Ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải xấp xỉ phương trình tích phân fredholm loại hai

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP THÁC TRIỂN THEO THAM SỐ GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI Khuất Văn Ninh1 Trần Mạnh Cường 2 hương pháp thác triển theo tham số giải phương trình

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP THÁC TRIỂN THEO THAM SỐ GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI

Khuất Văn Ninh1 Trần Mạnh Cường 2

hương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử được nghiên cứu trong các công trình của Trenoghin V.A., Fonarov A.A và Gaponenco Iu L Trong bài viết này, chúng tôi đi nghiên cứu ứng dụng của phương pháp nói trên trong việc giải gần đúng phương trình toán tử loại hai, với toán tử tích phân Fredholm

1 MỞ ĐẦU

Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử được nhiều nhà khoa học nghiên cứu Trong đó phần lớn các công trình nghiên cứu tìm nghiệm của phương trình toán

tử loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz tác dụng trong không gian Banach tuỳ ý

Phương pháp này sử dụng quá trình lặp, thông qua một số hữu hạn các bước theo tham

số và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co

2 NỘI DUNG

2.1 Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với hạch suy biến

Xét phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai:

Ta xét hai trường hợp của hạch suy biến:

(2)

(3) Dưới dạng tổng quát ta hoàn toàn chứng minh được toán tử:

1

PGS.TS, Trường ĐHSP Hà Nội 2

2

Học viên Cao học, K15, Trường ĐHSP Hà Nội 2

X



b

a

u x  f x  K x t u t dt x a b;

   , n,

K x t  xt

 ,  x t m, , 1, 2,

K x t  e  n m

P

với hai hạch (2), (3) là đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số:

Như vậy với hai hạch (2), (3) phương trình tích phân Fredholm (1) có thể giải được bằng phương pháp thác triển theo tham số

Ví dụ 1 Giải phương trình tích phân Fredholm loại hai:

Giải: Xét toán tử định nghĩa bởi:

với mọi

+ Toán tử hoàn toàn xác định

+ Toán tử đơn điệu Thật vậy, với mọi ta có:

+ Toán tử liên tục Lipschitz với hằng số

Thật vậy, ta có:

   , ,

a

AuK x t u t dt

 

1 2 2

,

b b

a a

L  K x t dxdt

0

sin 24

u x x x xtu t dt





2

x  

  

:

A    

   

   



  2

0

Au xtu t dt



2

x  

  

Au

0;

2

,

u t v t  

 

 

L

       

2 2

0 0

,

Au Av u v xt u t v t dt u x v x dx

         

 

   

2 2

0

0

t u t v t dt



     



Au

3

24

L

    2

0;

2

,

u t v t  

 

 

L

1

Au Av xt u t v t dt xt u t v t dt dx

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy  Schwarz  Buniakowsky vào đẳng thức trên

ta được:

Suy ra

Vậy là toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số

Khi đó phương trình (4) có nghiệm duy nhất

Chọn N = 2 khi đó L/2 < 1 và đặt 1

2

 o

Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương trình (4) ta có quá trình lặp:

Lấy xấp xỉ và Khi đó ta có:

   

2

2 2

Au Av x t dxdt u t v t dt

3 2

2 0

24

Au Av x dx u v u v





     

A

3

1 24

L 

u x x x xtu t dt xtu t dt



 

u t  t t u t0 0

1

0

1





1

     

1

sin

u x u x x t dt t tdt t dt



1

1

u x x    

        

 

u x x x  x   x

 

Suy ra

Vậy nghiệm của phương trình (4) là:

Ví dụ 2 Giải phương trình tích phân Fredholm loại hai:

Giải: Xét toán tử định nghĩa bởi:

với mọi

+ Toán tử hoàn toàn xác định

+ Toán tử đơn điệu Thật vậy, với mọi ta có:

+ Toán tử là toán tử co, liên tục Lipschitz với hằng số

Thật vậy, với mọi ta có:

Suy ra là toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số , ngoài ra là toán tử co với hệ số co

Khi đó phương trình (5) có nghiệm duy nhất

1

u x u x x     

        

3

1

u x x x   x   x

       

   

n

n n

u x x x     x    x

        

n



1

2

x

u x e xe xtu t dt



:

A L L

  1

1

Au xtu t dt



 x  1;1

Au

1;1

,

u t v t L

AuAu u v 

3

L

    2 

1;1

,

u t v t L

   

2

2 2

2 3

Au Av x t dxdt u t v t dt u v

3

2 3

q

Chọn và đặt Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương trình (5) ta có quá trình lặp:

Ta lấy xấp xỉ và chọn Khi đó ta có:

Vậy nghiệm của phương trình (5) là:

Ví dụ 3 Giải phương trình tích phân Fredholm loại hai:

Giải: Xét toán tử định nghĩa bởi:

2

2

x

u  x e xe x tu t dt x tu t dt

 

*

t

u t e u t0 0

1

1

1

2

u x e xe x te dt e

e





2

x

u x e xe x tu t dt x tu t dt

1

1

1 2



  2

1 3

x x

u x e

e

2

x

u x e xe x tu t dt x tu t dt

1

1



  3

1 9

x x

u x e

e

1

1 3

n x

x

e





  lim n 1  x

n

u x u  x e



0

2

u x x x x xtu t dt





2

x  

  

:

A    

   

   



với mọi

+ Toán tử hoàn toàn xác định

+ Toán tử đơn điệu Thật vậy, với mọi ta có:

+ Toán tử liên tục Lipschitz với hằng số

Thật vậy, với mọi ta có:

Khi đó phương trình (5) có nghiệm duy nhất

Chọn và đặt Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương trình (6), ta có quá trình lặp:

Ta lấy xấp xỉ và chọn Khi đó ta có:

  2

0

Au xtu t dt



2

x  

  

Au

0;

2

,

u t v t  

 

 

L

AuAu u v 

Au

3

24

L 



    2

0;

2

,

u t v t  

 

 

L

   

2

2 2

Au Av x t dxdt u t v t dt

3 2

2

Au Av x dx u v u v





     

2

2

u x x x x xtu t dt xtu t dt



 

u t  t u t0 0

1

0

1





 

4

0

1

u x u x x t t t t dt







4 48

Vậy nghiệm của phương trình (6) là:

Ví dụ 4 Giải phương trình tích phân Fredholm loại hai:

Giải: Xét toán tử định nghĩa bởi:

với mọi

+ Toán tử hoàn toàn xác định

+ Toán tử đơn điệu Thật vậy, với mọi ta có:

+ Toán tử là liên tục Lipschitz Thật vậy, với mọi ta có:

Suy ra là toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số

Khi đó phương trình (7) có nghiệm duy nhất

Chọn và đặt Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương trình (7) ta có quá trình lặp:

0

1



 



u x x x    x

 

n n



 

    

 

  lim n 1  sin cos

n



1

1 1 15

u x x xt x t u t dt



:

A L L

1

2 2 1

Au xt x t u t dt



Au

1;1

,

u t v t L

2

Au Au u v x u x v x dx x u x v x dx

            

1;1

,

u t v t L

2 2

Au Av xt x t dxdt u t v t dt L u v

2

2

u  x x xt x t u t dt xt x t u t dt

Ta lấy xấp xỉ và chọn Khi đó ta có:

Sử dụng phần mềm Maple qua 10 phép lặp, ta có kết quả sau:

Vậy qua 10 phép lặp nghiệm xấp xỉ của phương trình (7) là:

2.2 Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với hạch không suy biến

Xét phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai:

trong đó là hạch không suy biến

Giả sử có thể xấp xỉ bởi hạch không suy biến nào đó:

(9)

Khi đó phương trình (8) có thể viết dưới dạng:

(10)

Vì nhỏ tuỳ ý khi đủ lớn, nên ta coi nghiệm của phương trình tích phân tuyến tính với hạch suy biến :

u t  t u t0 0

1

1



1

7 1 15

2

67 1 75

3

367 1 375

u x   x

4

1867 1 1875

5

9367 1

9375

6

46867 1

46875

7

234267 1

234375

8

1171867 1

1171875

9

5859367 1

5859375

10

29296867 1

29296875

1 0.9999997269

  10 , 2 0.0001655423671

u x u x 

b

a

u x  f x  K x t u t dt x a b;

 ,

K x t

 ,

  ,

n

n a x t b

K x t K x t x t





  



u x  f x  K x t u t dt   x t u t dt

 ,

n x t

 ,

n

K x t

b

u x  f x  K x t u t dt x a b;

là nghiệm gần đúng của phương trình (8)

Ví dụ 5: Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai:

Giải: Khai triển Taylor đối với hàm theo tại ta có:

, với

Lấy khai triển Taylor của hàm tới , khi đó phương trình (12) có nghiệm xấp xỉ với nghiệm của phương trình:

Xét toán tử định nghĩa bởi:

với mọi

+ Toán tử hoàn toàn xác định

+ Toán tử đơn điệu Thật vậy, với mọi ta có:

+ Toán tử liên tục Lipschit với hằng số

Thật vậy, ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy  Schwarz  Buniakowsky cho bất đẳng thức trên

ta được:

Sử dụng phần mềm Maple ta tìm được hằng số Lipschitz:

0

2

xt

u x   x  x e u t dt x 0;1

xt

e xt xt0

2

1

1

n c

n

xt xt xt xt e



     

 c0;xt

xt

e  4

xt

0

u x   x  x    xt x t  x t  x t u t dt



   

0;1 0;1

:

A L L

 

1

0

1

Au   xt x t  x t  x t u t dt

Au

0;1

,

u t v t L

2

1 ,

2

Au Av u v  u x v x dx  x u x v x dx  x u x v x dx

                 

     

0

            

   

    2 

0;1

,

u t v t L

   

1

0

1

AuAv    xt x t  x t  x t    u t v t dt

   

1

1 1

0 0

1

xt x t x t x t u t v t dt dx

          

AuAv L u v

1.356769084

L

Vậy là toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số

Khi đó phương trình (13) có nghiệm duy nhất

Chọn và đặt Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương trình (13) ta có quá trình lặp:

Lấy xấp xỉ và Khi đó sử dụng phần mềm Maple ta có:

;

;

;

;

3 KẾT LUẬN

Trên đây là một số ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải một lớp phương trình tích phân tuyến tính loại hai đơn điệu với hạch suy biến hoặc không suy biến

2

2

 

0

n

u  x   x  x    xt x t  x t  x t u t dt



 

1

0

1

2 xt 2x t 6x t 24x t u t dt n



u t  t u t0 0

1 0.8333333333 0.6250000000 0.03333333333

0.05555555556x 0.05535714286x ;

0.06287822421x 0.05397238757x ;

0.05503460945x 0.05556427282x



0.06049904933x 0.5445083408x

0.05679487872x 0.05520582659x



0.05931945915x 0.05469096645x

0.05759790522x 0.05504215855x

0.05875718815x 0.05480585446x

  8 , 2 0.1592220124

u x u x 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Abdul  Majid Wazwaz, Linear and Nonlinear Integral Equations Methods and Applications,

Springer, 2011

2 Fonarov A.A., On some nonlinear analogy of Shauder ’ s method, Abstract Amer Math.Soc

4(1),133, 1983

3 Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh, Giải xấp xỉ phương trình toán tử, Nhà

xuất bản Khoa học và Kĩ thuật, H., 1992

4 Khuat V N, A method of extending by parameter for approximate solutions of operator

equations, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 36, No 1, 2011

5 Trenoghin V.A., Functional Analysis, Moskva Nauka, 1980

6 Trenoghin V.A., Global invertibility of nonlinear operator and method of extending by

parameter, DAN 350 (4), 455  457 (in Russian), 1996

7 Trenoghin V.A., Local invertibility of operator and method of extending by parameter,

Functional Analysis and Applications 30(2), 93  95 (in Russian), 1996

8 Gaponenco Y.L., Method of extending by parameter for equation of the second kind with

Lípschitz continuity and a monotone operator, J.Calculus Math.Math physics, 26 (8),

1123  1131 (in Russian), 1986

AN APPLICATIONS OF METHOD OF EXTENDING BY PARAMETER FOR APPROXIMATE SOLUTIONS OF FREDHOLM INTEGRAL EQUATION OF

SECOND KIND

Khuat Van Ninh, Tran Manh Cuong

Abstract

A method of extending by parameter has been reseached in the works of Trenoghin V.A [6]  [8], Fonarov A.A [4] and Gaponenco Y.L [5] In this paper we present some applications of this method for approximate solutions of operator equation of second kind with the Fredholm integral operator