điểm A(–1; –20), B(3; 8)

b) Đi qua điểm M(4; –3) và song song với đường thẳng d: y 2x 1

3

  

c) Cắt đường thẳng d 1 : y  2 x5 tại điểm cĩ hồnh độ bằng –2 và cắt đường thẳng d 2 :

y–3x4 tại điểm cĩ tung độ bằng –2

d) Song song với đường thẳng y 1x

2

 và đi qua giao điểm của hai đường thẳng

y 1x 1

2

   và y3x5

Bài 5 Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của m sao cho ba đường thẳng sau phân biệt

và đồng qui:

a) y2 ;x y  x 3; y mx 5

b) y–5(x1); y mx 3; y3x m

c) y2x1; y 8 x y;  (3 2 )m x2

d) y (5 3 )m x m 2; y  x 11; y x 3

e) y  x 5; y2x7; y(m2)x m 4

Bài 6 Tìm điểm sao cho đường thẳng sau luơn đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào:

a) y2mx 1 m b) y mx  3 x

c) y(2m5)x m 3 d) y m x ( 2)

e) y(2m3)x2 f) y(m1)x2m

Bài 7 Với giá trị nào của m thì hàm số sau đồng biến? nghịch biến?

a) y(2m3)x m 1 b) y(2m5)x m 3

c) y mx  3 x d) y m x ( 2)

Bài 8 Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng cho sau đây:

a) 3y6x 1 0 b) y 0,5x4 c) y 3 x

2

  d) 2y x 6 e) 2x y 1 f) y0,5x1

Bài 9 Với giá trị nào của m thì đồ thị của các cặp hàm số sau song song với nhau:

a) y(3m1)x m 3; y2x1 b) y m x m y m x m

c) y m x ( 2); y(2m3)x m 1

Bài 10 Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a)

x khi x

x khi x

1





b)

x khi x

x khi x





c) y 3x5 d) y 2x1 e) y 1 2x 3 5

    f) y x   2 1 x g) y x  x 1 h) y x x    1 x 1

y ax 2bx c (a  0)

 Tập xác định: D = R

 Sự biến thiên:

 Đồ thị là một parabol cĩ đỉnh I b

a; a



 , nhận đường thẳng

b x a

  làm trục đối

xứng, hướng bề lõm lên trên khi a > 0, xuơng dưới khi a < 0

Chú ý: Để vẽ đường parabol ta cĩ thể thực hiện các bước như sau:

– Xác định toạ độ đỉnh I b

a; a



– Xác định trục đối xứng x b

a

  và hướng bề lõm của parabol

– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng)

III HÀM SỐ BẬC HAI

– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol

Bài 1 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y x 22x b) y  x2 2x3 c) y  x2 2x2

d) y 1x2 2x 2

2

    e) yx24x4 f) y  x2 4x1

Bài 2 Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đồ thị của các hàm số sau:

a) y x 1; y x 22x1 b) y  x 3; y  x2 4x1

c) y2x5; y x 24x4 d) y x 22x1; y x 24x4

e) y3x24x1; y 3x22x1 f) y2x2 x 1; y   x2 x 1

Bài 3 Xác định parabol (P) biết:

a) (P): yax2bx2 đi qua điểm A(1; 0) và cĩ trục đối xứng x 3

2



b) (P): yax2bx3 đi qua điểm A(–1; 9) và cĩ trục đối xứng x 2

c) (P): yax2bx c đi qua điểm A(0; 5) và cĩ đỉnh I(3; –4)

d) (P): yax2bx c đi qua điểm A(2; –3) và cĩ đỉnh I(1; –4)

e) (P): yax2bx c đi qua các điểm A(1; 1), B(–1; –3), O(0; 0)

f) (P): yx2bx c đi qua điểm A(1; 0) và đỉnh I cĩ tung độ bằng –1

Bài 4 Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị của mỗi hàm số sau luơn cắt trục hồnh tại hai

điểm phân biệt và đỉnh I của đồ thị luơn chạy trên một đường thẳng cố định:

a) y x2 mx m2 1

4

    b) yx22mx m 21

Bài 5 Vẽ đồ thị của hàm số y  x2 5x6 Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số

m, số điểm chung của parabol y  x2 5x6 và đường thẳng y m

Bài 6 Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) yx22 x 1 b) y x x 2    c) yx22x1

d) y x nếu x

x x nếu x

2

 

x nếu x y

x2 x nếu x

 

x khi x y

x2 x khi x

0

 



BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG II Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

x

4 2

4

  

x

1  1

2 2

3

1





  

x

2 2 3



x

1

  



x x

4







Bài 2 Xét sự biến thiên của các hàm số sau:

a) y  x2 4x1 trên (; 2) b) y

x 1



 trên (1; +) c) y x1

x

1 2



x y x

3 2





 trên (2; +∞)

Bài 3 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y x x

x

4 2

2

2 1

 



 b) y 3 x 3x c) y x x + x ( 2 2 )

  



x

3

2 1



Bài 4 Giả sử y = f(x) là hàm số xác định trên tập đối xứng D Chứng minh rằng:

a) Hàm số F x( ) 1f x( ) f x( )

2

   là hàm số chẵn xác định trên D

b) Hàm số G x( ) 1f x( ) f x( )

2

   là hàm số lẻ xác định trên D

c) Hàm số f(x) có thể phân tích thành tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ

Bài 5 Cho hàm số y ax 2bx c (P) Tìm a, b, c

 Tìm a, b, c thoả điều kiện được chỉ ra

 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số vừa tìm được

 Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B Xác định toạ độ trung

điểm I của đoạn AB

a) (P) có đỉnh S 1 3;

2 4

  và đi qua điểm A(1; 1); d: y mx

b) (P) có đỉnh S(1; 1) và đi qua điểm A(0; 2); d: y2x m