Bài Tập Xác Suất Thống Kê Đại Học Tôn Đức Thắng

Bài tập xác suất thống kê trường đại học tôn đức thắng dành cho sinh viên khối ngành kinh tế. Có thể giúp sinh viên ôn tập trước các kỳ thi. Mong rằng nó sẽ có ích cho sinh viên của trường tdt cũng như các trường bạn.

1

CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1 Một hộp chứa 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen cùng kích thước Lấy ngẫu nhiên

4 quả cầu Tính xác suất:

a) Lấy được 2 quả cầu đen

b) Lấy được ít nhất 2 quả cầu đen

c) Lấy được toàn quả cầu trắng

Đáp số: a) 0,3; b) 0, 333; c) 0,167

2 Một sinh viên đi thi môn xác suất chỉ học thuộc 20 câu trong tổng số 25 câu hỏi

đã cho Khi thi người sinh viên phải trả lời 4 câu hỏi Tính xác suất:

a) Sinh viên trả lời được cả 4 câu

b) Sinh viên trả lời được 2 câu

c) Sinh viên không trả lời được câu nào

d) Sinh viên trả lời được ít nhất một câu

Đáp số: a) 0,383; b) 0,1502; c) 0,0395; d) 0,9605

3 Một hộp thuốc có 5 ống thuốc tốt và 3 ống thuốc kém chất lượng Chọn ngẫu

nhiên lần lượt không hoàn lại 2 ống Tính xác suất:

a) Cả hai ống chọn đều tốt

b) Chỉ có ống thuốc chọn ra đầu tiên là tốt

c) Trong hai ống có ít nhất một ống thuốc tốt

Đáp số: a) 0,3571; b) 0,2679; c) 0,8929

4 Có hai xạ thủ bắn mỗi người một viên đạn vào bia với xác suất trúng đích của

người thứ nhất là 0,9 và của người thứ hai là 0,7 Tính xác suất:

a) Có đúng một viên đạn được bắn trúng đích

b) Cả hai viên đạn được bắn trúng đích

c) Có ít nhất một viên đạn được bắn trúng đích

d) Không có viên đạn nào được bắn trúng đích

P A B , P A B( )

Đáp số: 0,14272

7 Phân bố học sinh của một lớp học được cho trong bảng

Nội thành Ngoại thành Nam 16 10 Nữ 12 8 Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của lớp Tính xác suất:

a) Học sinh được chọn ở ngoại thành, biết rằng em đó là nữ

b) Học sinh được chọn là nữ, biết rằng em đó ở ngoại thành

Đáp số: a) 0,4; b) 0,4445

8 Một lô sản phẩm gồm 45 sản phẩm tốt và 5 phế phẩm Kiểm tra ngẫu nhiên

liên tiếp không hoàn lại 3 sản phẩm Nếu có ít nhất 1 phế phẩm trong 3 sản phẩm kiểm tra thì không nhận lô hàng Tìm xác suất nhận lô hàng này

Đáp số: 0,724

9 Một hộp có 10 bi trong đó có 2 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt

từng bi cho đến khi lấy được 2 bi đỏ thì dừng Tính xác suất việc lấy bi dừng lại

ở lần thứ 3

Đáp số: 0,0445

10 Bắn liên tiếp 3 phát đạn vào một máy bay đang bay, xác suất trúng lần lượt là

0,5; 0,6 và 0,8 Nếu máy bay bị trúng một phát thì xác suất rơi là 0,3; nếu máy bay bị trúng hai phát thì xác suất rơi là 0,6; nếu máy bay bị trúng ba phát thì chắc chắn rơi Tính xác suất máy bay bị rơi

Hướng dẫn: Gọi Ai: “Có k viên đạn trúng máy bay”, (i 0,1, 2, 3 = ) Khi đó, hệ

{A , A , A , A 0 1 2 3} là đầy đủ Gọi Bj: “Viên đạn thứ j trúng máy bay”, (j 1,2,3 = ) Gọi biến cố A : “Máy bay bị rơi” Dùng công thức xác suất đầy đủ, ta được

( )

P A = 0,594

3

11 Tỷ lệ người mắc bệnh tim trong một vùng dân cư là 9%, mắc bệnh huyết áp là

12%, mắc cả hai bệnh là 7% Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng Tính xác

suất để người đó:

a) Bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp

b) Không bị bệnh tim cũng không bị bệnh huyết áp

c) Không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp

d) Bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp

e) Không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp

Đáp số: a) 0,14; b) 0,86; c) 0,93; d) 0,02; e) 0,05

12 Theo dõi dự báo thời tiết trên đài truyền hình (nắng, sương mù, mưa) và so

sánh với thời tiết thực tế xảy ra, ta có bảng thống kê sau

Dự báo Thực tế

Nắng Sương mù Mưa

Sương mù 4 20 2

nghĩa là có 30 lần dự báo nắng, trời nắng; 4 lần dự báo nắng, trời sương mù; 10

lần dự báo nắng, trời mưa, v.v…

a) Tính xác suất dự báo trời nắng của đài truyền hình

b) Tính xác suất dự báo của đài truyền hình là đúng thực tế

c) Được tin dự báo là trời nắng Tính xác suất để thực tế thì trời mưa ? trời

sương mù ? trời nắng ?

Đáp số: a) 0,44; b) 0,7; c) 0,227; 0,091; 0,682

13 Một người có 2 viên đạn bắn vào một mục tiêu với xác suất trúng mục tiêu của

viên đạn thứ nhất là 0,8 Nếu viên đạn thứ nhất trúng mục tiêu thì xác suất

trúng mục tiêu của viên đạn thứ hai là 0,9; nếu viên thứ nhất trượt mục tiêu thì

xác suất trúng mục tiêu của viên đạn thứ hai là 0,6 Biết rằng mục tiêu bị trúng

đạn Tính xác suất:

a) Chỉ có viên đạn thứ nhất trúng mục tiêu

b) Cả hai viên đạn đều trúng mục tiêu

14 Một thủ quỹ có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc chìa gần giống hệt nhau trong

đó chỉ có 2 chìa có thể mở được tủ sắt Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa (chìa không trúng được bỏ ra trong lần thử kế tiếp) Tìm xác suất để anh ta mở được tủ vào đúng lần thứ ba

Đáp số: 0,1667

15 Hai sinh viên A và B chơi một trò chơi như sau: Cả hai luân phiên lấy mỗi lần

1 bi từ một hộp đựng 2 bi trắng và 4 bi đen (bi được rút ra không được trả lại vào hộp) Người nào lấy ra được bi trắng trước thì thắng cuộc Tính xác suất thắng cuộc của người lấy trước

Đáp số: 0,6

16 Có 10 hộp đựng kẹo, trong đó

• 3 hộp loại A, mỗi hộp đựng 15 viên kẹo cà phê, 15 viên kẹo sữa và 20 viên kẹo trái cây

• 3 hộp loại B, mỗi hộp đựng 15 viên kẹo cà phê; 20 viên kẹo sữa và 15 viên kẹo trái cây

• 4 hộp loại C, mỗi hộp đựng 20 viên kẹo cà phê; 20 viên kẹo sữa và 10 viên kẹo trái cây

Một em bé ưa thích loại kẹo trái cây đã lấy ngẫu nhiên 1 hộp, rồi từ hộp đó em bé lấy ra 1 viên kẹo

a) Tính xác suất để em bé lấy được viên kẹo mà em ưa thích

5

b) Giả sử rằng em bé đã lấy trúng viên kẹo ưa thích Tính xác suất để viên kẹo đó được lấy ra từ hộp loại A

Đáp số: a) 0,29; b) 0,414

17 Bao lúa thứ nhất nặng 20kg có tỉ lệ hạt lép là 1%; bao lúa thứ hai nặng 30kg có

tỉ lệ hạt lép là 2%; bao thứ ba nặng 50kg và 3% hạt lép Trộn cả ba bao lúa vào nhau rồi từ đó bốc ra 1 hạt lúa

a) Tính xác suất hạt lúa bốc ra là hạt lép

b) Giả sử hạt lúa bốc ra là hạt lép, tính xác suất hạt lúa này là của bao thứ hai

Đáp số: a) 0,023; b) 0,261

18 Một phân xưởng có 3 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm Sản lượng của các

máy này sản xuất ra lần lượt chiếm tỷ lệ 35%; 40%; 25% toàn bộ sản lượng của phân xưởng Tỷ lệ sản xuất ra phế phẩm của các máy này là 1%; 1,5%; 0,8% Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm của phân xưởng để kiểm tra

a) Tính xác suất chọn được phế phẩm

b) Giả sử sản phẩm chọn ra là phế phẩm, nhiều khả năng sản phẩm đó do máy nào sản xuất ra ?

Đáp số: a) 0,0115; b) Máy thứ hai

19 Trong một vùng dân cư, cứ 100 người thì có 30 người hút thuốc lá Biết tỷ lệ

người bị viêm họng trong số người hút thuốc lá là 60%, trong số người không hút thuốc lá là 30% Khám ngẫu nhiên một người và thấy người đó bị viêm họng Tìm xác suất để người đó hút thuốc lá

Đáp số: 0,46

20 Có 2 chuồng gà giống Chuồng I gồm 15 con, trong đó có 3 con gà trống Chuồng

II gồm 20 con, trong đó có 4 gà trống Một con từ chuồng II chạy sang chuồng I Từ chuồng I bắt ngẫu nhiên ra 1 con Tìm xác suất để con gà bắt ra là gà trống

Hướng dẫn: Đặt A : “Con gà nhảy từ chuồng II sang chuồng I là gà trống”, 1 A : 2

“Con gà nhảy từ lô chuồng II sang chuồng I là gà mái”, B : “Con gà bắt ra từ chuồng I là gà trống” Dùng công thức xác suất đầy đủ, ta được P B( ) = 0, 2

21 Trong một thùng kín có hai loại thuốc A, B Số lượng thuốc A bằng 2/3 số lượng

thuốc B Tỉ lệ thuốc A, B đã hết hạn sử dụng lần lượt là 20%; 25% Chọn ngẫu

6

nhiên một lọ từ thùng và được lọ thuốc đã hết hạn sử dụng Tính xác suất lọ này là thuốc loại A

Đáp số: 0,6154

22 Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng

khác nhau sinh ra (sinh đôi giả) Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là 0,5 Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi là trai; 30% cặp sinh đôi là gái và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau

a) Tính tỷ lệ cặp sinh đôi thật

b) Tìm tỷ lệ cặp sinh đôi thật trong số các cặp sinh đôi có cùng giới tính

Hướng dẫn: a) Đặt A : “Gặp được cặp sinh đôi thật”, 1 A : “Gặp được cặp sinh 2đôi giả”, B : “Cặp sinh đôi cùng giới tính” Khi đó, P B( ) = 0, 64, P B A( 1)= 1,

P B A = 0,5 Từ công thức xác suất đầy đủ, ta tìm được P A( )1 = 0,28 b) Dùng công thức Bayes, ta tìm được P A B( 1 )= 0, 4375

23 Có hai hộp đựng bi :

• Hộp A đựng 20 bi trong đó có 5 bi đỏ và 15 bi trắng;

• Hộp B đựng 15 bi trong đó có 6 bi đỏ và 9 bi trắng

Lấy một bi ở hộp A bỏ vào hộp B Trộn đều hộp B rồi từ đó lấy ra 1 bi Tính xác suất để bi lấy ra từ hộp B là bi đỏ ?

Đáp số: 0,3906

7

CHƯƠNG 2: BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN

1 Một kiện hàng có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ kiện

hàng đó ra 2 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm xấu chọn được

a) Lập bảng phân phối xác suất của X

b) Tính kỳ vọng, phương sai, mốt của X

c) Lập hàm phân phối của X

d) Viết biểu thức hàm mật độ của X

Đáp số:

a) Bảng phân phối xác suất

X 0 1 2

P 0,357 0,536 0,107 b) 0,75; 0,4015; 1

2 Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau, xác suất trong khoảng

thời gian t các bộ phận bị hỏng tương ứng bằng 0,2; 0,3; 0,25 Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong khoảng thời gian t

a) Lập bảng phân phối xác suất của X

b) Tính E X , ( ) Var X , ( ) σ( )X , Mod X ( )

c) Viết biểu thức hàm phân phối của X

d) Viết biểu thức hàm mật độ của X

Đáp số:

a) Bảng phân phối xác suất

X 0 1 2 3

P 0,42 0,425 0,14 0,015 b) 0,75; 0,5575; 0,7467; 1

3 Một người vào cửa hàng thấy có 5 chiếc ti vi giống nhau Anh ta đề nghị được

thử lần lượt từng chiếc đến khi chọn được chiếc ti vi tốt thì mua và nếu cả 5 lần thử đều gặp ti vi xấu thì không mua Xác suất gặp một tivi xấu là 0,3 Gọi X là số lần thử

a) Tính xác suất người này mua được tivi

b) Lập bảng phân phối của X

8

c) Tìm kỳ vọng, phương sai, mốt của X

d) Lập hàm phân phối của X

e) Viết biểu thức hàm mật độ của X

4 Có hai thùng thuốc A và B, trong đó: thùng A có 20 lọ gồm 2 lọ hỏng và 18 lọ

tốt, thùng B có 20 lọ gồm 3 lọ hỏng và 17 lọ tốt Lấy ở mỗi thùng một lọ Gọi X là số lọ hỏng trong 2 lọ lấy ra Tính E X( ), Var X( ), Mod X( )

Đáp số: Bảng phân phối xác suất

X 0 1 2

P 0,765 0,22 0,015 Các tham số: E X( ) = 0, 25; Var X( ) = 0, 2175; Mod X( ) = 0

5 Có hai kiện hàng, mỗi kiện có 50 sản phẩm Kiện thứ nhất K có 3 sản phẩm 1không đạt tiêu chuẩn, kiện hàng thứ hai K có 6 sản phẩm không đạt tiêu 2chuẩn Chọn ngẫu nhiên một kiện, rồi từ kiện đã chọn, lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm Tìm bảng phân phối xác suất của số sản phẩm không đạt tiêu chuẩn có trong 2 sản phẩm lấy ra

Hướng dẫn: Gọi X là số sản phẩm không đạt tiêu chuẩn có trong 2 sản phẩm

lấy ra; X ={0;1; 2} Gọi biến cố A : “2 sản phẩm lấy ra nằm ở kiện i K ” Dùng icông xác suất đầy đủ, ta có bảng phân phối xác suất:

X 0 1 2

P 0,8274 0,1653 0,0073

6 Theo thống kê trung bình cứ 1000 người dân ở độ tuổi 40 thì sau một năm có

996 người còn sống Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm một năm cho

9

những người ở độ tuổi này với giá 1,5 triệu đồng, nếu người mua bảo hiểm chết thì số tiền bồi thường là 300 triệu đồng Giả sử công ty bán được 10.000 hợp đồng bảo hiểm loại này (mỗi hợp đồng ứng với 1 người mua bảo hiểm) trong một năm Hỏi trong một năm lợi nhuận trung bình thu được của công ty về loại bảo hiểm này là bao nhiêu ?

Đáp số: 3 tỷ đồng

7 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ

10

a) Xác định hằng số c

b) Tìm trung bình và phương sai của X

c) Tính xác suất của một người có tuổi thọ trên 60 tuổi

d) Tính xác suất của một người có tuổi thọ trên 60 tuổi, biết rằng người đó hiện nay đã trên 50 tuổi

Đáp số: a) c 3.10= − 9; b) E X( ) = 50, Var X( ) 2500

11

CHƯƠNG 3: CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

1 Từ một nhóm 10 kỹ sư gồm 6 kỹ sư hóa và 4 kỹ sư điện Chọn ngẫu nhiên 4 kỹ

sư Gọi X là số kỹ sư điện được chọn

a) Tính xác suất chọn được 2 kỹ sư điện

b) Tính E X , ( ) Var X ( )

Đáp số : a) 0,4286 ; b) 1,6 ; c) 0,64

2 Một lô hàng gồm 90 sản phẩm tốt và 10 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên 5 sản

phẩm từ lô đó Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 5 sản phẩm lấy ra

a) Tính xác suất chọn được ít nhất 2 sản phẩm tốt

4 Một kỹ thuật viên theo dõi 14 máy hoạt động độc lập Khả năng mỗi máy trong

1 giờ cần đến sự điều chỉnh của người là 20% Tính xác suất để trong 1 giờ:

a) Có 3 máy cần đến sự điều chỉnh của kỹ thuật viên

b) Số máy cần sự điều chỉnh của kỹ thuật viên không bé hơn 3 và không lớn hơn 6

Đáp số: a) 0,2501; b) 0,5403

5 Bắn độc lập 12 viên đạn vào một mục tiêu, xác suất bắn trúng của mỗi viên đạn

là 0,95 Mục tiêu bị phá hủy hoàn toàn nếu có ít nhất 2 viên đạn trúng vào mục tiêu Tính xác suất:

a) Mục tiêu bị phá hủy một phần

b) Mục tiêu bị phá hủy hoàn toàn

Đáp số: a) 5,566 10× − 14; b) 1≈

12

6 Một trường tiểu học có tỉ lệ học sinh bị cận thị là 0,9% Kiểm tra ngẫu nhiên lần

lượt từng học sinh của trường này Tính số học sinh tối thiểu cần kiểm tra để xác suất chọn được ít nhất 1 học sinh bị cận thị không bé hơn 95%

Đáp số: 332 học sinh

7 Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời và chỉ có 1

phương án đúng Giả sử 1 câu trả lời đúng được 4 điểm, trả lời sai bị trừ 1 điểm Một sinh viên yếu chọn cách trả lời ngẫu nhiên bằng cách chọn hú họa 1 phương án của mỗi câu để trả lời

a) Tính khả năng sinh viên đó đạt 13 điểm

b) Tính khả năng sinh viên đó bị điểm âm

Đáp số: a) 0,1032; b) 0,3907

8 Theo một điều tra về xã hội học cho thấy tỷ lệ sinh viên học không đúng với

ngành nghề mà họ yêu thích là 34% Một lớp gồm 60 sinh viên Gọi X là số sinh viên học không đúng ngành nghề yêu thích trong 60 sinh viên này

a) Về trung bình thì trong 60 sinh viên sẽ có bao nhiêu sinh viên không thích ngành đang học ?

b) Có bao nhiêu sinh viên không thích ngành đang học là có khả năng nhất ?

Đáp số: a) 20,4; b) 20 sinh viên

9 Quan sát thấy trung bình 5 phút có 15 khách hàng vào một siêu thị nhỏ

a) Tìm xác suất để trong 1 phút có 4 khách vào siêu thị

b) Tìm xác suất để có nhiều hơn 2 khách vào siêu thị trong 45 giây

c) Tính số khách chắc chắn nhất sẽ vào siêu thị này trong 2 giờ 18 phút

Đáp số: a) 0,168; b) 0,3907; c) 413 khách hay 414 khách

10 Một bến xe khách trung bình có 40 xe xuất bến trong 1 giờ

a) Tính xác suất để trong 1 phút có 2 xe xuất bến

b) Tính xác suất có nhiều hơn 2 xe xuất bến trong 30 giây

c) Tính số xe chắc chắn nhất sẽ xuất bến trong 1 giờ 25 phút

Đáp số: a) 0,1141; b) 0,0398; c) 56 xe

11 Thống kê cho thấy trung bình trong 1 tuần giá vàng thay đổi 10 lần

a) Tính xác suất trong 2 ngày liên tiếp có ít nhất 2 lần giá vàng thay đổi

b) Tính số lần chắc chắn nhất giá vàng sẽ thay đổi trong 1 tháng

Đáp số: a) 0,7785; b) 42 lần

15 Lợi nhuận X (%) của 1 doanh nghiệp đầu tư vào một dự án là biến ngẫu nhiên

có phân phối chuẩn Theo đánh giá của Ủy ban đầu tư thì lợi nhuận cao hơn 20% có xác suất là 0,1587; cao hơn 25% có xác suất là 0,0228 Vậy khả năng doanh nghiệp đầu tư vào dự án trên mà không bị thua lỗ là bao nhiêu ?

Đáp số: 0,9987, µ =15; σ = 5

16 Thời gian (tính bằng tháng) từ lúc vay đến lúc trả tiền của một khách hàng tại

một ngân hàng là biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn trung bình 18 tháng, độ lệch tiêu chuẩn 4 tháng Tính tỷ lệ khách hàng trả tiền cho ngân hàng:

a) Trong khoảng thời gian từ 10 đến 19 tháng;

b) Trong khoảng thời gian không ít hơn 1 năm;

c) Khoảng thời gian tối thiểu là bao nhiêu để tỷ lệ khách hàng trả tiền cho ngân hàng vượt thời gian đó không quá 1%

Đáp số: a) 0,5759 b) 0,9332 c) 27,32 tháng

17 Một công ty kinh doanh mặt hàng A dự định sẽ áp dụng một trong hai phương

án kinh doanh Ký hiệu X , 1 X (triệu đồng/tháng) lần lượt là lợi nhuận thu được 2khi áp dụng phương án thứ nhất và thứ hai Cho biết X1 ∼ N 140; 2500( ),

2

X ∼ N 200; 3600 Để công ty tồn tại và phát triển thì lợi nhuận thu được từ kinh doanh mặt hàng A phải đạt ít nhất 80 triệu đồng/tháng Hãy cho biết công ty nên áp dụng phương án nào để kinh doanh mặt hàng A? Vì sao ?

Đáp số: Áp dụng phương án 2 do P X( 1 ≥ 80) = 0, 8849 P X< ( 2 ≥ 80) = 0, 9772