Những khía cạnh số học của lí thuyết phân bố giá trị

dạng hiệu quả nghĩa là các hằng số liên quan có thể tính toán được một cách hiệu quảqua quá trình chứng minh.Luận án này nhằm nghiên cứu mối liên hệ giữa lí thuyết Nevanlinna và hình học

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những kết quả được trình bày trong luận án là mới, được công bốtrên các tạp chí Toán học uy tín trong và ngoài nước Các kết quả nêu trong luận án

là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Nghiên cứu sinh: Lê Giang

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành với sự giúp đỡ và ủng hộ của nhiều người Với lòng biết

ơn chân thành nhất, tôi muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tới tất cả những ai đã ủng hộ vàgiúp đỡ tôi hoàn thành luận án này

Trên hết tôi muốn gửi những lời biết ơn chân thành nhất tới hai người Thầy hướngdẫn của mình là GS Đỗ Đức Thái và GS Gerd Dethloff, những người đã hết lòng giúp

đỡ, động viên và chỉ bảo tôi từ những bước đầu tiên cho đến những công việc cuối cùngcủa luận án

Tôi muốn gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và Trường Đại họcTổng hợp Brest (Cộng hòa Pháp) vì sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi mà haiTrường dành cho tôi Đặc biệt là Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, nơi mà tôi đã vàđang học tập, công tác

Tôi bày tỏ sự biết ơn chân thành đến Cục đào tạo với nước ngoài (Đề án 911) đãgiúp đỡ và ủng hộ tôi hoàn thành luận án

Tôi muốn gửi lời cảm ơn tới Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, các đồng nghiệp trongKhoa và các đồng nghiệp trong seminar nghiên cứu Hình học phức và Hình học đại số

đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình làm luận án

Cuối cùng tôi muốn bày tỏ sự biết ơn tới gia đình tôi, những người luôn bên tôi,động viên và chia sẻ với tôi những vất vả khó khăn trong quá trình hoàn thành luậnán

Lời cam đoan i

1.1 Một số khái niệm cơ bản trong hình học đại số và hình học Diophantine 12

1.2 Các kiến thức chuẩn bị 16

1.3 Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động 18

1.3.1 Một vài bổ đề 18

1.3.2 Chứng minh của Định lí 1.0.1 23

2 Dạng định lượng của định lí không gian con Schmidt 35 2.1 Độ cao xoắn 39

2.2 Một vài ước lượng về độ cao 42

2.3 Chứng minh Định lí 2.0.9 44

3 Dạng hiệu quả của định lí không gian con Schmidt trên trường hàm 58 3.1 Các khái niệm và các kí hiệu cơ bản 61

iii

3.2 Cách chọn chính tắc các đa thức xác định X từ dạng Chow của đa tạp X 62

3.3 Một vài kết quả hiệu quả 64

3.4 Chứng minh của định lí 3.0.8 74

4 Định lí cơ bản thứ hai 83 4.1 Khái niệm cơ bản và một vài kết quả từ lí thuyết Nevanlinna 85

4.2 Cắt bội cụ thể của định lí cơ bản thứ hai suy biến 87

4.2.1 Một vài bổ đề 87

4.2.2 Chứng minh của định lí 4.0.2 88

sự tương ứng này Thông qua từ điển đó, một số định lí trong lí thuyết Nevanlinna cóthể chuyển thành một kết quả đúng trong hình học Diophantine Sự hiểu biết về mốiliên hệ giữa hai vấn đề này trong vòng 30 năm qua đã dẫn đến những bước phát triểnvượt bậc trong cả hai lĩnh vực Nhiều giả thuyết đặt ra trong vài chục năm trước đãđược giải quyết Các kết quả thường được chứng minh trong lí thuyết Nevanlinna sau

đó được chuyển sang dạng tương ứng của chúng trong hình học Diophantine Mặc dùviệc chuyển sang mệnh đề tương ứng là việc làm hoàn toàn hình thức, chứng minh củachúng thì không hoàn toàn như vậy Trong lí thuyết Nevanlinna, chúng ta có khái niệmđạo hàm của các ánh xạ chỉnh hình Khái niệm này là công cụ đặc biệt quan trọngtrong chứng minh Tuy nhiên, cho đến nay người ta vẫn chưa thể nào xây dựng đượckhái niệm tương tự trong lí thuyết số Trong thời gian gần đây, những kết quả của líthuyết số áp dụng định lí không gian con Schmidt đã dẫn đến những kết quả tương tựtrong lí thuyết Nevanlinna

Khi nghiên cứu trên trường hàm đại số, ta cũng thấy hình học Diophantine và líthuyết Nevanlinna có liên quan mật thiết với nhau Ta thấy rằng một trường hàm đại

số có nhiều tính chất số học của trường số Mặt khác, nhiều kĩ thuật của lí thuyếtNevanlinna có thể được áp dụng cho trường hàm đại số và kết quả thu được thường ở

dạng hiệu quả nghĩa là các hằng số liên quan có thể tính toán được một cách hiệu quảqua quá trình chứng minh.

Luận án này nhằm nghiên cứu mối liên hệ giữa lí thuyết Nevanlinna và hình họcDiophantine đặc biệt tập trung vào định lí không gian con Schmidt trên trường số cũngnhư trên trường hàm và định lí cơ bản thứ hai Luận án bao gồm 4 chương

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận án là nghiên cứu định lí không gian con Schmidt trêntrường số, trường hàm đại số và định lí cơ bản thứ hai đối với họ các siêu mặt

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Như đã trình bày ở phần lý do chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu của luận án làmối quan hệ sâu sắc giữa lí thuyết phân bố giá trị và hình học Diophantine đặc biệt

là định lí không gian con Schmidt trên trường số cũng như trên trường hàm và định

lí cơ bản thứ hai Trong luận án, các kết quả đạt được là mở rộng của các kết quả đãđạt được gần đây

4 Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết những vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng các phươngpháp nghiên cứu của Lý thuyết phân bố giá trị, Hình học Diophantine, Hình học phứcđồng thời chúng tôi cũng đưa ra những kĩ thuật mới để giải quyết vấn đề

5 Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài

Luận án được chia thành bốn chương

Chương 1 dành cho việc nghiên cứu định lí không gian con Schmidt trên trường sốđối với mục tiêu di động Cụ thể là sau khi giới thiệu lại các khái niệm và kết quả cơbản của hình học Diophantine, các kết quả đã đạt được từ trước đến nay trong việcnghiên cứu vấn đề này, chúng tôi chứng minh định lí không gian con Schmidt cho mụctiêu là họ các siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh Kết quả này tổng quát hóakết quả của Ru-Vojta (xem [59])

Chương 2 dành cho việc nghiên cứu dạng định lượng của định lí không gian conSchmidt Sau khi nhắc lại những kết quả quan trọng đã thu được từ trước đến nay,chúng tôi chứng minh dạng định lượng của định lí không gian con Schmidt cho họ các

đa thức với nghiệm trên đa tạp xạ ảnh cho trường hợp tổng quát hơn trường hợp đãđược nghiên cứu bởi Evertse-Ferretti (xem [22]).

Trong chương 3, chúng tôi giới thiệu dạng hiệu quả của định lí không gian conSchmidt trên trường hàm Cụ thể chúng tôi mở rộng các kết quả trước đó đến trườnghợp đa tạp xạ ảnh và họ các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát

Trong chương cuối cùng của luận án, chúng tôi nghiên cứu định lí cơ bản thứ haicủa lí thuyết phân bố giá trị Cụ thể là sau khi nhắc lại những khái niệm cơ bản của líthuyết này, chúng tôi cải tiến kết quả đạt được gần đây của Chen- Ru-Yan (xem [12])bằng việc đưa ra cắt bội cụ thể cho định lí cơ bản thứ hai suy biến của ba tác giả trên

6 Cấu trúc luận án

Bố cục của luận án ngoài phần mở đầu và phần phụ lục gồm bốn chương được viếttheo tư tưởng kế thừa Bốn chương của luận án được viết dựa trên bốn công trìnhtrong đó hai công trình đã được đăng, một công trình đã được nhận đăng và một côngtrình đã được gửi đi công bố

Chương I: Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động

Chương II: Dạng định lượng của định lí không gian con Schmidt

Chương III: Dạng hiệu quả của định lí không gian con Schmidt

Chương IV: Định lí cơ bản thứ hai

7 Nơi thực hiện luận án

Luận án được thực hiện tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà nội và khoaToán, trường Đại học Tổng hợp Brest, Cộng hòa Pháp

TỔNG QUAN

Ta biết rằng định lí không gian con Schmidt là một trong những vấn đề trung tâmcủa hình học Diophantine Vào thập kỉ 1970, Wolfgang Schmidt đã đưa ra những dạngđầu tiên của định lí này Trong khi định lí của Roth nghiên cứu xấp xỉ của các số đại

số bởi các số hữu tỉ trên đường thẳng thực, định lí không gian con nghiên cứu vấn đềxấp xỉ đối với họ các siêu phẳng cho trước trong không gian chiều lớn hơn xác địnhtrên trường số đại số H.P Schlickewei (xem [65]) đã cải tiến kết quả của W Schmidt,trong đó xấp xỉ được thực hiện đồng thời đối với tất cả các định giá trong một tậphữu hạn S cho trước trong một trường số cho trước Sau đó, Vojta (xem [79]) đã cảitiến kết quả của Schlickewei bằng việc chứng minh sự độc lập của các siêu phẳng loạitrừ từ sự lựa chọn của một số thông số nhất định

Vào thập kỉ 2000, Corvaja-Zannier (xem [10]) và Evertse-Ferretti (xem [22]) đã kháiquát định lí không gian con tới trường hợp nghiệm được xét trên đa tạp xạ ảnh vàcác siêu mặt nằm ở vị trí tổng quát Gần đây, Chen- Ru-Yan (xem [12]) và sau đó A.Levin (xem [42]) tổng quát hóa kết quả của họ tới trường hợp các divisor nằm ở vị trídưới tổng quát

Các định lí không gian con Schmidt đã nhắc đến ở trên có thể xem là các định líkhông gian con Schmidt cho mục tiêu cố định theo nghĩa là các siêu mặt ”mục tiêu”

là cố định khi các điểm xấp xỉ di động qua vô hạn điểm Một hướng để tổng quát hóađịnh lí không gian con Schmidt đó là cho phép các ”mục tiêu” này di động chậm.R.Nevanlinna đã đặt ra vấn đề định lí cơ bản thứ hai với mục tiêu di động, tức làcác hằng số ai được thay thế bởi các hàm phân hình gi với log T (r, gi) = o(log T (r, f )).Ông đã giải quyết trường hợp cho ba mục tiêu di động bằng cách sử dụng biến đổiMobius để đưa về trường hợp hằng số Trường hợp tổng quát là câu hỏi mở trong mộtthời gian dài Dạng yếu của định lí cơ bản thứ hai không có cắt bội được chứng minhmột cách độc lập bởi C.F.Osgood (xem [53, 54]) và N Steinmetz (xem [75]) (xem [64]

để biết thêm chi tiết) Đó chính là động lực thúc đẩy Vojta đưa ra định lí Roth chomục tiêu di động (xem [80]) Sau đó, M Ru và Vojta (xem [59]) mở rộng định lí trênđến định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động Lập luận của Vojta, lấy cảmhứng từ bài báo của N Steinmetz, đã thu được định lí đã đề cập ở trên như là một hệ

quả của định lí không gian con Schmidt.

Gần đây, Dethloff và Tan (xem [15]) chứng minh định lí cơ bản thứ hai cho ánh

xạ chỉnh hình không suy biến đại số của C vào Pn(C) và các mục tiêu di động chậm

Qj ⊂ Pn(C), j = 1, , q, (q ≥ n + 2) ở vị trí tổng quát Mục đích của chúng tôi trongphần đầu tiên của luận án là chứng minh dạng số học của định lí trên Cụ thể là chúngtôi sẽ chứng minh ”Định lí không gian con Schmidt cho các siêu mặt di động” Chươngđầu tiên của luận án được viết dựa trên bài báo [28]

Trong chương hai của luận án, chúng tôi nghiên cứu dạng định lượng của định líkhông gian con Schmidt Đây là một cải tiến rất quan trọng của định lí không giancon, trong đó ta đưa ra số các siêu phẳng cần thiết để chứa tất cả các nghiệm

Schmidt (xem [69]) là người đầu tiên nghiên cứu vấn đề này và sau đó J.H-Evertse(xem [19]), J.H Evertse và Schlickewei (xem [21]) đã cải tiến kết quả của ông bằngviệc đưa ra chặn tốt hơn cho số siêu phẳng Những chặn trên này rất lớn và nó chuẩntắc đối với trường số K, đây là điều cốt yếu trong nhiều ứng dụng Những kết quảnày tiếp tục được cải tiến bởi Evertse và Ferretti (xem [23]) Năm 2008, họ (xem [22],định lí 1.3) tổng quát các kết quả trên tới trường hợp bất đẳng thức với các đa thức

và nghiệm được xét trên một đa tạp con xạ ảnh n chiều của PN, trong đó N ≥ n ≥ 1.Trong chương hai của luận án, chúng tôi sẽ mở rộng kết quả của họ tới trường hợptổng quát hơn Chương này được viết dựa trên bài báo [30]

Chương ba của luận án nghiên cứu dạng hiệu quả của định lí không gian con Schmidttrên trường hàm đại số với đặc số 0 Chúng tôi muốn lưu ý rằng, trong trường số chotới nay vẫn chưa chứng minh được dạng hiệu quả của định lí này Tuy nhiên với kĩthuật của lí thuyết Nevanlinna, ta có thể đưa ra được dạng hiệu quả của một vài kếtquả quan trọng trong hình học Diophantine trên trường hàm đại số Kết quả đầu tiên

áp dụng thành công kĩ thuật này là định lí ABC trên trường hàm (xem [43], [78], [6],[76], [48], và [33]) Sau đó, dạng hiệu quả của định lí Roth, định lí Wirsing và định

lí Nochka-Chen-Ru-Wong [84, 87], tiếp tục dựa trên kĩ thuật đó Bằng cách dựa trênphương pháp của Vojta, J.Wang đã chứng minh dạng hiệu quả của định lí không giancon Schmidt cho các dạng tuyến tính trên trường hàm đại số có đặc số 0 trong [86].Trong bài báo [1], An và Wang mở rộng kết quả trên của J Wang cho các dạng không

tuyến tính Dựa trên công việc của Evertse và Ferretti [22], Ru và Wang [63] tổng quátnhững kết quả trên tới trường hợp các divisors của đa tạp xạ ảnh của X ⊂ PM đượcsinh ra bởi các siêu mặt trong PM trên trường hàm có đặc số 0 Phương pháp chứngminh được dựa trên chứng minh của định lí tương ứng trên trường số Vấn đề chính làchúng ta phải làm các quá trình tính toán trở nên cụ thể và hiệu quả.

Như ta đã nói ở trên, Chen- Ru-Yan (xem [12]) và Levin (xem [42], định lí 5.1) đãchứng minh định lí không gian con Schmidt cho các siêu mặt ở vị trí m- dưới tổngquát trên trường số và đồng thời chỉ ra kết quả tương tự cho đường cong chỉnh hình.Đây chính là động lực cho bài báo của chúng tôi [27] Chúng tôi tổng quát hóa kết quảcủa Ru-Wang tới trường hợp các siêu mặt nằm ở vị trí m-dưới tổng quát Phần ba củaluận án dùng để trình bày kết quả này (xem [27])

Trong phần cuối của luận án, chúng tôi nghiên cứu định lí cơ bản thứ hai Định línày giữ một vai trò quan trọng trong lí thuyết Nevanlinna Thông qua từ điển Vojta,định lí cơ bản thứ hai tương ứng với định lí không gian con Schmidt Được bắt đầubởi R Nevanlinna, định lí này đã được nghiên cứu rất sâu rộng bởi nhiều nhà nghiêncứu như H Cartan (xem [92], ), W Stoll ([57]), M Ru ([60, 61, 62]), G Dethloff - T

V Tan-Thai ([14] ), và nhiều người khác

Năm 2009, Min Ru (xem [62]) chứng minh định lí cơ bản thứ hai cho đường congchỉnh hình không suy biến đại số vào trong đa tạp xạ ảnh với họ các siêu mặt ở vị trítổng quát Sau đó, ông và Chen, Yan (xem [11]) cải tiến kết quả trên bằng việc đưa racắt bội cụ thể cho hàm đếm Năm 2012, ba tác giả trên chứng minh định lí cơ bản thứhai cho trường hợp các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát (xem [12]) Trong bài báo của

họ, cắt bội không được đưa ra một cách cụ thể Khi chúng ta muốn áp dụng bất đẳngthức của dạng định lí cơ bản thứ hai, một vấn đề cốt yếu đó là ta phải có bất đẳngthức với hàm đếm cắt bội Đưa ra dạng số học tương ứng của định lí cơ bản thứ hai cóchứa hàm đếm cắt bội có lẽ là một trong những vấn đề mở quan trọng nhất của hìnhhọc Diophantine Mục đích của chúng tôi là cải tiến kết quả của Chen-Ru-Yan bằngcách đưa ra ước lượng cụ thể của cắt bội Chương cuối của luận án được viết dựa trênbài báo [29]

Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động.

Trước hết chúng tôi nhắc lại những kết quả tiêu biểu nhất trong lịch sử phát triểncủa định lí không gian con Schmidt

Năm 1955, K F Roth (xem [56, 32, 4]) đã chứng minh một định lí rất quan trọng

về sự xấp xỉ của các số đại số bởi các số hữu tỉ Ta biết rằng tập các số hữu tỉ trù mậttrên tập các số thực nhưng nếu chúng ta giới hạn độ lớn của mẫu số thì vấn đề hoàntoàn không tầm thường

Định lí A (Định lí Roth [56, 32, 4])Giả sử α là một số đại số thực và  > 0 Khi

đó chỉ có một số hữu hạn các số hữu tỉ pq ∈ Q thỏa mãn bất đẳng thức sau đây

|α − p

q| ≤ 1

q2+.Dựa trên một kết quả đơn giản nhưng rất nổi tiếng của Dirichlet, số mũ 2 +  là sốtốt nhất có thể được theo nghĩa là chúng ta không thể thay thế nó bởi một số nhỏ hơnnữa mà định lí Roth vẫn đúng Định lí trên có thể mở rộng lên một trường số bất kì

K (thay vì Q) và xấp xỉ với một họ hữu hạn các định giá (trong đó bao gồm cả cácđịnh giá không archimedean) (xem [55, 35])

Trong bài báo [67], Schmidt đã tổng quát định lí Roth lên không gian có chiều caohơn Người ta thường gọi định lí này là định lí không gian con Chúng tôi nhắc lại ởđây phát biểu phổ biến nhất của định lí này (bao gồm những cải tiến quan trọng của

7

H.P.Schlickewei [65] và Vojta [79]).

Định lí B (Định lí không gian con Schmidt [67])Giả sử K là trường số và S làtập con hữu hạn của MK chứa MK∞ Các dạng tuyến tính L1, , Lq ∈ K[X0, , Xn]nằm ở vị trí tổng quát Khi đó, với mọi ε > 0, bên ngoài một họ hữu hạn các khônggian con thực sự của Pn(K), ta có

Năm 1991, dựa trên chứng minh của giả thuyết của Cartan trong lí thuyếtNevanlinna [49, 50], Ru và Wong đã tổng quát định lí không gian con Schmidt tớitrường hợp các dạng tuyến tính ở vị trí N −dưới tổng quát

Định lí C (Ru-Wong [58])Giả sử K là trường số và S là tập con hữu hạn của MKchứa MK∞ Các dạng tuyến tính cho trước L1, , Lq ∈ K[X0, , Xn] nằm ở vị tríN-dưới tổng quát Khi đó, với mọi ε > 0, bên ngoài một họ hữu hạn các không giancon thực sự của Pn(K), ta có

Gần đây, P Corvaja và U.M Zannier [10], Evertse và Ferretti [22], độc lập với nhau,

đã chứng minh định lí không gian con Schmidt cho họ các đa thức trên trường số Sau

đó, M Ru đã chứng minh dạng giải tích của các định lí này trong lí thuyết Nevanlinna[61, 62] Các kết quả của họ được phát biểu như sau

Định lí D (Corvaja-Zannier-Everstse-Ferretti [10, 22]) Giả sử MK∞ ⊂ S ⊂ MK

là một tập hữu hạn Giả sử X là đa tạp con xạ ảnh của PM xác định trên trường số K,dim X = n Giả sử D1, , Dq là họ các siêu mặt được xác định bởi các đa thức thuầnnhất Q1, , Qq ∈ K[X0, , XM] với bậc tương ứng dj, j = 1, , q Khi đó, với mọi

 > 0, bên ngoài một họ hữu hạn các đa tạp con đóng thực sự của X, ta có

Định lí E (Levin, [42]) Giả sử X là đa tạp xạ ảnh n chiều xác định trên trường số

K Giả sử D0, , Dq, (q ≥ n) là các divisor Cartier ample và hiệu quả trên X, xácđịnh trên K và nằm ở vị trí N −dưới tổng quát, N ≥ 2 Giả sử tồn tại divisor Cartierhiệu quả A trên X, xác định trên K, và các số nguyên di thỏa mãn Di ≡ diA (tươngđương số học) với mọi i Giả sử S ⊂ MK là tập hữu hạn và  > 0 Khi đó bất đẳngthức

Những định lí được nhắc lại trên đây có thể xem như là ”Định lí không gian conSchmidt cho mục tiêu cố định" Một hướng để tổng quát định lí không gian con Schmidt

và định lí cơ bản thứ hai đó là cho phép các ”mục tiêu” này di động chậm

Trong phần đầu tiên của luận án, chúng tôi nghiên cứu sự tương đồng giữa xấp xỉDiophantine và lí thuyết Nevanlinna trong trường hợp mục tiêu di động

Một ví dụ của sự tương đồng này là kết quả của Vojta ” Định lí Roth cho mục tiêu

di động” (xem [80]) Định lí tương ứng của định lí này trong lí thuyết Nevanlinna là

”Định lí cơ bản thứ hai cho mục tiêu di động” Nó được chứng minh bởi C Osgoodnăm 1985 Năm 1986, N Steinmetz (xem [75]) đã đưa ra một chứng minh khác đơngiản hơn

Phương pháp trình bày trong bài báo của Vojta được suy ra từ phương pháp củaSteinmetz Một lưu ý rất then chốt trong chứng minh của Steinmetz đó là chúng ta

có thể tránh việc sử dụng bổ đề đạo hàm logarithmic trong việc chứng minh định lí

cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh hình Như vậy, thông qua từ điển của Vojta,phương pháp của Steinmetz có thể áp dụng để chứng minh kết quả tương tự trong xấp

xỉ Diophantine Định lí của Vojta được phát biểu như sau (xem mục 1.1, chương 1 đểtham khảo các kí hiệu)

Định lí F (Vojta [80])

là số nguyên dương Khi đó, với mọi  > 0, không tồn tại dãy (q + 1)−bộ số(xi, αi1, , αiq) ∈ (P1(K))q+1, (i ∈ N) thỏa mãn các tính chất sau đây:

• Với mọi i ∈ N, ta có αiλ6= αiµ với mọi λ 6= µ;

• h(αi1) + · · · + h(αiq) = o(h(xi)) khi i tiến tới vô hạn;

• Với mọi i ∈ N bất đẳng thức sau thỏa mãn:

trong đó dv là khoảng cách v−adic cầu trên P1(Kv)

Trong không gian có chiều cao hơn, ta có kết quả của Ru-Vojta "Định lí không giancon Schmidt cho mục tiêu di động" (xem [59]) Định lí này tương ứng với định lí củaRu-Stoll (xem [57]) trong lí thuyết Nevanlinna Các tác giả đã tổng quát hóa định líkhông gian con Schmidt tới trường hợp ”mục tiêu di động chậm" bằng cách cho phép

họ các siêu phẳng di chuyển với các điểm xấp xỉ với điều kiện ràng buộc là độ caocủa hệ số các dạng tuyến tính xác định siêu phẳng tăng chậm so với độ cao của cácđiểm xấp xỉ Lưu ý rằng, Ru và Vojta chỉ phát biểu định lí trong trường hợp tập cácsiêu phẳng di động cố định đối với định giá v nhưng chứng minh của họ vẫn đúng chotrường hợp các siêu phẳng đó thay đổi đối với các định giá v

Giả sử Λ là tập chỉ số vô hạn cho trước Một siêu phẳng di động H là ánh xạ

H : Λ −→ (Pn)∗(K), α 7−→ H(α)

Định lí G (Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động [59]) Giả

sử K là một trường số, S là tập hữu hạn các định giá của K, và  > 0 Giả sử Λ

là tập chỉ số vô hạn Với mọi v ∈ S, giả sử L(v)1 , , L(v)q là các siêu phẳng di động

Λ −→ (Pn)∗(K) và giả sử x : Λ −→ Pn(K) là họ các điểm thỏa mãn:

(1) Với mọi v ∈ S, α ∈ Λ, L(v)1 (α), , L(v)q (α) ở vị trí tổng quát

(2) Với mọi v ∈ S, x không suy biến trên R tương ứng với L(v)1 , , L(v)q

(3) Với mọi v ∈ S, h(L(v)j (α)) = o(h(x(α))), j = 1, , q.

Khi đó, tồn tại một tập con các chỉ số vô hạn A ⊂ Λ thỏa mãn

Trong chương này của luận án, chúng tôi chuyển định lí vừa được chứng minh bởiDethloff và Tan ”Định lí cơ bản thứ hai cho siêu mặt di động” ([15]) trong lí thuyếtNevanlinna sang kết quả tương ứng trong hình học Diophantine Kết quả của chúngtôi có thể xem như là định lí không gian con Schmidt trong đó mục tiêu di động là cácsiêu mặt thay thế cho các siêu phẳng Chương này được viết dựa trên bài báo [28].Giả sử n ≥ 1, d ≥ 1 là số nguyên dương và Λ là một tập chỉ số vô hạn cho trước.Một siêu mặt di động bậc d trong Pn là ánh xạ Q : Λ −→ P(H0(Pn, O(d))) Ta sẽchứng minh định lí sau đây

Định lý 1.0.1 (L Giang [28]) Giả sử K là một trường số, S là tập hữu hạn cácđịnh giá của K Giả sử q ≥ n + 1 là số nguyên dương và  > 0 Giả sử Λ là tập vôhạn các chỉ số và Q1, , Qq là các siêu mặt di động trong Pn(K) tương ứng có bậc

d1, , dq và giả sử x : Λ −→ Pn(K) là họ các điểm thỏa mãn:

(1) Họ các đa thức Q1, , Qq là admissible;

(2) x không suy biến đại số trên R{Qj}q

j=1;(3) h(Qj(α)) = o(h(x(α))) với mọi j = 1, , q

Khi đó, tồn tại tập con chỉ số vô hạn A ⊂ Λ thỏa mãn

Điều kiện (3) nghĩa là với mọi  > 0, tồn tại tập con Λ ⊂ Λ với phần bù hữu hạnthỏa mãn h(Qj(α)) ≤ h(x(α)) với mọi α ∈ Λ

Điều kiện (2) tương tự với điều kiện (2) trong định lí của Ru-Vojta (xem [59], định

lí 1.1 hoặc định lí G ở phía trên), trong đó tính độc lập tuyến tính đã được thay thếbởi tính không suy biến đại số

Tuy nhiên, trong trường hợp Qj, 1 ≤ j ≤ q, là các dạng tuyến tính, điều kiện (2)thực sự mạnh hơn so với điều kiện (2) trong định lí của Ru-Vojta Từ đó, kết quả củaRu-Vojta không thể suy ra từ kết quả của chúng tôi.

Chúng tôi cũng xin lưu ý rằng, một thời gian ngắn sau chúng tôi, Chen- Ru-Yan,một cách độc lập, cũng nghiên cứu mở rộng định lí không gian con Schmidt cho mụctiêu là siêu mặt di động và cũng thu được kết quả như trên (xem [13])

học Diophantine.

Ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản của hình học đại số Để tìm hiểu chi tiết hơn,người đọc vui lòng tham khảo [4, 31]

1.1.1 Giả sử K là một trường và ¯K là bao đóng đại số của K

Trong không gian ¯Kn+1, hai véc tơ được gọi là tương đương nếu chúng nằm trongcùng một không gian con một chiều Ta kí hiệu tập các lớp tương đương của các véc tơnày là Pn( ¯K) Với mỗi tập con T ⊂ K[X0, , Xn] bao gồm các đa thức thuần nhất,

ta đặt

Z(T ) := {α ∈ Pn( ¯K)|f (α) = 0, ∀f ∈ T }

là tập không điểm của T Tất cả các tập con có dạng này gọi là đóng trong Pn( ¯K) Tô

pô Zariski trên Pn( ¯K) là tô pô sinh bởi các tập đóng trên Nó phụ thuộc vào K, chonên ta có thể kí hiệu không gian tô pô tương ứng là PnK Rõ ràng PnK là một đa tạpchính tắc Chúng ta gọi đa tạp đó là không gian xạ ảnh n chiều xác định trên K.Giả sử X là tập con đóng của PnK Nếu nó là một đa tạp con của PnK¯ thì ta gọi các

đa tạp này là đa tạp xạ ảnh xác định trên K

1.1.2 Một điểm x = [x0, , xn] với xj ∈ K, 0 ≤ j ≤ n được gọi là một điểm K- hữu

tỉ của PnK

Tập tất cả các điểm K− hữu tỉ của Pn

K được kí hiệu là Pn(K)

Giả sử X là đa tạp con của Pn

K được xác định bởi một họ các đa thức thuần nhấtvới hệ số trong K:

σλ(x0, , xn) = 0, λ ∈ Λ

Giả sử L là một mở rộng trường bất kì của K, ta kí hiệu X(L) = {x ∈ Pn(L)|σλ(x) =

0, λ ∈ Λ}, là tập các điểm L-hữu tỉ của X

Ta nhắc lại một số kí hiệu cơ bản của hình học Diophantine Để biết thêm chi tiết,người đọc có thể tham khảo [32, 4, 35, 38]

Giả sử K là một trường số

1.1.3 Một định giá trên K là một hàm giá trị thực

|.| : K −→ R+thỏa mãn ba tính chất sau đây

(1) |x| = 0 nếu và chỉ nếu x = 0 (Không suy biến)

(2) |xy| = |x||y| (Tính nhân)

(3) |x + y| ≤ |x| + |y| (Bất đẳng thức tam giác)

Định giá được gọi là định giá không archimedean nếu nó thỏa mãn

1.1.4 Kí hiệu OK là vành các phần tử nguyên của K, tức là OK là tập hợp các phần

tử α ∈ K thỏa mãn đa thức cực tiểu P (X) của nó trên Z có dạng

P (X) = Xh+ a1Xh−1+ · · · + ah, h = degQα, ai ∈ Z

với một ideal nguyên tố p của OK, một định giá tương ứng với một phép nhúngthực σ : K −→ R, và một định giá tương ứng với một cặp phép nhúng liên hợp

σ, ¯σ : K −→ C Ta kí hiệu MK∞ là tập các định giá archimedean của K, MK0 là tập cácđịnh giá không archimedean của K Một cách tự nhiên, ta có

MK = MK∞∪ M0

K

Với mỗi v ∈ MK, kí hiệu Kv là bao đầy của K tương ứng với v Ta chuẩn tắc cácđịnh giá sao cho |p|v = p−[Kv :Q p ]/[K:Q] nếu v tương ứng với ideal p và p ∩ Z = (p), và

|x|v = |σ(x)|[K v :R]/[K:Q] nếu v tương ứng với phép nhúng σ

Nếu v là một định giá của K và w là một định giá của mở rộng trường L của K,khi đó ta nói rằng w nằm trên v (hoặc v nằm dưới w), kí hiệu bởi w|v, nếu w và v xácđịnh cùng một tô pô trên K

1.1.5 Công thức tích

Y

v∈M K

|x|v = 1, với mỗi x ∈ K∗.1.1.6 Độ cao trong không gian xạ ảnh Với mỗi x = [x0 : : xn] ∈ Kn+1, ta đặt

kxkv := max(|x0|v, , |xn|v), v ∈ MK.Khi đó độ cao tuyệt đối logarithmic của x được xác đinh bởi

Đặc biệt, nếu x ∈ K∗ thì ta xác định độ cao tuyệt đối logarithmic của x như sau

kxkv := max(|x0|v, , |xN|v)

1.1.7 Độ cao trên đa tạp xạ ảnh Giả sử X là đa tạp đại số xạ ảnh xác định trên

K Giả sử L → X là phân thớ đường thẳng ample Lấy một số đủ lớn l0 ∈ N thỏa mãn

Ll, l ≥ l0 là very ample Gọi φ0, , φn là một cơ sở của H0(X, Ll) Nó cảm sinh phépnhúng

Φ = [φ0 : : φn] : X → PnK

Một hàm độ cao trên X(K) tương ứng với L được xác định bởi

h(x, L) = 1

lh(Φ(x)), x ∈ X(K).

Để cho đơn giản, ta cũng thường kí hiệu hàm độ cao trên X(K) là h(x)

1.1.8 Hàm Weil Với mỗi divisor D của hệ tuyến tính đầy đủ |L| của phân thớđường thẳng ample L, ta lấy một lát cắt chính qui σD ∈ H0(X, L) xác định D Hàm(địa phương) Weil λD,v(x) liên kết với D được xác định như sau

r nếu v là định giá archimedean

1 nếu v là định giá không archimedean

Với các kí hiệu trên, bất đẳng thức tam giác có thể viết lại dưới dạng sau

|a1+ · · · + ar|v ≤ n v

v (r) max{|a1|v, , |ar|v}, với mọi ai ∈ K, i = 1, , r

1.1.12 Với d là số nguyên dương, ta đặt

Giả sử A ⊂ Λ là tập con vô hạn chỉ số và a là ánh xạ A −→ K Để cho cụ thể, ta

sẽ kí hiệu ánh xạ này là (A, a)

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử A ⊂ Λ là tập con vô hạn chỉ số và C1, C2 ⊂ A là các tậpcon của A với phần bù hữu hạn Hai cặp (C1, a1) và (C2, a2) được gọi là tương đươngnếu tồn tại tập con C ⊂ C1∩ C2 thỏa mãn C có phần bù hữu hạn trong A và hạn chếcủa a1, a2 tới C trùng nhau Giả sử R0

A là tập các lớp tương đương của các cặp (C, a)đối với quan hệ tương đương trên Khi đó R0A hiển nhiên có cấu trúc của một vành.Hơn nữa, ta có thể nhúng K vào R0

A như là các hàm hằng

Một họ các điểm {x(α) ∈ Pn(K)|α ∈ Λ} được xem như là một ánh xạ x : Λ −→

Pn(K) Một siêu mặt di động bậc d trong Pn(K) sẽ được xem như là một ánh xạ

Q : Λ −→ P(H0(Pn(K), O(d))) Với mỗi α ∈ Λ, ta chọn {aI(α) ∈ K}I∈Td sao cho Q(α)

là siêu mặt xác định bởi phương trình P

I∈T daI(α)xI = 0 Nếu không có sự nhầm lẫnnào, chúng tôi sử dụng cùng kí hiệu Q cho đa thức thuần nhất trong R0Λ[X0, , Xn]xác định bởi

I∈T

aI(α)xI, với mọi α ∈ Λ

Cho trước các siêu mặt di động Q1(α), , Qq(α), (α ∈ Λ) trong Pn(K) tương ứng

có bậc d1, , dq, chọn aj,I(α) ∈ K, j = 1, , q, I ∈ Tdj thỏa mãn Qj(α) được cho bởiP

Giả sử A ⊂ Λ là tập vô hạn các chỉ số coherent đối với họ {Qj}qj=1 Nếu j ∈ {1, , q}

và µ, ν ∈ {0, , mj} thỏa mãn aj,ν(α) 6= 0 với ít nhất một α ∈ A, khi đó tập{α ∈ A|aj,ν(α) 6= 0} có phần bù hữu hạn trong A do tính chất coherent Từ đó, cặp

{α ∈ A|aj,ν(α) 6= 0} −→ K, α −→ aj,µ(α)/aj,ν(α)thuộc vào R0A Hơn nữa, vành con của R0A sinh bởi họ các cặp này trên K là miềnnguyên

Thật vậy, với mọi (C, a) thuộc vành con này, a có dạng

trong đó P ∈ K[X1,0, , X1,m1, X2,0, , Xq,mq] là đa thức thuần nhất với bộ các biến(Xj,0, , Xj,mj), j ∈ {1, , q} và Q là đơn thức Từ đó, do tính coherent của A, hoặca(α) ≡ 0 hoặc a(α) = 0 tại hữu hạn các điểm α ∈ A Từ đó a.b ≡ 0 nếu và chỉ nếu

a ≡ 0 hoặc b ≡ 0 Đặc biệt, với mọi a thuộc miền nguyên này thì a(α) = 0 với mọi

α ∈ A hoặc bằng 0 tại hữu hạn điểm α ∈ A

j=1 = RB,{Qj}q

j=1.Định nghĩa 1.2.7 Giả sử x : Λ −→ Pn(K) là họ các điểm Ta nói rằng x là không suybiến đại số trên R{Qj}q

j=1 nếu với tất cả các tập con vô hạn A ⊂ Λ mà coherent với họ cácsiêu phẳng {Qj}qj=1, thì không tồn tại đa thức thuần nhất Q ∈ RA,{Qj}q

j=1[X0, , Xn]thỏa mãn Q(xo(α), , xn(α)) = 0, với mọi α ∈ A ngoài một tập con hữu hạn của A.Định nghĩa 1.2.8 Ta nói rằng một tập {Qj}qj=1, (q ≥ n + 1) các đa thức thuần nhấttrong R0Λ[X0, , Xn] là admissible nếu tồn tại một tập con vô hạn A ⊂ Λ với phần bùhữu hạn thỏa mãn với mọi 1 ≤ j0 < · · · < jn ≤ q, α ∈ A, hệ các phương trình

Giả sử A ⊂ Λ là coherent đối với {Qj}n

Giả sử ˆR ∈ Z[T ] là kết thức của ˆQ0, , ˆQn Nó là một đa thức theo các biến

T = ( , th,I, ), (0 ≤ h ≤ n, I ∈ Td) với hệ số nguyên thỏa mãn ˆR(T ) = 0 làđiều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của nghiệm không tầm thường (x0, , xn) 6= 0trong ¯Kn+1 của hệ phương trình

Ta nhắc lại kết quả sau về kết thức (xem Định lí 3.4 trong [36])

Mệnh đề 1.3.1 Tồn tại số tự nhiên s và đa thức {ˆbij}0≤i,j≤n trong Z[T, x] bằng 0hoặc thuần nhất bậc s-d theo x, thỏa mãn

x Khi đó, Kx là một vành con của R0

Λ Nhưng nó không phải là một miền nguyên.Tuy nhiên, nếu (C, a) ∈ Kx và a(α) 6= 0 với tất cả trừ một số hữu hạn α ∈ C thì

Kí hiệu Cx là tập các hàm số nhận giá trị dương h xác định trên Λ trừ một tập conhữu hạn của Λ thỏa mãn

log+(h(α)) = o(h(x(α)))

Khi đó, Cx là một vành Hơn nữa, nếu (C, a) ∈ Kx thì với mọi v ∈ MK, hàm

|a|v : C −→ R+ cho bởi α 7−→ |a(α)|v thuộc vào Cx Hơn nữa, nếu (C, a) ∈ Kx, a(α) 6= 0tại mọi điểm trừ ra một số hữu hạn α ∈ C thì hàm số h : {α|a(α) 6= 0} 7−→ 1

|a(α)|vcũng thuộc vào Cx Ta có bổ đề sau đây:

l2,v(α)kx(α)kdv ≤ max

0≤j≤n|Qj(x(α))|v ≤ l1,v(α)kx(α)kdv,với mọi α ∈ A bên ngoài tập con hữu hạn của A Hơn nữa, nếu các hệ số của

Qj, j = 0, , n thuộc Kx thì l1,v, l2,v ∈ Cx

Chứng minh Ta giả sử rằng

I∈T d

aj,IxI, (Cj,I, aj,I) ∈ R0Λ, 0 ≤ j ≤ n

Đặt C = ∩j,ICj,I, thì Λ\C là tập hữu hạn Với mọi α ∈ C, ta có

Do aj,I ∈ Kx, j = 1, , q, I ∈ Td, và Cx là một vành, ta có l1,v ∈ Cx.

Bây giờ, ta sẽ chứng minh vế trái của bất đẳng thức Áp dụng mệnh đề 1.3.1, ta có:tồn tại số nguyên dương s và các đa thức {ˆbij}0≤i,j≤n trong Z[T, x], bằng 0 hoặc thuầnnhất bậc s − d theo biến x, thỏa mãn

!

Biểu thức này xác định trên A ∩ C\({R = 0} ∪ {γIij = 0}) Do 0 6= R, γIij ∈ RA,{Qj} n

j=0,

ta có {α|R(α) = 0}, {α|γIij(α) = 0}, 0 ≤ i, j ≤ n, I ∈ Ts−d là các tập hữu hạn Từ đó,

l2,v(α)kx(α)kdv ≤ max

0≤j≤n|Qj(x(α))|vvới mọi α ∈ A bên ngoài một tập con hữu hạn của A Bởi vì R, γIij ∈ Kx, ta có l2,v ∈ Cx

Người đọc tham khảo [10], Bổ đề 2.2 cho chứng minh của bổ đề trên

Giả sử {Qj}qj=1, (q ≥ n + 1) là một họ admissible các đa thức thuần nhất có cùngbậc d ≥ 1 trong R0Λ[X0, , Xn] Giả sử A ⊂ Λ là một tập con chỉ số vô hạn coherentđối với {Qj}qj=1 Giả sử rằng các hệ số của Qj, 1 ≤ j ≤ q, thuộc vào trường RA,{Qj}q

j=1.Với số tự nhiên khác không N , ta kí hiệu VN là không gian véc tơ trên RA,{Qj}q

j=1

bao gồm tất cả các đa thức thuần nhất bậc N trong RA,{Qj}q

j=1[X0, , Xn] (và cả đathức 0)

Sử dụng cùng phương pháp như trong chứng minh của mệnh đề 3.2 trong [15], ta

có mệnh đề sau đây

Mệnh đề 1.3.4 Với mọi bộ (n+1) số đôi một khác nhau 1 ≤ j0, , jn ≤ q dãy{Qj 0, , Qj n} với các phần tử trong RA,{Qj}q

j=1[X0, , Xn] là một dãy chính qui vàmọi dãy con của nó cũng vậy

Sử dụng cùng phương pháp như trong chứng minh của mệnh đề 3.3 trong [15], ta

có mệnh đề sau đây

Mệnh đề 1.3.5 Với mọi số tự nhiên dương N và với mọi J := {j1, , jn} ⊂{1, , q}, chiều của không gian véc tơ VN

Ta sẽ chỉ ra rằng Định lí 1.0.1 được suy ra từ định lí sau đây

Định lý 1.3.6 Giả sử K là trường số, S là tập hữu hạn các định giá của K, giả sử

q ≥ n + 1 là số nguyên dương và  > 0 Giả sử Λ là tập vô hạn chỉ số và Q1, , Qq là

họ các siêu mặt di động trong Pn(K) tương ứng có cùng bậc d Giả sử x : Λ −→ Pn(K)

là họ các điểm thỏa mãn:

(1) Họ các đa thức Q1, , Qq là admissible;

(2) x không suy biến đại số trên R{Qj}q

j=1;(3) h(Qj(α)) = o(h(x(α))) với mọi j = 1, , q

Giả sử A ⊂ Λ là tập con chỉ số vô hạn mà coherent đối với {Qj}qj=1 Giả sử thêm rằng:

• Mọi đa thức Qj có hệ số trong RA,{Qj}q

j=1 Hơn nữa, với mỗi 1 ≤ j ≤ q, Qj có ítnhất một hệ số bằng 1

Chứng minh Giả sử J := {j1, , jn} ⊂ {1, , q} Với mọi số tự nhiên dương N chiahết cho d và mọi I := (i1, , in) ∈ Nn0 thỏa mãn kIk :=Pn

Bây giờ, ta sẽ đánh giá mh.

Bổ đề 1.3.7 Với mọi N ≥ 1 chia hết cho d và mọi h = 1, , H với N − dkIhk ≥ nd,

ta có

mh = dn.Chứng minh Ta xác định đồng cấu giữa các không gian véc tơ

ϕh : VN −dkIhk −→ V

IhN

trong đó γE ∈ VN −dkEk Hơn nữa, do bổ đề 1.3.3 và mệnh đề 1.3.4 ta có γ ∈(Qj1, , Qjn) Khi đó

ker ϕh ⊂ (Qj1, , Qjn) ∩ VN −dkIhk (1.4)Ngược lại, với mọi γ ∈ (Qj1, , Qjn) ∩ VN −dkIhk, (γ 6= 0),

Kết hợp với mệnh đề 1.3.5, bổ đề 1.3.7 được chứng minh

Bây giờ, ta tiếp tục chứng minh Định lí 1.3.6

chỉ số đôi một khác nhau j1(v), , jn(v) ∈ {1, , q} thỏa mãn

|Qj1(v)(x(α))|v ≤ ≤ |Qjn(v)(x(α))|v ≤ min

j6∈{j 1 (v), ,j n (v)}|Qj(x(α))|v,với mọi α ∈ A Kí hiệu J (v) := {j1(v), , jn(v)}



hµ

( hµchạy qua tất cả các trường hợp có thể có của l2,v).Bởi vì với mỗi j = 1, , q, Qj có ít nhất một hệ số bằng 1 và h(Qj(α)) = o(h(x(α))),

log |Lj,v(F (x(α)))|v = log |ψjJ (v)(x(α))|v.Kết hợp với (1.9), ta có

Điều đó tương đương với

Chứng minh Ta biểu diễn

là các dạng tuyến tính với hệ số trong RA,{Qj}q

j=1 Hơn nữa, bởi vì ψjJ (v), (1 ≤ j ≤ M )được chọn như trong (1.6) và φj, (1 ≤ j ≤ M ) được chọn là các đơn thức, tập các hệ

số của Lj,v chính là tập các hệ số của Qi1h

j 1 (v) Qinh

j n (v), trong đó Pn

j=1ijh ≤ N/d.Nhận xét này dẫn tới với mọi w ∈ MK, ta có

Bây giờ, ta chứng minh (ii) Với mọi j ∈ 1, , M , chọn rj ∈ 1, , M thỏa mãn

wjrj(α) 6= 0 Khi đó, bởi (1.13) ta có với w ∈ MK,

Chú ý rằng, với mọi x ∈ K∗, do công thức tích, ta có

Từ đó, với mọi v ∈ MK, hoặc

0 ≤ log |x|v ≤ h(x) hoặc − h(x) ≤ log |x|v ≤ 0

Ta chọn N := d.[2(n+1)(2n−1)(nd+1)−1+n+1] Bây giờ, ta kiểm tra điều kiện (1)−(3)của định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động Lj,v(α), 1 ≤ j ≤ M, v ∈ S vàmột họ các điểm F (x(α)) : A −→ PM −1(K)

• Điều kiện (2) Cố định v ∈ S Giả sử rằng P ∈ K[Y11, Y1M, Y21, , YM M] thuầnnhất theo biến Yj1, , YjM với mọi j = 1, , M

Với mọi j, r = 1, , M , ta có wjr ∈ RA,{Qj}q

j=1 nên

P (w11, w1M, w21, , wM M) ∈ RA,{Qj}q

j=1

Từ đó, P (w11(α), w1M(α), w21(α), , wM M(α)) = 0 với mọi α ∈ A hoặc với hữu hạn

α ∈ A Từ đó, tập A cũng coherent đối với {Lj,v}M

j=1 Hơn nữa, RA,{Qj}q

j=1 ⊃ RA,{Lj,v}M

j=1.Bởi vì x không suy biến đại số trên RA,{Qj}q

j=1 nên không tồn tại đa thức thuần nhấtkhác không Q ∈ RA,{Qj}q

j=1[X0, , Xn] thỏa mãn Q(xo(α), , xn(α)) = 0, với mọi

α ∈ A bên ngoài một tập con hữu hạn của A Từ đó, hạn chế của các hàm tọa độ

j=1, có nghĩa rằng nó bằng 0 chỉ tại hữu hạn

α ∈ A Bỏ ra ngoài A các điểm này, tập mới ˜A vẫn coherent đối với {Lj,v}M

j=1 và vớimọi α ∈ ˜A, L1,v(α), , LM,v(α) ở vị trí tổng quát Từ đó, không giảm tổng quát, ta

có thể giả sử ˜A = A

• Điều kiện (3) Xem bổ đề 1.3.8 (i)

Bây giờ, ta có thể áp dụng Định lí A cho các siêu phẳng di động Lj,v(α), 1 ≤ j ≤

M, v ∈ S và họ các điểm F (x(α)) : A −→ PM −1(K) Khi đó, tồn tại một tập con vô

hạn B ⊂ A thỏa mãn với mọi α ∈ B,

tại mọi điểm trừ một số hữu hạn α ∈ B Khi đó tại mọi điểm trừ một số hữu hạn

j=1 Tương tự, ta có thể chuyển từ A1 sang

A2 := {α ∈ A1|Q2(x0(α), , xn(α)) 6= 0} Từ đó, không giảm tổng quát, ta có thể giảsử

gj, ˜Ix˜

Từ đó, gj, ˜I = Gj, ˜I(˜aj,I, I ∈ Tdj), ˜I ∈ Td, trong đó Gj, ˜I là đa thức thuần nhất của |Tdj|biến có bậc d/dj Do tính coherent của A đối với {Qj}qj=1, ta có A cũng coherent đốivới { ˜Qd/dj

j }qj=1 Khi đó, với mỗi j ∈ {1, , q}, tồn tại ˜Ij ∈ Td sao cho gj, ˜I 6= 0 tại mọi

điểm trừ ra một số hữu hạn α ∈ A Xét tập các đa thức

{ ˜Qd/dj

j /gj, ˜I

j}qj=1.Với mọi tập con B ⊂ A, ta có

{ ˜ Qd/djj /gj, ˜

Ij}q j=1

Hơn nữa, với mỗi 1 ≤ j ≤ q, { ˜Qd/dj

j /gj, ˜I

j}qj=1 có ít nhấtmột hệ số bằng 1

Bởi vì với mỗi 1 ≤ j ≤ q, ˜Qj có ít nhất một hệ số bằng 1, ta có

h(˜aj,I(α)) ≤ h( ˜Qj(x(α))) = o(h(x(α))), I ∈ Tdj, ˜aj,I(α) 6= 0

Do đó, bên ngoài một tập con hữu hạn của B, ta có

Dạng định lượng của định lí không gian con Schmidt

Các định lí của không gian con Schmidt được đề cập đến trong chương 1 có thểxem là các dạng định tính trong đó kết quả được phát biểu dưới dạng nghiệm củacác bất đẳng thức quan tâm được chứa trong một số hữu hạn các đa tạp con thực sựcủa đa tạp ban đầu Dạng định lượng của định lí không gian con Schmidt là dạng cảitiến quan trọng của định lí này, trong đó người ta đưa ra chặn trên cụ thể của số cácnghiệm Đây sẽ là công cụ quan trọng để ước lượng số nghiệm của vô số các dạng củaphương trình Diophantine

Schmidt[69] là người đưa ra kết quả đầu tiên của dạng định lượng của không giancon, đưa ra chặn trên cụ thể của số các không gian con cần thiết chứa tất cả các nghiệmvới độ cao lớn Kể từ đó, kết quả cơ bản ban đầu của ông ấy đã được cải tiến và tổngquát lên theo nhiều hướng Trong năm 2002, Evertse và Schlickewei (xem [21], Định lí3.1) đưa ra dạng định lượng của định lí không gian con tuyệt đối, xem xét các nghiệmtrong PN( ¯Q) và các dạng tuyến tính Gần đây, Evertse và Ferretti đã cải tiến kết quảnày trong [23]

Năm 1994, G Faltings và G Wustholz (xem [26], Định lí 3.1, 3.3) mở rộng kết quảcủa Schmidt tới hệ các bất đẳng thức Diophantine với nghiệm là các điểm hữu tỉ củamột đa tạp xạ ảnh bất kì Trong khi chứng minh của Schmidt cho định lí không giancon dựa trên kĩ thuật của xấp xỉ Diophantine và hình học của các số, Faltings và G

35

Wustholz đã phát triển một phương pháp hoàn toàn khác bằng cách dựa trên Định lítích của Faltings Hơn nữa, họ giới thiệu một đại lượng đặc trưng cho đa tạp mà giátrị này rất quan trọng trong chứng minh của họ R.G Ferretti (xem [24], [25]) sau đó

đã nhận thấy rằng đại lượng này có thể biểu diễn lại qua trọng Chow của X Quan sátcủa Ferretti đã đưa lí thuyết bất biến hình học (bậc contact của Mumford là bất biếnhữu tỉ thường xuyên được sử dụng trong lí thuyết bất biến hình học (xem [46], [45]))

áp dụng vào việc nghiên cứu xấp xỉ Diophantine Sau đó, J.H Evertse và R Ferretti(cf [20], [22]) tiếp tục phát triển kĩ thuật này và thu được dạng định lượng của kếtquả của Faltings và Wustholz trực tiếp từ dạng định lượng của định lí không gian conSchmidt Họ đã tổng quát những kết quả được đề cập ở trên tới hệ các bất đẳng thứccủa đa thức với nghiệm được giải trong đa tạp con xạ ảnh n- chiều của PN, trong đó

N ≥ n ≥ 1 Kết quả của họ được phát biểu như sau (xem mục 1.1, chương 1 để tìmhiểu về các kí hiệu)

Định lí A (Evertse-Ferretti [22], Định lí 1.3) Giả sử δ là số thực với 0 < δ ≤ 1, K làtrường số, S là tập hữu hạn các định giá của K với số phần tử là s, X là đa tạp con xạảnh n ≥ 1 chiều của PN xác định trên K và có bậc là d, và f0(v), , fn(v), (v ∈ S) là hệcác đa thức thuần nhất trong ¯Q[x0, , xN] Đặt

u ≤ A1, deg Gi ≤ A2 với i = 1, , u